数列运算的一些小技巧
数列问题小技巧
数列问题：1. 全奇必是奇：数列给出的项如果全是奇数，答案必是奇数；全偶必是偶：数列给出的项如果全是偶数，答案必是偶数。
2. 奇偶奇偶间隔走：数列给出的项如果是奇数和偶数间隔，答案必须符合此规律。
3. 从怪原则：选项中有0、1等多数为正确选项。
4. 题目中全部都是整数，选项中出现分数或小数多为正确答案；同理题干全部都是小数或分数，选项中出现整数多为正确答案。
5. 看出整体有单调性，如果题目为单调递增，选项中只有一个是大于题干中最后一个数字的，那么一般是正确答案。
6. 分数数列中，分母多为质数，分数多需要分子，分母拆分找规律。
数学运算：1. 分析选项整体性，三奇一偶选其偶，三偶一奇选其奇。
2. 选项有升降，最大最小不必看，答案多为中间项；答案排序处在中间的两个中的一个往往是正确的选项。
3. 选项中如果有明显的整百整千的数字，先代入验证，多为正解。
4. 看到题目中存在比例关系，在选项中选择满足该比例中数字整除特性的选项为正解。
5. 一个复杂的数学计算问题，答案中尾数不同，直接应用尾数法解题即可。
6. 极值问题中，问最小在选项中多为第二小的，问最大在选项中多为第二大的（先代入验证）。
选词填空：1. 注意找语境中与所填写词语相呼应的词、短语或句子。
2. 重点落在语境与所选词语的逻辑关系上，而不是选项的词语上。
3. 选项中近义词辨析方向是从范围不同角度辨析的，选择范围大的。
4. 从语意轻重角度辨析的，选项要么选最重的，要么选最轻的。
5. 成语辨析题选择晦涩难懂的成语。
片段阅读：1. 选项要选积极向上的。
2. 选项是文中原话不选。
3. 选项如违反客观常识不选。
4. 选项如违反国家大政方针不选。
5. 启示、告诉、道理材料的片段阅读，不选文字内容层面的选项。
6. 启示、告诉、道理材料的片段阅读，选择激励人的选项或在精神上有触动的选项。
7. 提问方式是选标题的，选择短小精悍的选项。
8. 提问方式是“错误的”“不正确的”，要通读材料在选择选项，不能断章取义。
[数算]数列运算的一些小技巧
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等差，等比这种最简单地不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如，规律为*深一点模式，各数之间地差有规律，如、、、、.它们之间地差为、、、，成等差数列.这些规律还有差之间成等比之类.，各数之间地和有规律，如、、、、、，前两个数相加等于后一个数.、看各数地大小组合规律，做出合理地分组.如，和，和，和这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作个数，而应该看作个组.而组和组之间地差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组.所以* , * , * , *<>，这就是规律.、如根据大小不能分组地，，看首尾关系，如，，，，，，这组数; ＝＝.首尾关系经常被忽略，但又是很简单地规律.，数地大小排列看似无序地，可以看它们之间地差与和有没有顺序关系.、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了.如、、、、，感觉它们之间地差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们地规律就是^、^、^、^、^.这组数比较巧地是都是地倍数，容易导入歧途.)看大小不能看出来地，就要看数地特征了.如、、、、、，它们地十位数就是递增关系，如、、、，这些数相邻两个数首尾相接，且、、、、地差为，如论坛上答：，，，，（），＝＝＝，∵＝＝＝∴下一个数为＝.)再复杂一点，如、、、、、，这组数地规律是*，即相邻个数之间才能看出规律，这算最简单地一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律.)分数之间地规律，就是数字规律地进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数地分母和第二个数地分子有衔接关系.而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如就要看成.数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难地态度(废话，嘿嘿).应用题个人觉得难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导奥数)，各位感觉自己有困难地网友可以看看这方面地书，还是有很多有趣、快捷地解题方法做参考.国家公务员考试中数学计算题分值是最高地，一分一题，而且题量较大，所以很值得重视(国家公务员题，满分分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共题，满分分，没有分值地差别)分享一点个人地经验给大家，我地笔试成绩一直都是非常好地，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一.其实很多人不是真地不会做，地人都是时间不够用，要是给足够地时间，估计很多人能够做出大部分地题.公务员考试这种选人地方式第一就是考解决问题地能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急地决策）.非常多地人输就输在时间上，我是特别注重效率地.第一，复习过程中绝对地高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效.我复习过程中，阅读和背诵地能力非常强，读一份一万字地资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读地次数多，记住自然快很多.包括做题也一样，读题和读材料地速度也很快，一般一份试卷，读题地时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过分钟，这样就比别人多出几分钟，这在考试中是非常不得了地.有个帖子专门介绍速读地，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试地好成绩.其实，不只是行测，速读对申论地帮助更大，特别是那些密密麻麻地资料，看见都让人晕倒.学了速读之后，感觉有再多地书都不怕了.而且，速读对思维和材料组织地能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下地就是靠自己学多少地问题了.平时要多训练自己一眼看多个字地习惯，慢慢地加快速度，尽可能地培养自己这样地习惯.有条件地朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概个小时就能练出比较厉害地快速阅读地能力，这是给我帮助非常大地一个网站，极力地推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角键，然后鼠标左键点击本行文字）.大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸.补充：中间数等于两边数地乘积，这种规律往往出现在带分数地数列中，且容易忽略如、、、、、、）数地平方或立方加减一个常数，常数往往是，这种题要求对数地平方数和立方数比较熟悉如看到、、、，就应该想到是、、、地平方加如看到、、、，就要想到是、、、地立方减对平方数，个人觉得熟悉就够了，对于立方数，熟悉就够了，而且涉及到平方、立方地数列往往数地跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快）＾－＝因为最近碰到论坛上朋友发这种类型地题比较多，所以单独列出来如数列，，，，，如数列,; ,; ,;,; , －如数列,,,，－这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就考虑这个规律看看）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项如数列,,,,，奇数位、、分别是、、地平方偶数位、、是、、地立方先补充到这儿......) 后数是前面各数之各，这种数列地特征是从第三个数开始，呈倍关系如数列：、、、、、由于后面地数呈倍关系，所以容易造成误解！数字推理地题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间地关系,找出其中地规律,然后在四个选项中选择一个最合理地一个作为答案.。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
数列求和的基本方法和技巧学生用
数列求和的基本方法和技巧数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0)注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
数列求和中常见放缩方法和技巧含答案
数列求和中常见放缩方法和技巧一、放缩法常见公式： （1)()()111112-<<+n n n n n（2）()12122112--=-+<+=<++n n n n n n n n n （3）()()211++<+<n n n n n （4）122+>n n（二项式定理）（5）1+>x e x，1ln -<x x （常见不等式）常见不等式： 1、均值不等式； 2、三角不等式； 3、糖水不等式； 4、柯西不等式； 5、绝对值不等式；若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。
2==<=，则()()()11122123221n n n++<+-+-++--1<<例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。
例6、求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n<=--- 222221111*********1()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。
数列求和掌握小学生数列求和的技巧
数列求和掌握小学生数列求和的技巧数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列求和是常见的数学问题，对于小学生来说，掌握数列求和的技巧可以帮助他们更好地理解数学知识。
本文将介绍几种应用于小学生数列求和的方法，并帮助他们加深对数列求和的理解。
一、等差数列求和等差数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的差值是一个固定的常数。
为了求解等差数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示第一项的值，an表示第n项的值，n表示项数。
例如，求解1，4，7，10，13……的前10项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a1=1，an=?，n=10；2. 通过计算，我们可以得到an = a1 + (n-1)×d = 1 + (10-1)×3 = 28；3. 将a1，an，n带入公式Sn = (a1 + an) × n / 2，即可得到Sn = (1 +28) × 10 / 2 = 145。
二、等比数列求和等比数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的比值是一个固定的常数。
为了求解等比数列的和，我们可以使用以下公式：S = a（q^n-1）/ (q - 1)其中，S表示等比数列的前n项和，a表示第一项的值，q表示公比，n表示项数。
例如，求解2，6，18，54……的前5项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a=2，q=?，n=5；2. 通过计算，我们可以得到q = a2 / a1 = 6 / 2 = 3；3. 将a，q，n带入公式S = a（q^n-1）/ (q - 1)，即可得到S = 2（3^5-1）/ (3 - 1) = 242。
三、奇数数列求和奇数数列是一种特殊的数列形式，它的特点是每一项都是连续的奇数。
为了求解奇数数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = n^2其中，Sn表示奇数数列的前n项和，n表示项数。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法是解决数学问题中常用的一种技巧。
通过将数列进行放缩，可以使得原问题更易于解决，或者得到更加精确的结果。
本文将介绍数列放缩法的基本概念和常用技巧，并通过一些例子来说明其应用。
基本概念在使用数列放缩法解决问题时，我们需要理解以下几个基本概念：1. 数列放缩数列放缩是指通过对数列中的每一项进行适当的操作，使得数列满足一些特定的性质。
常用的数列放缩操作包括：乘法放缩、加法放缩和取对数放缩等。
2. 性质保持数列放缩后，原数列的一些性质可能得以保持，例如单调性、有界性等。
这样可以为问题的解决提供一些有用的线索。
3. 题目转化数列放缩还可以将原问题转化为一个更容易解决的形式。
通过变换数列中的项，我们可以得到一个新的数列，从而将原问题转化为对新数列进行分析的问题。
常用技巧1. 乘法放缩乘法放缩是数列放缩中最常用的技巧之一。
通过乘以一个适当的常数，可以使得数列中的项满足某种性质，比如有界性或单调性。
以下是一些常见的乘法放缩技巧：•将数列中的项全部乘以一个常数。
这可以用来放缩数列中的每一项，使得它们满足某种条件，例如有界性。
比如，对于一个递增的数列a n，我们可以将每一项乘以2，得到一个递增且更大的数列2a n。
•对数列中的每一项都乘以一个缩放因子，使得数列中的项的比较关系得以保持。
这种放缩常用于解决含有不等式的问题。
比如，对于一个递减的数列a n，我们可以将每一项都乘以−1，得到一个递增的数列−a n。
•利用数列放缩的特性进行条件的放缩。
比如，对于一个不等式问题，我们可以将不等式两边都乘以一个常数，使得问题更易解决。
2. 加法放缩加法放缩是利用数列的加法、减法性质进行放缩的一种技巧。
通过对数列中的项进行加减操作，可以得到一个新的数列，从而顺利解决问题。
以下是一些常见的加法放缩技巧：•利用数列之间的加减关系进行放缩。
比如，对于一个递增的数列a n，我们可以构造一个新的递增数列b n=a n+1−a n，从而将问题转化为分析数列b n的性质的问题。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
高考数学数列解题技巧必备
高考数学数列解题技巧必备各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些高考数学数列解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学重点：数列公式及结论总结数学中有很多的概念和公式，只有理解这些概念，才能正确解题。
数列中有很多性质和公式，这些是我们做题的基础，很多同学觉得数列的性质公式太多太杂，记不住。
其实按照一定方法将数列性质公式进行归纳总结，记住它们就简单多了。
下面是小编为大家整理的高中数列基本公式,希望对大家有帮助。
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、、仍为等比数列。
处理数列问题的五个常用小技巧
处理数列问题的五个常用小技巧高考中，解决数列问题的技巧性较强，掌握一些处理数列问题的常用技巧，对寻找切入点，化归数列问题，提高解题的准确性都有所帮助.1、 等差（比）数列的前n 项和公式和与通项公式的快速转化： 大家知道，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式是：11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，前n 项和公式是：1111()[(1)](1)222n n n a a n a a n d d S na n n +++-===+-21()22d dn a n =+-.当d ≠0时，通项公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的二次函数.对比1()n a dn a d =+-与n S 21()22d dn a n =+-可知：前n 项和公式变成通项公式是把n 降次：22n n s d da n n =+-，可借助导数记为：2n S an bn =+⇒'n n a S a =-，其中'n S 是n S 的导数（把n 看成自变量），用口诀可记为：二次变一次，求导减二系.通项公式变成前n 项和公式是把n 升次：()22n n d d S a n n =-+. 用口诀记为：一次变二次，一次项减半，加上半系，然后升次如：2223[(3)1]22n n na n S n n n =-⇒=-+=-22n S n n =-2'1(2)'1n n a S n n ⇒=-=-- 二次项系数=221n --=23n -, 一般地，n a an b =+⇒[()]22n an a S b n =++211()22an b a n =++ 2n S a nb n =+⇒2()'n a a n b n a =+-=2an b a +- 特别地，2(1)2()(2)n n a b c n S an bn c a an b a n ++=⎧=++⇒=⎨+-≥⎩若0c ≠，则数列从第二项起成等差数列.公比为q 的等比数列{a n }的通项公式为：11n n a a q -=，当q 1≠时，前n 项和公式为： 1111(1)(1)()1111n n n n a q a q a aS q q q q q --===+-----.由等比数列的通项公式求其前项和公式，公比等于1的比较简单，公比等于2或12比较常用，在后面将要表述.当公比1q ≠时，也可以是1111n n n a a q a q a S q q --==--，可用口诀记为：末项乘以公比减去首项.，再把差除以（公比－1）.这是主要描述前n 项和公式变成通项公式.当,0nn s aq b a b =++=且0,1abq q ≠≠（）时，对比11()11n n a a S q q q =+---知，11aa q =-，从而1(1)a a q =-.即：,0n n s aqb a b =++=且⇒1(1)n n a a q q -=-.若,0n n s aq b a b =++≠且，则1,1(1),2n n aq b n a a q q n -+=⎧=⎨-≥⎩，此时的1a 不符合1(1)n n a a q q -=-. 2、公比是2或12的等比数列中，序号连续的项的和的求法 对于等比数列{}n a ，当公比1q ≠时，1111n n n a a q a q a S q q --==--，当2q =时，12n n S a a =-，若公比为12，则倒序后变为公比是2，因而可归纳为：公比为2或12的等比数列中，序号连续的项的和，等于绝对值最大的加数的2倍减去绝对值最小的加数. 如：124828115+++=⨯-=（－2）+（—4）+…+（—256）＝2（—256）—（－2）＝－510111111204722482048220482048++++=⨯-=3、非常手段求等差、等比数列的公差、公比数列的项的序号应取正整数，若以每项的序号为横坐标，该项的值为纵坐标来描点，则等差数列的图象是一条直线上一系列孤立的点.等比数列的图象是一条指数型函数（不一定是指数函数）图象上一系列孤立的点.因而我们也可以把这两种数列的图象拓展为连续曲线（直线也可以看成是直线），利用曲线上其它的点来确定一次函数或指数型函数中的参数.基于这个观点，可以让数列的项的序号取正整数外的其它数，有时处理起问题来会显得更方便.尤其是在做选择题、填空题时，不需要参考解题过程评分，利用这样的方式来处理更准更快.例1、等差数列n a ｛｝的前n 项和为n S ，且2S =10, 4S ＝36，则这个数列n a ｛｝的公差是按常规，列出一个关于首项1a 和公差d 的二元一次一方程组，消去首项1a ，解出公差d 即可. 但如此处理会更快些：2S =10⇒ 1.5a ＝5，4S ＝36⇒ 2.5a ＝9 于是， 2.5 1.59542.5 1.51a a d --===-.公差实质上是直线的斜率.可以利用直线上两个点11,1222(),(,)P x y P x y 的纵坐标之差除以对应的横坐标之差，即：2121y y k x x -=-（12x x ≠），或1212y y k x x -=-（12x x ≠）.在数列中，利用两个点2(,),(,)m n M m a N n a 可得m n a y d m n -=-（m n ≠），或n ma a d n m-=-（m n ≠）.与等差数列类似，也可借助曲线来解决相关问题，此处不再赘述.4、递推公式为： 1()n n a qa f n +=+（0q ≠，()f n 是非零常数，或一、二次函数， 或指数型函数）的数列n a ｛｝的通项公式的求法对数列的考查仍然以等差、等比数列为主线，命题时加上一些加、乘、乘方运算变化，把等差、等比的属性隐盖起来，使得问题出现的面孔有所改变.作为考生要做的事情，就是把隐藏了的等差、等比性质拨离出来，再用处理等差、等比的常规手段来处理. （1）当()f n 是一个非零常数d 时，1n n a qa d +=+例2、已知数列n a ｛｝，111,23n n a a a +==+, 求数列n a ｛｝的通项公式.猜想：把常数3分配成两个数相加到1n a +和n a 上，变成1()n n a c q a c ++=+的形式.解：123n n a a +=+⇒当2n ≥时，132(3)n n a a -+=+⇒113(3)2n n a a -+=+11a = ∴123n n a +=-,验证知符合 1.n =∴数列na ｛｝的通项公式为：123n na+=-一般地，如果数列n a ｛｝满足：11,n n a a a qa d +==+(0,1)q ≠,可以把这个数列的每项都加上一个常数c ,使它变成公比为q 的等比数列.即：{}n a c +是公比为q 的等比数列.设1()n n a c q a c -+=+（2n ≥），则1(1)n n a qa q c -=+-， 对比当2n ≥时，1n n a qa d -=+，得1d c q =-.可得到：11()()1111n n n n d d d da a q a a q q q q q --+=+⇒=+-----⇒1()1n n n aq d a q d a q -+--=-这种数列是把等比数列的各项加上一个常数后得到的数列.或者说成是等比数列平移后的数列.在通项公式上的表现是，相邻两项是一次函数的关系.（2）1n n a qa an b +=++（1q ≠）型与处理（1）类似，令1(1)()n n a s n t q a sn t ++++=++，则1(1)(1)n n a qa q sn q t s +=+-+--，对比1n n a qa an b +=++，得：(1)(1)q s aq t s b -=⎧⎨--=⎩，可得到,s t 的值.与处理1n n a qa an b +=++（1q ≠）型类似，也可求出21n n a qa an bn c +=+++型（相当于2()f n an bn c =++型的数列的通项公式.（3）1n k n n a qa ap ++=+（相当于()n kf n ap +=）的可先转化成1n n a qa d -=+型的来处理 例3、在数列n a ｛｝中，14a =，1652nn n a a -=-⨯(2n ≥).求数列n a ｛｝的通项公式. 过程略.答案：11526n n n a --=⨯-以上主要分析1q ≠的情形，1q =的情形较简单，后面给出3道题供练习.5、对于含有n S 和n a 的递推公式例4、已知数列{}n a 中，1n 13,S (1)(1)12n a n n a ==++-前项和 （I ）求证：数列{}n a 是等差数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式.（I ）证明：由n 1S (1)(1)12n n a =++-，得当2n ≥时，n 111S (11)(1)12n n a -=-++-－＝11(1)12n n a -+-1n n S S --=1(1)2n n a +－112n na -+12⇒2n a ＝(1)n n a +－1n na -+1⇒(1)n n a -－1n na -+1＝0………. ①又1(1)10n n na n a +-++=………..②②－①，得：1120n n n na na na +--+=⇒11n n n n a a a a +--=- ∴ 数列{}n a 是等差数列.（Ⅱ）解：由n 1S (1)(1)12n n a =++-，得1221(21)(1)12a a a +=++-，联系13a =可得，25a =. 故d ＝5－3＝2 ∴数列{}n a 的通项公式为：21n a n =+练习1、数列{}n a 满足：111,,n n a a a n +==+求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列n a ｛｝，1111,3(2)n n n a a a n --==+≥, 求数列n a ｛｝的通项公式.（312n n a -=）3、在数列n a ｛｝中, 1114,(2)2n nn n a a a λλλ++==++-,其中λ>0. 求数列n a ｛｝的通项公式；通项公式为：(1)2n nn a n λ=-+；。
数列求和常见的7种方法
数列乞降的底子方法和技巧之马矢奏春创作一、畅谈：数列乞降7种方法： 应用等差、等比数列乞降公式错位相减法乞降 反序相加法乞降 分组相加法乞降 裂项消去法乞降分段乞降法（合并法乞降） 应用数列通项法乞降二、等差数列乞降的方法是逆序相加法,等比数列的乞降方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列乞降的二个底子方法. 数列是高中代数的主要内容,又是进修初等数学的根本. 在高考和各类数学竞赛中都占据主要的地位. 数列乞降是数列的主要内容之一,除了等差数列和等比数列有乞降公式外,大部分数列的乞降都需要必定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列乞降的底子方法和技巧.一、应用经常应用乞降公式乞降应用下列经常应用乞降公式乞降是数列乞降的最底子最主要的方法.1、 等差数列乞降公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列乞降公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列乞降公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （应用经常应用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设Sn ＝1+2+3+…+n,n∈N*,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列乞降公式得 )1(21+=n n S n ,)2)(1(21++=n n S n （应用经常应用公式） ∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ,即n ＝8时,501)(max =n f 二、错位相减法乞降这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n 项和,个中{ an }、{ bn }辨别是等差数列和等比数列. [例3]乞降：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再应用等比数列的乞降公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知,{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴1224-+-=n n n S三、反序相加法乞降这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证实： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序） 又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..② ①+②得 n nn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S＝44.5题1 已知函数（1）证实：；（2）求的值.解：（1）先应用指数的相关性质对函数化简,后证实左边=右边 （2）应用第（1）小题已经证实的结论可知, 两式相加得：所以.演习、求值：四、分组法乞降有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或罕有的数列,然后辨别乞降,再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再从新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时,2)13(nn n S n -+=＝2)13(n n + （分组乞降）当1≠a 时,2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再从新组合得Sn ＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组乞降）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法乞降这是分化与组合思惟在数列乞降中的具体应用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分化,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到乞降的目的. 通项分化（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项乞降）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{an}中,11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{bn}的前n 项的和.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{bn}的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项乞降）＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项乞降）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立 答案：六、分段乞降法（合并法乞降）针对一些特殊的数列,将某些项合并在一路就具有某种特殊的性质,是以,在求数列的和时,可将这些项放在一路先乞降,然后再求Sn.[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°∵)180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+（cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并乞降）＝ 0[例13] 数列{an}：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S2002.解：设S2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并乞降）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并乞降）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、应用数列的通项乞降先按照数列的机关及特色进行阐发,找出数列的通项及其特色,然后再应用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个主要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：因为)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k 个个（找通项及特色） ∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组乞降）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{an}：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特色）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项乞降）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高演习：1．已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ,求证：数列{}n c 是等差数列；时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日 2．设二次方程n a x 2-n a +1x+1=0(n∈N)有两根α和β,且知足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 暗示a 1n +；3．数列{}n a 中,2,841==a a 且知足n n n a a a -=++122*N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设||||||21n n a a a S +++= ,求n S ；。
数列求和的基本方法与技巧
数列求和的基本方法与技巧数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按特定规律排列的数字组成。
而数列求和则是对这些数字进行求和运算的过程。
在数学中，数列求和是一项基本的技巧，它不仅在数学课堂上有着广泛的应用，也在实际生活中有着重要的意义。
一、等差数列求和等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
等差数列求和是数列求和中最常见的一种情况。
对于一个等差数列，我们可以通过以下方法来求和。
首先，我们需要知道等差数列的首项a1和公差d。
首项指的是数列中的第一个数字，而公差则是数列中相邻两项之间的差值。
其次，我们可以利用等差数列的求和公式来求和。
等差数列的求和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，n表示项数。
举个例子来说明，假设我们要求和的等差数列为1, 3, 5, 7, 9，其中首项a1为1，公差d为2。
我们可以使用求和公式来计算前5项的和。
首先，我们可以计算出n/2，即5/2=2.5。
然后，将a1和d带入公式中，得到2 * 1 + (5-1) * 2 = 10。
最后，将2.5与10相乘，得到前5项的和为25。
二、等比数列求和等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
与等差数列不同，等比数列的求和方法稍有不同。
对于一个等比数列，我们需要知道首项a1和公比q。
首项指的是数列中的第一个数字，而公比则是数列中相邻两项之比。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)，其中Sn表示前n项和，n表示项数。
让我们来看一个例子，假设我们要求和的等比数列为1, 2, 4, 8, 16，其中首项a1为1，公比q为2。
我们可以使用求和公式来计算前5项的和。
首先，我们可以计算出1-q^n，即1-2^5=-31。
然后，将a1和-31带入公式中，得到1 * (-31) / (1-2) = 31。
最后，我们得到前5项的和为31。
三、级数求和除了等差数列和等比数列之外，还有一种常见的数列求和情况是级数求和。
等差数列100题解题技巧
等差数列100题解题技巧
解等差数列题目的技巧主要包括确定公差、找出通项公式、计算首项和末项等步骤。
下面我将从多个角度给出解等差数列题目的技巧。
首先，解等差数列题目的第一步是确定公差。
公差是等差数列中相邻两项之间的差值，通常用字母d表示。
可以通过题目中给出的数列项或者数列的性质来确定公差。
其次，找出等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，通常用字母an表示。
通项公式的一般形式是an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
掌握通项公式可以帮助我们快速计算任意项的值。
另外，计算首项和末项也是解等差数列题目的重要步骤。
首项通常用a1表示，可以通过题目中给出的信息或者通项公式来求得；而末项则需要根据题目所给的条件或者数列的性质来计算。
此外，还可以利用等差数列的性质来解题，比如等差数列中任意三项可以构成一个等差数列，利用这一性质可以简化问题的解决
过程。
最后，解等差数列题目时需要注意细节，比如计算过程中要注意精确度，尤其是小数运算时要注意四舍五入；另外，要注意题目中可能存在的陷阱，比如误导性的信息或者隐藏的规律等。
总之，解等差数列题目的技巧包括确定公差、找出通项公式、计算首项和末项、利用等差数列的性质以及注意细节等方面。
掌握这些技巧可以帮助我们更加高效地解决等差数列题目。
希望以上回答能够帮助到你。
数列求和的八种方法
（高考专题）数列求和的九种方法公式索引：1 运用公式法很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222n nn n n n n n n -++++=+++++-=++++=-++++=-还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321+=++++++=++++n n n n n n n1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式=答案：例 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T .解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=.(2)当17≥n 时，512322)()()(21616161817162121+-=-=--=+++++++=+++=n n S S S S S a a a a a a a a a T nn n nn所以 2232(1,2,,16)32512(17,)n n nn T n n n n *⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N 且例 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n .解 设2)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和.)2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222++=++-+⋅+=++++-+++++=n n n n n n n n n n n n S n高考题 求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =. 高考题 求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.高考题 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：(1)13n na -=；(2)22n n nS -=.高考题 已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. (1)求n a 及n S ；(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通 项公式及其前n 项和n T .答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)2122,(41)3n nn n b T -==-. 2 倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法.这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例] 求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序） 又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：例 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=例 设4()42xx f x =+，求和12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==例 若}{n a 是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111++=+++n n n a a na a a a a a . 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：若0d =，要证结论显然成立；若0≠d ，得)11(1111++-=n n n n a a d a a11111113221132211111)11()11()11(1111+++++=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=+++n n n n n n n a a na a nd d a a d a a a a a a d a a a a a a例 证明222211112(123n n*++++<∈N 且2)n ≥. 证明22221312111n++++ 11111223(1)11111111223111121n nn n n <++++⋅⋅-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭高考题 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1)133n a n =-；(2)10(103)n nS n =-.高考题 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.(1)求的值；(2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切正整数，有31)1(1)1(1)1(12211<++++++n n a a a a a a .答案：(1)12a =；(2)2n a n =；(3)当1n =时，可得欲证成立.当2n ≥时，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭，再用裂项相消法可得欲证.高考题 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T . {}n a n n S n S ()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,0332221a {}n a n答案：(1)21n a n =-，2221221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.[例] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和的方法技巧总结
数列求和的方法技巧总结数列求和的方法技巧总结总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，我想我们需要写一份总结了吧。
总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是小编为大家整理的数列求和的方法技巧总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1. 已知求解：。
①把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：②把①②两式相加得二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列的前n项和。
解：设当时，当时，①①式两边同时乘以公比a，得②①②两式相减得三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列的前n项和。
解：设数列的前n项和为，则当时，当时，说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的'情况进行讨论。
四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。
如例4. 求数列的前n项和。
解：五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5. 已知数列求该数列的前n项和。
解：对n分奇数、偶数讨论求和。
①当时，②当时，六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。
这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。
例6. 已知数列求该数列的前n项和。
解：即∴数列是一个常数列，首项为七、综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。
例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。
关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。
解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：②当n为偶数时，可知：由①②可得说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。
当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。
(经典)第九课：数列求和方法技巧(教师) 一10.14
第九课：数列求和方法技巧一10.14(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}、{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推文予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．考点一由递推关系求通项例1、(2016·高考全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n－(2a n＋1－1)a n－2a n ＝0.＋1(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．【方法规律】求数列通项的常用方法1．归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．2．已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n .3．累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．4．累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．5．构造法：(1)递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋qp －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解． (2)递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1p的形式．【变式探究】数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a n ＝2S n －1＋3n (n ≥2)，则该数列的通项公式为a n ＝________. 【答案】(2n ＋1)3n －1【解析】∵a n ＝2S n －1＋3n ，∴a n －1＝2S n －2＋3n －1(n ≥3)，两式相减得：a n －a n －1＝2a n －1＋2×3n －1，即a n ＝3a n －1＋2×3n －1，∴a n 3n ＝a n －13n －1＋23(n ≥3)，又a 2＝2S 1＋32＝2a 1＋32＝15，a 232＝53，a 13＋23＝53， 即a 232＝a 13＋23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，23为公差的等差数列， ∴a n 3n ＝1＋(n －1)×23，∴a n ＝(2n ＋1)3n －1. 考点二 分组转化法求和例2、(2016·高考全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．【方法规律】1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减． 形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组．【变式探究】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n 1＋2n －1 2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.考点三 错位相减法求和例3、【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-. 【解析】又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【变式探究】(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式．(2)令c n ＝ a n ＋1 n ＋1b n ＋2 n，求数列{c n }的前n 项和T n .【方法技巧】错位相减法的关注点1．适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． 2．具体步骤：(1)求和时先乘以数列{b n }的公比； (2)把两个和的形式错位相减； (3)整理结果形式．【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且有S n ＝1－a n (n ∈N *)，点(a n ，b n )在直线y ＝nx 上．(1)求T n ；(2)试比较T n 和2－n 22n 的大小，并说明理由．(2)令B n ＝2－n 22n ，则T n －B n ＝－n ＋22n ＋n 22n＝n 2－n －22n＝n －2 n ＋12n， 所以当n ＝1时，T 1－B 1＜0，所以T 1＜B 1；当n ＝2时，T 2－B 2＝0， 所以T 2＝B 2；当n ≥3时，T n －B n ＞0， 所以T n ＞B n .综上所述，当n ＝1时，T n ＜2－n 22n ；当n ＝2时，T n ＝2－n 22n ；当n ≥3时，T n ＞2－n 22n .考点四 裂项相消法求和例4、【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.【答案】(1) ()221n a n N n +=∈-；(2)221nn + . 【解析】.(2).,.【变式探究】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：1a 1＋1＋2a 2＋1＋3a 3＋1＋…＋na n ＋1＝n ，n ∈N *.(1)求a n .(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋1S n ＋3＋…＋1S 2n ，是否存在整数m ，使对任意n ∈N *，不等式T n ≤m 恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．【方法规律】1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于{1a n a n ＋1}或{1a n a n ＋2}(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 【方法规律】已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋13a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝log 4(1－S n ＋1)(n ∈N *)，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求使T n ≥1 0082 018成立的最小的正整数n 的值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋13a 1＝1⇒a 1＝34，当n ≥2时，S n ＋13a n ＝1， ①S n －1＋13a n －1＝1, ②（二）真题练习1.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++ ．【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）312n -.【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3. 所以.从而.2.【2016高考新课标3文数】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。
数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题
数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作lim n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3. 数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n 4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2 ，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴ ⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围 解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0 答案:C7 解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴ca =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=c a =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim 21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。
多级数列解题技巧
多级数列解题技巧
1. 嘿，多级数列解题，首先得学会找规律啊！就像警察找线索一样，你得细心去发现那些数字之间隐藏的小秘密哟！比如 2，5，10，17，这之间的差值可就有门道啦！
2. 多级数列里的递增递减变化那可得瞪大眼睛瞧仔细咯！这就好比爬山，上山难下山易，数字变化的趋势可不简单呐！像 3，6，12，24 这样明显的递增，得抓住机会呀！
3. 很多人面对多级数列就发怵，哎呀，别害怕呀！这就跟打游戏一样，一级一级攻克嘛！瞧瞧 4，9，16，25 这组数，把每一级的规律弄明白，不就拿下啦！
4. 多级数列里有时候会出现一些出其不意的变化，这多刺激呀！就像生活中突然的小惊喜或小惊吓，可得稳住心神呐！例如 1，2，6，24，这种变化可别慌哦！
5. 你们有没有发现有时候相邻数字的差或和就藏着关键信息呢？这就像是在宝藏图上找到了重要线索一样兴奋呀！像 5，7，12，19 就是很典型的例子哟！
6. 多级数列解题要多尝试不同方法呀，别在一棵树上吊死嘛！这就好似走迷宫，走不通就换条路呗！比如说 2，4，8，14 这组，多试试没准就有收获啦！
7. 哎呀呀，多级数列真的很有趣的呀！虽然有时候会让人头疼，但一旦掌握技巧，那成就感可不是一般的呢！就像历经千辛万苦爬上山顶看到美丽风景一样值得呀！像 6，10，16，24 这组数，多分析分析就懂啦！总之，多级数列解题技巧就是要多观察、多尝试、别怕困难，这样才能在数字的海洋里畅游无阻呀！。
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数列运算的一些小技巧
等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b
深一点模式，各数之间的差有规律，如1、2、5、10、17。
它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。
这些规律还有差之间成等比之类。
B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。
3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。
如7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。
而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。
所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436</B>，这就是规律。
4、如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数; 7+14＝10+11＝9+12。
首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。
B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。
5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。
如
6、24、60、120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。
这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。
6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。
如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9＝172+8+6＝163+0+2＝5，∵256+13＝269269+17＝286286+16＝302 ∴下一个数为302+5＝307。
7)再复杂一点，如0、1、3、8、21、55，这组数的规律是b*3-a=c，即相邻3个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。
8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。
而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如2就要看成2/1。
数字推理题经常不能在正常时间内完成，考试时也要抱着先易后难的态度(废话，嘿嘿)。
应用题个人觉得难度和小学奥数程度差不多(本人青年志愿者时曾在某小学辅导奥数)，各位感觉自己有困难的网友可以看看这方面的书，还是有很多有趣、快捷的解题方法做参考。
国家公务员考试中数学计算题分值是最高的，一分一题，而且题量较大，所以很值得重视(国家公务员125题，满分100分，各题有分值差别，但如浙江省公务员一共120题，满分120分，没有分值的差别)
补充：
中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/2
9）数的平方或立方加减一个常数，常数往往是1，这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉
如看到2、5、10、17，就应该想到是1、2、3、4的平方加1
如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的立方减1
对平方数，个人觉得熟悉1~20就够了，对于立方数，熟悉1~10就够了，而且涉及
到平方、立
方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快
10）A＾2－B＝C因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来
如数列5，10，15，85，140，7085
如数列5,; 6,; 19,;;17 ,; 344 , －55
如数列5,15,10,215，－115
这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就
考虑这个规律看看
11）奇偶数分开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项
如数列1,8,9,64,25，216
奇数位1、9、25 分别是1、3、5的平方
偶数位8、64、216是2、4、6的立方
先补充到这儿。
12) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈2倍关系
如数列：1、2、3、6、12、24
由于后面的数呈2倍关系，所以容易造成误解！
数字推理的题目就是给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案.。