人教版 初二数学 竞赛专题：配方法(包含答案)
配方法含答案
配方法含答案配方法1、方程6x2=18的根是__________；已知2（x－3）2=72，则x 的值是__________.2、若方程x2－6x＋5=0可化为（x＋m）2=k的形式，则m=__________，k=__________．3、一元二次方程x2－2x－3=0的根是__________．1、；9或－32、－3；43、x1=3，x2=－14、用配方法解方程x2－4x＋2=0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2=2 B．（x－2）2=6 C．（x－2）2=－2 D．（x －2）2=－6 5、不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（）A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数6、将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确结果是（）A．（x＋3）2＋2 B．（x＋3）2－2 C．（x－3）2＋2 D．（x－3）2－2 7、用配方法解下列方程：（1）（2）5x2－18=9x7、（1）解：（2）解：8、用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于108、证明：2x2－8x＋18=2（x2－4x）＋18=2（x－2）2＋18－8=2（x－2）2＋10．不论x为何实数，（x－2）2≥0，∴2（x－2）2＋10≥10．即无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10．9、已知a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，试求的值9、∵a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，∴a2－2008a＋1=0, a2－2007a=a-1, a2＋1=2008a且∴．10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？10、解：设这次会议到会的人数是x人.则x2－x=132∴，∴x1=12，x2=－11<0（舍去）故这次会议到会的人数是12人．公式法1、下列方程有实数根的是（）A．2x2＋x＋1=0 B．x2－x－1=0 C．x2－6x＋10=0 D．x2－＋1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>1 B．k≥－1 C．k＜1 D．k＞1且k≠0答案：1、B 2、A例2、用公式法解下列方程．（1）2x2－9x＋8=0解：b2－4ac=17（2）9x2＋6x＋1=0解：b2－4ac=0，x1=x2=．（3）（x－2）（3x－5）=1解：3x2－11x＋9=0b2－4ac=13故例3、解方程：.有一位同学解答如下：这里，∴，∴∴x1=，x2=．请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.解：有错误，错在常数，而c应为，正确为：原方程可化为：∵∴∴∴例4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？解：若 2m＋1≠0,即m≠,则=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>且m≠时，原方程有两个不相等的实数根．（2）当4m＋3=0即m=时，原方程有两个相等实数根．（3）当4m＋3<0即m<时，没有实数根．例5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．解：（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．（2）由题意得：，解得且k≠0．故：综合（1）（2）得k的取值范围为．例6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a －7=0必有两个不相等的实数根．证明：∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0．故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．因式分解法1、方程x2－4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________．3、方程x（x＋1）=3（x＋1）的解是（）A．x=－1 B．x=3 C．x1=－1，x2=3 D．以上答案都不对4、解方程（x＋2）2=3（2＋x）最适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法 C．公式法D．因式分解法5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2＋3x－2=0 B．x2－3x＋2=0 C．x2－2x＋3=0 D．x2＋3x＋2=06、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4=0有一个实数根是x=0，则a的值为（）A．1或－4 B．1C．－4 D．－1或47、用因式分解法解下列方程：（1）（x＋3）2=2x＋6（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）9（x－2）2=4（x＋1）2（4）（2x－1）2－x2－4x－4=08、用适当的方法解下列方程：（1）x2－8x－9=0（2）（x＋3）（x－3）=（3）x（40－2x）=180（4）x2＋（）x＋=08、（1）解：（x＋1）（x－9）=0x1=－1, x2=9（2）解：∴,（3）解：x2－20x=－90 x2－20x＋102=－90 ＋102（x－10）2=10∴x－10=∴，（4）解：（x＋）（ x＋）=0∴x1=－，x2=－9、若x2＋xy＋y=14 ①，y2＋xy＋x=28 ②，求x＋y的值9、解：由①＋②得：（x2＋y2）＋2xy＋（x＋y）=42 （x＋y）2＋（x＋y）－42=0 （x＋y＋7）（x＋y－6）=0 ∴x＋y=－7或x＋y=6．10、关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根解：由已知得：解得m=2，∴x=，∴x1=，x2=故m的值为2，该方程的根为x1=，x2=1.。
最全最新初中数学竞赛——配方法
初中数学竞赛专题讲解配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；3.[]222222)()()(21a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 一、基础过关：1.因式分解：44x +=________________________________________2.=_______________________________3.代数式222a a +-的最小值为多少？4.求方程222450x y x y ++-+=的解,x y5.已知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为多少？6.若12123y z x +--==，则222x y z ++的最小值为多少? 二、例题讲解例1.因式分解：222241a b a ab b -+-+练习1：在ABC ∆中，,,a b c 为ABC ∆的三条边，且满足444222212a b c a c b c ++=+，试判断ABC ∆的形状练习2：因式分解 ①4224x x y y ++ ； ②222669x xy y x y -+-++； ③42221x x ax a +--+例2.化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.练习2：（1）化简： （2练习3：如果a =45x <<时，求a 的值练习4：若152a b c +-=-，则a b c ++的值为多少？例3.求下列代数式的最大或最小值：①22101x x ++； ②2112x x -+-练习1：已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为练习2：设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是多少？练习3：若,,a b c 满足2229a b c ++=，代数式()()()222a b b c c a -+-+-的最大值是 多少？练习4：正实数,,x y z 满足10xy yz +=，则22254x y z ++的最小值为多少练习5：已知实数,,x y z 满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩求222x y z ++的最小值例4.解下列方程：①422210x x xy y -+++=； ②222624100x xy x y y +++++=练习1：已知24,40a b ab c -=++=，则a b c ++的值为多少？练习2：已知,,,a b c d 都为正数，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===练习3：已知实数,,x y z 满足25,9x y z xy y +==+-，求23x y z ++的值练习4：已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且满足222222222,,111a b c b c a a b c ===+++，试求ABC ∆的面积练习5：已知,x y 为实数，且22422y x xy y ++≤+，求x y +的值练习6：已知0a b >>，且226a b ab +=，则a b a b+-的值为多少？例5：求方程22410160x y x y +-++=的整数解练习1：已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
初中数学竞赛指导-第二讲-配方法
第二讲 配方法一、 方法与技巧1、配方法：把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。
2、配方法的作用：配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之一。
配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。
3、配方法的用途：①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。
4、常用的配方法：①直接配方；②分拆、填补、重组配方。
二、题型题型一 用配方法求值1、已知251,251+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、32、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）A 、-8B 、-7C 、-6D 、-54、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）A 、33B 、34C 、35D 、-35 题型二 用配方法解方程1、若062322322323=-+++++-b ab a ba b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。
题型三 用配方法求最值1、已知1214522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。
人教版初中数学《一元二次方程解法之配方法题型汇总》专题突破含答案解析
专题01 一元二次方程解法之配方法题型汇总一、单选题1．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级开学考试）用配方法解一元二次方程2241x x -=，配方后的结果是（ ） A ．23(1)2x -= B ．2(21)0x -=C ．()2211x -=D ．()2322x +=【答案】A 【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】 解：∵2x 2-4x =1，∵2122x x -=, 则212112x x -+=+，即23(1)2x -=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2020·珠海市九洲中学）用配方法解方程2220x x +-=，原方程应变形为（ ） A ．()213x += B ．()2-13x =C ．()211x +=D ．()2-11x =【答案】A 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方． 【详解】 解：由原方程，得 x 2+2x =2， x 2+2x +1=2+1， （x +1）2=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（2021·安徽八年级期末）利用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应先将其变形为（）A．（x+13）2＝109B．（x﹣13）2＝109C．（x﹣13）2＝89D．（x+13）2＝89【答案】B【分析】移项，配方，再变形即可得出选项．【详解】解：x2﹣23x﹣1＝0，移项，得x2﹣23x＝1，配方，得x2﹣23x+（13）2＝1+（13）2，即（x﹣13）2＝109，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，特别注意配方时是若二次项系数为1时方程两边直接同时加上一次项系数一半的平方，若二次项的系数不为1，应先把二次项系数化为1．4．（2021·江苏南通田家炳中学八年级期末）将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝﹣3C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3【答案】D【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：x2-6x+6=0，x2-6x+9-3=0，（x-3）2=3，故选：D ． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．5．（2021·全国九年级课时练习）利用配方法解方程242203x x --=时，应先将其变形为（ ） A ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可. 【详解】原方程可化为：22103x x --=配方得：211103992x x -+--=即211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.6．（2021·广西八年级期中）如果用配方法解方程2250x x --=，则配方后方程可化为（ ） A ．2(1)6x -= B ．2(1)6x +=C ．2(1)5x -=D ．2(1)5x +=【答案】A 【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式． 【详解】解：x 2﹣2x ﹣5＝0， x 2﹣2x ＝5， x 2﹣2x +1＝5+1，（x ﹣1）2＝6． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．（2021·全国九年级课时练习）若1x =-是关于x 的一元二次方程2220x kx k -+=的一个根，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 【分析】把x =-1代入已知方程可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，进而可得答案． 【详解】解：∵方程2220x kx k -+=的一根为-1， ∵2120k k ++=，解得121k k ==-，当k =﹣1时，原方程为2210x x -+=，有实数根x =-1． 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．（2021·浙江八年级期末）用配方法解方程2x 2﹣4x ﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x +m ）2＝n （n ≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝5 B ．（x ﹣1）2＝32C ．（x ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2＝114【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可． 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1＝0， ∵2x 2﹣4x ＝1， ∵x 2﹣2x ＝12， 则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，故选：B ． 【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可．9．（2021·浙江八年级期中）已知实数,x y 满足()()22222248x y x y +-+=，且2xy =，则下列结论正确的是（ ）．A ．228x y +=或226x y +=-B ．2x y -=C ．23x y +=D ．23x y +=±【答案】D 【分析】根据()()22222248x y x y +-+=，利用完全平方公式把式子变形，然后进行判断即可.【详解】解：∵()()22222248x y x y +-+=∵()()222222149x y x y +-++=()222149xy -=+∵2217x y -=±+∵228x y +=或226x y +=-（舍去） ∵228x y +=，2xy = ∵()222212x y x y xy =+=++ ∵23x y +=±∵()22224x y x y xy =-+-= ∵2x y -=± 故选D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于会利用完全平方公式进行变形判断求解. 10．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（ ） A ．M N > B ．M N < C ．M N D ．不能确定【答案】B 【分析】利用作差法比较即可． 【详解】 根据题意，得237255N M t t t -=--+＝2222(1)1t t t -+=-+， ∵2(1)0t -≥ ∵2(1)110t -+≥＞ ∵M N <， 故选B ． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．11．（2021·四川凉山·）已知x 是方程2220x x +-=的根，那么代数式253222x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭的值是（ ） A ．31- B ．31+ C ．31-或31-+ D ．31-或31--【答案】D 【分析】先解方程2220x x +-=，得出31x =±-，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x 即可 【详解】解：由题意知，222x x +=，解得31x =()()22225322254(2)23(3)(3)(2)2332(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫∴--÷⎪--⎝⎭-+-=⨯--+--=⨯--=-+=-++=-+ 当31x =±-时，原式(231)=-±- ∵原式31=-或31--． 故选D ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键12．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为()21100x -= B ．2890x x +-=化为2(4)25x += C ．2240t t --=化为2781()416t -=D ．23420x x --=化为2210()39x -=【答案】C 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可． 【详解】解：A 、由原方程，得x 2-2x =99，等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得 （x -1）2=100；故本选项正确，不符合题意； B 、由原方程，得x 2+8x =9，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 2(+4)25m =；故本选项正确，不符合题意；C 、由原方程，得 2122t t -=，等式的两边同时加上一次项系数12-的一半的平方116 ，得2133()416t -=；故本选项错误，符合题意； D 、由原方程，得 3x 2-4x =2，化二次项系数为1，得24233x x -= 等式的两边同时加上一次项系数-43的一半的平方49，得2210()39x -=；故本选项正确，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·北京八年级期中）方程x 2﹣2x ﹣5＝0配方后可化为___． 【答案】（x -1）2=6 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】 解：∵x 2-2x -5=0， ∵x 2-2x +1=6， ∵（x -1）2=6， 故答案为：（x -1）2=6．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 14．（2021·浙江八年级期中）用配方法解方程2610x x -+=，则方程可配方为__________． 【答案】（x -3）2=8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵x 2-6x +1=0， ∵x 2-6x =-1，则x 2-6x +9=-1+9，即（x -3）2=8， 故答案为：（x -3）2=8． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2020·江苏九年级月考）设A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，则A 与B 的大小关系是A_____B （填“＞，＝，＜”之一） 【答案】＜ 【分析】通过作差法和配方法比较A 与B 的大小． 【详解】解：∵A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，∵B ﹣A ＝a 2﹣a+5﹣a ﹣3＝a 2﹣2a+2＝（a ﹣1）2+1 ∵（a ﹣1）2≥0． ∵（a ﹣1）2+1＞0． ∵B ＞A ，即A ＜B ． 故答案是：＜． 【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2． 16．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知24410xx -+=，则2x=___．【分析】利用直接开方法即可得． 【详解】24410x x -+=，即22(1)0x-=， 直接开方法得：210x-=， 解得21=x， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解方程，将2x作为一个整体，看成未知数是解题关键．17．（2021·安庆市第四中学九年级二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________． 【答案】9 【分析】根据条件变形为222=-b a a ，将4a +b 2转化为()239a --+即可． 【详解】解:∵a 2+b 2﹣2a ＝0， ∵222=-b a a ，∵4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+，∵当3a =时，4a +b 2的最大值为9． 故答案为9． 【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负性性质是解题关键． 18．（2021·全国九年级专题练习）当x =_________时，代数式22x x --有最大值，其最大值为_________． 【答案】1- 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式22x x --通过配方变形为2(1)1x -++，即可得出答案． 【详解】解：22222(2)(211)(1)1x x x x x x x --=-+=-++-=-++，1x ∴=-时，代数式22x x --有最大值，其最大值为1；故答案为：1-，1． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．19．（2021·全国九年级专题练习）若2310a a -+=，则221+=a a ________． 【答案】7 【分析】 将221a a+配方为完全平方公式，再通分，然后将2310a a -+=变形为213a a +=，再代入完全平方公式求值； 【详解】解：222222211112222a a a a a a a a ⎫⎛+⎫⎫⎛⎛+=++-=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭①； 又2310a a -+=，于是213a a +=②，将②代入①得，原式232927a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 故答案为：7．【点睛】此题将配方法和代数式求值结合起来，同时需要利用整体思想简化计算；20．（2021·全国九年级专题练习）将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．【答案】-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-8x -5=0，∵x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x -4）2=21，∵a=-4，b=21，故答案为：-4，21． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2020·浙江七年级期中）当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15 【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∵当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22．（2021·江阴市华士实验中学七年级期中）已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值． 【详解】 解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∵()()()2223110a b c -+++-=，∵a=3,b=-1,c=1，∵a+b+c=3-1+1=3，故答案为3． 【点睛】 本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 三、解答题23．（2021·四川八年级期中）解下列方程．（1）21221x x =+； （2）3123x x x +=+-． 【答案】（1）1226,26,x x =+=-（2）12x =-【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母得：()2221x x =+，去括号得：242x x =+，242x x ∴-=2446,x x ∴-+=()226,x ∴-=26,26,x x ∴-=-=- 解得：1226,26,x x =+=-检验：1226,26x x =+=-都是原方程的根，∵分式方程的解是1226,26x x =+=-．（2）去分母得：()()()()33223x x x x x -++=+-，整理得：223366x x x x x -++=--，解得：12x =-，检验：把12x =-代入得：()()()2310151500x x +-=-⨯-=≠，∵12x =-是分式方程的解． 【点睛】 本题考查了，分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．24．（2020·浙江杭州·七年级期中）用配方法求2361x x --+的最大值．【答案】4 【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可． 【详解】解：2361x x --+=()2321x x -++=()232111x x -++-+=()2314x -++∵()2310x -+≤，∵()23441x +-+≤，∵2361x x --+的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2021·山东八年级期中）试用配方的方法说明：代数式2610x x -+的值恒大于0．【答案】见解析 【分析】 将代数式用配方法配方，利用平方的非负性即可证明．【详解】解：()22261069910=31x x x x x -+=-+-+-+．无论x 取何值，总有()230x -≥，()2310x ∴-+>．即代数式2610x x -+的值恒大于0． 【点睛】 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．26．（2021·黑龙江九年级期末）（1）用配方法解方程： x 2＋4x ﹣3＝0（2）先化简，再求值：22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 2＋2x ﹣8＝0 【答案】（1）1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）﹣222x x+，14- 【分析】（1）依题意，用配方法解方程即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由方程变形求出x 2＋2x 的值，代入计算即可求出值．【详解】（1）x 2＋4x ﹣3＝0，2447x x ++=，2(2)7x +=，27x +=±，∴1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ 42(2)2(2)(2)(4)x x x x x x ---=⨯+-- 2(2)x x =-+ 222x x=-+， x 2＋2x ﹣8＝0，228x x ∴+=，∴原式2184=-=-． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．27．（2021·福建三明市·八年级期中）阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-=，2(4)0n -=．4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的周长；（2）已知6a b -=，216730ab c c +-+=，求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =-，然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+=，进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=，∵22102512360a a b b -++-+=，∵()()22560a b -+-=，∵50,60a b -=-=，∵5,6a b ==，∵等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，∵当5a =为腰，则6b =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+5+6=16； 当6b =为腰，则5a =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=，∵6b a =-，∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=，226916640a a c c -++-+=，()()22380a c -+-=，∵30,80a c -=-=，∵3,8a c ==，∵363b =-=-，∵8a b c ++=． 【点睛】 本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．28．（2021·全国）已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-． （1）求x 的值；（2）若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S ∆．【答案】（1）0x =；（2）25ABC S ∆=【分析】 （1）6a b =-代入29x ab =-，根据非负数之和为0，求得x 的值； （2）由（1）的结论结合已知三角形的周长求得第三边c 的值，再根据勾股定理求得三角形的高，进而求得面积．【详解】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥，∵ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∵ 1064c =-=，ABC∴是等腰三角形过点C作AB边上的高CD则AD BD=2222325 CD AC AD=-=-=∴11452522ABCS AB AD=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了配方法的应用，将6a b=-代入29x ab=-凑出完全平方公式是解题的关键．29．（2021·山东八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)；像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题（1）分解因式：a2-8a+15．（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2-14a-8b+65=0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．【答案】（1）(a-3)(a-5)；（2）∵ABC的周长最小值是16．【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；【详解】解：（1）a2-8a+15=(a2-8a+16)-1=(a-4)2-1=(a-3)(a-5)；（2）∵a2+b2-14a-8b+65=0，∵(a 2-14a +49)+(b 2-8b +16)=0(a -7)2+(b -4)2=0，a -7=0，b -4=0，解得：a =7，b =4，∵∵ABC 的三边长是a ，b ，c ，∵3<c <11又∵c 边的长为奇数∵c =5，7，9当a =7，b =4，c =5时，∵ABC 的周长最小，最小值是：7+4+5=16． 【点睛】本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．30．（2021·浙江七年级期末）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，△()220x +≥，△()2211x ++≥．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1.△245x x ++的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出()213x -+的最小值为__________．（2）求代数式21032x x ++的最小值．（3）若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．【答案】（1）3；（2）7；（3）2 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（3）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解：（1）()213x -+，当1x =时，2(1)3x -+有最小值，是3，故答案是：3.（2）()22222103210553257x x x x x ++=++-+=++．∵()250x +≥，∵()2577x ++≥．当()250x +=时，()257x ++的值最小，最小值是7.∵21032x x ++的最小值是7.（3）∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++．∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+．∵()230x -≥，∵()2322x -+≥．当()230x -=时，()232x -+的值最小，最小值是2.∵x y +的最小值是2. 【点睛】 本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．。
初中配方法例题
初中配方法例题1. 问题描述一场足球比赛中，某队共派出了18名队员参赛，其中有5名前锋、7名中场和6名后卫。
现在需要从这18名队员中按照一定的规则进行配方法。
规则如下：•每场比赛的首发球员需包含3名前锋、4名中场和3名后卫。
•每名球员必须参加比赛，且不可重复参赛。
•每名球员在比赛中只能扮演自己的位置。
请问一共有多少种不同的配方法？2. 解题思路我们可以使用组合数学的方法来解决这个问题。
由于每个位置都有固定的人数限制，我们可以按照如下步骤进行计算：1.计算选取前锋的不同方式。
2.计算选取中场的不同方式。
3.计算选取后卫的不同方式。
4.将前面三步的结果相乘，即可得到总的配方法数。
3. 解题步骤3.1 计算选取前锋的不同方式由于选取的前锋人数为3人，而总共有5名前锋可供选择，因此我们需要从5名前锋中选取3人。
这种选择方式可以使用组合数来计算，即C(5,3)。
根据组合数的计算公式 $C(n, k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$，可以得到 $C(5, 3) = \\frac{5!}{3!(5-3)!} = \\frac{5!}{3!2!} = \\frac{5 \\times 4}{2 \\times 1} = 10$。
因此，选取前锋的不同方式有10种。
3.2 计算选取中场的不同方式类似地，我们需要从7名中场球员中选取4人，即C(7,4)。
根据组合数的计算公式，可以得到 $C(7, 4) = \\frac{7!}{4!(7-4)!} =\\frac{7!}{4!3!} = \\frac{7 \\times 6 \\times 5}{3 \\times 2 \\times 1} = 35$。
因此，选取中场的不同方式有35种。
3.3 计算选取后卫的不同方式同样地，我们需要从6名后卫球员中选取3人，即C(6,3)。
根据组合数的计算公式，可以得到 $C(6, 3) = \\frac{6!}{3!(6-3)!} =\\frac{6!}{3!3!} = \\frac{6 \\times 5 \\times 4}{3 \\times 2 \\times 1} = 20$。
《配方法》习题精选及参考答案
《配方法》习题精选及参考答案一、填空题1.方程x2=16的根是x1=__________,x2=__________.2.若x2=225，则x1=__________,x2=__________.3.若x2－2x=0，则x1=__________,x2=__________.4.若(x－2)2=0，则x1=__________,x2=__________.5.若9x2－25=0，则x1=__________,x2=__________.6.若－2x2+8=0，则x1=__________,x2=__________.7.若x2+4=0，则此方程解的情况是____________.8.若2x2－7=0，则此方程的解的情况是__________.9.若5x2=0，则方程解为____________.10.由7，8，9三题总结方程ax2+c=0(a≠0)的解的情况是：当ac＞0时__________________；当ac=0时__________________；当ac＜0时__________________.二、选择题1.方程5x2+75=0的根是A.5B.－5C.±5D.无实根2.方程3x2－1=0的解是A.x=±B.x=±3C.x=±D.x=±3.方程4x2－0.3=0的解是A. B.C. D.4.方程=0的解是A.x=B.x=±C.x=±D.x=±5.已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是A.c=0B.c=0或a、c异号C.c=0或a、c同号D.c是a的整数倍6.关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是A.有两个解x=±B.当n≥0时，有两个解x=±－mC.当n≥0时，有两个解x=±D.当n≤0时，方程无实根7.方程(x－2)2=(2x+3)2的根是A.x1=－,x2=－5B.x1=－5,x2=－5C.x1=,x2=5D.x1=5,x2=－5三、解方程1.x2=02.3x2=33.2x2=64.x2+2x=05. (2x+1)2=36.(x+1)2－144=0参考答案一、1.4 －42.15 －153.0 24.2 25.6.2 －27.无实数根8.x1=,x2=－9.x1=x2=010.方程无实根方程有两个相等实根为x1=x2=0 方程有两个不等的实根二、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A三、解：1.x2=0,x=0,∴x1=x2=02.3x2=3x2=1,x=±1,∴x1=1,x2=－13.2x2=6,x2=3,x=±∴x1=,x2=－4.x2+2x=0x(x+2)=0x=0或x+2=0x=0或x=－2∴x1=0,x2=－25.(2x+1)2=3(2x+1)2=62x+1=±∴2x+1=或2x+1=－∴x=(－1)或x=(－－1)∴x1=(－1),x2=(－－1) 6.(x+1)2－144=0(x+1)2=144x+1=±12∴x+1=12或x+1=－12∴x=11或x=－13∴x1=11,x2=－13.。
因式分解—配方法和拆添项法参考答案
因式分解的配方法和拆添项法参考答案知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。
配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________893=+-x x .（拆项法）答案：()()812-+-x x x解析：原式()()()()()=---+=---=+--=181********x x x x x x x x x x ()()812-+-x x x 提示：本题的关键是将x 9-拆为x -和x 8-.2、分解因式：_______________12224=-+++a ax x x .（添项法）答案：()()1122++--++a x x a x x解析：原式()()=--+=-+-++=22222241212a x x a ax x x x ()()1122++--++a x x a x x 提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
3、分解因式：____________________15=++x x .（添项法）答案：()()11232+-++x x x x解析：原式()()()()()111111222232225+++++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x x x x x x ()()11232+-++=x x x x 提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234=++++b ab b a b a a . 答案：()222ab b a ++解析：原式()()=+++++=22334224222b a ab b a b b a a ()()()=++++22222ab b a ab b a ()222ab b a ++ 提示：本题的关键是将通过拆项223b a ，构造完全平方公式。
配方法习题答案
配方法习题答案配方法习题答案在学习过程中，做习题是非常重要的一环。
通过做习题，我们可以巩固所学的知识，发现自己的不足之处，并通过查看答案来纠正错误。
今天，我们就来讨论一下配方法习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
首先，我们来看一道简单的配方法习题：1. 将下列方程配方法解之：(1) $x^2 - 5x + 6 = 0$(2) $2x^2 + 7x + 3 = 0$对于这两道题，我们可以采用配方法来解。
首先，我们需要将方程化为标准形式，即 $ax^2 + bx + c = 0$。
对于第一道题，已经是标准形式，所以直接进行配方法。
对于第二道题，我们需要将系数进行调整，得到 $2x^2 + 7x + 3 = 0$。
接下来，我们来解第一道题。
根据配方法的步骤，我们需要找到一个数 $m$，使得 $m^2 - 5m + 6 = 0$。
通过观察，我们可以发现 $m = 2$ 是一个解。
所以，我们可以将方程进行分解，得到 $(x - 2)(x - 3) = 0$。
根据零乘法则，我们可以得到 $x - 2 = 0$ 或者 $x - 3 = 0$。
解方程，我们可以得到 $x = 2$ 或者 $x =3$。
接下来，我们来解第二道题。
根据配方法的步骤，我们需要找到一个数 $m$，使得 $2m^2 + 7m + 3 = 0$。
通过观察，我们可以发现 $m = -1$ 是一个解。
所以，我们可以将方程进行分解，得到 $(2x + 1)(x + 3) = 0$。
根据零乘法则，我们可以得到 $2x + 1 = 0$ 或者 $x + 3 = 0$。
解方程，我们可以得到 $x = -\frac{1}{2}$ 或者 $x = -3$。
通过以上的解题过程，我们可以得出第一道题的答案为 $x = 2$ 或者 $x = 3$，第二道题的答案为 $x = -\frac{1}{2}$ 或者 $x = -3$。
接下来，我们来看一道稍微复杂一点的配方法习题：2. 将下列方程配方法解之：$3x^2 - 4x - 4 = 0$对于这道题，我们同样需要将方程化为标准形式，即 $ax^2 + bx + c = 0$。
八年级人教版数学上配方法的应用详细解析
配方法的应用一．选择题（共2小题）1．已知4x2+9y2+m是完全平方式，则m等于（）A．±6xy B．±12xy C．18xy D．36xy2．已知P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，则代数式P，Q的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q二．填空题（共1小题）3．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=．三．解答题（共11小题）4．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC的形状，并说明理由．5．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8；x2+12x﹣13．6．对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，求x y的值．7．阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．8．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a+4）②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+ ．（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，则x+y+z的值为．10．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．11．求证：（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．12．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a2±2ab+b2=（a±b）2．根据阅读材料解决下面问题：（1）m2+4m+4=（）2（2）无论n取何值，9n2﹣6n+10（填“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“=”）（3）已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m2+4n2+4=12mn+4m，若该三角形的第三边k的长是奇数，求k的长．13．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2+（2﹣4）x，或x2﹣4x+2=（x+）2﹣（4+2）x；③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2．根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）若x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值；（3）若关于x的代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，求m的值；（4）用配方法证明：无论x取什么实数时，总有x2+4x+5≥1恒成立．14．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．配方法的应用参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知4x2+9y2+m是完全平方式，则m等于（）A．±6xy B．±12xy C．18xy D．36xy【分析】这里首末两项是2x和3y的平方，那么中间项为加上或减去2x和3y的乘积的2倍．【解答】解：∵4x2+9y2+m是完全平方式，∴m=±2×3y•2x，解得m=±12xy，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．2．已知P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，则代数式P，Q的大小关系是（）A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q【分析】将P与Q代入P﹣Q中，配方后利用非负数的性质即可比较大小．【解答】解：∵P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，∴P﹣Q=（2x2+4y+13）﹣（x2﹣y2+6x﹣1）=2x2+4y+13﹣x2+y2﹣6x+1=x2﹣6x+9+y2+4y+4+1=（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1＞0，则P＞Q．故选：C．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二．填空题（共1小题）3．若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=﹣1或7．【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m﹣3）=±8，进而求出答案．【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m﹣3）=±8，解得：m=﹣1或7，故答案为：﹣1或7．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．三．解答题（共11小题）4．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC的形状，并说明理由．【分析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出a，b，c的关系，进而得出答案．【解答】解：△ABC是等边三角形，理由：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a=b=c，∴△ABC的形状是等边三角形．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．5．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8；x2+12x﹣13．【分析】根据题目中的例子可以对所求式子进行因式分解，本题得以解决．【解答】解：a2﹣6a+8=（a2﹣6a+9）﹣9+8=（a﹣3）2﹣1=（a﹣3+1）（a﹣3﹣1）=（a﹣2）（a﹣4）；x2+12x﹣13=（x2+12x+36）﹣36﹣13=（x+6）2﹣49=（x+6+7）（x+6﹣7）=（x+13）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是会用公式法和十字相乘法对式子进行因式分解．6．对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+8；（2）若x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，求x y的值．【分析】（1）前两项加9再减9，可以组成完全平方式；（2）分组利用完全平方公式因式分解，进一步利用非负数的性质求得x、y，代入求得答案即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8=a2﹣6a+9﹣9+8=（a﹣3）2﹣1=（a﹣2）（a﹣4）．（2）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1=0，∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1=0，（x﹣y）2+（y﹣1）2=0，∵（x﹣y）2，≥0，（y﹣1）2≥0，∴x﹣y=0，y﹣1=0，x=y=1，∴x y=1．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．7．阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣8a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣（8a2+a2）=（x+a）2﹣9a2=（x+a+3a）（x+a﹣3a）=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．问题解决：请用上述方法将二次三项式x2+2ax﹣3a2分解因式．拓展应用：二次三项式x2﹣4x+5有最小值或是最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．【分析】（1）将式子x2+2ax﹣3a2，添项a2，再减去a2，重新分组后，利用平方差公式分解因式；（2）将式子x2﹣4x+5配方，可以将5拆成4+1，得（x﹣2）2+1，根据完全平方的非负性得最小值．【解答】解：（1）x2+2ax﹣3a2，=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2，=x2+2ax+a2﹣3a2﹣a2，=（x+a）2﹣4a2，=（x+a）2﹣（2a）2，=（x+a+2a）（x+a﹣2a），=（x+3a）（x﹣a）；（2）有最小值，x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴最小值为1．【点评】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．8．代数式（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）+1是一个完全平方式吗？请说明你的理由．【分析】原式第一项1、4结合，2、3项结合，利用多项式乘以多项式法则计算，将a2+5a看做一个整体，利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：原式=（a+1）（a+4）（a+2）（a+3）+1=（a2+5a+4）（a2+5a+6）+1=（a2+5a）2+10（a2+5a）+25=（a2+5a+5）2．则代数式是完全平方式．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a+4）②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+ ．（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，则x+y+z的值为4．【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（2）将3y2化成4y2﹣y2，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；（3）提取系数后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用平方≥0可知M的最小值；（4）拆项后配成三个完全平方式，利用平方≥0可知：要想使已知式成立则存在，求出x、y、z的值并相加即可．【解答】解：（1）x2﹣x+=，故答案为：；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x ﹣y）（x﹣3y）；（3）M=x2+2x﹣1，M=（x2+8x+16﹣16）﹣1=（x+4）2﹣5，∵（x+4）2≥0，∴当x=﹣4时，M有最小值为﹣5；（4）x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1+z2﹣4z+4=0，（x﹣y）2+（y﹣1）2+（z﹣2）2=0，∵x﹣y≥0，y﹣1≥0，z﹣2≥0，∴，∴x=1，y=1，z=2，∴x+y+z=1+1+2=4，故答案为：4．【点评】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．10．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式；（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，=a2﹣6a+9﹣1，=（a﹣3）2﹣1，=（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），=（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，=（a+b）2﹣2ab，=52﹣2×6，=13；（2分）a4+b4=（a2+b2）2﹣2a2b2，=132﹣2×62，=97；（2分）（3）∵x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1≥1＞0（2分）﹣x2+4x﹣4，=﹣（x2﹣4x+4），=﹣（x﹣2）2≤0（2分）∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（1分）（若用”作差法”相应给分）【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式．11．求证：（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．【分析】原式第一项变形后，结合计算，再利用完全平方公式化简即可得证．【解答】证明：原式=（2x﹣3）（2x+1）（x+1）（x﹣1）+1=[（2x﹣3）（x+1）][（2x+1）（x﹣1）]+1=（2x2﹣x﹣3）（2x2﹣x﹣1）+1=（2x2﹣x）2﹣4（2x2﹣x）+4=（2x2﹣x﹣2）2，则（2x﹣3）（2x+1）（x2﹣1）+1是一个完全平方式．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a2±2ab+b2=（a±b）2．根据阅读材料解决下面问题：（1）m2+4m+4=（m+2）2（2）无论n取何值，9n2﹣6n+1≥0（填“＜”，“＞”，“≤”，“≥”或“=”）（3）已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m2+4n2+4=12mn+4m，若该三角形的第三边k的长是奇数，求k的长．【分析】（1）根据完全平方式得出结论；（2）9n2﹣6n+1=（3n﹣1）2≥0；（3）将已知等式配方后，利用非负性得结论：，求出m和n的值，再根据三角形的三边关系得出k的值．【解答】解：（1）原式=（m+2）2；故答案为：m+2；（2）9n2﹣6n+1=（3n﹣1）2≥0；∴无论n取何值，9n2﹣6n+1≥0，故答案为：≥；（3）10m2+4n2+4=12mn+4m，已知等式整理得：9m2﹣12mn+4n2+m2﹣4m+4=0，（3m﹣2n）2+（m﹣2）2=0，，∴，∵m，n是△ABC的两条边，∴3﹣2＜k＜3+2，1＜k＜5，∵第三边k的长是奇数，∴k=3．【点评】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法和熟练掌握完全平方公式是关键．另外，注意分组的技巧和方法．13．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2+（2﹣4）x，或x2﹣4x+2=（x+）2﹣（4+2）x；③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2．根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）若x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值；（3）若关于x的代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，求m的值；（4）用配方法证明：无论x取什么实数时，总有x2+4x+5≥1恒成立．【分析】（1）可选取二次项和一次项配方或选取二次项和常数项配方；（2）利用配方法得到（x+y）2+3（y﹣1）2=0，再根据非负数的性质得x+y=0，y﹣1=0，然后解出x、y，即可得到xy的值；（3）由于代数式9x2﹣（m+6）x+m﹣2是完全平方式，则9x2﹣（m+6）x+m﹣2=0有等根，所以（m+6）2﹣4×9×（m﹣2）=0，然后解关于m的一元二次方程；（4）配方得到x2+4x+5=（x+2）2+1，然后根据非负数的性质进行证明．【解答】（1）解：①选取二次项和一次项配方：x2﹣8x+4=（x﹣4）2﹣12；②选取二次项和常数项配方：x2﹣8x+4=（x﹣2）2﹣4x；（2）解：∵x2+y2+xy﹣3y+3=0，∴（x+y）2+3（y﹣1）2=0，∴x+y=0，y﹣1=0，∴x=﹣1，y=2，∴xy=﹣2；（3）解：根据题意得（m+6）2﹣4×9×（m﹣2）=0，解得m=6或m=18；（4）证明：x2+4x+5=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+5≥1．【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值；配方法的综合应用．14．试说明不论x，y取何值，代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【分析】此题考查了配方法求最值，此题可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式．【解答】解：将原式配方得，（x﹣2）2+（y+3）2+2，∵它的值总不小于2；∴代数式x2+y2+6x﹣4y+15的值总是正数．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方．。
数学素材：初中数学竞赛专题最大、最小值（可编辑）
数学素材：初中数学竞赛专题最大、最小值最大、最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0，∴若a 0时，当x=－时， y 最小值=；若a 0时，当x=－时， y 最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x 在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.若a 0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；若a 0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a 0, b 0, a+b=k . (k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a 0, b 0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b.那么y=a+, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)； y ≥2.∴ y最小值=2.解方程组得a=b=.∴当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, ∵y是实数，∴y2≥0.即≥0，6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－( x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即∴a和b是方程x2－kx+k=0 的两个实数根.∵a, b都是正实数，∴△≥0.即(－)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0 . k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.∵△AHG∽△ABC，∴ .∴ y=.∴当x=时，y 最大值 =.即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4. 如图已知：直线m ‖n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC 上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x.∵m‖n，∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x) Sinα=aSinα(=aSinα(2x+.∵2x ×=2b2 (定值)，根据定理二，2x +有最小值.∴当2x =， x=时，S△PAB+S△PCD的最小值是(－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=ab ∴ab ＝2S△.∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r.∴a+b－2r= .两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1, ab=2S△代入，得 4+4S△－4(a+b) =0. a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a, b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即 [[]－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0 .解得S△≥3+2或S△≤3－2. S△≤3－2不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图△ABC中，AB=，∠C=30. 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y－a.根据余弦定理，得()2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a 的二次方程：(2+)a2－(2+)ya+y2－(8+4)=0.∵a 是实数，∴△≥0.即(2+)2y2－4(2+)[[]y2－(8+4)]≥0，y2－(8+4)2 ≤0 .∴－(8+4)≤y ≤(8+4).∴a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+2. ………三、练习1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为[_][_][_][_]，[_][_][_][_]时，其面积最大，最大面积是[_][_][_][_][_][_].3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].5. 若x 0, 则x+的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].6.如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8. 下列四个数中最大的是 ( )tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48.9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是[_][_][_][_][_][_][_][_][_][_]10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11. △ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13. △ABC中∠B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k) (0 k 1). 问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S△=×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大.8. (A).9. 3 AD≤910. P在AB中点时，S△最大值=，S△=x与－x的和有定值，当x=－x时，S△值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理，当150－α=90时，AD最大.12. 当x=时，有最大值；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14. 内切圆半径的最大值r=(－1) (仿例6).当 k=时，S△DEF=S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值.16. 当点P是BC中点时，面积最大值是.。
初中数学配方法习题及答案
初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。
配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。
一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。
它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。
通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。
首先，将方程两边移项，使其等于零。
然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。
最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。
然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。
2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。
例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。
首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。
然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。
三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。
例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。
例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。
配方法计算题及答案
配方法计算题及答案首先，让我们来了解一下配方法的基本原理。
配方法，顾名思义，就是通过合理的配对，将一个复杂的表达式分解成两个简单的部分，从而便于进行进一步的计算和求解。
在代数方程的求解中，配方法通常用于解决一些二次方程或者高次方程。
通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
接下来，让我们通过一些具体的例题来演示配方法的应用。
假设我们需要解决如下的二次方程，x^2 + 5x + 6 = 0。
首先，我们可以使用配方法来进行求解。
我们可以将x^2 + 5x + 6分解为(x+2)(x+3)，然后再分别对(x+2)和(x+3)进行求解，得到x=-2和x=-3。
因此，原方程的解为x=-2和x=-3。
除了解决二次方程外，配方法还可以用于解决一些其他类型的代数方程。
例如，对于一些高次方程，我们可以通过合理的配对和分解，将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
此外，配方法还可以用于解决一些不完全平方的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将不完全平方化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
在实际应用中，配方法经常用于解决一些实际问题。
例如，通过配方法可以求解一些与面积、体积、速度等相关的问题，通过合理的配对和分解，我们可以将原问题化简为一些简单的代数方程，从而更容易进行求解。
因此，配方法在数学中具有非常重要的应用价值。
综上所述，配方法是一种常见的数学计算方法，它主要用于解决一些复杂的代数方程。
通过合理的配对和分解，我们可以将原方程化简为一些简单的因式，从而更容易进行求解。
在实际应用中，配方法经常用于解决一些与面积、体积、速度等相关的问题。
因此，掌握配方法对于提高数学解题能力具有非常重要的意义。
希望本文能够帮助大家更好地理解配方法的原理和应用，提高数学解题能力。
配方法(答案)
2.2 配方法（一）A 卷答案 1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a2.(1)1,4 (2)0.2,0.46 (3) 17,33- (4) 149,424-3.c4.BB 卷答案： 5.(1) 1227,27x x =-+=-- (2) 3172x -±= (3) 226x ±=(4) 62x =±+6.(1)原式=2318042x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ (2)原式= 2112022y ⎛⎫---< ⎪⎝⎭ 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒8.∵a+b+c=322,∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92, ∴ab+bc+ac=32∴a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac,∴ 12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0, ∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形配方法（二）【基础练习】一、1. 16，4； 94 , 32 ； 2. 34 , 916 ； 3. x 1 = 1, x 2 = -5； 4. x = 351±. 二、1. D ； 2. C ； 3. B. 三、1.（1）6, -12； （2）233±； 2. （1）-1, 5； （2）- m +22n m +, - m -22n m +.【综合练习】提示：把多项式a 2b 2 +b 2 -6ab -4b +14进行配方.配方法（三）【基础练习】一、1. - 16 , - 3518 ； 2. 1±22； 3. - 52 , 3； 4. m m 2411+±. 二、1.C ； 2. C. 三、1. （1）221±，（2）3，27 ； 2. 2304±-. 【综合练习】提示：证明二次项系数k 2 -6k +12≠0.【探究练习】a 3 - 2a 2 - 4a = 0.配方法（四）练习【基础练习】一、1. (x -5)2 = 36； 2. 26，27； 3. 12,15. 二、1. C ； 2. D. 三、1.5米. 2. a = 28米, b = 14米.【综合练习】（1）当a <15时，问题无解；当15≤a<20时，长为15米，宽为10米；当a ≥20时，长为15米，宽为10米或长为20米，宽为7.5米；（2）a 对问题的解起着限制作用；a 的长度至少要有20配方法（五）一、1.①9 ②2 ③4 2 2.①x 1=3，x 2=1 ②x 1=1，x 2=5 ③x 1=－1，x 2=3 3.x 2－6x =6 9 x 2－6x +9=15 (x －3)2=15 3+15 3－15 4.21 5.34 cm 6.3 7.2 二、8.D 9.A 10.C三、11.15元 12.16 cm 12 cm 13.x 1=40 x 2=24 14.1或5配方法（六）一、1.4 －42.15 －153.0 24.2 25.35 35 6.2 －27.无实数根8.x 1=214,x 2=－214 9.x 1=x 2=010.方程无实根 方程有两个相等实根为x 1=x 2=0 方程有两个不等的实根二、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A三、解：1.x 2=0,x =0,∴x 1=x 2=02.3x 2=3x 2=1,x =±1,∴x 1=1,x 2=－13.2x 2=6,x 2=3,x =±3∴x 1=3,x 2=－34.x 2+2x =0 x (x +2)=0x =0或x +2=0 x =0或x =－2 ∴x 1=0,x 2=－2 5.21(2x +1)2=3 (2x +1)2=6 2x +1=±6 ∴2x +1=6或2x +1=－6∴x =21(6－1)或x =21(－6－1) ∴x 1=21(6－1),x 2=21(－6－1) 6.(x +1)2－144=0 (x +1)2=144 x +1=±12∴x +1=12或x +1=－12 ∴x =11或x =－13 ∴x 1=11,x 2=－13.。
专题6 巧用配方法求值（含答案）
专题6 巧用配方法求值知识解读将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一.应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧.掌握以下基本等式：（1）()2222a ab b a b ±+=±；（2）()2222222a b c ab bc ac a b c +++++=++；（3）()()()22222212a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦； （4）222424b ac b ax bx c a x a a -⎛⎫++=++⎪⎝⎭（5）当0a >时，()2a a =，()22a b a bab +=+-.培优学案典例示范例1已知实数x ，y 满足2330x x y ++-=，求x y +的最大值.【提示】将y 用含x 的代数式表示，再代入x y +，得到关于x 的二次三项式，运用配方法求最大值【解答】跟踪训练若实数a ，b 满足2310b b a -++=，求满足条件的a 的最大整数值。
【提示】将a 用含b 的式子表示，然后配方求解。
【解答】例2已知112015a x =-，122015b x =+，132015c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的值.【提示】将222a b c ab bc ca ++---配方成()()()22212a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦. 【解答】跟踪训练1.已知2210x y xy x y +++-+=，求22x y -的值.【提示】已知等式具有2220a b c ab bc ca ++++-=的特点，自然想到配方。
配方法测试题附答案新人教版
配方法测试题（附答案新人教版）自我小测复习巩固1．方程x2－256＝0的根是()A．16B．－16C．16或－16D．14或－142．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，得方程的根为() A．x＝3＋B．x1＝3＋，x2＝3－C．x＝3－D．x1＝3＋，x2＝3－3．以下的配方运算中，不正确的是()A．x2＋8x＋9＝0，化为(x＋4)2＝25B．2t2－7t－4＝0，化为C．x2－2x－99＝0，化为(x－1)2＝100D．3x2－4x－2＝0，化为4．若将方程x2－6x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值分别是()新*课*标*第*一*网A．3和5B．－3和5C．－3和14D．3和145．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是() A．3B．－3C．±3D．6．用适当的数填空．(1)x2＋3x＋__________＝(x＋__________)2；(2)16x2－8x＋__________＝(4x－__________)2；(3)a2－4ab＋__________＝(a－__________)2.7．方程(2x－1)2－25＝0的解为__________．8．当x＝__________时，代数式x2－8x＋12的值是－4. 9．用配方法解方程6x2－x－12＝0.10．用配方法解方程x(x＋8)＝16.能力提升11．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是()A．24B．24或C．48D．12．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为() A．±12B．－11或－12C．13D．13或－1113．当x取任意值时，代数式x2－4x＋9的最小值为() A．0B．9C．5D．414．在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2－b，按照这个规则，(x＋3)※25的结果刚好为0，则x的值为__________．15．若(x2＋y2－5)2＝4，则x2＋y2＝__________. 16．用配方法解方程(x－1)2－2(x－1)＋＝0.17．阅读理解：解方程4x2－6x－3＝0.解：4x2－6x－3＝0，配方，得4x2－6x＋－－3＝0，即4x2－6x＋9＝12.故(2x－3)2＝12.即，以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．参考答案复习巩固1．C因为x2－256＝0，所以x2＝256.故x1＝16，x2＝－16，应选C.2．B因为(x－3)2＝8，所以x－3＝.故x1＝3＋，x2＝3－.3．A由x2＋8x＋9＝0，配方可得(x＋4)2＝7.4．C将x2－6x－5＝0配方，得(x－3)2＝14，对应(x＋m)2＝n，可得出m＝－3，n＝14.故选C.5．C原式＝x2＋6x＋9－9＋a2＝(x＋3)2＋(a2－9)，由其是一个完全平方式知a2－9＝0，得a＝±3.6．(1)(2)11(3)4b22b7．3或－2因为(2x－1)2－25＝0，所以(2x－1)2＝25. 所以2x－1＝±5.所以x1＝3，x2＝－2.8．4因为据题意可得x2－8x＋12＝－4，所以x2－8x＋16＝0.所以(x－4)2＝0.所以x＝4. 9．解：原式两边都除以6，移项得x2－＝2.配方，得，即因此或，所以，.10．解：原方程可化为x2＋8x＝16，配方，得x2＋8x＋42＝16＋42，即(x＋4)2＝32，所以x＋4＝.所以，.能力提升11．B解方程x2－16x＋60＝0，得x1＝10，x2＝6.根据三角形的三边关系，知x1＝10，x2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8,10时，构成的是直角三角形，其面积为×6×8＝24；当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为，此时三角形的面积为.故选B.12．D因为4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，即k－1＝±12.所以k＝13或k＝－11.13．Cx2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5.因为(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值为5，即x2－4x＋9的最小值为5.14．2或－8由规则可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8.xkb1.15．7或3由题意可知x2＋y2－5＝，即x2＋y2＝5±2，所以x2＋y2＝7或x2＋y2＝3.16．解：设x－1＝y，则原方程可化为y2－2y＋＝0. 解得.因此x－1＝，即.故x1＝2＋，x2＝2－.17．解：错在没有把二次项系数化为1.正解：原式可化为，配方，得，即，，得，.。
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人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.能力训练1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1 BC、 D、8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx0 50 100540990 单价（元）答案例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1 +8×11⋯11 ⏟n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++=()222102231684x y x y y -++++ =()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，0 50 100单价（元）∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练1.4+ 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8时，(22222=01+ab a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况：⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k=12-，此方程无整数解，舍去.⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。