南京中考数学专题训练---二次函数的综合题分类

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(

3

2

-，15

4

)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，

D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

【分析】

(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、

C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．

【详解】

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴点A(1，0)，

∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，

∴

30

9330

a b

a b

++

⎧

⎨

-+

⎩

＝

＝

，解得：

1

2

a

b

-

⎧

⎨

-

⎩

＝

，

＝

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，

∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，

∴

223

1

y x x

y x

⎧--+

⎨

-

⎩

＝

＝

，解得：1

1

4

5

x

y

-

⎧

⎨

-

⎩

＝

＝

，2

2

1

x

y

＝

，

＝

⎧

⎨

⎩

∴点B(﹣4，﹣5)，

如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，

∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝1

2

(﹣m2

﹣3m+4)(m+4)+

1

2

(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-

5

2

（m+

3

2

）2+

125

8

，

∴当m＝3

2

-时，P最大，

∴点P(3

2

-，

15

4

).

(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴点E(﹣1，﹣2)，

如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，

联立

53

3

y x

y x

+

⎧

⎨

+

⎩

＝

＝

得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．

2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.

(2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-

350

x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

将B 、C 的坐标代入2

y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩