部分分式法求逆拉普拉斯变换

s2 例子：求F (s) = (s + 2)(s + 1) 2
解：
的原函数
f (t )
s2 K1 K2 K3 F (s) = = + + 2 ( s + 2)( s + 1) s + 2 s + 1 ( s + 1) 2
s2 K1 = ( s + 2) ( s + 2)(s + 1) 2 =4
s = −2
z1 , z2 , z3 ⋯ zm是N (s ) = 0的根, 称为F (s )的零点
p1 , p2 , p3 ⋯ pn是D(s ) = 0的根, 称为F (s )的极点
部分分式法求解 逆拉普拉斯变换步骤
1.求 F (s ) 的极点 2.将 F (s ) 展开为部分分式和的形式 单极点：单阶实数极点 单阶共轭复数极点 重极点： f (t 3.查“拉普拉斯变换表”求出原函数)
1
s = p1
求其他系数，要用下式：
1 d i −1 K1i = F ( s) , i = 2,3, ⋯ k i −1 1 (i − 1)! d s s = p1
d 当i = 2, K12 = F1 ( s ) s = p1 ds 1 d2 当i = 3, K 13 = F1 ( s ) s = p1 2 2 ds
的原函数
f (t )
2s 3 + 14s 2 + 25s + 15 K K K F ( s) = = 2+ 1 + 2 + 3 s 3 + 6s 2 + 11s + 6 s +1 s + 2 s + 3 令 F1 ( s ) = K1 + K 2 + K 3 ，则 s +1 s + 2 s + 3
2s 2 + 3s + 3 K1 = ( s + 1) F1 ( s ) |s = −1 = |s = −1 = 1 ( s + 2)( s + 3)
例子：求
解：
F (s) =
s s 2 + 2s + 5
的逆变换 f (t ) 。
s s = F (s) = 2 s + 2 s + 5 ( s + 1 + j 2)( s + 1 − j 2)
K1 = ( s + 1 − j 2) s − 1 + j 2 2 + j1 = = 2 ( s + 2 s + 5) s = −1+ j 2 j4 4
2s 2 + 3s + 3 K 2 = ( s + 2) F1 ( s ) |s =−2 = |s =−2 = −5 ( s + 1)( s + 3)
2 s 2 + 3s + 3 K 3 = ( s + 3) F1 ( s ) |s =−3 = |s = −3 = 6 ( s + 1)( s + 2)
=1
s = −1
F (s) =
f (t ) = L−1 [F ( s )] = (4 e −2t − 3 e − t + t e − t )ε (t )
4 −3 1 + + s + 2 s + 1 ( s + 1) 2
1. 单阶实数极点
n个待定系数 个待定系数
N ( s) K1 K2 Kn F ( s) = = + +⋯+ ( s − p1 )( s − p2 ) ⋯ ( s − pn ) s − p1 s − p2 s − pn
两边同乘以因子 ( s − pi ) ，再令 s = pi 于是等式右边仅留下系数 Ki ，所以
例如，
3s 3 − 2s 2 − 7 s + 1 s−4 F ( s) = = 3s − 5 + 2 s2 + s −1 s + s −1
m < n :实系数有理真分式.
F (s) =
N ( s ) bm ( s − z1 )( s − z 2 ) ⋯ ( s − z m ) = D ( s ) a n ( s − p1 )( s − p 2 ) ⋯ ( s − p n )
4．3部分分式法 求逆拉普拉斯变换
4．3．1单极点逆拉普拉斯变换
bm s m + bm−1s m−1 + .... + b1s + b0 N Βιβλιοθήκη Baidu s ) = F ( s) = an s n + an −1s n −1 + ... + a1s + a0 D( s )
m ≥ n ,分解为有理多项式与有理真分式之和。
K 2 = ( s + 1 + j 2)
s − 1 − j 2 2 − j1 = = ( s 2 + 2 s + 5) s = −1− j 2 j4 4
1 ∴ f (t ) = [(2 + j1) e ( −1+ j 2) t + (2 − j1) e ( −1− j 2) t ] 4
= 1 −t e [2 cos(2t ) − sin (2t )] 2
, t ≥ 0
3.重极点
K1( k −1) K F1 ( s ) K11 K12 +⋯+ + 1k = + ( s − p1 ) 2 s − p1 ( s − p1 ) k ( s − p1 ) k ( s − p1 ) k −1
K11 = F1 ( s ) s = p = ( s − p1 ) k F ( s )
s1 = −α + j β
, s 2 = −α − j β
K1 K2 F (s ) = + + ...... s+α− jβ s+α+ jβ
K1 = (s + α − j β )F (s ) s = −α+ jβ
K 2 = (s + α − j β )F (s )
s = −α− jβ
实际上， K1 , K2 也互为共轭。
2 2 2 由于 d ( s + 1) 2 F ( s ) = d s = 2s ( s + 2) − s = s + 4s ds d s s + 2 ( s + 2) 2 ( s + 2) 2
[
]
所以
s 2 + 4s K2 = ( s + 2) 2
2
= −3
s = −1
s2 K 3 = ( s + 1) ( s + 2)( s + 1) 2
K i = ( s − pi ) F ( s) s = p
i =n i =1
i
f (t ) = ∑ K i e − si t = K1e − s1t + K1e − s1t + ... + K n e − snt
例子：求
解：
2 s 3 + 14 s 2 + 25s + 15 F (s) = s 3 + 6 s 2 + 11s + 6
∴ F (s) = 2 +
1 −5 6 + + s +1 s + 2 s + 3
f (t ) = 2δ (t ) + e − t − 5 e −2t + 6 e −3t , t ≥ 0
2.单阶共轭复数极点
F (s ) = D1 (s ) (s + α ) + β 2
2
[
N (s )
]
F1 (s ) = (s + α − j β )(s + α + j β )