中考数学专题复习 专题八 图形折叠问题训练

专题八 图形折叠问题

类型一 折叠三角形

(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连结OF ，OG ，则下列判断错误的是( )

A ．△ADF ≌△CGE

B ．△B ′FG 的周长是一个定值

C ．四边形FOEC 的面积是一个定值

D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值

【分析】A ．根据等边三角形ABC 的外心的性质可知AO 平分∠BAC ，根据角平分线的定理和逆定理得FO 平分∠DFG ，由外角的性质可证明∠DOF ＝60°，同理可得∠EOG ＝60°，∠FOG ＝60°＝∠DOF ＝∠EOG ，再根据三角形全等的性质可得△ADF ≌△CGE ；

B ．根据△DOF ≌△GOF ≌△GOE ，得DF ＝GF ＝GE ，所以△ADF ≌△B ′GF ≌△CGE ，可得结论；

C ．根据S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE 判断即可；

D ．将S 四边形OGB ′F ＝S △OAC －S △OFG ，根据S △OFG ＝1

2·FG ·OH ，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形

OGB ′F 的面积也变化，可作判断． 【自主解答】

三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．

类型二折叠平行四边形

(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC 折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．

【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．

【自主解答】

关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．

1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD ＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )

A．102°B．112°C．122°D．92°

类型三折叠菱形

(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( )

A．7 B．6 C．5 D．4

【分析】连结AC ，BD ，利用菱形的性质得OC ＝12AC ＝3，OD ＝1

2BD ＝4，∠COD ＝90°，再利用勾股定

理计算出CD ＝5，接着证明△OBM ≌△ODN 得到DN ＝BM ，然后根据折叠的性质得BM ＝B ′M ＝1，从而有DN ＝1，于是计算CD －DN 即可． 【自主解答】

折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．

2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为__________．

3．如图，在菱形ABCD中，tan A＝4

3

，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，

使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BN

CN

的值为____．

类型四折叠矩形

(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，则AD＝________．

【分析】设AD＝x，则AB＝x＋2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH＝DC＝x＋2，则AH＝AE－HE＝x －1，然后根据勾股定理得到x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，再解方程求出x即可．

【自主解答】

此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．

4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． ①当E 为线段AB 中点时，AF ∥CE ； ②当E 为线段AB 中点时，AF ＝9

5；

③当A ，F ，C 三点共线时，AE ＝

13－2

133；

④当A ，F ，C 三点共线时，△CEF ≌△AEF.

类型五 折叠正方形

(2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x. (1)当AM ＝1

3

时，求x 的值；

(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．

【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；

(2)设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，MD ＝1－y ，在Rt △AEM 中，由勾股定理得出x ，y 的关系式，可证Rt △AEM ∽Rt △DMP ，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP 的周长；

(3)作FH ⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可． 【自主解答】