第2章 地理空间数学基础
GIS概论2地理空间数学基础
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection ）
•横轴圆柱投影
•x •y
•高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影（Gauss-Kruger Projection）
•高斯投影特征： ➢ 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 ➢ 投影后无角度变形，即保角投影 ➢ 中央经线无长度变形 ➢ 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； ➢为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 ➢ 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
• （2）80年西安坐标系 78年4月召开“全国天文大地网平差会议”建立80年西安坐标系，
其原点在西安西北的永乐镇，简称西安原点。椭球体参数为75年 国际大地测量与地球物理联合会第16界大会的推荐值。 • （3）新54年北京坐标系
将全国大地网整体平差的结果整体换算到克拉索夫斯基椭球体上 ，形成一个新的坐标系，称为新54年北京坐标系，它与80年国家 大地坐标系的轴定向基准相同，网的点位精度相同。 • （4）WGS84坐标系
•3)、我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等面积割 圆锥投影)；
•4)、Lambert投影中，地球表面上两点间的最短距离(即大圆航 线)表现为近于直线，这有利于地理信息系统中空间分析量度的 正确实施。
大中比例尺地图
对于大中比例尺地图，一般来说大多 数都采用地形图的数学基础—高斯－克吕格投 影，尤其是当比例尺为国家基本地形图比例尺 系列时，可直接判定为高斯－克吕格投影。其 原因是，这些比例尺和基本地形图比例尺相一 致，编图时，选用地形图的数学基础，既免去 了重新展绘数学基础的工序，而且能够保持很 高的点位精度。
第二章 地理空间数学基础(1)
以表示角度最大变形：
a b sin( ') ab
a b sin 2 ab
结论：当已知某点的主方向长度比时，即可求得该点的最大角度变形
2.2 空间数据投影
三、地图投影的变形
5. 面积比
若经纬线的方向与 主方向重合，则： P=m·n
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
几何投影（方位投影、圆柱投影、圆锥投影） 非几何投影（伪方位、伪圆柱、伪圆锥、多圆锥） 等角投影 等积投影 任意投影
2. 按投影变形性质的分类
2.2 空间数据投影
在地理学研究及地图学的小比例尺 制图中，通常将椭球体当成正球体看 ，采用地心经纬度。
2.1 地球空间参考
二．坐标系统
o
x
I 象限 P（x,y）
2.平面坐标系
平面直角坐标系：笛卡尔坐标系 便于计算 平面极坐标系：某些投影（如圆锥投影、方位投影）往 往用极坐标系表示地图上的点位。
P （ρ，α） ρ α o y
圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
2.2 空间数据投影
四、地图投影的分类
1. 按地图投影的构成方法分类
圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
sin( ') ab tan 将两式相除，得： cos cos ' a
sin( ') a b sin( ') a b
第二章 地理空间数学基础
2、投影的实质
建立地球椭球面上的点的地理坐标（L，B）与平面上对
应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：
x f1 ( L, B) y f 2 ( L, B)
地球椭球面 B,L x， y 地图平面
地图投影
二、地图投影的变形
1、投影变形的性质 观察地球体经纬线的
长度、面积和角度特征。
地图投影的变形具体表现： 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形
其优点：
①椭球体参数精度高； ②定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合得好； ③大地网精度高；
④坐标统一，精度优良，可以直接满足1:5000甚至更大
比例尺测图的需要。
三角测量
导 线 测 量
支导线
国家平面控制网
O
国家平面控制网含三角点、导线点 共154348个，构成1954北京坐标 系、1980西安坐标系两套系统。
3、我国常用的地图投影
①我国1：100万地形图采用兰勃特Lambert投影(正轴等
角割圆锥) ；
②我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等积 割圆锥投影)； ③我国基本比例尺地形图除1：100万外均采用高斯—克吕 格投影为地理基础；
用来代替大地体的椭球体称地球椭球体。
b a a
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b
椭球体三要素:长轴a(赤道半径)、短轴b(极半径)和椭球扁率f。
3、地球体的数学表面——地球椭球体
地球椭球体参数：
• 长半径： a（赤道半径）
b a
• 短半径： b（极半径）
• 扁率： f=(a-b)/a • 第一偏心率： e2=(a2- b2)/ a2 • 第二偏心率： e’2=(a2- b2)/ b2
第2章 地理空间数学基础
空间数据投影
• 面积变形与面积比
– 面积比—地面上微分面积投影后的大小dF’与其相应的 实地面积dF的比称为面积比 – P=dF′/dF – 面积变形指面积比与1的差值。用符号Vp表示，那么 – Vp=P-1
– Vp=0,投影后面积没有变形；Vp<0，投影后面积缩小； Vp>0，投影后面积增加
空间数据投影
球面坐标系统的建立
• 天文地理坐标系
λ
ψ
图2.4天文地理坐标系
球面坐标系统的建立
• 大地地理坐标
– 依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面 标示较大地域地理空间位置的参照系，简称大地坐标
– 点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示
球面坐标系统的建立
• 空间直角坐标系
– 参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角 坐标系O-XYZ – 坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合， X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ 平面正交 – 由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定 的参考椭球面与局部大地水准面最密合 – 由于参考椭球不是唯一的，因此参心空间直角坐标系 也不是唯一的
– 第三类是地球椭球面
• 大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个是一个规则的 数学曲面，因此选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为 地球椭球或参考椭球
地球形状与地球椭球
x y z 2 2 1 2 a a b
a为长半径，近似等于地球赤道半径；b为极轴半径， 近似等于南极（北极）到赤道面的距离。
1940
6378245
6356863
1:298.3
地球形状与地球椭球
• 在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大 地基准面将参考椭球体与大地体联系起来，在大地测量学 中称之为椭球定位 • 定位指依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体 的相关位置确定下来
第2章 地理空间数学基础
通常情况： 通常所说的高程是以平均海面为起算基准 面，所以高程也称为标高或者海拔高。 高程基准: 高程基准是推算国家统一高程控制网中所 有水准高程的起算依据，包括一个水准基 面和 一个永久性水准原点。 水准基面： 大地水准面，也是重力等位面，平均海 面。
相关概念： 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图所示， P0P0‘为大地水准面，地面点A和B到P0P0’的垂直距离 HA和HB为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面 的高程，称为相对高程。如图中，A、B两点至任一水准 面P1P1‘的垂直距离HA’和HB‘为A、B两点的相对高程。 地面点之间的高程差值，称为高差。
• 按坐标单位划分：
– 角度单位坐标系统
天文坐标系（大地体） 大地坐标系（参考椭球）
– 线性单位坐标系统
空间直角坐标系（参心、地心）
（1）天文地理坐标系 模型：大地体 坐标原点：地心（地球质量中心） 天文纬度：测站垂线方向与地球平均赤道 面的交角，以φ表示。 • 天文经度：首天文子午面与测站天文子午 面的夹角，以λ表示。 • • • •
实质：
建立地图平面上点的坐标（x, y）与地球椭球面上对应点的坐标 (,)之间的函数关系。准确表示地物的地理位臵。一般通式为：
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
• 对于较小区域范围，可以视地表为平面，认为投影没有变 形。 • 对于较大区域范围，由于地球椭球体表面是曲面，而地图 通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展 为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平 面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶 皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊 的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。那 么图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，因此投 影变形是不可避免的。
第二章 地球空间与空间数据基础
遥感图像及地图表示
五、地理信息的数字化表述
地理信息的数字化表述，就是使计算机能够识别 地理事物的形状。
Open GIS对地理空间的认识模型
九个抽象层次
尺度世界 （尺度语言）
项目世界 （project）
地理点列世界 （坐标几何）
地理空间世界 （GIS语言）
地理几何 特征世界
概念世界
现实世界
（自然语言） （基本语言）
地理要素 集合世界
地理要素 世界
GIS的三个抽象层次
现实世界 地理实体或者现象
概念世界
2
4
12 24
48
96 192
1
4
16 144 576 2304 9216 36864
1
4
36 144 576 2304 9216
第二节 地理空间坐标系与地图投影
地理空间坐标系的主要目的，是确定空间 实体在地理空间中的位置，最直接的方法是用 地理坐标（经度、纬度）和高程来表示。
地理坐标系——球面坐标系
地图投影
平面直角坐标系 （笛卡尔平面直角坐标系、欧几里德空间系）
一、在椭球面上表示点位置的坐标系统
（一）大地坐标系
大地坐标系是大地测 量中以参考椭球面为 基准面的坐标系。
根据不同的应用，域可以表示二维和三维地理 空间。
三、地图对地理空间的描述
地图上各种内容要素之间的关系，是按照 地图投影建立的数学规则，使地面上各点和地 图平面上的相应点保持一定的函数关系，从而 在地图上准确地表达地表空间各要素的关系和
05-GIS_P2地理空间数学基础345小节
2.3.1 空间坐标转换基本概念
不同来源的空间数据一般会存在地图投影与地理坐 标的差异，
为了获得一致的数据，必须进行空间坐标的转换。
空间坐标转换是把空间数据从一种空间参考系映射 到另一种空间参考系中。
空间坐标转换有时也称投影变换。投影变换是地图 制图的基础理论之一，主要用来解决换带计算、地图 转绘、图层叠加、数据集成等问题。
如何从不同视角、从宏观或中观或微观的尺度 来观察、认识自然现象、自然过程或社会经济事件，
获取有关数据、信息， 进而分析评价它们，
为规划决策、解决问题服务， 已成为人们认识自然、认识社会、改造自然，促进社会经
济进步和发展的重要论题。
所谓尺度，在概念上是指研究者选择观察（测）世界的窗口。
选择尺度时必须考虑观察现象或研究问题的具体情况。
①（B，L）84转换为（X，Y，Z）84(大地坐标到直角坐标的转换)； ②（X，Y，Z）84转换为（ X，Y，Z ）80（坐标基准的转换，即参
考椭球转换。该过程可以通过前节所叙述的7参数或简化3参数法实现）；
③ (X,Y,Z ) 80转换为(B,L) 80 (直角坐标到大地坐标的转换）； ④ (B,L) 80转换为(x,y)80 （投影，高斯一克吕格投影公式计算）。
2.3.3 投影解析转换
1. 相同地理坐标基准下的坐标变换 2. 不同地理坐标基准下的坐标变换
1.相同地理坐标基准下的坐标变换
如果参与转换的空间参考系的投影公式存在严密或近似的解 析关系式，就可以
建立两坐标系的解析关系式。 应用建立的解析关系式，直接计算出当前空间参考系
下的空间坐标(x,y,z)在另一种空间参考系中的坐标值（
实现两种投影坐标间的变换（x，y）→（X，Y）。
《地理空间数学基础》PPT课件
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
水准原点 1985国家高
程基准，
72.2604米
青岛市观象山上国家水准原点
国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标 系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。 目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041 个，水准路线长度为416619．1公里。
地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。
WGS-84坐标系——“World Geodetic System”(世界大地坐标系）是美 国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使 用，采用WGS-84椭球。
平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则
一 地理空间参考
（三）高程基准
而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、 半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求的不同，导致 在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例 尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定 位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影， 比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯— 克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概 括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对 降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即 可满足用图要求。
圆柱投影：投影面为圆柱 圆锥投影：投影面为圆锥 方位投影：投影面为平面
正轴投影投影面中心轴与地轴相互重
斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相
横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂
二 空间数据投影
（四）常用地图投影概述
1 高斯-克吕格投影 2 通用墨卡托投影（UTM-Universal Transverse
NEW第二章地理空间与空间数据基础1-2
三维矢量
三维矢量用于表达三维空间中的现象和物 体，是由一组或多组空间曲面所包围的空 间对象，它具有体积、长度、宽度、高度、 空间曲面的面积、空间曲面的周长等属性。
空间对象：体
• 有长、宽、高的目标 • 通常用来表示人工或自然的三维目标，如建筑、矿 体等三维目标
香港理工大学 校园建筑
栅格表达法
在地理空间数据中，元数据(Metadata) 是说明数据内容、质量、状况和其他有 关特征的背景信息,是描述数据的数据。
元数据的主要作用可以归纳为如下几个方面： 1）帮助数据生产单位有效地管理和维护空间数据、建立数据文档， 并保证即使其主要工作人员离退时，也不会失去对数据情况的了解； 2）提供有关数据生产单位数据存储、数据分类、数据内容、数据 质量、数据交换网络及数据销售等方面的信息，便于用户查询检索 地理空间数据； 3）帮助用户了解数据，以便就数据是否能满足其需求做出正确的 判断； 4）提供有关信息，以便用户处理和转换有用的数据。
TIN 结构表示的地形特征
2.2 GIS的空间数据
空间数据的来源、类型 空间数据的基本特征 空间数据的拓朴关系
来源：
（1）地图数据 （2）影像数据 （3）地形数据——来源于地形等高线图的 数字化，已建立的数字高程模型（DEM） 和其它实测的地形数据等 （4）属性数据——来源于各类调查报告、 实测数据、文献资料、解译信息等。 （5）元数据
大地体与大地水准面
水准面：重力位相同时，受重力作用的海水分子呈静 止状态而形成的重力等位面。 大地水准面：通过平均海水面的水准面即海水静止时 的水准面。是测绘工作的基准面。
大地体：静止海水面向陆地延伸形成的封闭曲面所包 围的地球实体。代表了地球的形状和大小 铅垂线：重力的作用线，是测量工作的基准线
第2讲 地理空间数学基础
2.4地图投影的分类
变形性质 地图投影 构成方法
等积投影 等角投影 任意投影
几何投影
方位投影 圆锥投影 圆柱投影 伪方位投影 伪圆锥投影 为圆柱投影 多圆锥投影
非几何投影
地图投影的分类（1）
按地图投影的构成方法分类 （1 ）几何投影 把椭球面上的经纬线网投影到几何面 上，然后将几何面展为平面而得到。
X N’
O
Y
S’
A高斯-克吕格投影——投影分带
高斯-克吕格投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了 控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差 （6°或3°）划分为若干相互不重叠的投影带，分别投影。
3º 9º 69º 75º 81º 87º 93º 99º 105º 111º 117º 123º 129º 135º
a) 按投影面的形状
– 圆锥投影 – 圆柱投影 – 方位投影
正 轴 方位 圆柱 圆锥
斜 轴
横 轴
b) 按投影面与地球自转轴间的方位关系
– 正轴投影 – 横轴投影 – 斜轴投影
c) 按投影面与地球的位置关系
– 相切投影 – 相割投影
（2）非几何投影
– – – – 可分为： 伪方位投影 伪圆柱投影 伪圆锥投影 多圆锥投影 ，根据某些条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性 不规则性、相对唯一性 标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
1.1地球椭球
大地水准面和大地体
水准面和大地水准面图
旋转椭球/地球椭球 • 参数：
– 长半径：a – 短半径：b – 扁率：f=(a-b)/a
第二章地理空间数学基础
S
我国常用的大地坐标系
大地坐标系 北京54坐标系 参考椭球 克拉索夫斯基椭球体 坐标原点 原苏联西部的普尔 科夫
西安80坐标系
WGS84坐标系
IUGG（16届）椭球体 陕西泾阳 1975 IUGG（17届）椭球体 地球质心 国家参考椭球（修改 半径）
本地坐标系
§2.1.3 高程系统
2.1.4 常用的地图投影
我国1:1万-1：50 万的地形图采用高 斯—克吕克投影 (Gauss-Krüger)
我国1：500——1： 5000的图，采用城 市平面局域投影 英美国家常用横轴 墨卡托投影（UTM）
一、高斯-克吕格平面直角坐标系
（1）. 高斯投影的概念 （2）. 高斯投影的分带和编号 （3）. 高斯平面直角坐标系 （4）. 高斯投影的关系式
2.1.4
GIS中的地理参照系
地球自然表面点位坐标系的确定包括两个方面的内容： 一是地面点在地球椭球体面上的投影位臵，采用地理坐 标系；二是地面点至大地 水准面上的垂直距离，采用高 程系。
一．地理参照系
1、基本概念：
高程（绝对高程、海拔） -----地面点到大地水 准面的铅垂距离。 假定（相对）高程----地面点到假定水准面 的铅垂距离。 高差-----两点间的高 程之差。
2.高程系统与高程基准
2、我国高程系统与高程基准
我国国家高程系统：黄海高程系 我国国家高程基准：1956年黄海高程系 1985年国家高程基准
移轴纵线
中央经线
赤道
500km
4、高斯投影的关系式
高斯-克吕格投影正解公式：
（B,L）→(X,Y)，原点纬度 0，中央经度L0
第二章地理空间数学基础
(一) 地球空间参考
法线与赤道面的交角， 叫做A点的纬度ψ 。 过A点的子午面与通过 英国格林尼治天文台 的子午面所夹的二面 角，叫做A点的经度λ 。
(一) 地球空间参考
天文坐标系（地心坐标系）
O是质心 OP为地球自转轴 KK’为垂线 G点为格林威治天文起始子午面
φ天文纬度 λ天文经度
PS：地表面并不是大地水准面，所以在大地测量学中将高程列入天文坐标中！
3
(一) 地球空间参考
1. 地球形状与地球椭球
1).地球的自然表面：
是一个起伏不平， 十分不规则的表面，包 括海洋底部，高山高原 在内的固体地球表面。 不适合于数学建模。
4
(一) 地球空间参考
2).大地水准面： 大地水准面：地球表面的72%
被流体状态的海水所覆盖，可以 假设当海水处于完全静止的平衡 状态时，从海平面延伸到所有大 陆下部，而与地球重力方向处处 正交的一个连续、闭合的水准面 ，这就是大地水准面。
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面：地球椭球几何定义
X 2 Y2 Z2 椭球方程： 2 2 2 1 a a b
O是椭球中心，ＮＳ为旋转轴， a 为长半轴，b 为短半轴
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球
面相截所得的椭圆。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
8
(一) 地球空间参考
4). 数学模型：
水准面：一个重力等位面。
大地体：大地水准面包围的形状
是一个水准椭圆。
5
(一) 地球空间参考
6
(一) 地球空间参考
3).地球椭球面： 地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学
07-GIS_P2地理空间数学基础2小节
经线长度处处相等。
返回章首
TIP 球面坐标系统的建立介绍这么多。 主要介绍: 投影的分类 我国常用的两种投影
End.
定义：地图投影就是指建立地球表面（或其他星球表面或天球 面）上的点与投影平面（即地图平面）上点之间的一一对应关系的 方法。即建立之间的数学转换公式。
它将作为一个不可展平的曲面投影到一个平面的基本方法，保 证了空间信息在区域上的联系与完整。这个投影过程将产生投影变 形，而且不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形。
相等；不同地点的局部比例尺，是随着经、纬度的变动而改变的。
(2)等(面)积投影，投影面上任何图形面积经主比例尺放大以后
与实地上相应图形面积保持不变。与等积投影相反，保持等积就
不能同时保持等角。
(3)任意投影。任意投影为既不等角也不等积的投影，其中还有
一类“等距（离）投影”，在标准经纬线上无长度变形，多用于 中小学教学图。
投影条件：
1）中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对 称轴。
2）等角投影。
3）中央经线上没有长度变形。
特点： 1) 中央经线上无变形； 2) 同一条纬线上，离中央线线越远，变形越大； 3) 同一条经线上，纬度越低，变形越大； 4) 等变形线为平行于中央经线的直线。
Guess-Krüger projection的最大变形在赤道边缘 处，为了控制变形，我国采用了6°和3°分带。
第2章 地理空间数学基础
GIS原理
第2章 地理空间数学基础
1. 地球空间参考 2. 空间数据投影 3. 空间坐标转换 4. 空间尺度 5. 地理格网
The End
球面点的位置用地理坐标（λ，φ）表示，而平面上点的位置 是直角坐标（χ，у）或极坐标（r，）表示，如要将地球表面上 的点转移到平面上，必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面 直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与 点之间函数关系的数学方法，就是地图投影（Map Projection ）方法。
2 第二章 地理空间数学基础
地球模型
2. 坐标系统
参心 空间直角坐标系
地心地固 空间直角坐标系
坐标参考系统—平面系统
直接建立在球体上的地理坐标
用经度和纬度表达地理对象位置
投 影
建立在平面上的直角坐标系统
用（x，y）表达地理对象位置
3. 高程基准
A
H´A
任意水准面 HA
大地水准面 铅垂线
hAB
H´B HB
黄海海面
1952-1979年平 均海水面为0米
比例尺的含义
– 制图区域较小，采用各方面变形都较小的地图投影，图上各处的比例是一致的，故 此时比例尺的含义是图上长度与相应地面长度的比例；
– 制图区域较大时，地图投影比较复杂，地图上长度因地点和方向的不同而有所变化， 这种地图比例尺一般是指在地图投影时，对地球半径缩小的比率， 称为主比例尺。 地图经过投影后，体现在图上只有个别点线没有长度变形，也就是说，只有在这些 长度没有变形的点或线上，才可用地图上注明的比例尺
Y’
Y
O
x=x’+ a
y=y’+ b
2）坐标系旋转
X
P x’sin θ x’cos θ
y’sin θ
Y
O
y’cos
x = θx’cosθ+ y’sin θ
y = y’cosθ- x’sin θ
3）坐标平移和旋转
X
X”
P O’ O
由坐标平移可知： x=x”+a
y=y”+b 由坐标旋转可知：
x”= x’cosθ+ y’sin θ
GIS中，地理数据的显示可根据用户的需要而指定投影方 式，但当所显示的地图与国家基本地图系列的比例尺一致时， 一般采用国家基本系列地图所用的投影。
第2章_地理空间数学基础
X2
其中 X 、 Y 、 Z 为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数， X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角度， m 为尺度变化参数。
z 、 y 、 z 分别表示绕
2015-1-19
31
3.投影解析转换
同一地理坐标基准下的坐标变换 如果参与转换空间参考系的投影公式， 1）存在精确解析关系式：直接进行坐标换算； 2）不存在精确解析关系式：采用间接变换，即先将一种投影的平面坐 标换算为球面大地坐标，然后再对球面大地坐标计算出另一种投影下的平 面坐标，从而实现两种投影坐标间的变换。
12
青岛观象山水准原点
中华人民共和国大地原点，是1980年国家大地 坐标系起算点。大地原点位于陕西省泾阳县永 乐店北洪流村。
深度基准是指海图图载水深及其相关要素的起算面。通常取当地平均海面
向下一定深度为这样的起算面，即深度基准面。
平均海面
L
深度基准面
Z
海底
2015-1-19
15
2.2 空间数据投影
2015-1-19
32
不同地理坐标基准下的坐标变换
主要包括： • 地理坐标基准的变换； • 坐标值的变换； 实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的
转换为例）： a.（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换； b.（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该
3.兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)
在双标准纬线下是“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球
面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开， 即为兰勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。
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第2章地理空间数学基础地理空间的数学基础是GIS空间位置数据定位、量算、转换和参与空间分析的基准。
所有空间数据必须纳入到相同空间参考基准下才可以进行空间分析。
地理空间的数学基础主要包括地球空间参考、空间数据投影及坐标转换、空间尺度及地理格网。
地球空间参考解决地球的空间定位与数学描述问题，空间数据投影及坐标转换主要解决如何把地球曲面信息展布到二维平面，空间尺度规定在多大的详尽程度研究空间信息，地理格网在于建立组织空间信息空间区域框架方法，实现空间数据的科学有效的管理。
掌握地理空间数学基础是正确应用GIS完成各种空间分析与应用的基础。
2.1地球空间参考2.1.1地球形状与地球椭球众所周知，地球是一个近似球体，其自然表面是一个极其复杂的不规则曲面。
为了深入研究地理空间，有必要建立地球表面的几何模型。
根据大地测量学的研究成果，地球表面几何模型可以分为四类，分述如下：图2.1 固体地球表面第一类是地球的自然表面，它是一个起伏不平，十分不规则的表面，包括海洋底部、高山高原在内的固体地球表面（图2.1）。
固体地球表面的形态，是多种成分的内、外地貌营力在漫长的地质时代综合作用的结果，非常复杂，难以用一个简洁的数学表达式描述出来，所以不适合于数字建模。
因此，在诸如长度、面积、体积等几何测量中都面临着十分复杂的困难。
第二类是相对抽象的面，即大地水准面。
地球表面的72％被流体状态的海水所覆盖，可以假设当海水处于完全静止的平衡状态时，从海平面延伸到所有大陆下部，而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面，这就是大地水准面。
水准面是一个重力等位面。
对于地球空间而言，存在无数个水准面，大地水准面是其中一个特殊的重力等位面，它在理论上与静止海平面重合。
大地水准面包围的形体是一个水准椭球，称为大地体。
尽管大地水准面比起实际的固体地球表面要平滑得多，但实际上由于地质条件等因素的影响，大地水准面存在局部的不规则起伏，并不是一个严格的数学曲面，在测量和GIS应用中仍然存在极大的困难。
第三类是地球椭球面。
总梯上讲，大地体非常接近旋转椭球，而后者的表面是一个是一个规则的数学曲面。
所以在大地测量以及GIS应用中，一般都选择一个旋转椭球作为地球理想的模型，称为地球椭球（参见图2.2）。
地球椭球简单的数学公式表达为式2.1。
在有关投影和坐标系统的叙述内容中，地球椭球有时也常被称为参考椭球。
图2.2 地球椭球体WENSOabλφAP(2.1)式中，为长半径，近似等于地球赤道半径；为极轴半径，近似等于南极（北极）到赤道面的距离。
地球椭球并不是一个任意的旋转椭球体。
只有与水准椭球一致起来的旋转椭球才能用作地球椭球。
地球椭球的确定涉及到非常复杂的大地测量学内容。
在经典大地测量学中，研究地球形状基本上采用的几何方法，提供的是几何参数（长半径a、短半径b、扁率α等）。
随着人造卫星发射成功之后，随着空间技术的发展，在现代大地测量学中，研究地球形状，不但考虑地球的几何形态，还顾及地球的物理特性，提供的地球椭球既有几何参数又有物理参数，并且所确定的地球形状参数的精度非常高。
地球椭球的确定是一个专业性很强的技术，世界上大多数国家都设有专门的研究机构，研究适合本国区域的地球椭球参数。
国际大地测量协会也设有专门委员会负责全球区域地球椭球参数的确定和协调工作。
不同的限制条件，不同的研究方法，得到的地球椭球不尽相同。
目前国际上使用的地球椭球种类繁多。
表2.1列出的是目前世界地图以及我国不同时期所采用的地球椭球及其几何参数。
表2.1 世界地图以及我国不同时期所采用的地球椭球及其几何参数椭球名称创立年代长半径a（m）短半径b（m）扁率αWGS-841984637813763567521:298.26 1975年国际椭球1975637814063567551:298.257（中国1980西安坐标系采用）海福特（Hayford）1910637838863569121：297（中国1953年以前采用）克拉索夫斯基（Красовбкий）1940637824563568631：298.3（中国1954年北京坐标系采用）有了参考椭球，在实际建立地理空间坐标系统的时候，还需要指定一个大地基准面将这个椭球体与大地体联系起来，在大地测量学中称之为椭球定位。
所谓的定位，就是依据一定的条件，将具有给定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来。
这里所指的一定条件，可以理解为两个方面：一是依据什么要求使大地水准面与椭球面符合；二是对轴向的规定。
参考椭球的短轴与地球旋转轴平行是参考椭球定位的最基本要求。
强调局部地区大地水准面与椭球面较好的定位，通常称为参考定位，如我国1980西安坐标系；强调全球大地水准面与椭球面符合较好的定位，通常称为绝对定位，如WGS 84坐标系。
椭球定位是一个复杂的专业工作，定位的好坏直接影响到国民经济的建设。
这也就是为什么一个国家或者国际大地测量组织，随着空间技术的发展以及观测资料的积累，每经过一段时期，会推出新的参考椭球参数，修正正在使用的地理空间坐标的具体定义。
第四类是数学模型，是在解决其它一些大地测量学问题时提出来的，如类地形面、准大地水准面、静态水平衡椭球体等。
2.1.2坐标系统1.坐标系统的分类及基本参数地理空间坐标系统提供了确定空间位置的参照基准。
一般情况，根据表达方式的不同，地理空间坐标系统通常分为球面坐标系统和平面坐标系统（图2.3）。
平面坐标系统也常被成为投影坐标系统。
球面坐标系统大地地理坐标地理空间坐标平面坐标系空间直角坐标系天文地理坐标高斯平面直角坐标系地方独立平面直角坐标系地心地固空间直角坐标系参心空间直角坐标系……图2.3 地理空间坐标分类表地理空间坐标系的建立必须依托于一定的地球表面几何模型。
如果是平面坐标系，还必须指定地面点位的地理坐标（B,L）与地图上相对应的平面直角坐标（X,Y）之间一一对应的函数关系。
换句话说，每一个地理空间坐标系都有一组与之对应的基本参数。
对于球面坐标系，主要包括一个地球椭球和一个大地基准面。
大地基准面规定了地球椭球与大地体的位置关系。
平面坐标系统是按照球面坐标与平面坐标之间的映射关系，把球面坐标转绘到平面。
因此，一个平面坐标系统，除了包含与之对应的球面坐标系的基本参数外，还必须指定一个投影规则，即球面坐标与平面坐标之间的映射关系。
不同国家和地区，不同时期，即便对于相同的地理空间坐标系（如大地坐标系），由于具体坐标系基本参数规定的不同，同一空间点的坐标值有所不同。
此时，如果要对其进行一些空间分析，则需要进行坐标变换的处理。
2.图2.4天文地理坐标系球面坐标系统建立在经典的大地测量中，常用地理坐标和空间直角坐标的概念描述地面点的位置。
根据建立坐标系统采用椭球的不同，地理坐标又分为天文地理坐标和大地地理坐标。
前者是以大地体为依据，后者是以地球椭球为依据。
空间直角坐标分为参心空间直角坐标系和地心空间直角坐标系，前者以参考椭球中心为坐标原点，后者以地球质心为坐标原点。
（1）天文地理坐标天文地理坐标（图2.4）以地心（地球质量中心）为坐标原点，Z轴与地球平自转轴重合，ZOX是天文首子午面，以格林尼治平均天文台定义。
OY轴与OX、OZ轴组成右手坐标系，XOY为地球平均赤道面。
地面垂线方向是不规则的，它们不一定指向地心，也不一定同地轴相交。
包括测站垂线并与地球平自转轴平行的平面叫天文子午面。
天文纬度为测站垂线方向与地球平均赤道面的交角，常以表示，赤道面以北为正，以南为负。
天文经度为首天文子午面与测站天文子午面的夹角，常以表示，首子午面以东为正，以西为负。
需要说明，由于地表面并不是大地水准面，所以在大地测量学中也将高程列入天文坐标中。
（2）图2.5 大地地理坐标系大地地理坐标大地地理坐标系是依托地球椭球用定义原点和轴系以及相应基本参考面标示较大地域地理空间位置的参照系。
大地地理坐标也简称大地坐标。
一点在大地坐标系中的位置以大地纬度与大地经度表示，如图2.5所示。
WAE为椭球赤道面，NAS为大地首子午面，P D为地面任一点，P为P D在椭球上的投影，则地面点P D对椭球的法线P D PK与赤道面的交角为大地纬度，常以B表示。
从赤道面起算，向北为正，向南为负。
大地首子午面与P点的大地子午面间的二面角为大地经度，常以L表示。
以大地首子午面起算，向东为正，向西为负。
（3）空间直角坐标系图2.6 参心空间直角坐标系ZYXNSO赤道面参心空间直角坐标系是在参考椭球上建立的三维直角坐标系O-XYZ（图2.6）。
坐标系的原点位于椭球的中心，Z轴与椭球的短轴重合，X轴位于起始大地子午面与赤道面的交线上，Y轴与XZ平面正交，O-XYZ构成右手坐标系。
在建立参心坐标时，由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求所确定的参考椭球面与局部大地水准面最密合。
由于参考椭球不是唯一的，所以，参心空间直角坐标系也不是唯一的。
地心地固空间直角坐标系的定义是：原点O与地球质心重合，Z铀指向地球北极，X轴指向格林尼治平均子午面与地球赤道的交点，Y轴垂直于XOZ平面构成右手坐标系。
地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，地极点在地球表面上的位置是随时间而变化的。
因此，在具体建立时，根据选取的实际地极的的不同，地心地固空间直角坐标系的实际定义也不相同。
3.平面坐标系（1）高斯平面直角坐标系图2.7 高斯-克吕格坐标表为了便于地形图的量测作业，在高斯－克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统。
具体构成是：规定以中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点。
同时规定，x值在北半球为正，南半球为负；y值在中央经线以东为正，中央经线以西为负。
由于我国疆域均在北半球，x值皆为正值。
为了在计算中方便，避免y值出现负值，还规定各投影带的坐标纵轴均西移500km，中央经线上原横坐标值由0变为500km在整个投影带内y值就不会出现负值了。
由于用高斯－克吕格投影每个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系，则位于两个不同投影带的地图点会出现具有相同的高斯平面直角坐标，而实际上描述的却不是一个地理空间。
为了避免这一情况和区别不同点的地理位置，高斯平面直角坐标系规定在横坐标Y值前标以投影带的编号。
如图2.7所示，A、B两点原来的横坐标分别为：= 238765.2m= -148572.3m纵坐标轴西移500km后，其横坐标分别为：= 738765.2m= 351427.7m加上带号，如A、B两点位于第19带，其通用坐标为：= 19 738765.2m= 19 351427.7m实际应用中，一般得到的是通用坐标，要获得其实际坐标需要先去掉该点通用坐标前面的高斯坐标分带号，再将其横坐标东移500km，恢复其本来坐标位置。
（2）地方独立平面直角坐标系由于国家坐标中每个高斯投影带都是按一定间隔划分，其中央子午线不可能刚好落在城市和工程建设地区的中央，从而使高斯投影长度产生变形。