高考数学真题
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1.(2020年理科)已知函数2()e x f x ax x =+-.
(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；
(2)当0x 时，31()
12
f x x +，求a 的取值范围.
2.(2020年文科)已知函数()e (2)x f x a x =-+.
(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
3.(2019年理科)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数，证明：
(1)()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点； (2)()f x 有且仅有2个零点.
4.(2019年文科)已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数.
(1)证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点；
(2)若[0,]x π∈时，()f x ax ，求a 的取值范围.
5.(2018年理科)已知函数1()ln f x x a x x
=
-+. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
1212()()2f x f x a x x -<--.
6.(2018年文科)已知函数()e ln 1x f x a x =--.
(1)设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；
(2)证明：当1e
a
时，()0f x .
7.(2017年理科)已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
8.(2017年文科)已知函数2()e (e )x x f x a a x =--.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()0f x ，求a 的取值范围.
9.(2016年理科)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.
(1)求a 的取值范围；
(2)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.
10.(2016年文科)已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
11.(2015年理科)已知函数31()4
f x x ax =++，()ln
g x x =-. (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
(2)用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>.讨论()h x 的零点个数.
12.(2015年文科)设函数2()e ln x f x a x =-.
(1)讨论()f x 的导函数()f x '的零点个数；
(2)证明：当0a >时，2()2ln
f x a a a +.
13.(2014年理科)设函数1
e ()e ln x x
b f x a x x
-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为e(1)2y x =-+. (1)求a ，b ；
(2)证明：()1f x >.
14.(2014年文科)设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+
-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f f 处的切线斜率为0.
(1)求b ；
(2)若存在01x ，使得0()1
a f x a <
-，求a 的取值范围.
15.(2013年理科)已知函数2()f x x ax b =++，()e ()x g x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.
(1)求a ，b ，c ，d 的值；
(2)若2x -时，()()f x kg x ，求k 的取值范围.
16.(2013年文科)已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.
17.(2012年理科)已知函数121()(1)e (0)2
x f x f f x x -'=-+. (1)求()f x 的解析式及单调区间；
(2)若21()
2f x x ax b ++，求(1)a b +的最大值.
18.(2012年文科)设函数()e 2x f x ax =--.
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若1a =，k 为正数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.
19.(2011年理科)已知函数ln ()1a x b f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (1)求a ，b 的值；
(2)如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围.
20.(2011年文科)已知函数ln ()1a x b f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (1)求a ，b 的值；
(2)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-.