人教版 初二数学 竞赛专题：配方法(包含答案)

人教版 初二数学 竞赛专题：配方法

（含答案）

【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2

5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2

2

2

9a b c ++= ，则代数式2

2

2

()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )

A 、27

B 、18

C 、15

D 、12

【例3】 已知1

52

a b c +-=-， 求a + b + c 的值.

【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.

【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．

【例6】 已知自然数n 使得2

1991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.

能力训练

1=_________.

2、已知2

2

2

2()30a b c a b c ++-+++= ，则3

3

3

3_________a b c abc ++-=.

3、x ，y 为实数，且2

2

422

y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.

4、当x ＞2，得___________.

5、已知2

2

4121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若2

2

2

2

1076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )

A 、负数

B 、正数

C 、非负数

D 、可正可负

7的值为 ( )

A 、1 B

C

、 D

、

8、设a ，b , c 为实数，2

222,2,23

6

2

x a b y b c z c a π

π

π

=-+

=-+

=-+

，则x ，y ，z 中

至少有一个值 ( )

A 、大于零

B 、等于零

C 、不大于零

D 、小于零

9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )

A 、2333n n -+

B 、2444n n ++

C 、2

555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2

111111n n -+

10、已知实数a ，b ， c 满足2

2

2

27,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：

设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.

(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++

11、解方程组2222

22212121z x z x y x y z y

⎧=⎪+⎪

⎪

=⎨+⎪⎪=⎪+⎩

12、能使2256n

+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？

13、已知b a >，且()()243a

a b a ab b b

+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.

13、设a 为质数，b 为正整数，且2

9(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.

14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.

(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；

(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

间数（个）

y

x

0 50 100

540

990 单价（元）

答案

例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.

例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).

例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+

12

(c −3−6√c −3+9)=0

即(√a −1−1)2

+(√b −2−2)2

+12

(√c −3−3)2

=0

例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+1

88⋯88⏟ n+1

+1=44⋯44 ⏟ n+1

00⋯00⏟ n+1

+88⋯88⏟ n+1

+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+1

10n+1 +8×

11⋯11 ⏟

n+1

+1=4

()2

2111111

11119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.

设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L

=

()()

()()()3333431212

2

2

x x y y x y x y ⨯--+----+

+

=()222102231684x y x y y -++++ =()2

21021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭

=()2210212631631648y x y +⎛

⎫-+-+≥ ⎪⎝

⎭

又当x=27，y=6时，=316S 最小值.

故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.

例6 若2

n 19n 91-+为完全平方数，则()

24n 19n 91-+也是完全平方数.

设()

224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()2

22n 193=m -+，

0 50 100

单价（元）