[整理]复数与复变函数课件第五章-留数课件ppt

f ( z ) a m ( z z 0 ) m a m 1 ( z z 0 ) m 1 ,
其中， a( z m z 00 ) .m [ a m a m 1 ( z z 0 ) a m 2 ( z z 0 ) 2 ]
(zz0)m (z).
收敛且解析
方法一 f(0)0, f(0 ) 1 cz o z 0s 0 , f(0 ) sizz n 00 , f(0 ) cz o z 0 s1 0 , z0是 f (z)的三阶零点。
k 0 , 1 , 2 , ,
z k
1 kπ
为孤立奇点；
(2) z0也是奇点，但不是孤立奇点。
这说明奇点未必是孤立的.
y
函 数 的 实 部
o
x
注: 若函数的奇点个数有限， 则每一奇点都是孤立奇点.
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定义 设 z 0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0|zz0| 内
例 f(z)lnz, 原点及负实轴上的点均为奇点， 但不是孤立奇点。
三、孤立奇点
定义 设 z 0 为 f (z) 的奇点，且存在 0, 使得 f (z) 在去心 邻域 0|zz0| 内解析，则称 z 0 为 f (z) 孤立奇点。
例 f (z) 1 ,
sin
1 z
(1) 令 sin
1 z
0
,
1z k π ,
解 z0是 f (z) 的奇点，由 limf(z)limsinz 1,
z0
z0 z
可知，z0是 f (z)的可去奇点。
或 将 f (z)在 z0的去心邻域展成洛朗级数，有
f(z)sizn 1(z1z31z5 )
z z 3 ! 5 ! 11z21z4 , (0|z|) .(不含负幂次项)
3! 5!
如果约定 f (z)在 z0点的值为 1，则 f (z) 在 z0点 就解析了， 因此称 z0为 f (z) 的可去奇点。
展开为洛朗级数： f(z) an(zz0)n,
n
(2) 若 N0, 有 aN 0, 且 nN, 有 an 0, ( 即含有限个负幂次项 )
则称 z 0 为 f (z) 的 N 阶极点；
特别地，当 N1时，称 z 0 为 f (z) 的简单极点。
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
五、如何进行孤立奇点的分类
f( z ) 本性 奇点 ( z a z N 0 ) N N 阶 极 点 z a 1 z 0 a 可0 去 奇a 点1 ( z z 0 ) ,
可去奇点的判定方法
定理 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：
(i) f (z)在点z0的主要部分为零； (i)ilz iz0m f(z)c0 (c0为 常 ); 数 (iii) f(z)在点z0的某去心邻域内. 有界
定义 设 z 0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0|zz0| 内
展开为洛朗级数： f(z)an(zz0)n,
n
(3) 若 N0, nN,有 an 0, ( 即含无限个负幂次项 )
则称 z 0 为 f (z) 的本性奇点。
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 设 z 0 为f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在0|zz0| 内
复数与复变函数课件第五章 -留数
主要内容
本章介绍孤立奇点的概念、分类及 其判别；留数的概念；孤立奇点处留数 的计算；并将其应用于实函数积分的计 算.
§5.1 孤立奇点
一、引言 二、零点 三、孤立奇点 四、孤立奇点的分类 五、如何进行孤立奇点的分类
二、零点
所谓函数 f (z) 的零点就是方程 f(z)0的根。
P79
展开为洛朗级数： f(z)an(zz0)n,
n
(1) 若 n0, 有 an 0, ( 即不含负幂次项 )
则称 z 0 为 f (z) 的可去奇点。
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定义 设 z 0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0|zz0| 内
(进入证明?)
二、零点
充要条件 (如何判断零点的阶数? )
定理 设函数 f (z) 在 z 0 处解析，则下列条件是等价的：
(1) z 0 为 f (z) 的 m 阶零点。
(2) f(k)(z0)0, k 0 , 1 , 2 , , m 1 ;f(m)(z0)0.
(3) f (z)在 |zz0| 内的泰勒展开式为
展开为洛朗级数：f(z) an(zz0)n,
n
小结 f( z ) 本性 奇点 ( z a z N 0 ) N N 阶 极 点 z a 1 z 0 a 可0 去 奇a 点1 ( z z 0 ) ,
(1) 可去奇点 不含负幂次项； (2) N 阶极点 含有限多的负幂次项, 且最高负幂次为 N； (3) 本性奇点 含有无穷多的负幂次项。
定理 设函数 f (z) 在 z 0 处解析，则下列条件是等价的： (1) z 0 为 f (z) 的 m 阶零点。 (2) f(k)(z0)0, k 0 , 1 , 2 , , m 1 ;f(m)(z0)0.
(3) f (z)在 |zz0| 内的泰勒展开式为
f ( z ) a m ( z z 0 ) m a m 1 ( z z 0 ) m 1 , 其中，am0.
方法二 f(z)z(z1z31z5 )
3! 5!
z3( 1 1z2)
3! 5! z0是 f (z) 的三 的奇点，且存在 0, 使得 f (z) 在去心
P79
定义 5.1
邻域 0|zz0| 内解析，则称 z 0 为 f (z) 孤立奇点。
例 f(z) sinz , z0为孤立奇点。 z
定义 设函数 f (z) 在 z 0 处解析，
P81
定义 5.3
(1) 若 f(z0)0, 则称 z z0为 f (z) 的零点；
(2) 若 f(z)(zz0)m (z), (z)在 z 0 处解析且 (z0)0,
则称 z z0为 f (z) 的 m 阶零点。
二、零点
充要条件 (如何判断零点的阶数? )