初中数学竞赛模拟试题
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初中数学竞赛模拟试题
文/安振平苟春鹏
第一试(共70分)
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.a、b、c、d都是实数.若|a+b|=4,|c+d|=2,且|(a-c)+(b-d)|=(c-a)+(d-b),则a+b+c+d的最大值是().
A.6 B.2 C.-2 D.-6
2.若实数x、y满足x2+y2-xy-y+x<0,则有().
A.x2+y2<1 B.x2+y2=1
C.x2+y2>1 D.x2+y2≥1
3.如图1,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE(或延长线)所引的垂线.设O是正五边形的中心,OP=1,则AO+AQ+AR等于().
图1
A.3 B.1+
C.4 D.2+
4.已知△ABC的两边长分别为2和4,且有一个内角等于30°,则这个三角形是().
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形或钝角三角形
5.正三角形ABC的高等于⊙O的半径,⊙O在AB上滚动,切点为T,⊙O交AC、BC于M、N则().
图1
A.在0°~30°变化
B.在30°~60°变化
C.在60°~90°变化
D.保持60°不变
6.已知实数a、b、c满足a2+ab+ac<0,则关于x的方程ax2+bx+c=0(). A.有两个不同的实根
B.有两个相等的实根
C.无实数根D.以上都不对
二、填空题(每小题7分,共28分)
1.设x、y、z为3个非零实数,则(x/|x|)+(|y|/y)+(z/|z|)+(xy/|xy|)+(|yz|/yz)+(zx/|zx|)+(|xyz|/xyz)=_______.
2.折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG(图3).若AB=2,BC=1,则AG=_________.
图3
3.某种商品,当出售价格是15元时卖出500个,价格每上涨1元,卖出的个数就要减少20个,要使售货金额取得最大值,价格应定为__________元.
4.在△ABC中,∠ACB=75°,P点是BC边上的一点,且PC=2BP,∠APC=60°,则∠ABC=_________.
第二试(共70分)
一、(本题满分20分)如,OM是⊙O的半径,AB切⊙O于M,连结OA、OB交⊙O于C、D两点,且AC=BD,求证:AM=BM.
图4
二、(本题满分25分)解方程组
=10,
①
=10.
② 三、(本题满分25分)设x、y、z为任意实数,求证:
≥.
参考答案
第一试
一、选择题
1.选C.由|a+b|=4,得a+b=±4,由|c+d|=2,得c+d=±2.∴|(a-c)+(b-d)|=(c-a)+(d-b),即|(a+b)-(c+d)|=(c+d)-(a+b),∴c+d>a+b,则c+d必等于±2,a+b必等于-4,∴a+b+c+d等于-2或-6.故a+b+c+d的最大值为-2.
2.选A.对已知不等式两边乘以2,得
0>2x2+2y2-2xy-2y+2x=(x2+y2-1)+[x2+y2+12-2xy-2y+2x]=(x2+y2-1)+(x-y+1)2,
即x2+y2-1<-(x-y+1)2≤0.∴x2+y2<1.
3.选C.∵S
△ACD+S
△ABC
+S
△ADE
=S
正五边形ABCDE
=5S
△COD
,即(1/2)CD²AP+(1/2)
BC²AQ+(1/2)ED²AR=5²(1/2)CD²OP.
由CD=BC=DE,有AP+AQ+AR=5OP.
又OP=1,AP=AO+OP,
∴AO+1+AR+AQ=5,即AO+AQ+AR=4.
4.选D.不妨设AC=2,BC=4,此题没有明确哪一个内角等于30°,因此三个内角都有可能等于30°,所以分以下三种情况:
(第4题)
①如图(1),当∠A=30°时,由BC>AC得∠B<∠A,∴∠B<30°,而且∠C>120°,即△ABC是钝角三角形;
②如图(2),当∠B=30°时,过点C作CA⊥AB,垂足为A′,在Rt△A′BC中,
∵∠B=30°,∴BC=2A′C,
∵BC=4,AC=2,即BC=2AC,
∴AC=A′C,即A′与A重合.
故∠A=90°,∴△ABC是直角三角形.
③如图(3),当∠C=30°时,
∵AB>BC-AC,BC-AC=2=AC,
∴AB>AC,∴∠B<∠C,于是有∠B<30°,∴∠A>120°,即△ABC是钝角三角形. 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形.
5.选D.延长BC交⊙O于G,过C、O作⊙O的直径EF交⊙O于E、F,设CA交⊙O于M,
连MG交EF于P(参看右图).
(第5题)
由已知得EF∥AB,∠ECM=∠A=60°,∠ECG=∠B=60°,
∴∠ECM=∠ECG=60°.
由于EF是⊙O的直径,由轴对称性质得EG=EM,GM⊥CE.从而∠BGM=30°,∴
=60°.
6.选A.Δ=b2-4ac,当c=0时,Δ>0显然成立.下设c≠0,将已知变形为a(a+b+c)<0,即说明a与a+b+c异号.构造函数f(x)=cx2+bx+a.
∵f(0)=a,f(1)=a+b+c,
∴f(x)的图象(抛物线)与x轴有两个交点,
故判别式Δ=b2-4ac>0.
综上知,b2>4ac.
二、填空题
1.填-1或7.
设所求代数式的值为S,则
S=(x/|x|)+(|y|/y)+(z/|z|)+(x/|x|)²(y/|y|)+(|y|/y)²(|z|/z)+(z/|z|)²(x/|x|)+(|x|/x)²(|y|/y)²(|z|/z)=(x/|x|)+(y/|y|)+(z/|z|)+(x/|x|)²(y/|y|)+(y/|y|)²(z/|z|)+(z/|z|)²(x/|x|)+(x/|x|)²(y/|y|)²(z/|z|)=((x/|x|)+1)((y/|y|)+1)((z/|z|)+1)-1 (∵(a/|a|)=|a|/a).
因为对任意实数a≠0,有
a/|a|1 (a>0),-1 (a<0),
所以当x、y、z中至少有一个为负数时,S的值是-1;当x、y、z均为正数时,S的值是7. 2.填(+1)/2.