中考数学三角函数压轴专题

1．（10分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．

2．（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB ＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）

3．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．（结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．）

4．（8分）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；

（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．

5．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD ＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

6．（8分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

7．（8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．

（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．

（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）

8．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；

（2）求E、E′两点的距离．

9．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

10．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）

1．【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC＝DE，DF＝EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．

【解答】解：作DE⊥BC于E，

则四边形DECF为矩形，

∴FC＝DE，DF＝EC，

在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，

∴DE＝BD＝84，

∴FC＝DE＝84，

∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，

在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，

∴AD＝AF＝70（米），

答：电动扶梯DA的长为70米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2.【分析】（1）根据题意即可得到结论；

（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO ＝22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；

（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，

∴∠BAO＝22.5°，

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，

∴∠BOP＝45°，

∵OB＝100，

∴OE＝OB＝50，

∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，

答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．

【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

3.【分析】延长CD，交过A点的水平线AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC 中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可

【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，

在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，

∴ED＝AE tan45°＝20m，

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，

∴AB＝40≈69.3m，

则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40﹣20≈29.3m．

答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关

系问题加以解决．

4.【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到FG＝DE；解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，

依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；

∴四边形DEFG是矩形；

∴FG＝DE；

在Rt△CDE中，

DE＝CE?tan∠DCE；

＝6×tan30o＝2（米）；

∴点F到地面的距离为2米；

（2）∵斜坡CF i＝1：1.5．

∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3，

∴FD＝EG＝3+6．

在Rt△BCE中，

BE＝CE?tan∠BCE＝6×tan60o＝6．

∴AB＝AD+DE﹣BE．

＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．

答：宣传牌的高度约为4.3米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

5.【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、F A相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的

对应边的比相等列式计算即可．

【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、F A相交于点

M，

连接GF并延长交OE于点H，

∵GF∥AC，

∴△MAC∽△MFG，

∴，

即：，

∴，

∴OE＝32，

答：楼的高度OE为32米．

【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．

6.【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PB＝90°，由题意得：P A＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝P A＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝60海里即可；

（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．

【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：

则∠PCA＝∠PB＝90°，

由题意得：P A＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，

∴PC＝P A＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，

∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60海里；

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；

（2）∵P A＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），∵3＞2，

∴救助船B先到达．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．

7.【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．

【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，

∴四边形ABOE是矩形，

∴∠OBA＝90°，

∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，

∴OD＝BD?sin60°＝20（cm），

∴DF＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，

∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，

∴∠BCH＝30°，

∵∠BCD＝165°，

°∠DCP＝45°，

∴CH＝BC sin60°＝10（cm），DP＝CD sin45°＝10（cm），

∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），

∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10＝3.2（cm）．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

8.【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE 及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；

（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE 中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．

在Rt△AD′F中，D′F＝AD′?sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．

又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，

∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，

∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．

答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．

（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．

由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，

∴△AEE′是等边三角形，

∴EE′＝AE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADE＝90°．

在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，

∴AE＝＝30厘米，

∴EE′＝30厘米．

答：E、E′两点的距离是30厘米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定

理求出AE的长度．

9.【分析】作EM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，

作EM⊥AC于M，

则AM﹣DE＝500，

∴BM＝100，

在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，

∴CM＝800，

∴BC＝CM﹣BM＝800﹣100＝700（米）

答：隧道BC长为700米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

10.【分析】测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．

在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，

∴BH＝AB＝（米），

∴A1B1＝BH＝250（米），

在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，

∴，

∴B1C＝＝400（米），

∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）

答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．