小学五年级下册数学奥数知识点讲解《不规则图形面积计算2》试题附答案

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五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

第二讲不规则图形面积的计算(二)不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1:如下图(1),在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到图(2)。

这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二:将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如图(3)所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如图(4)所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2:如下图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。

解:由容斥原理,S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD=4π×AB2×2-AB2=4π×42×2-42=16×(2π-1)≈16×2214.3-=9.12(平方厘米)。

例3:如下图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解:S阴景=S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD=41×π×62+41×π×42-6×4=41×π(36+16)-24=13π-24=15(平方厘米)(取π=3)例4:如下图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,如果阴影(1)的面积比阴影(2)的面积大7平方厘米,求BC长。

五年级奥数专题-不规则图形面积计算含解析

五年级奥数专题-不规则图形面积计算含解析

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。

例2 如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.思路导航:∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2, ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10(平方厘米)。

例3 两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。

思路导航:在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4,∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17(平方厘米)。

例4 如右图,A 为△CDE 的DE 边上中点,BC=CD ,若△ABC (阴影部分)面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航:取BD中点F,连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高,所以它们的面积相等,都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米,△ABD的面积等于10平方厘米。

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

第二讲不规则图形面积的计算(二)不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1:如下图(1),在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到图(2)。

这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二:将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如图(3)所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如图(4)所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2:如下图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。

解:由容斥原理,S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD=4π×AB2×2-AB2=4π×42×2-42=16×(2π-1)≈16×2214.3-=9.12(平方厘米)。

例3:如下图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解:S阴景=S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD=41×π×62+41×π×42-6×4=41×π(36+16)-24=13π-24=15(平方厘米)(取π=3)例4:如下图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,如果阴影(1)的面积比阴影(2)的面积大7平方厘米,求BC长。

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

第二讲不规则图形面积的计算(二)不规则图形的另外一种情况,就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的,这是一类更为复杂的不规则图形,为了计算它的面积,常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系,同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1:如下图(1),在一个正方形内,以正方形的三条边为直径向内作三个半圆,求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一:把上图靠下边的半圆换成(面积与它相等)右边的半圆,得到图(2)。

这时,右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样,因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二:将上半个“弧边三角形”从中间切开,分别补贴在下半圆的上侧边上,如图(3)所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三:将下面的半圆从中间切开,分别贴补在上面弧边三角形的两侧,如图(4)所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2:如下图,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。

解:由容斥原理,S阴影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD=4π×AB2×2-AB2=4π×42×2-42=16×(2π-1)≈16×2214.3-=9.12(平方厘米)。

例3:如下图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解:S阴景=S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD=41×π×62+41×π×42-6×4=41×π(36+16)-24=13π-24=15(平方厘米)(取π=3)例4:如下图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,如果阴影(1)的面积比阴影(2)的面积大7平方厘米,求BC长。

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