向量加减混合运算-高中数学知识点讲解(含答案)

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高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1，所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12，又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0，所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗，得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗，所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6，所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。

10高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析

高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的加减运算与坐标表示是向量运算的基础，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。

本文将详细解析“平面向量加减运算与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、平面向量的加减运算1.向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。

设有两个向量a和b，则它们的和a + b可以表示为第三个向量，这个向量从a的起点指向b的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以a和b为邻边作平行四边形，则a + b是与a、b共起点的平行四边形的对角线。

1.向量减法：向量的减法可以看作是加上一个反向的向量。

设有两个向量a和b，则它们的差a - b可以表示为第三个向量，这个向量从b的终点指向a的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以b为起点、a为终点的向量即为a - b。

三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以将向量的起点放在坐标原点，用向量的终点坐标来表示这个向量。

设向量a的终点坐标为(x, y)，则我们可以将向量a表示为坐标形式(x, y)。

这种表示方法称为向量的坐标表示法。

四、平面向量加减运算的坐标表示1.向量加法的坐标表示：设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的和a + b可以表示为坐标形式(x1 + x2, y1 + y2)。

即向量的加法在坐标表示下就是对应坐标分量的加法。

1.向量减法的坐标表示：同样地，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的差a - b可以表示为坐标形式(x1 - x2, y1 - y2)。

即向量的减法在坐标表示下就是对应坐标分量的减法。

五、应用举例1.力的合成与分解：在物理学中，力是矢量，可以用向量来表示。

通过向量的加减运算可以方便地求解多个力的合成或分解问题。

例如求解两个力的合力时可以将这两个力表示为向量然后利用向量的加法运算求得合力的大小和方向。

(整理)高一数学向量的加减法

［教材优化全析］1.向量的加法（1）引入①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：+BC =AC . A B C②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB +BC =AC .③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC +BC =AC . A BC上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则求“和”.（2）向量的加法的定义已知向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫做向量a 、b 的和.记作a +b ，即a +b =+BC =AC .求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a ，有a +0=0+a =a .（3）两个向量的和向量的作法如图（1）、（2）、（3）中，=a ，BC =b ，则+BC =AC.(1)(2)(3)A C①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”. 1°三角形法则对于两个向量共线时也适用. 2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则. 3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的全析提示向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完全一致.思维拓展两个向量的和仍是一个向量，这如同两个力的合力仍是力（向量）一样.全析提示向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.思维拓展向量是既有大小又有方向的量，向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量.起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.AB O课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a 的起点移至b的终点可求和向量.②平行四边形法则由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则.不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.当向量a、b反向时，若|a|＞|b|,则a+b的方向与a同向，且|a+b|=|a|－|b|.若|a|＜|b|,则a+b的方向与a反向，且|a+b|=|b|－|a|.（4）向量的运算律①交换律：a+b=b+a.证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b,则BC=b,DC=a.全析提示不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.要点提炼在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.全析提示当向量a、b不共线时，|a|、|b|及|a+b|构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；当向量a、b共线时，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直线上的线段相加减.要点提炼向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.因为=+=a+b,=+=b+a，所以a+b=b+a.当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|，b+a与a同向，且|b+a|=|b|+|a|，所以a+b=b+a；若a与b反向，不妨设|a|＞|b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|－|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|－|b|,所以a+b=b+a.综上所述，a+b=b+a.②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了.例如化简：（+）+=（+）+=+=.又如化简：CM+（BC+）=（CM+）+BC=CB+BC=0,也可写成CM+（MB+BC）=CM+MC=0.2.向量的减法（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作：－a.①规定：零向量的相反向量仍是零向量.②a与－a互为相反向量，即－（－a）=a.③任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.又如：与互为相反向量，+=0.④如果a、b互为相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.（2）向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b=a+（－b）.求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a－b.（3）a－b的作法由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.所以a－b就是这样一个向量，它与b的和等于a.①已知a、b,怎样求作a－b?解法一：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b,则=a －b,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.思维拓展当向量a与b共线时，求a与b 的和，不管是b以a的终点为起点，还是a以b的终点为起点，它们的和都是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，从图象上看都是相等的.要点提炼由于向量可用表示它的有向线段的起点和终点的字母来表示，根据向量加法的三角形法则，可把首尾相连的向量先结合在一起相加.全析提示向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.全析提示两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形知识求得.全析提示由于向量是以OB的终点为起点的向量，所以根据向量加法的三角形法则有=+,即a+（aA解法二：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则=a －b ，即a －b 也可以表示为从向量a 的起点指向向量b 的起点的向量.解法三：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =－b ,则由向量加法的平行四边形法则可得 OC =a +（－b ）=a －b .②如下图,若a 与b 共线时，怎样作a －b ?(1)(2)在平面内任取一点O，作=a ,=b .则为所求的向量a －b .(1)(2)B一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.平行四边形ABCD 中，若设=a ，=b ，则两条对角线都可以用a 与b 表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.如课本103页例4.AC =a +b ,DB =a －b .变式训练一：当a 、b b 垂直？－b ）=b .显然减法是加法的逆运算.思维拓展向量a －b =a +（－b ），即向量的减法可用向量加法的三角形法则或平行四边形法则来表示，是化生为熟，化未知为已知的化归思想的具体应用.要点提炼若向量a 、b 是共线向量，则a ±b 与a 、b 仍是共线向量.全析提示从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.变式训练二：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a－b|?变式训练三：a+b与a－b可能是相等向量吗？变式训练四：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？答案：一、|a|=|b|,即ABCD为菱形，对角线互相垂直.二、|a+b|=|a－b|，即ABCD 的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.三、a+b与a－b 不可能相等，因为ABCD的方向不同.四、当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.全析提示以平行四边形为起点，借助平面几何图形的性质解答上述问题.。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12；所以BDAB =√5−12，设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①，由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②，由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°．由正弦定理可知csinC =bsinB ，所以csin75°=2√3sin60°，故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗．在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确；在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确；在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误；在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误．故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确；对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确；对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误；对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误；由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误；因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32，由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ，在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3，所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2 向量的减法运算向量的加法运算同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2向量的减法运算向量的加法运算同步精练【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则考点二向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.考点四：向量的减法向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b不共线，求作向量a b ．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +（3）OA FE +．题型二：向量加法的运算律4．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．ACC ．ADD ．AB5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA BC AB DO +++等于（）A ．CDB ．DC C ．DAD ．DO6．（2021·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量()()AB PB BO BM OP ++++化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM题型三：向量加法法则的几何应用7．（2021·全国·高一课时练习）如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0++=BD CF DFC ．0++=AD CE CF D ．0++=BD BE FC 8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF9．（2021·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，设AB a =，AD b =，则向量BE =（）.A ．12a b-B ．12a b-+C ．12a b-D ．12a b-+题型四：相反向量10．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（）A ．AC 与CBB ．OB 与ODuuu rC ．AB 与DCD ．AO 与OC11．（2021·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，下列式子正确的是（）A ．2a b EF+=B ．2a b EF-=C ．a b EF+=D ．a b EF-=12．（2021·全国·高一单元测试）若b 是a 的负向量，则下列说法中错误的是（）A ．a 与b 的长度必相等B ．//a bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的负向量题型五：向量减法法则13．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．14．（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是ABCD 的两条对角线的交点，AB a =，DA b =，OC c =，求证：b c a OA +-=．15．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f r表示以下向量：（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．题型六：向量减法的运算律16．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．317．（2021·北京市第一六六中学高一期中）在ABC 中，13BD BC =，若AB a =，AC b =,则AD =（）A ．1233a b-B ．1233a b+C ．2133a b+D ．2133a b-18．（2021·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-题型七：向量减法法则的几何应用19．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量a 与b 方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b +=-C ．a b a b+=-D ．a b a b+=+20．（2021·全国·高一单元测试）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c +-等于（）A ．0B ．1C ．2D ．221．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量AB a →=，AC b →=，CD c →=，则向量BD →可以表示为（）A ．a b c --B ．b a c +-C ．a b c-+D ．b a c-+【双基达标】一：单选题22．（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2021·全国·高一课时练习）已知a 、b 是不平行的向量，若2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系中正确的是（）A ．AD CB =B ．AD BC =C ．2AD BC=D ．2AD BC=-24．（2021·全国·高一课时练习）若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A ．//a br r B ．a b≠C ．a b≠r r D ．b a=-25．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 是ABCD 的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A ．AB CB AC +=B ．AB AD AC+=C ．AD CD BD+≠D ．0AO CO OB OD +++≠26．（2021·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为PQ 的是（）A ．()AB PA BQ ++B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC CQ QP +-D ．PA AB BQ+-27．（2021·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中,,OA a OB b OC c ===，则EF =（）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．b c-r r28．（2021·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（）①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-；⑥()0a a --=．A ．3B ．4C ．5D ．629．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r rC ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --=30．（2021·山东济南·高一期末）在ABC 中，若点D 满足3BC DC =，则（）A ．1233AD AB AC =+B ．2133AD AB AC =-C ．1344AD AB AC =+D ．3144AD AB AC =-31．（2021·山东滨州·高一期末）在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（）A ．1536AC AB-+B ．1536AC AB-C ．1136AC AB-+D ．1136AC AB-【高分突破】一：单选题32．（2021·全国·高一课时练习）设()()a AB CD BC DA =+++，b 是任一非零向量，则在下列结论中:①//a b r r；②a b a +=；③a b b +=；④a b a b +<+；⑤a b a b +=+.正确结论的序号是（）A ．①⑤B ．②④⑤C ．③⑤D ．①③⑤33．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心34．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b 均为非零向量，则||a b +与||||a b +一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，2AB BC =，则下列等式中成立的是（）A ．2c a b =-B ．2=-c b aC ．3122c b a =-D ．3122c a b =-36．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形ABCD 中，14AE AC =，设AB a =，BC b =，则向量DE =uuu r （）A ．1344a b-B ．3144a b-C ．2133a b-D ．1233a b-37．（2021·湖南·高一阶段练习）在ABC 中，点E ，F 在边AB 上，且E ，F 为AB 边上的三等分点（其中E 为靠近点A 的三等分点），且CE mCB nCA =+，则（）A ．23m =，13n =-B ．13m =，23n =C ．23m =，13n =D ．13m =，23n =-38．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（）A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a+=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=r r 39．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-40．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点D ，E ，F 分别是ABC 的边,,AB BC AC 的中点，则下列等式中正确的是（）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC+=D ．DA DE FD+=41．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）已知OD OE OM +=，则下列结论正确的是（）A ．OD EO OM +=B ．OM DO OE +=C ．OM OE OD-=D ．DO EO MO+=42．（2021·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为0的有（）A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-43．（2021·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（）A ．对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或=-a bB ．若e 为单位向量，且a //e ，则||a a e =±C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线D ．四边形ABCD 中，AB CD AD CB+=+uu u r uu u r uuu r uu r 二：填空题44．（2021·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点A 、B 、C ，则“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全国·高一课时练习）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++.其中结果为0的是____.(填序号)46．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，D 是BC 的中点．若AB c =，AC b =，BD a =，d AD =，则下列结论中成立的是________．（填序号）①d a b -=；（2）d a b -=-；③d a c -=；④d a c -=-．47．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA OC CD -+相等的向量有__.①CF ；②AD ；③BE ；④DE FE CD -+；⑤CE BC +；⑥CA CD -；⑦AB AE +.三：解答题48．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．49．（2021·上海·高一课时练习）向量,,,,a b c d e r r r u r r 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .50．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.51．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案详解】【详解】由向量加法的三角形法则，a +b +c 如图，2．作图见解析，BA a b=-【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =．因为OB BA OA +=，即b BA a +=，所以BA a b =-．3．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA OC OB +=uu r uuu r uu u r ．（2）因为BC 与FE 方向相同且长度相等，所以BC 与FE 是相同的向量，从而BC FE +与BC 方向相同，长度为BC 长度的2倍，因此，BC FE +可用AD 表示，即BC FE AD +=．（3）因为OA 与FE 是一对相反向量，所以0OA FE +=．4．A【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++=,故选：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.【详解】OA BC AB DO DO OA AB BC DC =++++=++.故选：B6．D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】()()()()AB PB BO BM OP AB BM PB BO OP AM++++=++++=故选：D7．A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB =，12BE BC =，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．8．A【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF =，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++.故选：A.9．B【分析】根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有BE BC CE =+，即可得到BE 与a 、b 的线性关系.【详解】由题设，AB DC a ==，则12EC a =，又AD BC b ==uuu r uu u r r ，∴12BE BC CE b a =+=-.故选：B10．B【分析】首先根据题意得到四边形ABCD 是平行四边形，从而得到OB 与OD uuu r 为相反向量.【详解】因为AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分，所以OB OD =-，即OB 与OD uuu r 为相反向量.故选：B11．B【分析】根据题意，由向量的加法可得：EF EA AB BF =++和 EF ED DC CF =++，两个式子相加，化简即可得到答案.【详解】在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，则EF EA AB BF =++,同时有 EF ED DC CF =++，则有2 EF EA ED AB DC BF CF =+++++,因为E 、F 分别为AD,BC 的中点，则0, 0EA ED BF CF +=+=则有2a b EF -=.故选:B.12．C【分析】根据向量的定义判断．【详解】b 是a 的负向量，即b a =-，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），a 也是b 的负向量，但a 与b 一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C ．故选：C ．13．见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.14．证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA CB =．因为b c DA OC OC CB OB +=+=+=，OA a OA AB OB +=+=，所以b c OA a +=+，即b c a OA +-=．15．（1）c a→→-（2）d a→→-（3）d b→→-（4）b a f c→→→→-+-（5）f d→→-【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.16．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C17．C【分析】根据平面向量的线性运算法则，用AB ，AC ,表示出AD 即可.【详解】()112121333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：C18．B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b 的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB a ==11212332NM AM AN a b a a b ∴=-=+-=+故选：B19．C【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+>，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.20．A【分析】根据向量的线性运算即可求出．【详解】因为AB a =，BC b =，AC c =，所以0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=．故选：A ．21．D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，BD BC CD AC AB CD b a c →→→→→→→→→=+=-+=-+.故选：D.22．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+=，所以结果为0的个数是2，故选：B23．C【分析】结合向量的加法法则运算即可.【详解】AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝8a -2b -＝()24a b --＝2BC ．故选：C24．C【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．【详解】解：由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选D 项正确；由相反向量的定义知||||a b =，故C 项错误；故选：C ．25．B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】对于A ：AB CB AB DA DB +=+=，故A 错误；对于B ：AB AD AC +=，故B 正确；对于C ：A B AD CD D B A D +=+=，故C 错误；对于D ：0AO CO OB OD +++=，故D 错误；故选：B26．D【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解】A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++=；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.27．D【分析】由图形可得EF CB OB OC ==-，从而可得正确的选项.【详解】EF CB OB OC b c -=-==，故选：D.28．C【分析】利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.【详解】由向量加减法的运算性质知：①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-，正确；⑥()2a a a a a --=+=，错误.故选：C29．A【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.30．A【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知()3AC AB AC AD -=-，得1233AD AB AC =+.故选：A31．B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】()1122BE AE AB AD AB AC CD AB =-=-=+-()11112323AC CB AB AC AB AC AB ⎛⎫⎡⎤=+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1211523336AC AB AB AC AB ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，故选：B.32．D【分析】根据向量线性运算可确定a 为零向量，由此可判断得到结果.【详解】()()()()0a AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA =+++=+++=+=，又b 是任一非零向量，//a b ∴，a b b +=，a b a b +=+，∴①③⑤正确.故选：D.33．D【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO =，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC CG +=-=，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO =，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .34．B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+，当且仅当a 与b 同向时等号成立，故D 错误.故选：B35．C【分析】结合图形，利用向量加，减法，计算向量.【详解】2AB BC =，()2OB OA OC OB ∴-=-，得3122OC OB OA =-，即3122c b a =-r r r .故选：C36．A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：()()1111344444DE AE AD AC BC AB BC BC a b b a b =-=-=+-=+-=-.故选：A.37．B【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】()22123333CE CB BE CB BA CB CA CB CB CA ==+=++-=+，所以13m =，23n =.故选：B38．BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误；任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误；故选：BD39．ACD【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题40．ABC【分析】根据向量线性运算确定正确选项.【详解】对于A 选项，FD DA FA +=，正确；对于B 选项，0FD DE EF FE EF ++=+=，正确；对于C 选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE DA DF EC =+=，正确；对于D 选项，DA DE DF FD +=≠，所以D 错误.故选：ABC41．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A ，化简为OD EO ED +=，错误；对B ，即OM OD OE -=，即OD OE OM +=，正确；对C ，对OM OE OD -=移项可得OD OE OM +=，正确；对D ，由OD OE OM --=-，移项即OD OE OM +=，正确；故选：BCD42．ABCD【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.【详解】0AB BC CA ++=，0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+--=-=，0OA OD AD OA AD OD -+=+-=，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=.所以选项全正确.故选：ABCD43．BD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】对于A ：对于向量,a b ，若||||a b =，则a 与b 不存在关系，故A 错误；对于B ：若e 为单位向量，且//a e ，则||a a e =±，故B 正确；对于C ：若a 与b 共线，b 与c 共线，且0b ≠，则a 与c 共线，当=0b ，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ：四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+uu u r uu u r uuu r uu r ，整理得AB AD CB CD DB -=-=，故D 正确；故选：BD ．44．充分不必要【分析】利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：若A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出0AB BC AC ++=，充分性成立；必要性：若A 、B 、C 三点共线，则0AB BC AC ++=成立，此时A 、B 、C 不能构成三角形，必要性不成立.因此，“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.45．①④【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.【详解】①0AB BC CA AC CA ++=+=uu u r uu u r uu r uuu r uu r r ;②()()()0AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB +++=+++=+=≠;③0OA OC BO CO OA BO BA +++=+=≠;④()()0AB CA BD DC CA AB BD DC CB BC +++=+++=+=.故答案为：①④.46．③【分析】根据平面向量的加减法判断即可.【详解】d a AD BD AB c -=-==，故③成立；故答案为：③47．①④【分析】根据向量加减法运算可化简OA OC CD -+为CF ，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】四边形ACDF 是平行四边形，OA OC CD CA CD CF ∴-+=+=，①正确；AD 与CF 方向不同，②错误；BE 与CF 方向不同，③错误；DE FE CD CE FE CE EF CF -+=-=+=，④正确；CE BC CE CB BE +=-=，⑤错误；CA CD DA -=与CF 方向不同，⑥错误；四边形ABDE 为平行四边形，AB AE AD ∴+=，⑦错误.故答案为：①④.48．（1）0；（2）AC .【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.49．（1）DB d e a =++uu u r u r r r ；（2）DB b c =--uu u r r r ；（3）EC e a b =++uu u r r r r ；（4）EC c d =--uu u r r u r .【分析】利用向量的加法法则、减法法则运算即可【详解】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d=-=-+=--50．（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB=+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.51．解：13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=，∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-．∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+．13CN CD =，CD OC =，∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．。

高中数学向量的运算技巧及应用举例

高中数学向量的运算技巧及应用举例向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。

掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。

本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。

一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。

在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。

例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。

解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。

因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。

解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。

因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1, 9)。

通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。

掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。

二、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。

数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。

例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。

解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。

因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。

例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。

解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。

高一7-1向量概念、加减运算知识梳理、经典例题、课后练习带答案

环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示.2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算.3、本部分在高考中占5分.【趣味链接】1、向量最初被应用于物理学，被称之为矢量。

很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量.2、大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.3、大陆与台湾在2008年12月25日开通了直航，在此之前乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.【知识梳理】一、向量的基本概念与线性运算 1、向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行.（3）单位向量：模为1个单位长度的向量，常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b，平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=，大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x .（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量.记作a-,零向量的相反向量仍是零向量.若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 .2、向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）.（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a ⋅=λλ；②当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的.③数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 二、平面向量的基本定理与坐标表示 1、平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、平面向量的坐标表示（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标.显然0 =（0,0），(1,0)i = ，(0,1)j =．（2）设OA xi y j =+.则向量OA 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立ECBA（O 是坐标原点）． 3、平面向量的坐标运算（1）若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±．（2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ，AB =（3）若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)．（4）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=．（5）若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅．【经典例题】【例1】（2010全国）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（） A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b + 【例2】（2009湖南）如图，D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=【例3】（2009全国）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , （）A ．150° B.120° C.60° D.30°【例4】（2012辽宁）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（） A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．{0,1,3} D ．a +b =a -b【例5】(2009广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线【例6】（2012浙江）设a ,b 是两个非零向量，以下说法正确的是（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |【例7】若向量,2,()a b a b a b a ==-⊥满足，则向量b a 与的夹角等于 .【例8】已知平面上的向量PA 、PB满足224PA PB += ,2AB = ，设向量2PC PA PB =+ ，则PC 的最小值是 .【例9】（2009湖南）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<< 求θ的值。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量a⃑=(1,−√7)，|b⃑⃑|=3，a⃑⋅b⃑⃑=3√6，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3答案：A分析：先计算向量a⃑的模，再根据向量数量积的定义，将a⃑⋅b⃑⃑=3√6展开，即可求得答案. 因为a⃑=(1,−√7)，所以|a⃑|=√12+(−√7)2=2√2，又因为a⃑⋅b⃑⃑=3√6，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，θ∈[0,π]，所以|a⃑||b⃑⃑|cosθ=3√6，即2√2×3×cosθ=3√6，解得cosθ=√32，故θ=π6，故选：A.2、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=2√3或c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.3、已知向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，且|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则a⃑⋅b⃑⃑=（）A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a⃑|=2|b⃑⃑|=2，则|a⃑|=2，|b⃑⃑|=1，又向量a⃑与b⃑⃑的夹角为π6，所以a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑||b⃑⃑|cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=2×1×√32=√3.故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4、已知向量a⃗=(√3,1)，b⃑⃗=(−√3,1)，则a⃗与b⃑⃗的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C分析：根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案解：cos⟨a⃗,b⃑⃑⟩=a⃑⃗⋅b⃑⃑|a⃑⃗||b⃑⃑|=−3+12×2=−12，因为0°≤⟨a⃗,b⃑⃑⟩≤180°，所以⟨a⃗,b⃑⃑⟩=120°，故选：C5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，C=30∘，c=10.如果△ABC有两解，则a的取值范围是（）A．[10,20]B．[10,10√3]C．(10,10√3)D．(10,20)答案：D分析：作出图形，根据题意可得出关于a的不等式，由此可解得a的取值范围.如下图所示：因为△ABC有两解，所以asinC=12a<c=10<a，解得10<a<20.故选：D.6、如图，△ABC中，角C的平分线CD交边AB于点D，∠A=2π3，AC=2√3，CD=3√2，则BC=（）A．3√3B．4C．4√2D．6答案：D分析：△ACD中由正弦定理求得∠ADC后可得∠ACD，从而得∠ACB，B角，得AB，用余弦定理可得BC．在△ACD中，根据正弦定理得sin∠ADC=AC⋅sinACD =2√3×√323√2=√22，由∠ADC<∠A，所以∠ADC=π4，所以∠ACD=π−2π3−π4=π12，所以∠ACB=π6，则∠B=π6，所以AB=AC=2√3，在△ABC中，由余弦定理得BC2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC=6．故选：D．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，则12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑.故选：D.8、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C. 多选题9、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（） A ．若a 2+b 2<c 2，则C >π2B ．若ab =c 2，则C ≥π3 C ．若a 3+b 3=c 3，则C <π2 D ．若a +b =2c ，则C >π2 答案：AC分析：利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；解：对于A 选项，a 2+b 2<c 2，可以得出cosC =a 2+b 2−c 22ab <0，∴C >π2，故A 正确；对于B 选项，因为ab =c 2，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab≥2ab−ab 2ab=12，当且仅当a =b 时取等号，因为C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故B 错误；对于C 选项，假设C ≥π2，则c >a ，c >b ，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥a 2c +b 2c >a 3+b 3与a 3+b 3=c 3矛盾，∴C <π2，故C 正确，对于D 选项，取a =b =c =2，满足a +b =2c ，此时C =π3，故D 错误；故选：AC.10、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下四个命题中正确命题有（）A ．△ABC 的面积的最大值为40B ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形 C ．当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15D ．当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7 答案：ACD分析：对于A ，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B ，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C ，运用正弦定理可得4b ＝5c ，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D ，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积. 以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，可得B （﹣3，0），C （3，0）， 4sin B ＝5sin C ，可得4b ＝5c ，设A （m ，n ），可得4√(m −3)2+n 2＝5√(m +3)2+n 2，平方可得16（m 2+n 2﹣6m +9）＝25（m 2+n 2+6m +9），即有m 2+n 2+823m +9＝0，化为（m +413）2+n 2＝（403）2，则A 的轨迹为以（﹣413，0），半径为403的圆，可得△ABC 的面积的最大值为12×6×403＝40，故A 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C 即4b ＝5c ，设b ＝5t ，c ＝4t ，由36+16t 2＝25t 2，可得t ＝43，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故B 错误；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB ＝csinC ，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去），sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝√74，可得：c ＝4，b ＝5，则a +b +c ＝15，故C 对；a ＝6，4sin B ＝5sin C ，A ＝2C ，可得B ＝π﹣3C ，由正弦定理可得4b ＝5c ，可得b ＝5c4，由b sinB＝csinC，可得5c 4sin(π−3C)＝csinC ＝5c 4sinC (4cos 2C−1)，由sin C ≠0，可得：4cos 2C ﹣1＝54，解得：cos C ＝34，或﹣34（舍去）， sin C ＝√1−cos 2C ＝√74，可得：sin A ＝2sin C cos C ＝2×34×√74＝3√78， 3√78＝c √74，可得：c ＝4，b ＝5，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×4×3√78＝15√74. 设△ABC 的内切圆半径为R ，则R ＝2Sa+b+c＝2×15√744+5+6＝√72，S △ABO ＝12cR ＝12×4×√72＝√7.故D 对.故选：ACD .小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.11、已知向量a ⃑=(2,1)，b ⃑⃑=(−3,1)，则（） A ．(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑B ．|a ⃑+2b⃑⃑|=6 C ．向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量是(−65,25)D ．(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量答案：AD分析：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A ；根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B ；根据投影向量的计算公式即可判断C ；判断向量(2√55,√55)是否与向量a ⃑共线，及模是否为1，即可判断D.解：对于A ，a ⃑+b ⃑⃑=(−1,2)，则(a ⃑+b ⃑⃑)⋅a ⃑=−2+2=0，所以(a ⃑+b ⃑⃑)⊥a ⃑，故A 正确；对于B ，a ⃑+2b ⃑⃑=(−4,3)，则|a ⃑+2b ⃑⃑|=5，故B 错误；对于C ，向量a ⃑在向量b ⃑⃑上的投影向量为|a ⃑|⋅cos⟨a ⃑,b ⃑⃑⟩⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=a⃑⃑⋅b ⃑⃑|b⃑⃑|⋅b⃑⃑|b⃑⃑|=−5b ⃑⃑10=(32,−12)，故C 错误；对于D ，因为向量(2√55,√55)的模等于1，2√55×1−2×√55=0，所以向量(2√55,√55)与向量a ⃑共线，故(2√55,√55)是向量a ⃑的单位向量，故D 正确.故选：AD. 填空题12、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为___________.答案：36分析：由题意以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系，将所涉及的点的坐标求出，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.由题意圆D （后轮）的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形，点P 为后轮上的一点，如图以AD 所在的直线为x 轴，以点D 为坐标原点建立平面直角坐标系：则A (−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，设P(√3cosα,√3sinα)，所以AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(6,2√3)，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√3cosα+6,√3sinα−2√3)，故AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=6sinα+6√3cosα+24=12sin (α+π3)+24≤12+24=36. 所以答案是：36.13、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a ，b ，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S =√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________．答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3．所以答案是：6√3．14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，且a ⃑,b ⃑⃑是不共线的向量，则向量PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 答案：−12a ⃑−12b⃑⃑ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑,DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b⃑⃑ 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑,EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12b⃑⃑，所以PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+EQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−12a ⃑−12b⃑⃑. 所以答案是：−12a ⃑−12b⃑⃑解答题15、已知向量a ⃑与b ⃑⃑的夹角为120∘，|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2. （1）求(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)的值；（2）求|2a ⃑+b ⃑⃑|的值. 答案：（1）19；（2）2√7.分析：（1）由向量数量积的定义计算即可求解；（2）先计算|2a ⃑+b ⃑⃑|2=(2a ⃑+b ⃑⃑)2的值，再开方即可求解. （1）因为|a ⃑|=3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑，b ⃑⃑的夹角为120∘，所以a ⃑⋅b ⃑⃑=|a ⃑|⋅|b⃑⃑|⋅cos120∘=3×2×(−12)=−3，所以(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅(a ⃑−2b ⃑⃑)=2a ⃑2−3a ⃑⋅b⃑⃑−2b ⃑⃑2=2|a⃑|2−3a⃑⋅b⃑⃑−2|b⃑⃑|2=2×9−3×(−3)−2×4=19；（2）|2a⃑+b⃑⃑|2=(2a⃑+b⃑⃑)2=4|a⃑|2+4a⃑⋅b⃑⃑+|b⃑⃑|2=36−12+4=28，所以|2a⃑+b⃑⃑|=2√7.。

高中数学向量的加法与减法运算解析

高中数学向量的加法与减法运算解析在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在物理、工程等领域中起着重要的作用。

向量的加法与减法是向量运算中的基本操作，理解和掌握这些运算的方法和技巧对于解决各种与向量相关的问题至关重要。

一、向量的加法运算向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在向量的加法运算中，需要注意以下几个关键点：1. 向量的加法满足交换律和结合律。

即无论向量的顺序如何，它们相加的结果都是相同的。

例如，对于向量a和向量b，a+b=b+a；对于向量a、向量b和向量c，(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的加法可以用平行四边形法则进行计算。

平行四边形法则是指将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来，新的向量就是连接起点和终点的线段。

这个方法可以直观地展示向量的加法过程。

举例说明：题目：已知向量a=2i+3j，向量b=-i+4j，求向量a+b的结果。

解析：根据向量的加法定义，我们可以将向量a和向量b的坐标分量相加，得到向量a+b的坐标分量。

即：(a+b) = (2i+3j) + (-i+4j) = (2-1)i + (3+4)j = i + 7j因此，向量a+b的结果是i+7j。

二、向量的减法运算向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在向量的减法运算中，需要注意以下几个关键点：1. 向量的减法可以通过将减去的向量取负后与被减向量相加来实现。

即向量a-b=a+(-b)。

2. 向量的减法也可以用三角形法则进行计算。

三角形法则是指将被减向量的起点和终点与减去向量的起点和终点连接起来，新的向量就是连接被减向量的起点和减去向量的终点的线段。

这个方法也可以直观地展示向量的减法过程。

举例说明：题目：已知向量a=3i+2j，向量b=-4i+5j，求向量a-b的结果。

解析：根据向量的减法定义，我们可以将向量a和向量b的坐标分量相减，得到向量a-b的坐标分量。

5高中数学“向量的减法运算”知识点全解析

高中数学“向量的减法运算”知识点全解析一、引言向量是数学中的重要概念，具有大小和方向的特性。

向量的减法运算是向量运算的基础之一，对于理解和应用向量具有关键作用。

本文将详细解析“向量的减法运算”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、向量的减法运算定义向量的减法运算可以定义为加上被减向量的相反向量。

设有两个向量a和b，则向量a 减去向量b的结果是一个新的向量，记作c，满足c = a + (-b)。

其中，-b是向量b的相反向量，与b大小相等，方向相反。

三、向量的减法运算性质1.反交换律：对于任意两个向量a和b，有a - b= -(b - a)，即向量的减法不满足交换律。

2.结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a - b) - c=a - (b+c)，即向量的减法满足结合律。

3.零向量性质：对于任意向量a，有a - a=0，即任意向量减去自身等于零向量。

4.负向量性质：对于任意向量a，有-(-a) =a，即负向量的相反向量等于原向量。

四、向量的减法运算在坐标系中的表示在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，向量的减法运算可以通过坐标的相减来实现。

具体地，设有两个向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2)，则它们的差向量c = (x1 - x2, y1 - y2)。

同样地，在空间直角坐标系中，设有两个向量a = (x1, y1, z1) 和b = (x2, y2, z2)，则它们的差向量c = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

五、应用举例1.物理中的应用：在物理学中，位移是矢量，具有大小和方向。

当物体从一个位置移动到另一个位置时，可以通过向量的减法运算来求解位移。

例如，物体从点A移动到点B，再从点B移动到点C，则物体从A到C的总位移可以通过向量的减法运算求得。

2.几何中的应用：在几何学中，向量的减法运算可以用来描述图形的相对位置关系。

例如，在平面图形中，两个点之间的相对位置可以通过向量的减法运算来表示。

向量加减运算及几何意义

向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。

向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。

二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。

向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。

2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。

向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。

2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。

设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。

则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。

3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。

设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。

则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。

4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。

将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。

总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。

它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。

2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一空间向量的有关概念【例1】给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．【分析】用空间向量的有关概念进行判断．【解析】以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二空间向量的加减运算【例2】如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→，又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三有关向量的证明问题【例3】求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分．【分析】解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】如下图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

高考数学中的向量运算及其应用技巧

高考数学中的向量运算及其应用技巧向量是高中数学中非常重要的一部分，它不仅有着广泛的应用，而且在高考中也是不可或缺的一部分。

在高考数学中，向量作为基础知识，被广泛应用于解析几何、平面几何、三角函数等领域。

本文将为大家介绍高考数学中的向量运算及其应用技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、向量运算1. 向量的加减法向量的加减法是向量运算中的基本操作。

向量的减法要用到相反向量。

向量的相反向量是指与其大小相等，方向相反的向量。

设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，则它们的加法与减法运算如下：$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{d}$$其中 $\vec{c}$ 为向量的和， $\vec{d}$ 为向量的差。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数的积，用来改变向量的大小和方向。

设向量$\vec{a}$，实数$k$，则它们的数量乘法如下：$$k\vec{a}=\vec{b}$$其中 $\vec{b}$ 的大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $|k|$ 倍，如果$k$ 是正数，方向与 $\vec{a}$ 方向相同；如果 $k$ 是负数，方向与 $\vec{a}$ 方向相反。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘，得到的是一个实数。

设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，则它们的数量积如下：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta $$其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

由于 $\cos\theta$ 的范围是 $[-1,1]$，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角小于$90^{\circ}$，那么它们的数量积是正数；如果夹角是$90^{\circ}$，那么数量积是 $0$；如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大于$90^{\circ}$，那么数量积是负数。

向量的加减与数量积备课讲解与习题解析

向量的加减与数量积备课讲解与习题解析一、向量的加减与数量积备课讲解向量是数学中一个重要的概念，它可以用来表示具有大小和方向的物理量。

在向量的运算中，有两个基本的操作：加减和数量积。

本文将分别对向量的加减和数量积进行备课讲解，并结合习题进行解析，以帮助学生更好地掌握这两种运算。

1. 向量的加减向量的加减是指将两个向量进行相加或相减的运算。

在进行加减运算时，需要注意以下几点：（1）向量的方向：向量的方向由箭头所指示，相同方向的向量可以直接相加，不同方向的向量需要根据减法的性质来进行计算。

（2）向量的大小：向量的大小由向量的模来表示，即向量从起点到终点的长度。

加减运算时，按照向量的模进行加减操作。

（3）向量的结果：向量的加减结果也是一个向量，其方向和大小由具体的计算结果决定。

现在我们来看一个例子，假设有两个向量A和B，其坐标表示分别为A=(3, 2)和B=(1, -4)。

我们需要计算A和B的和、差以及其结果的方向和大小。

解：向量的加法运算是将对应坐标相加，即(A+B)=(3+1, 2+(-4))=(4, -2)。

根据计算结果，A+B的坐标表示为(4, -2)。

向量的减法运算是将对应坐标相减，即(A-B)=(3-1, 2-(-4))=(2, 6)。

根据计算结果，A-B的坐标表示为(2, 6)。

根据坐标表示，我们可以画出向量A、B以及A+B和A-B的示意图，以直观地理解向量的加减运算结果。

2. 向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，它是通过两个向量的夹角和它们的模的乘积来计算的。

向量的数量积具有以下性质：（1）数量积是标量：向量的数量积得到的结果是一个实数，而不是一个向量。

（2）数量积的交换律：对于任意两个向量A和B，有A·B = B·A。

（3）数量积的分配律：对于任意三个向量A、B和C，有A·(B+C) = A·B + A·C。

现在我们来看一个例子，假设有两个向量A和B，其夹角为30°，且其模分别为A的模为3，B的模为5。

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

高考数学专题复习《向量的加法和减法运算》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

当a, b方向相同时：
a
b
ab
C
A
B
CB a b
当a, b方向相反时：
b
a
C
b
a
A•
B
CB a b
练习1：如图，已知 a 、b ，求作 a b .
（1）
a
（2）
b
ab
b
a
b
ab
（3）
b
a
ab
b
（4）
b
b
b
a
ab
练习2：
2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
例1 已知向量a 、b（如图），求作向量a b. 作法：在平面内任取一点O , 作OA a, AB b, 则 OB ＝ a b .
.
O
A
a
b a
ba ba
ba
ba
b
a b
b
bb
b
b
bb
b
b
B
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形
法则作出 a b
（1）
a
b ab
（2）
b
b
ab ab
例1、如图，平行四边形ABCD中，AB a ，AD b ，
用 a ，b 表示向量 AC 、DB .
D
C
b
A
a
B
解：由平行四边形法则得：
AC a b
由作向量差的方法得
DB AB AD a b
例2、化(1)AB BC AM M C (2)AB－AC BD DE C E (3)(AM－AN ) (MG GE) N E (4)NQ QP MN MP 0 (5)(AB CD) ( AC BD) 0

新人教A版高中数学必修二课件：6.2平面向量的运算—加法减法——课件

人民教育出版社A版必修一
二.向量的减法运算
2.向量的减法：求两个向量差的运算. a b 叫做 a, b 的差.

a b a b
a b 表示为由向量
33.向量减法的几何意义:
.已知a, b,根据减法的定义，如何
作出a b呢？ b 的终点指向向量a 的终点的向量
B
a
b
ab
→ →
BC，BD.
解：
CD AE c
BC AC AB b a
BD BC CD b a c
步骤：
1)找到未知向量所在的平行四边形或三角形；
2)按照平行四边形法则或三角形法则进行分解；
3)用已知表示未知.
人民教育出版社A版必修一
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，
律
二、思想方法
类比、数形结合、分类讨论
b
a
b
口诀：首同尾连，指向被减
C
O
A
a b
D
人民教育出版社A版必修一
例 1.化简下列各式：
→ → →
(1) AB－AD－DC;
DB DC CB
→ →
→
→
(2)(AB＋MB)＋(－OB－MO).
或 AB ( AD DC ) AB AC CB

AB MB OB MO AB MB MO OB AB OB OB AB
人民教育出版社A版必修一
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．

高一数学必修4向量的加减法练习题含解析

2.2.1课时作业1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 B2．下列各式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③ 答案 B3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可答案 A5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3D ．5 答案 A解析由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →答案 C8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心D ．外心答案 B9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝______．答案 OD →10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________．答案 2 2解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．答案 82 北偏东45°解析如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. ∵|a |＝8，|b |＝8，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴|a ＋b |＝|OB →|＝8 2.方向是北偏东45°.12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .解析如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB →＝a＋b ，DC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c .∴向量DC →即为所作向量．13．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解析由向量加法的三角形法则，得AC →＝AB →＋BC →. ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ∥BC 且|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形． 14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反，所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.2.2.2课时作业1．给出下列3个向量等式：①AB →＋CA →＋BC →＝0；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C 解析 ①③对．2．如右图，▱ABCD 中，下列等式中错误的是( ) A.AD →＝AB →＋BD → B.AD →＝AC →＋CD → C.AD →＝AB →＋BC →＋CD →D.AD →＝DC →＋CA → 答案 D解析 DC →＋CA →＝DA →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4．下列命题中，正确的是( )A ．差向量的方向是由被减向量的终点指向减向量的终点B ．若a 、b 是任意两个向量，则|a |－|b |＝|a －b |C ．与a 方向相反的向量叫做a 的相反向量D ．从一个向量减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量答案 D5．在下列各等式中，正确的个数为( )①a －b ＝b －a; ②a ＋b －c ＝a －c ＋b ；③b －(－a )＝b ＋a; ④0－a ＝－a ；⑤|a －b |＝|b ＋a |; ⑥|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．5 B ．4 C ．3 D ．1答案 C6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D7．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)答案 C解析 BC →＝AC →－AB →(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13.9．已知△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，则在下列各等式中不成立的为( ) A ．|AC →－AB →|＝|AC →＋AB →| B ．|AC →－AB →|＝|CB →| C ．|AB →－AC →|2＝|AB →|2＋|BC →|2 D ．|BC →＋CA →|2＋|AC →|2＝|BC →|2答案 C10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．答案 CA →11．判断正误．(1)设非零向量a 、b ，则|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .(2)AB →＋BC →＋CA →＝0⇔A 、B 、C 是某个三角形三个顶点．答案 (1)正确 (2)不正确12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，求|a －b ＋c |.答案 |a －b ＋c |＝213．如图四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)(∵EA →＋ED →＝0) 14．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.∴BA 綊CD. 故四边形ABCD 是平行四边形． ►重点班·选做题15．任给向量a ，b ，则下列各项中正确的是( ) A ．|a ＋b |＝|a |＋|b | B ．|a －b |＝|a |－|b | C ．|a －b |≤|a |－|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b |答案 D16．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．1 B. 3 C.32D ．2答案 B分析根据向量的平行四边形法则，以a 和b 为邻边表示向量a ＋b 和a －b ，再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解．解析如右图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b|＝1， ∴△ABD 为正三角形．∴∠ABD ＝60°.容易得出|a －b|＝|CB →|＝2|OB →|＝2|AB|2－|AO|2＝2·12－（12）2＝ 3.。

向量的加法-高中数学知识点讲解(含答案)

向量的加法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5 小题）1．（2012•北京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 ( )A．AB CD B．AB AD BD C．AD AB AC D．AD BC 02．（2009 秋•海淀区期末）如图，用向量e ，e 表示向量a b 为 ( )1 2A．2e 4e B．C．e 2 3e1D．4e 2e2 1 2 1ee2 3 13．（2010•海淀区校级模拟）非零向量若点关于所在直线的对称点为，则向量OB OB 为 (OA a,OB b B OA B1 1)2(a g b)a (a g b)a 2(a g b)a (a g b)aA．B．C．D．| a | | a | | a | | a |2 24．（2008 秋•海淀区期末）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是 ( )A．AB BC B．AB CD C．AC 2 AB D．| AB BC || AB BC | 5．（2008•西城区二模）已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA PB PC AC ，那么一定有 ( ) A．PB 2CP B．CP 2PB C．AP 2PB D．PB 2AP二．填空题（共7 小题）6．（2017 春•昌平区校级月考）若a 表示“向东走8km ”， b 表示“向北走8km ”，则a b 表示．7．（2016 春•北京校级月考）化简：CE AC DE AD ．8．（2014•延庆县一模）甲从点O 出发先向东行走了3km ，又向北行走了1km 到达点P ，乙从点O 出发向北偏西 60第1页（共9页）方向行走了到达点，则，两点间的距离为．4km Q P Q9．（2008 秋•海淀区期末）若平面上三个大小相等的力F 、F 、F 作用于一点且处于平衡状诚，则F 与F 夹角的大1 2 3 1 2小为．10．（2018 秋•海淀区校级月考）在ABC 中，AB 1 ，AC 3 ， A 60，点P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若，则的最大值是AP x AB y AC x y11．（2017 秋•东城区校级期中）在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD ，则．12．（2011 春•房山区校级月考）已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，则下列说话正确的是（填序号）（1）AB CB AC （2）BA DA AC （3）AD CD BD （4）AO CO OB OD 0 ．三．解答题（共1 小题）13 ．（2007 秋•朝阳区期末）设动点M 的坐标为 (x ，y)(x 、y R) ，向量a (x 2, y) ，b (x 2, y) ，且| a | | b | 8，(I) 求动点M (x, y) 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(0, 2) 作直线与曲线交于、两点，若为坐标原点），是否存在直线，使得四边N l C A B OP OA OB(O l 形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．第2页（共9页）向量的加法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5 小题）1．（2012•北京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 ( )A．AB CD B．AB AD BD C．AD AB AC D．AD BC 0【分析】结合平行四边形可以看出以平行四边形的边做向量，所得到向量之间的关系，依据是平行四边形的一对对边平行且相等，得到相等向量和相反向量．【解答】解：由图形可知，显然不正确；Q A: AB CD A由平行四边形法则知B : AB AD DB ，B 也不正确；对于：根据向量加法的平行四边形法则得故正确；C AD AB AC CD AD BC 0 D中：，故不正确．故选：C ．【点评】本题考查相等向量和相反向量，以及向量的加法、减法及其几何意义，是一个借助于平行四边形的边之间的关系来解题的，是一个基础题，只要认真就没有问题．2．（2009 秋•海淀区期末）如图，用向量e ，e 表示向量a b 为 ( )1 2A．B．C．e eD．2e 4e 4e 2e 2 3 12 1 2 1ee2 3 1【分析】利用单位向量表示向量a ，b ，然后求出向量a b 的值．u r u u r r u r uu r r7 1 1 3【解答】解：由题意可知a e e ，b e e ，1 2 1 22 2 2 2r u r u u r u r u u r u u r u rr7 1 1 3所以向量a b e e e e e 3e ．1 2 1 2 2 12 2 2 2故选：C ．第3页（共9页）【点评】本题是基础题，考查向量的加减法的应用，正确表示向量的关系是解题的关键，考查计算能力．3．（2010•海淀区校级模拟）非零向量若点关于所在直线的对称点为，则向量OB OB 为 (OA a,OB b B OAB1 1)2(a g b)a (a g b)a 2(a g b)a (a g b)aA．B．C．D．| a | | a | | a | | a |2 2【分析】容易知道，由平行四边形法则向量的方向与向量的方向相同，因此只需要求得与向量方向OB OB OA OA1ra a g b相同的单位向量r以及向量OB 在向量OA 方向上的投影r，即可得到向量OB OB1 ．| a | | a |【解答】解：如图由题意点B 关于OA 所在直线的对称点为B ，1所以BOA B OA，1所以又由平行四边形法则知：，OB OB OC1且向量OC 的方向与向量OA 的方向相同，ra g b由数量积的概念，向量OB 在向量OA 方向上的投影是OM ，r| a |a又设与向量OA 方向相同的单位向量为：，r| a |r r r ru u u r u u u u r g ga b a 2(a b)a所以向量 2 2g r g r rOC OM| a | | a | | a |2故选：A ．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量的数量积的概念，向量的模的概念．4．（2008 秋•海淀区期末）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是 ( )A．AB BC B．AB CD C．AC 2 AB D．| AB BC || AB BC |第4页（共9页）【分析】在正方形ABCD 中，设边长等于 1 ，可得| AB BC || AC | 2 ，由，从而得出结论．u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2 2| AB BC |(AB BC) AB BC 2AB g BC22【解答】解：在正方形ABCD 中，设边长等于 1，Q AB BC AC ，| AB BC || AC | 2 ，，u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2 2| AB BC |(AB BC)2 AB BC 2AB BC11 0 2g| AB BC || AB BC |，故选：D ．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法，求出AB BC 的模等于 2 ，是解题的难点．5．（2008•西城区二模）已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA PB PC AC ，那么一定有 ( )A．PB CP B．CP 2PB C．AP 2PB D．PB 2AP2【分析】根据已知式子和选项的特点，把PC 移到另一边，再由相反向量知PC CP ，利用向量加法的首尾相连进行化简，再用同样的方法化简．【解答】解：，Q PA PB PC ACPA PB AC PC AC CP AP，PB AP PA 2AP．故选：D ．【点评】本题考查向量加法的首尾相连法则和相反向量的定义，是基础题．二．填空题（共7 小题）6．（2017 春•昌平区校级月考）若a 表示“向东走8km ”， b 表示“向北走8km ”，则a b 表示向东北方向走8 2km ．【分析】利用平行四边形法则求向量的和．【解答】解：．| a b |64 64 8 2(km)故答案为：向东北方向走8 2km ．【点评】本题考查向量的加减运算法则，是一道基础题．7．（2016 春•北京校级月考）化简：CE AC DE AD 0 ．第5页（共9页）【分析】根据向量加减法的几何意义填空．【解答】解：．CE AC DE AD (CE AC ) (DE AD ) AE AE 0故答案是： 0 ．【点评】本题考查向量的加减法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属基础题．8．（2014•延庆县一模）甲从点O 出发先向东行走了3km ，又向北行走了1km 到达点P ，乙从点O 出发向北偏西 60方向行走了到达点，则，两点间的距离为．4km Q P Q 2 7【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得，，P( 3,1) Q ( 2 3, 2)PQ ( 2 3, 2) ( 3,1) ( 3 3,1)．u u u r| PQ |( 3 3)2 122 7．故答案为： 2 7 ．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．9．（2008 秋•海淀区期末）若平面上三个大小相等的力F 、F 、F 作用于一点且处于平衡状诚，则F 与F 夹角的大1 2 3 1 2小为120．【分析】由题意，三边作用于一点处于平衡状态，则F 与F 的合力的大小与F 的大小相同，由此根据三力的大小相1 2 3等得出夹角的大小即为F 与F 夹角的大小的一半1 2【解答】解：由题意平面上三个大小相等的力F 、F 、F 作用于一点且处于平衡状态，则F 与F 的合力与F 是一1 2 3 1 2 3对反作用力令其为F ，如图，四边形ABCD 是一个菱形，4又三个大小相等的力F 、F 、F ，1 2 3故ABC 是正三角形BAC 60第6页（共9页）可得BAD 120即与夹角的大小为F F 1201 2故答案为120【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，解题的关键是根据其物理意义作出符合题设条件的图形，由图形得出两向量的夹角．10．（2018 秋•海淀区校级月考）在中，AB 1 ，AC 3 ， A 60，点P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的ABC2 21动点，若AP x AB y AC ，则x y 的最大值是19【分析】以为原点，所在方向为轴，建立直角坐标系，设的坐标为，，然后将用A AC x P (3 cos sin ) x y 表示，然后利用三角函数的图象与性质求解即可．【解答】解：以A 为原点，AC 所在方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，Q AC 3 A 60A(0,0) (1 , 3)AB 1，，，，，，B C(3, 0)2 2由点P 是以C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，设P 的坐标为 (3 cos，sin) ，u u u r1 3则AP (3 cos ,sin) ，AB ( , ) ，AC (3, 0) ，2 21 3，(3 cos,sin ) x( , ) y(3, 0) ，2 2Q AP x AB yAC2 3xsin31 3，，y 1cossin3 95 3 1x y sin cos 13 3tan 3)2 21sin() 1，（其中，9 5sin(x ) 1 x y当时，的最大值为：22191【点评】本题考查了平面向量的运算性质和坐标表示，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．（2017 秋•东城区校级期中）在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD ，则2．第7页（共9页）【分析】利用向量加法的平行四边形法则，即可求解．【解答】解：在平面内找一点，使为平行四边形，ABC E ABEC则，又，则，AB AC AE 2AD AB AC AD 2故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的加法法则，属于中档题．12．（2011 春•房山区校级月考）已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，则下列说话正确的是（3）（填序号）（1）AB CB AC （2）BA DA AC （3）AD CD BD （4）AO CO OB OD 0 ．【分析】根据平面向量的定义与平面向量的运算法则即可判断各选项．【解答】解：根据题意可得：（1）AB CB DC CB DB AC ，所以（1）错误．（2）BA DA CD DA CA AC ，所以（2）错误．（3）AD CD AD BA BD ，所以（3）正确．（4）AO CO OB OD 0 0 0 ，所以（4）错误．故答案为：（3）．【点评】本题考查了平面向量的基本运算与运算法则，属于基础题，比较简单，注意掌握平面向量这一概念是关键．三．解答题（共1 小题）13 ．（2007 秋•朝阳区期末）设动点M 的坐标为 (x ，y)(x 、y R) ，向量a (x 2, y) ，b (x 2, y) ，且| a | | b | 8，(I) 求动点M (x, y) 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，若为坐标原点），是否存在直线，使得四边N(0, 2) l C A B OP OA OB(O l 形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【分析】把，代入，根据椭圆的定义即可求得动点的轨迹的方程；(I) a (x 2, y) b (x 2, y) | a | | b | 8 M (x, y) C（Ⅱ）假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，即OA OB ，设出直线l 的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦第8页（共9页）达定理即可得出结论．【解答】解：因为，所以．(I) | a | | b | 8 (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 8所以动点的轨迹是到定点，的距离之和为 8 的椭圆．M F1(2, 0) F2 (2,0)x y2 2则曲线C 的方程是 1 ．16 12（Ⅱ）因为直线过点，若直线的斜率不存在，则的方程为，与椭圆的两个交点、为椭圆的顶l N(0, 2) l l x 0 A B 点．由OP OA OB ，则P 与O 重合，与OAPB 为四边形矛盾．若直线的斜率存在，设方程为，，，，．l y kx 2 A(x y1) B(x y2 )1 2y kx 2由得．(4k2 3)x2 16kx 320 x y116 12△恒成立．256k 128(4k 3) 02 216k 32由根与系数关系得：，．x x x x1 2 2 1 2 24k 3 4k 3因为OP OA OB ，所以四边形OAPB 为平行四边形．若存在直线使四边形为矩形，则，即．l OAPB OA OB OA g OB 0所以 1 2 1 2 0 ．x x y y所以．(1k2 )x x 2k(x x ) 4 01 2 1 232 16k即 (1 )( ) 2 4 0．2k k g4k2 3 4k2 3化简得：．与斜率存在矛盾．12k2 5 0则不存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形．【点评】考查向量和解析几何相结合，体现了向量的工具性，考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题，属难题．第9页（共9页）。