利用函数的奇偶性解不等式和证明不等式

利用函数的奇偶性解不等式和证明不等式
函数的奇偶性是函数的重要性质之一。

高中课本在研究函数的奇偶性时，主要研究判断函数奇偶性的方法及奇偶函数的性质，而对函数奇偶性的应用谈得很少。

事实上，研究函数奇偶性的应用，不仅能加深对函数知识的理解，而且更重要的是培养运用数学知识解决问题的能力，培养学生的思维广阔性。

下面我们就以二例来说明如何利用函数的奇偶性来解不等式或证明不等式.
1. 利用函数的奇偶性解不等式
例1，解不等式05110)
1(833>+++++x x x x 。

解：原不等式变形为)5()1
2(5)12(
33x x x x +->+++。

令x x x f 5)(3+=,则)()1
2(x f x f ->+。

注意到)(x f 是奇函数且单调递增，故 )()()12(x f x f x f -=->+。

所以x x ->+12，解得1->x 。

2.利用函数的奇偶性证明不等式
例2，求证
22
1x x x <- )0(≠x . 证明：设221)(x x x f x --= )0(≠x ，易证)(x f 是偶函数。

当0>x 时，021<-x ，从而0)(<x f ；
当0<x 时，0>-x ，由于)(x f 是偶函数，则0)()(<-=x f x f ．
故当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即22
1x x x <-. 以上分析表明，函数奇偶性的应用是多方面的。

利用函数奇偶性解题，方法灵活新颖、简捷巧妙，可充分拓展学生头脑中的知识，使其所学到的知识和方法得到广泛的应用，从而开阔了思维，提高了解题能力、应用能力。