因式分解专题4_用十字相乘法(含答案)
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
[好]用十字相乘法因式分解详解附同步练习及答案11页
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用十字相乘法因式分解详解附同步练习及答案【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式． 点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn212．－2，3x ＋1或x ＋2 13．17 14．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a （2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x11 / 11 （4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
初二上册双十字相乘法因式分解100道及答案
初二上册双十字相乘法因式分解100道及答案(1)2228431021337u uv v u v-++--(2)229131017122x xy y x y+--+-(3)222828639172x y z xy yz xz+--++ (4)2221121153728x xy y x y+-+++ (5)226303623304m mn n m n+-+--(6)2292714212410x xy y x y-++-+ (7)24035622824m mn m n++++(8)22248415382354a b c ab bc ac++--+(9)22236355433029x y z xy yz xz-+-+-(10)224267212985x xy y x y++++-(11)222235159413a b c ab bc ac-+---(12)2235521224164x xy y x y++--+ (13)2245275430u uv v u v---++ (14)22288230815x y z xy yz xz---++ (15)28118181015m mn m n+---(16)2223125151114a b c ab bc ac+-+++(17)2251714151820x xy y x y -+-+-(18)226191477x xy y x y ++++-(19)2242228226528x xy y x y -+-++(20)2228176122816m mn n m n +-++-(21)2225212381311a b c ab bc ac +++--(22)22276914635230x xy y x y -++-+(23)22243615301217x y z xy yz xz +-+++(24)2212243129a ab b a b +-+--(25)223093231314a ab b a b +--+-(26)2249425732a ab b a b -+++-(27)221433184942m mn n m n++--(28)22242630292471x y z xy yz xz-+--+(29)2254992a ab b a b -----(30)2212186451a ab b a b ++++-(31)228136121083235x xy y x y +-+++(32)2215228181624p pq q p q -+-+-(33)22184220333112u uv v u v +++++(34)2221562217a b c ab bc ac+-+--(35)22143910354121x xy y x y+++++ (36)2228251230204a b c ab bc ac+-+++ (37)2228493491411a b c ab bc ac-++--(38)2222492015347x y z xy yz xz-+-+-(39)22403628195714x xy y x y---+-(40)222855251620m mn n m n++--(41)22256123611690x y z xy yz xz-++++ (42)22249824423270a b c ab bc ac++-+-(43)245152864x xy x y++++(44)222451218443039x y z xy yz xz--++-(45)224822534265x xy y x y+----(46)22421924914x xy y x y-+-+(47)222245572637x y z xy yz xz----+ (48)25632912035x xy x y--++(49)221216282149x xy y x y+---(50)2225421221218x y z xy yz xz+-+++ (51)22241024132220x y z xy yz xz+--+-(52)2222863546x y z xy yz xz-+-++(53)229491535x y x y -+-(54)2221661242726x y z xy yz xz --+++(55)2228284202314a b c ab bc ac --+-+(56)22102718321x xy y x y ++-+-(57)22224212434614x y z xy yz xz ---++(58)22992422149a ab b a b -++-+(59)2223030861148x y z xy yz xz +---+(60)2224155172019a b c ab bc ac --++-(61)228113371720x xy y x y -++-+(62)2221520413247x y z xy yz xz--+++(63)22313141228m mn n m n-++-(64)272484767x xy x y -++-(65)2226352029157x y z xy yz xz+-+--(66)22210318171536a b c ab bc ac+++--(67)22492118491512x xy y x y --+-+(68)2221243371312m mn n m n ++--+(69)222402412283417x y z xy yz xz--+-+(70)22212161841233x y z xy yz xz-+++-(71)21525182024p pq p q----(72)2263681225102m mn n m n+++++ (73)2223274361624x y z xy yz xz+++--(74)228381015337x xy y x y--+-+ (75)22102312403930p pq q p q-++-+ (76)2281012781x xy y x y-----(77)22162041483x xy y x y-++-+ (78)2222149114912x xy y x y-+-++ (79)223535127236a b a b-++-(80)2243121155514x xy y x y-+-++ (81)22271618241227x y z xy yz xz-+--+ (82)22240356753743x y z xy yz xz+-+++ (83)22182779132x xy y x y-++--(84)2222213011574x y z xy yz xz-----(85)2243121244320x xy y x y++--+ (86)2232402860217x xy y x y+-+-+ (87)225127364836m mn n m n-+-++ (88)2222851227115x y z xy yz xz+-+++(89)223514219172m mn n m n ---+-(90)22245615352a b c ab bc ac -+--+(91)22727222910x xy y x y -----(92)222322512736x y z xy yz xz --+-+(93)226132827x xy y x y --+-(94)2226321122233x y z xy yz xz -----(95)22281366935p pq q p q +---+(96)2235274411612x xy y x y ++--+(97)2249148841236a ab b a b ---++(98)22421525116x xy y x y +++++(99)2353523306m mn m n -+--(100)22718661435x xy x y ++++初二上册双十字相乘法因式分解100道答案(1)(727)(451)u v u v-+--(2)(22)(951)x y x y+--+ (3)(4)(876)x y z x y z-+--(4)(74)(237)x y x y++-+ (5)(64)(661)m n m n++--(6)(375)(322)x y x y-+-+ (7)(54)(876)m m n+++(8)(643)(85)a b c a b c-+-+ (9)(47)(955)x y z x y z--+-(10)(675)(731)x y x y+++-(11)(75)(253)a b c a b c--+-(12)(562)(722)x y x y+-+-(13)(926)(55)u v u v--+-(14)(82)(42)x y z x y z+--+ (15)(923)(95)m n m++-(16)(33)(45)a b c a b c+-++ (17)(575)(24)x y x y-+--(18)(677)(21)x y x y+++-(19)(247)(274)x y x y----(20)(44)(764)m n m n-++-(21)(72)(53)a b c a b c+-+-(22)(926)(375)x y x y-+-+ (23)(463)(65)x y z x y z+-++(24)(423)(323)a b a b--++(25)(637)(52)a b a b+--+(26)(71)(752)a b a b---+ (27)(76)(237)m n m n++-(28)(65)(766)x y z x y z++-+(29)(2)(541)a b a b--++(30)(661)(21)a b a b+-++ (31)(927)(965)x y x y-+++ (32)(544)(326)p q p q-+--(33)(643)(354)u v u v++++(34)(52)(332)a b c a b c+++-(35)(253)(727)x y x y++++(36)(252)(456)a b c a b c+-++(37)(873)(7)a b c a b c--+-(38)(835)(334)x y z x y z+---(39)(847)(572)x y x y+--+ (40)(754)(45)m n m n+-+(41)(836)(746)x y z x y z-+++(42)(726)(744)a b c a b c----(43)(52)(932)x x y+++ (44)(566)(923)x y z x y z+--+ (45)(65)(851)x y x y--++ (46)(72)(67)x y x y---(47)(35)(85)x y z x y z++--(48)(85)(747)x x y---(49)(37)(447)x y x y+--(50)(62)(926)x y z x y z+-++ (51)(26)(454)x y z x y z---+ (52)(7)(46)x y z x y z++-+ (53)(375)(37)x y x y++-(54)(863)(24)x y z x y z+--+(55)(274)(44)a b c a b c++--(56)(233)(567)x y x y+-++ (57)(334)(876)x y z x y z-++-(58)(327)(37)a b a b-+-+ (59)(562)(654)x y z x y z---+(60)(55)(43)a b c a b c+--+ (61)(4)(835)x y x y-+-+(62)(544)(35)x y z x y z-++-(63)(37)(24)m n m n--+ (64)(967)(81)x y x-+-(65)(255)(374)x y z x y z+-++(66)(53)(236)a b c a b c+-+-(67)(734)(763)x y x y++-+ (68)(334)(73)m n m n+-+-(69)(843)(564)x y z x y z--++ (70)(346)(443)x y z x y z+---(71)(54)(356)p p q+--(72)(921)(762)m n m n++++ (73)(872)(42)x y z x y z+-+-(74)(51)(827)x y x y-+++ (75)(236)(545)p q p q-+-+ (76)(861)(21)x y x y++--(77)(221)(823)x y x y-+-+ (78)(273)(74)x y x y----(79)(556)(776)a b a b-++-(80)(437)(72)x y x y----(81)(746)(43)x y z x y z++-+ (82)(87)(556)x y z x y z+-++(83)(32)(671)x y x y-+--(84)(236)(75)x y z x y z++--(85)(434)(75)x y x y+-+-(86)(477)(841)x y x y++-+ (87)(6)(576)m n m n----(88)(754)(43)x y z x y z+-++ (89)(771)(532)m n m n-++-(90)(523)(935)a b c a b c-+++ (91)(925)(82)x y x y--++(92)(425)(8)x y z x y z++--(93)(341)(27)x y x y++-(94)(733)(974)x y z x y z++--(95)(725)(437)p q p q--+-(96)(53)(744)x y x y+-+-(97)(726)(746)a b a b+---(98)(56)(41)x y x y++++ (99)(76)(551)m m n+--(100)(325)(97)x y x+++。
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4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b ）x ab h[x • a X • b 进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2 bx c （ a 、b 、c 都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数 a 1， c ，a 2， c 2 满足 a 1a^ a ， qq = c ，并且 a 1c 2 - a 2C | = b ，那么二次三项式 2 2ax bx c 即 a 1a 2x - a 1c 2 - a 2c 1 x - c 1c 2 可以分解为 a 1x - c 1 a 2x - c 2。
这里要确定四个常数a 1，c 1，a 2，q ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借 助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x 24 0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解： x 2 -11x 24 0.x -3 x -8 0 将它与原式的各项系数进行对比，得：a b--1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x 2 • cx -2 x 2 dx 1，其中c 、d 为整数，去括号，得:x 4 亠［c d x ‘ - x 2 亠［c - 2d x - 2x - 3 0 l x —8 - 0 或 x - 3 ” 0 x - 8 ：： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ，且满足2 -2xy - y *2=0，求长方形的面积。
要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
x 2 (x -y)2 - x - y -2 =0x-y-2 x-y1 =0x -y -2 = 0 或 x -y1=0 又 x y = 8x _ y 1 二 0x y =8解得：厂5或(x |_y = 3 [y = 4.563 2•••长方形的面积为 15cm 2或 cm 43、在代数证明题中的应用2 2例•证明：若4x-y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则8x 10x^3y 是49的倍数。
分析:解：-x - y - x 2 2xy - y 2 2=0-2xy y 2 | i x - y _ 2 二 0、2 =35分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
2 2证明一：8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2 2x 3y = 4x 6y = 4x - y 7y•/ 4x - y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）••• 2 2x 3y是7的倍数・10xy-3y2是49的倍数。
而2与7互质，因此，2x 3y是7的倍数，所以8x2证明二：••• 4x - y是7的倍数，设4x - y = 7m （m是整数）贝U y = 4x -7m2 2又 8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2x 12x -21m 4x -4x 7m]=7m 14x -21m]=49m 2x -3m •/x, m是整数，• m2x-3m也是整数2 2所以，8x 10xy -3y是49的倍数。
4、中考点拨例1.把4x4y2—5x2y2—9y2分解因式的结果是___________________ 。
解: 4x4y2 -5x2y2 -9y2=y24x4_5x2_ 9-y24x2-9 x2 12 2=y x 1 2x 3 2x -3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.2因式分解：6x — 7x — 5 = ______________解：6x2 -7x -5 = 2x 1 3x -5说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示2 2例1.若x - y mx 5^ 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）2 2解：x - y mx 5y _ 6 = x y x _ y i 亠mx 5y _6 -6可分解成-2 3或-3 2，因此，存在两种情况：(1) x + y-2/(2) x + y\-3x-y3/x-y2由(1)可得：m =1,由(1)可得：m - -1故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足a-c 4b-a c-b。
求证：a -b 二b - c证明：a-c2 =4b-a c-b2(a _c) _4(b_a '(c_b)=0a2 -2ac c2 -4bc 4ac -4ab 4b2 = 02 2(a+c) _4bg+c)+4b2 =02二(a +c-2b) =0a c -2b 二0a _b = b _c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
3 2例3.若x 5x 7x a有一因式x 1。
求a,并将原式因式分解。
【实战模拟】1.分解因式:(1) a2b216ab 39 (2) 15x2n 7x n y n 1 -4y2n 22 22(3) x 3x -22 x 3x 72A. 1B. -1C. -1D. 22.在多项式x 1, x 2, x 3, x2 2^3, x2 2x -1, x2 2x 3，哪些是多项2 4 2 2式x 2x -10 x 2x 9的因式？3.已知多项式2x3-x2- 13x - k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
2 24•分解因式：3x ，5xy-2y x 9^ 45.已知：x y = 05，x 3y = 1.2，求3x2 12xy 9y2的值。
【试题答案】1.2(1)解：原式=(ab) +16ab + 39 =(ab + 3]ab + 13)(2)解:原式=①"1 _ y n41i5x n +4y nH1)2 2(3)解：原式二x 3x「4 x 3x「18 二x 4 x「1 x 6x「32.2 422解：x 2x -10 x 2x 9 =Ij x2 +2x j —9 収+2x j —1】2 2 2 2二x 2x 3 x 2x「3 x 2x 1 x 2x「12 2 2= x 2x 3x 3x-1x1 x2x-12 2•••其中x 1, x 3, x 2x 3, x • 2x -1 是多项式2 4 2 2x22x -10 x22x 9 的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.解：设2x3 - x2 -13x k = 2x 1 x2 ax b则2x3 - x2 - 13x k 二2x3 2a 1 x2 a 2b x b”2a +1 = -1二“a+ 2b = -13b = ka = -1解得：J b = -6k= -6k 一6且2x3-X2-13X-6=2X-1 X2-X-6二2x-1 x-3 x 2 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
2 2设3x 5xy-2y x 9y「4=3x _ y m x 2y n2 2 t .二3x 5xy「2y 亠〔m 3n x 2m-n y mnm 3n = 1比较同类项系数，得：2m-n = 9mn 二-4"m = 4解得：n - -12 23x 5xy-2y x 9y-4 二3x-y 4 x-2y-15.2 2解：3x 12xy 9yx 8 或x ：： 3例2.如果x4- x3■ mx2-2mx -2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x4分成x2x2，而对于常数项-2，可能分解成-1 2，或者分解成-2 1，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为x2• ax -1 x2 bx 2，其中a、b为整数，去括号，得：4 3 2x 亠〔a b x x 亠〔2a - b x - 23 2解：；x 5x 7x a有一因式x 1•••当x 1 = 0，即x = T 时，x35x27x a = 0a = 3x3 5x2 7x 3=x3 x2 4x2 4x 3x 3=x2 x 1 4x x 1 3x1=x 1 x2 4x 3=x 1 x 1 x 3二x 1 2 x 3说明：由条件知，x=-1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是x 1，分解时尽量出现x 1，从而分解彻底。
2 2=3 x24xy 3y=3 x y x 3yx y = 05 , x 3y = 12.原式=3 05 12 =18说明：用因式分解可简化计算。