初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题

监利县第一初级中学刘光杰

折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．

BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD

则∠CBD = 90°

折叠前后的对应角相等

2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．

沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1

2AA’，

又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24

对称轴垂直平分对应点的连线

3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．

由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △

A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’

B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值

根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可

4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）

根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°

注意折叠前后角的对应关系

5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3

∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD

设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x

在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2

∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 25

4

所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754

cm

2

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．

∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称

∴∠2 = ∠3 = 64°

3

21

F E D C B A

1

G D‘F

C‘D

A

G

A'

C

A B D

∴∠4 = 180°- 2 ×64°= 52°

∵AD∥BC

∴∠1 = ∠4 = 52°

∠2 = ∠5

又∵∠2 = ∠3

∴∠3 = ∠5

∴GE = GF

∴△EFG是等腰三角形

对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF

7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠BCB′的大小；

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 1

2，利用特

殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；

（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．

理清在每一个折叠过程中的变与不变

8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为

四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则

①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长

折叠前后对应边相等

9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B