复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

3

2cot -πz z

在2=-i z 内的奇点个数为 ( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )

（A ）可去奇点 （B ）本性奇点

（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数

z

z e

x sin 14

2

-的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1

1

sin

)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点

5．∞=z 是函数2

3

23z z z ++的( )

(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞

==

)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)

([

Re k z

z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)

()

([

Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）

（A ） 2

1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1

sin )(-=

（C ）z z z z f cos sin )(+=

(D) z

e z

f z

1

11)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()

()(0z z z z f m

ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级

极点．

（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若

0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点

10． =∞],2cos

[Re 3

z

i

z s ( ) （A ）3

2-

（B ）32 （C ）i 32

（D ）i 32-

11．=-],[Re 1

2i e z s i

z ( )

（A ）i +-

61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6

5 12．下列命题中，不正确的是( )

（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)

()(],)()

([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若

0z 为

)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则

)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dz

d n z z f s n n n

x x +→-=

（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z

f 的一级极点，并且

)1

(lim ]),([Re 0z

zf z f s z →=∞

13．设1>n 为正整数，则

=-⎰=2

11

z n

dz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）

n

i

π2 （D ）i n π2 14．积分

=-⎰

=

2

3109

1

z dz z z ( )

（A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）

5

i π 15．积分

=⎰=1

2

1sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）6

1

- （C ）3i π- （D ）i π-

二、填空题

1．设0=z 为函数3

3sin z z -的m 级零点，那么=m ．

2．函数z

z f 1cos

1)(=

在其孤立奇点),2,1,0(2

1 ±±=+

=

k k z k ππ处的留数

=]),([Re k z z f s ．

3．设函数}1

exp{)(2

2

z z z f +

=，则=]0),([Re z f s

4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)

()

([

Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设2

12)(z z

z f +=

，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5

cos 1)(z z

z f -=

，则=]0),([Re z f s ． 8．积分

=⎰=1

13

z z

dz e z

．

9．积分

=⎰=1

sin 1

z dz z ． 10．积分=+⎰∞

+∞-dx x xe ix

2

1 ． 三、计算积分

⎰=

--4

12)1(sin z z dz z e z

z ．

四、利用留数计算积分

)0(sin 0

22>+⎰a a d π

θ

θ

五、利用留数计算积分

⎰

∞

+∞

-+++-dx x x x x 9

102

2

42 六、利用留数计算下列积分： １．

⎰

∞

++0

212cos sin dx x x

x x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1

)1cos(2 七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是

b z f a z m a

z =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．

八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；