高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k

k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的

值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k

-，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例2、函数f （x ）=

x

x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +

)(2

1

21*1

N n n ∈-+. 证明：由f (n )=

n

n 414+=1-

11

11422

n n

>-+⋅ 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n

2

2112

2112

2112

1

⋅-

++⋅-

+⋅-Λ

)(21

2

1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例3、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ求证：2)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2

1

2)21()1(2+=+<+n n n n

∴ 2

1

2)1(+<+

∴ 2

)

12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n

本题利用21

2

n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的

数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例4、求证：2222111171234

n ++++

<=---Q

2222211111111151171()().1232231424

n n n n ∴

++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

例5.求证：)(66

5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.

解析:先构造函数有

x x x x x 1

1ln 1ln -

≤⇒

-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 2

2ln n n n n +++--<++++ΛΛ 因为⎪

⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 3112121

9181716151413121313

121ΛΛΛ

6533323279189936365111n

n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ

所以66

53651333ln 44ln 33ln 2

2ln +-=--<++++n n n n n n Λ 6、裂项放缩

例6 求证:35

1

1

2

<

∑=n

k k

.

解析:因为⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+--=-=

-

<121121

2144

4

1112

22

n n n n n ,所以353211211215

1

31211

1

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k Λ 7、均值不等式放缩

例

7.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证

.2

)1(2)1(2

+<<+n S n n n

解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k

Λ=+=

2121)1(+=++<

+

21

(1

1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.

2)1(22)1(2)1(2

+<++<<+n n n n S n n n

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

2

b

a a

b +≤

，若放成

1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2

1

+>

++=+<∑=n n n k S n

k n ，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n

a a n

a a a a a a n n

n

n n n

2

211111

1++≤++≤

≤++ΛΛΛΛ

其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,121

0+=+≥n C C n n n ,

22

22210

++=

++≥n n C C C n

n

n

n

)2)(1(2≥->n n n n