抽象函数的解题方法与技巧
高考数学中抽象函数的解法
函数 y f ( x) 的图象关于点 (a b ,0) 成中心对称图形。 2
（ 3）设 a, b 均为常数，函数 y f (x) 对一切实数 x 都满足 f (a x) f (b x) 函
数y
f (x) 的图象关于轴 x
ab 对称。
2
4
例 14：如果 f ( x) = ax 2 bx c 对任意的 t 有 f (2 t ) f 2 t ) , 比较
所以 f ( x2 ) f ( x1 (x2 x1)] f (x1) f (x2 x1) f ( x1 )
所以 y f ( x) 在 R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）
九、周期问题
命题 1：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函 数 y=f(x) 是周期函数 .
函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= － f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
1 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f ( x ) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
下面来证明，对任意 x R, f ( x) 0 设存在 x0 R ，使得 f ( x0 ) 0 ，则 f (0) f (x0 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0 这与上面已证的 f (0) 0矛盾，因此，对任意 x R, f ( x) 0 所以 f ( x) 0 评析：在处理抽象函数的问题时， 往往需要对某些变量进行适当的赋值， 般向特殊转化的必要手段。
高考抽象函数技巧全总结[1]
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高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u=-∴2()2111u u f u uu-=+=--∴2()1x f x x-=-2.凑合法：在已知(())()f g x h x =即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x解：∵22111()()(1)(f x x x x xxx+=+-+=11|||1||x xx =+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
抽象函数是指函数的三种表示法(经典)
抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
解抽象函数的常用方法
解 令 ：Ｙ＝０，则 ０）＝ｌ／ ０）＋ ０），．’． ０）＝０．
令 Ｙ＝ 一 ，则 ）＋ 一 ）：０，．。．＿厂（一Ｘ）＝ 一 ），
． ‘ ． －厂（ ）是 奇 函数 ，
设 ＸＩ＜ ２．则 厂（ｘ２）一，（ １）＝＿厂（ ２一 １），
’ ’ ．
＞０√
）＜０，．’． ２一 ｌ＞０√Ｉ ２一 Ｉ）＜０，
例 ２ 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 ’（Ｘ）满 足 ｆ（ ＋Ｙ）＋１＝
ｆ（ｘ）＋，（ｙ） ÷）－０，且 ＞÷时 ）＜０．
（１）设 ａ ＝ ｎ）（ｎ∈Ｎ‘），求数 列 的前 项 和 Ｓ ． （２）判 断 －厂（ ）的单 调 性 ，并 证 明． 分 析 对 于 一 次 函 数 ｆ（ ）＝ ＋６（ ≠０）有 ｆ（ ）＋ ｙ）＝ ＋Ｙ）＋６成 立 ，分 析 本 题 条 件 ，该 题 是 以 函 数 ，（ ）＝２ｘ＋１为 模 型命 制 的．
抽象 ，从抽象到具体的辩证关系．下面略举数例加 以说明．
一 、 以正 比例 函数 为 模 型 例 １ 已知 ，（ ）是 定 义在 Ｒ 上 的 函数 ，对 任 意 的 ，ｙ∈
Ｒ，都 有 ｆ（ ＋Ｙ）＝Ｉ厂（ ）＋ｆ（，，），且 当 ＞０ 时 ，ｆ（ ）＜０，
，（１）：一２．当 一３≤ ≤３时，函数 ）是 否存在最 大值？若
小 结 ：抽 象 函数 都 是 以 中 学 阶 段 所 学 的 基 本 函 数 为 背
景．解题时 ，若 能根 据题 设中抽象 函数 的性 质寻求抽 象 函数
的特殊模型 ，灵活 变通 ，便可 寻找 到解 决 『ｎ】题的 突破 口 ，其
解题策略通常是 ：（１）利用 函数 的定 义来 解题 ；（２）利用 函
ｎ）＝ 一ｌ＋（ｎ—１）·（一２）＝ 一２ｎ＋１，
(完整版)抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数技巧总结(学生用)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .二、利用函数性质，解()f x 的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
归纳抽象函数常见题型及解法
5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现 形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见 函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函 数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜 能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是 般向特殊转化的必要手段.式.解：在 设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以 代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域 ［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和 解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数几类问题的解题方法与技巧
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。
（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数得周期性:1、定义在x∈R上得函数ｙ=f(ｘ),满足f(x+a)=f(ｘ—a)(或f(x-2a)＝f(x))(ａ＞０)恒成立,则y＝f(ｘ)就是周期为2ａ得周期函数;２、若y=ｆ(x)得图像关于直线x＝ａ与x=ｂ对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜a-ｂ｜得周期函数;３、若y=ｆ(x)得图像关于点(ａ,０)与(b,0)对称,则函数ｙ=f(x)就是周期为２｜ａ—b｜得周期函数;4、若y=f(x)得图像有一个对称中心A(a,0)与一条对称轴ｘ=b(a≠b),则函数ｙ＝ｆ(x)就是周期为４｜ａ-b|得周期函数;5、若函数y=f(x)满足f(a+ｘ)=f(ａ-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a;如果y=f(ｘ)为偶函数,则其周期为2a;６、定义在x∈R上得函数ｙ＝f(ｘ),满足f(x+a)=—f(x),则y=ｆ(x)就是周期为2|a｜得周期函数;7、若在x∈R恒成立,其中ａ>０,则ｙ＝f(x)就是周期为4ａ得周期函数;8、若在ｘ∈R恒成立,其中a>０,则ｙ=f(x)就是周期为2a得周期函数。
(7、8应掌握具体推导方法,如7)函数图像得对称性:1、若函数y=ｆ(ｘ)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=ｆ(ｘ)得图像关于直线对称;2、若函数ｙ=f(x)满足f(x)=ｆ(２a－x)或f(x＋a)=ｆ(a－x),则函数y＝f(x)得图像关于直线x=a对称;３、若函数ｙ＝f(x)满足f(a+x)＋f(ｂ-x)=c,则y＝f(x)得图像关于点成中心对称图形;4、曲线f(x,y)=0关于点(a,ｂ)得对称曲线得方程为f(2a-x,2b—y)=0;５、形如得图像就是双曲线,由常数分离法知:对称中心就是点;6、设函数y=ｆ(x)定义在实数集上,则y=f(x+ａ)与y=f(b-x)得图像关于直线对称;7、若函数y=f(ｘ)有反函数,则y=f(a+x)与ｙ=f -１(ｘ＋a)得图像关于直线y=x+a对称。
例析求解抽象函数问题的几种途径
解题宝典抽象函数问题对同学们的抽象思维能力和分析能力有较高的要求.抽象函数问题中往往不会给出具体的函数解析式，要求我们根据已知条件求函数的单调区间、最值、定义域，解函数不等式.下面结合实例，谈一谈解答抽象函数问题的几种途径.一、利用函数的单调性对于一些有关抽象函数的值域、单调区间、函数不等式、单调性问题，通常需根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，进一步利用函数的单调性解题.在利用函数的单调性解题时，往往要先根据题意确定函数的定义域，判断抽象函数的单调性和单调区间，再根据函数的单调性建立关系式.例1.函数f()x是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意x、y∈R，都有f()x+y=f()x+f()y；②当x>0时，f()x<0，且f()1=-2.则函数f()x在区间[]-3,3上的值域为_____.解：设x1,x2∈[]-3,3，且x1>x2，则f()x1-f()x2=f()x1+f()-x2=f()x1-x2<0，所以f()x1<f()x2，则函数f()x在区间[]-3,3上是减函数，所以f()x max=f()-3=-f()3=-f()1+2=-f()1-f()1+1=-3f()1=6，f()x min=f()3=-f()-3=-6，即函数f()x在区间[]-3,3上的值域为[]-6,6.我们根据函数单调性的定义，先令x1,x2∈[]-3,3，x1>x2；然后将f()x1-f()x2，判断出差式的符号，即可判断出函数的单调性；再根据函数在[]-3,3上的单调性确定函数的最值点，即可解题.对于闭区间上的函数最值问题，通常要重点关注区间端点值，由函数的单调性可知函数的最值往往在区间端点处取得.例2.已知函数f()x对于任意正数a,b都有f()ab=f()a⋅f()b，且f()0=1，当x>1时，f()x>1，若f()x⋅f()5-x>1，求x的取值范围.解：令x1,x2∈()0,+∞，x1<x2，则f()x2f()x1=f()x2x1⋅x1f()x1=f()x2x1f()x1f()x1=f()x2x1，因为x2x1>1，所以f()x2f()x1=f()x2x1>1，f()x2>f()x1，可知函数f()x在()0,+∞上单调递增，因为f()ab=f()a f()b，所以不等式f()x f()5-x>1等价于f()x()5-x>f()0，可得x()5-x>0，解得0<x<5，故x的取值范围为()0,5.首先将f()x1、f()x2作商，即可根据函数单调性的定义判断出抽象函数在()0,+∞上的单调性；然后利用函数的单调性去掉f()x()5-x>f()0中函数符号“f”，将不等式转化为常规不等式，即可通过解不等式求得问题的答案.解函数不等式，通常要将不等式中的自变量转化到同一单调区间内，才能根据函数的单调性将问题转化为常规不等式问题.二、换元对于含有复杂式子、复合函数的抽象函数问题，往39往要采用换元法求解.即将复杂的式子、复合函数中的某一部分式子用一个新元替换，即可将函数简化，根据函数的性质、定义域求得问题的答案.例3.已知函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，求函数y =f ()x +3的定义域.解：由函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，可知-1≤x ≤1，∴-2≤2x ≤2，设t =2x ，∴y =f ()t 的定义域为[]-2,2，令t =x +3，可得-2≤x +3≤2，解得-5≤x ≤-1，∴函数y =f ()x +3的定义域为[]-5,-1.函数y =f ()2x 、y =f ()x +3均为复合函数，而y =f ()2x 中的2x ，y =f ()x +3中的x +3均与y =f ()x 中的x 的意义相同，于是令t =x +3，并将t 替换2x ，通过等量代换，求得函数y =f ()x +3的定义域.三、数形结合数形结合法是解答函数问题的重要思想方法.在解答抽象函数问题时，我们可以先根据已知条件确定抽象函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性；然后画出相应的函数图象，以明确函数图象的变化趋势，尤其要关注函数的最高点、最低点、单调区间、对称轴、对称中心、周期；再建立新的关系式，即可求得问题的答案.例4.已知f ()x 在R 上是奇函数，在区间[]0,2上单调递增，且f ()x -4=-f ()x .若方程f ()x =m ()m >0在区间[]-8,8上有四个不相等的根x 1、x 2、x 3、x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的值.图1解：∵f ()x 在R 上是奇函数且满足f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -4=f ()-x ，f ()4-x =f ()x ，∴函数的对称轴为直线x =±2，且f ()0=0，∵f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -8=f ()x ，∴函数的周期为8，∵函数f ()x 在区间[]0,2上单调递增，∴函数f ()x 在区间[]-2,2上单调递增，令x 1<x 2<x 3<x 4，根据图象的对称性可知x 1+x 2=-12，x 3+x 4=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8.解答本题，需先根据已知条件确定函数的对称轴、周期以及单调性；然后画出f ()x 的大致图象，即可通过研究图象的变化情况，确定f ()x 与函数y =m 在区间[]-8,8上的4个交点的位置；再结合图象的对称性，求出x 1+x 2+x 3+x 4的值.例5.设函数f ()x 满足f ()2+x =f ()2-x ，f ()x 在[)2,+∞上是减函数，若f ()3x -1>f ()x +3，则x 的取值范围是_________.解：由题意知f ()x 的图象关于直线x =2对称，∵f ()x 在[)2,+∞上是减函数，∴f ()x 在()-∞,2上是增函数，其图象如图2所示.图2∵f ()3x -1>f ()x +3，可知点()3x -1,0到点()2,0的距离比点()x +3,0到点()2,0的距离小，∴||()3x -1-2<||()x +3-2，将不等式两边的式子平方并化简得：2x 2-5x -2<0，解得：12<x <2，∴x 的取值范围为()12,2.首先根据已知关系式确定函数的对称轴x =2和函数的单调性，即可画出函数的图象；然后结合图象，比较出点()3x -1,0和点()x +3,0到点()2,0的距离的大小关系，进而得到新不等式，通过解不等式得到x 的取值范围.解答抽象函数的问题方法很多，同学们只需根据已知条件和解题需求，进行赋值、换元、画图，灵活运用函数的性质，选择合适的方法，即可快速获得问题的答案.（作者单位：安徽省临泉第一中学）解题宝典40。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =， 有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略 (无答案)
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的 4 种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则 的函数问题。
对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出 n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。
例 1、设奇函数 f (x ) 的定义域为[-5,5] ，若当 x ∈ (0,5]时， f (x ) 是增函数且 f(2)=o 求不等式 x f (x ) < 0 的解。
例 2、已知函数 f （x ）对一切实数 x 都有 f （2+x ）= f （2-x ），如果方程 f （x ）=0 恰好有 4 个不同的实根，求这些实根之和。
评注①一般地，若函数 f （x ）满足 f （a+x ）=f （a-x ），则直线 x=a 是函数图象的对称轴， 利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。
②、对称性的定义③轴对称定义：如果函数 y = f (x )满足 f (a + x ) = f (b - x )，则函数 y = f (x )的图象关 于直线 2b a x +=对称。
④点对称定义：如果函数 y = f (x )满足 f (a + x )+ f (a - x ) = 2b ，则函数 y = f (x )的 图象关于点(a ,b )对称。
⑤抽象函数技巧规律总结：（1）当 x 前面的符号相同时考虑周期性。
（2）当 x 前面的符号不同考虑对称性， f 前面的同号为轴对称， f 前面的异号为点对称。
（3）奇偶性 + 周期性⇒ 对称性；奇偶性 + 对称性⇒ 周期性。
奇偶性有制造负号的能力练习1、（2014 年新课标）设函数 f (x ), g (x )的定义域都为 R ，且 f (x ) 是奇函数， g (x ) 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A . f (x )g (x ) 是偶函数B . f (x ) g (x )是奇函数C . f (x ) g (x ) 是奇函数D . f (x )g (x ) 是奇函数2、（2014 年湖南）已知分别 f (x ), g (x )是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 1)()(23++=-x x x g x f ，则 f (1) + g (1) =二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号 f 即为“穿”，去掉函数符号 f 即为“脱”。
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抽象函数的解题方法与技巧摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。
因而显得特别抽象。
所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。
尽可能使抽象函数变得不再抽象。
关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧Problem-solving methods and skills of abstract functionsXue JieSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract.Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills;1. 提出问题的背景抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。
由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。
因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。
2. 抽象函数的知识点（1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。
所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。
对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。
（2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。
那么具有相同对应关系的两个抽象函数()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。
（3）函数三性：即奇偶性，对称性，周期性。
利用函数三性可根据部分函数的图像描绘出整个定义域上的函数图像，进而从函数的图像上更直观的研究函数。
奇偶性：函数()x f 的定义域D 关于原点对称，若满足()()x f x f -=-，D x ∈,则称()x f 是奇函数；若满足()()x f x f =-，D x ∈,则称()x f 是偶函数。
如果奇函数的定义域包含原点，那么一定有()00=f 。
对称性：函数的对称性分轴对称和中心对称。
若函数()x f 关于点()b a ,对称，则有()()b x a f x a f 2=-++。
若函数()x f 关于直线a x =对称，则有()()x a f x a f -=+。
周期性：若函数()x f ，定义域为D ，满足()()x f T x f =+,0≠∈T D x ，，那么就说该函数是周期函数，T 为函数的一个周期。
函数三性之间的联系：① 函数()x f 是奇函数等价于函数()x f 关于原点对称；函数()x f 是偶函数等价于函数()x f 关于y 轴对称。
② 如果函数()x f 具有两种形式的对称性，那么函数()x f 就一定是周期函数；如果函数()x f 是周期函数，且具有一种对称性，那么函数()x f 就一定具有另一种相应的对称性。
③ 一般结论：i 若()()c x f a x f =++（c 为常数），则()x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期。
ii 若()()k x f a x f =+（常数0≠k ），则()x f 是周期函数，且a 2是它的一个周期。
iii 若()()()x f a x f a x f -+=+2，则()x f 是周期函数，且a 6是它的一个周期。
iv 若()x f 的图像关于两条直线a x =，b x =()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -2是它的一个周期。
v 若()x f 的图像关于点()0,a A 和()0,b B ()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -2是它的一个周期。
vi 若()x f 的图像关于两条直线a x =及点()0,b B ()a b >对称，则()x f 是周期函数，且()a b -4是它的一个周期。
（4）单调性：函数()x f 的定义域为D ，对于任意的1x ，D x ∈2，当1x <2x 时，都有 ①()()21x f x f <，那么就说()x f 在此区间上是增函数；②()()21x f x f >，那么就说()x f 在此区间上是减函数。
对抽象函数，由于解析式未知，所以要证明其单调性，一般只能考虑定义法。
在关于抽象函数不等式问题的解决中，单调性起到重要的作用。
3. 涉及抽象函数的问题类型3.1 求抽象函数的定义域：（1）已知()[]x g f 的定义域，求()[]x h f 的定义域；（2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。
3.2 求抽象函数的值域：（1）已知函数()x f 的值域，求()[]x f g 的值域；（2）已知函数()[]x f g 的值域，求()x f 的值域；（3）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，求()x f 的值域。
3.3 求抽象函数的函数值：（1）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，根据已知条件可以求得()x f 的周期，求函数在某一特定点的函数值；（2）已知函数()x f 满足的某些关系式或条件，根据已知条件求不出()x f 的周期，求函数在某一特定点的函数值。
3.4 求抽象函数的解析式：（1）已知表达式()[]()x h x g f =，求()x f 的解析式；（2）已知()x f 的某些性质或满足某些条件，求()x f 的解析式。
3.5 与函数单调性，周期性，奇偶性相关的问题：（1）判断函数的单调性，周期性，奇偶性；（2）解不等式问题；（3）函数存在性问题。
4. 解决抽象函数问题的方法技巧4.1 定义域（1）已知()[]x g f 的定义域，求()[]x h f 的定义域。
该类问题需明确两点：一是明确函数定义域的定义（指自变量x 的取值范围）；二是明确在同一对应法则f 下，()x g 和()x h 的取值范围是一样的。
例1.若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为 分析：如前所述，函数2(log )f x 和函数(21)f x +的定义域都是指x 的取值范围，而非x 2log 和12+x 的取值范围。
并且12+x 和x 2log 的取值范围是一样的。
因而可根据(21)f x +中x 的取值范围是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，求解出12+x 的取值范围，即x 2log 的取值范围，再从中解出x 的取值范围，即所求定义域。
解：由(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知∈x 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ 4121<+<-x ，故4log 12<<-x ，解得4221<<x ， ∴ 2(log )f x 的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛42,21.（2）求若干个函数进行四则运算后所得到的新函数的定义域。
该类问题的解决依然首先要明确函数的定义域是使得函数有意义的自变量的取值范围，所以求得新函数的定义域要在使得组合前每个函数有意义的基础上，还保证组合后的新函数也有意义，也就是取各个函数定义域的交集。
但有一点需要注意，若该运算是商的形式，还要保证处于分母位置的函数不为0。
例2.若()x f 的定义域为[]35-，，则()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域为 解：由已知，()x f 的定义域为[]35-，， 根据例1的求法可求得:()x f -的定义域为[]3,5-，∴ ()52+x f 的定义域为[]15,1-，从而()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域为[]3,5- []15,1-，即为[]3,1-。
例3.函数()x x x f 1-=，()xx x g 12+=，()x x h 3=，求下列函数的定义域： ① ()()x g x f +； ②()()x h x f ⋅； ③ ()[]()[]x g h x h f . 分析：第①、②问的两个新函数整理后都不再含分式，所以其定义域会误认为分别是实数集和非负实数集，其实不然。
这里需要注意，虽然在组合成新函数时，原函数的分母被抵消或约掉，但是仍然要保证每个原函数都有意义，故在求新函数的定义域时，必须先分别求出每个函数的定义域，再做交集。
而第③问中的新函数在前面所述的基础上还要再注意一点，分母不能为0，所以还要要求()[]x g h 不为0。
解：由已知，()x f 定义域是}{0≠=x x A ；()x g 定义域是}{0≠=x x B ；()x h 定义域是}{0≥=x x C .所以① ()()x g x f +的定义域是B A =}{0≠x x ； ② ()()x h x f ⋅的定义域是B A =}{0≠x x ； ③ ()[]x x x h f 313-=,()[]x x x g h 132+=， ∴ ()[]x h f 的定义域是}{0>=x x M ,()[]x g h 的定义域是}{10-≤>=x x x N 或, 令()[]0132≠+=x x x g h ，得1-≠x ，令}{1-≠=x x P∴()[]()[]x g h x h f 的定义域是P N M }{0>=x x .4.2 值域（1）已知函数()x f 的值域，求()[]x f g 的值域；该类问题一般采用换元法：即在()[]x f g 中令()x f =t ，那么问题就转化为已知函数()t g 的定义域，求值域的问题，此时()t g 是一个具体的函数，其值域可利用不等式，单调性，求导等方法进行求解。