拉氏变换常用公式

三角函数拉氏变换常用公式

三角函数拉氏变换常用公式
拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为L[f(t)]。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数s的函数：
拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表，方便查阅。

拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。

拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。

因此，拉氏变换较多被用于解决：
(1).常数系数的线性微分或积分方程式；
(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式3．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss is A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()(式中，1s 为F(s)的r 重根，1 r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

自动控制中拉氏变换常用公式

⏹ 自动控制中常用拉普拉斯变换● 拉普拉斯变换()()()0,,0st F s L f t f t e dt s j σωσ∞-===+>⎡⎤⎣⎦⎰其中 1、指数函数00()0t t f t et α-<⎧=⎨≥⎩，其中，α为常数。

()001[]d d t t st s t L e e e t e t s αααα∞∞----+===+⎰⎰ 2、单位阶跃函数()00()110t f t t t <⎧==⎨≥⎩，其中，A 为常数。

()01[1]1d st L t e t s ∞-=⋅=⎰ 3、单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t tt f 2000011[]d d d st st st st e e L t te t t t e t s s s s∞--∞∞∞--==-==--⎰⎰⎰ 4、三角函数00()sin 0t f t t t ω<⎧=⎨≥⎩ 根据欧拉公式：sin 2j t j te e t jωωω--= 拉式变换为：2222112[sin ]22j t j t j L t L e e j j s s ωωωωωωω-⎛⎫⎡⎤=-== ⎪⎣⎦++⎝⎭ 同理余弦函数的拉式变换为：22[cos ]s L t s ωω=+ 5、单位脉动函数 00010()00,t t t f t t t t ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩，其中，t 0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为1/t 0的阶跃函数，与另一个从t ＝t 0开始的高度为1/t 0的负阶跃函数叠加而成。

即00011()()()f t u t u t t t t =-- ，可得： 0000000011111[()]()()(1)st st L f t L u t L u t t e e t t t s t st s --⎡⎤⎡⎤=--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 6、单位脉冲函数单位脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

拉氏变换与拉普拉斯变换的区别

拉氏变换与拉普拉斯变换的区别拉氏变换和拉普拉斯变换是数学中常用的两种变换方法，它们在信号与系统、控制理论等领域有着广泛的应用。

虽然两者都是将一个函数或信号从时域转换到频域，但它们在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。

拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，通常表示为σ+jω，其中σ是实部，ω是虚部。

这个变换将时域函数f(t)转换成复频域函数F(s)，其中s的实部表示函数的衰减或增长情况，虚部表示函数的周期性。

拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt与拉氏变换不同的是，拉普拉斯变换的时间范围是从0到正无穷，而拉氏变换的时间范围是从负无穷到正无穷。

这使得拉普拉斯变换更适用于描述初始条件的情况，例如电路中的初始电荷和电流等。

另外，拉普拉斯变换在定义上还包括了初值定理和终值定理，这两个定理是拉普拉斯变换的重要性质之一。

初值定理指出，如果一个函数在时刻t=0时的初值存在，则该初值可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。

终值定理则指出，如果一个函数在时刻t=∞时的极限存在，则该极限可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。

从应用角度来看，拉氏变换更常用于解决线性时不变系统的稳定性和频率响应等问题，而拉普拉斯变换更常用于解决线性时不变系统的初始值和稳态值问题。

此外，拉普拉斯变换还可以用于求解微分方程的初值问题，而拉氏变换只适用于求解微分方程的全局性质。

这使得拉普拉斯变换在控制系统、电路分析和信号处理等领域中更为常见。

综上所述，拉氏变换和拉普拉斯变换在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。

选择使用哪种变换方法取决于具体的问题和应用领域。

在信号与系统、控制理论等领域，了解和掌握这两种变换方法的区别及其特点对于深入理解和应用相关知识非常重要。

时常使用推普推斯变更归纳之阳早格格创做1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 战a 为常数.2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数.3、单位阶跃函数4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数.A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，爆收正在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）5、单位斜坡函数6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数.根据欧推公式：推式变更为：共理余弦函数的推式变更为：22]cos [ωω+=s Ast A L7、脉动函数t t t t t t At f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=00,000)(，其中，A 战t 0为常数.脉动函数不妨瞅干是一个从t ＝0启初的下度为A /t 0的阶跃函数，取另一个从t ＝t 0启初的下度为A /t 0的背阶跃函数叠加而成.8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况.9、单位脉冲函数劈里积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或者称为狄推克(Disac)函数，量值为无贫大且持绝时间为整的脉冲函数杂属数教上的一种假设，而没有成能正在物理系统中爆收.然而是，如果系统的脉动输进量值很大，而持绝时间取系统的时间常数相比较非常小时，不妨用脉冲函数来近似天表示脉动输进.当形貌脉冲输进时，脉冲的里积大小利害常要害的，而脉冲的透彻形状常常本来没有要害.脉冲输进量正在一个无限小的时间内背系统提供能量.单位脉冲函数)(0t t -δ不妨瞅做是单位阶跃函数u （t-t 0）正在间断面t=t 0上的导数，即差异，如若对于单位脉冲函数)(0t t -δ积分：积分的截止便是单位阶跃函数 u （t-t 0）利用脉冲函数的观念，咱们不妨对于包罗没有连绝面的函数举止微分，进而得到一些脉冲，那些脉冲的量值等于每一个相映的没有连绝面上的量值.10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数. 推氏变更为：当A=21时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，爆收正在t=t 0时刻的加速度函数常常写成)(0t t a -，图像如下：11、单位加速度函数：。

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)df (t )] sF (s) f ( 0)L[dt2d f (t ) 2L[] s F ( s) sf (0) f （0）d n f (t )nnn k ( k 1)k 1sL dt n s F ( s) f (0)f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )dt k 1L[d n f (t )] s n F (s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t )dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2]F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0s2 s2 s共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k 1共n个L[ f (t )(dt) n ] F( s)s nL[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)L[ f (t) e at ] F ( s a)lim f (t) lim sF (s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 st) f2 ( )d ]t)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t0 012．常用函数的拉氏变换和序号拉氏变换E(s) 1 112 1 e Ts13s4 1 s25 1 s361 s n 17 1s a8 1 2( s a)9 as(s a)10 b a(s a)(s b) 11 s 2 212ss2 213( s2 2a)14 s a 2 2(s a)1 z变换表时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos tZ 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z( z 1)2(z 1)3lim(1)n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eTze aT( z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)(z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z( z cos T )2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2aTz15 s (1/ T ) ln a a t / T z a23．用表法行拉氏反用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式张开，尔后逐表行反。

常用拉普拉斯变换公式表

常用拉普拉斯变换公式表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时域转换到频域，从而方便地进行分析和处理。

在工程、物理、数学等领域中，拉普拉斯变换都有着广泛的应用。

本文将介绍常用的拉普拉斯变换公式表。

1. 基本公式拉普拉斯变换的基本公式如下：$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$其中，$f(t)$是时域函数，$F(s)$是频域函数，$s$是复变量。

2. 常用公式(1) 常数函数$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$$(2) 单位阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}$$(3) 指数函数$$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$$(4) 正弦函数$$\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}$$(5) 余弦函数$$\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}$$(6) 阶跃函数$$\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s}$$(7) 带指数的函数$$\mathcal{L}\{te^{at}\}=\frac{1}{(s-a)^2}$$(8) 带阶跃的函数$$\mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\}=\frac{e^{-as}}{s^2}$$(9) 带正弦的函数$$\mathcal{L}\{t\sin(at)\}=\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$$(10) 带余弦的函数$$\mathcal{L}\{t\cos(at)\}=\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$$ 3. 总结本文介绍了常用的拉普拉斯变换公式表，包括基本公式和常用公式。

这些公式在工程、物理、数学等领域中都有着广泛的应用，可以方便地将时域函数转换到频域进行分析和处理。

拉氏逆变换的公式

拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。

1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。

1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。

例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。

根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。

2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。

为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。

我们可以使用留数定理来实现这一点。

首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。

根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。

根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。

实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。

拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式1233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式1 / 43．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( ts nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。

本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。

以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。

（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

拉氏变换 (3)

拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。

它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。

通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。

拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。

通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。

2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。

给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。

拉氏变换有许多重要的性质。

以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。

对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。

•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。

类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。

•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。

即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。

•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。

即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。

3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。

通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。

(完整版)拉氏变换常用公式

Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设是的有理真分式
（）
式中系数，都是实常数；是正整数。按代数定理可将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
（F-1）
式中，是特征方程A(s)＝0的根。为待定常数，称为F(s)在处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中，为对的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设有r重根，F(s)可写为
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称域平移定理）
5
衰减定理（或称域平移定理）
6
终理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
=
式中，为F(s)的r重根，，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中，，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算，，，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数为
（F-6）

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

拉氏变换常用公式

常用拉普拉斯变换总结1、指数函数,其中,A 与a 为常数。

2、阶跃函数,其中,A 为常数。

3、单位阶跃函数0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t Att f ,其中,A 为常数。

20d s A t e s A st ==⎰∞-A ＝1时得斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻得单位斜坡函数写成r(t-t 0)5、单位斜坡函数6、正弦函数,其中A 为常数。

)(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式: 拉式变换为:同理余弦函数得拉式变换为:7、脉动函数,其中,A 与t 0为常数。

脉动函数可以瞧做就是一个从t ＝0开始得高度为A /t 0得阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开)(21sin t j t j e e j t ωωω--=始得高度为A /t 0得负阶跃函数叠加而成。

8、脉冲函数脉冲函数就是脉动函数得一种特殊极限情况。

9、单位脉冲函数当面积A =1得脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,量值为无穷大且持续时间为零得脉冲函数纯属数学上得一种假设,而不可能在物理系统中发生。

但就是,如果系统得脉动输入量值很大,而持续时间与系统得时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时,脉冲得面积大小就是非常重要得,而脉冲得精确形状通常并不重要。

脉冲输入量在一个无限小得时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数可以瞧作就是单位阶跃函数u(t-t 0)在间断点t=t 0上得导数,即相反,如若对单位脉冲函数积分:积分得结果就就是单位阶跃函数 u(t-t 0)利用脉冲函数得概念,我们可以对包含不连续点得函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲得量值等于每一个相应得不连续点上得量值。

10、加速度函数,其中,A 为常数。