麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6麦克斯韦方程组

关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：

静电场的高斯定理：

静电场的环路定理：

稳恒磁场的高斯定理：

磁场的安培环路定理：

上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。

麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：

1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即

上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。

2.麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环

路定理在真空或介质中的表示形式，即

上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。

在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为

又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则

一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为

因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，

根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是：

1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位

移通量等于零，故有：

2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是

3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即

4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变化的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为

在变化电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不可分割的一个整体。

将两种电、磁场的规律合并在一起，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，表示如下

上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分形式。

将麦克斯韦方程组的积分形式用高等数学中的方法可变换为微分形式。微分形式的方程组如下

上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处

（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度；

（2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变化率的负值；（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流

密度的矢量和；

（4）磁感强度的散度处处等于零。

麦克斯韦方程是宏观电磁场理论的基本方程，在具体应用这些方程时，还要考虑到介质特性对电磁场的影响，

即，

以及欧姆定律的微分形式。

方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。

在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。