关于数学期望在生活中应用的一些探讨

关于数学期望在生活中应用的一些探讨【摘要】:概率论与数理统计是高等学校理工科和经营类学生的必修课，是全国硕士研究生入学考试数学科目的必考内容之一。

概率论与数理统计不仅是学习后续数学课程和专业课程的必备基础课程，也是自然科学和工程技术领域中的一种重要数学工具，它在培养学生的计算能力、逻辑推理能力和抽象思维能力方面起着十分重要的作用。

然而，离散型随机变量数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是概率论和数理统计来反映随机变量取值分布的特征数，通过探讨数学期望在生活中的一些实际问题应用，了解数学期望在生活中的实践运用，掌握概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。

【关键词】: 概率论与数理统计；离散型随机变量；数学期望一丶引言概率论与数理统计是一门与我们日常生活密不可分的学科，不过大多数人对这么学科的理解非常的片面，就那最简单的说，投一枚硬币，结果正面朝上和反面朝上的概率都为50%，这就是概率论。

是的，这就是概率论最简单最容易理解的例子了。

但学过这门学科的人又多以这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实的日常生活的联系并不是很大，它具有的专业性很强。

但是我们的日常生活中又确实有很多例子需要我们来利用这门学科来做些分析才能得出结果。

三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。

掷骰子是他们常用的一种赌博方式。

因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。

有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。

这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。

又有人提出了“分赌注问题”：两个人事先约定谁先赢得5局便算赢家。

而在甲赢3局，乙赢4局的时候因为特殊原因要终止赌博，那应该如何分配赌注呢？他们自己无法给出答案。

赌徒们就去请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这个问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。

他们便围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。

后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。

帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，正确的答案是，甲拿3/4，乙拿剩下的1/4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者甲赢，或者乙赢。

若是甲赢满了5局，钱应该全归他；甲如果输了，则甲乙各赢4局，这个钱应该对半分。

现在，甲输赢的可能性都是1/2，所以，他拿的钱应该是1/2*1+1/2*1/2=3/4；当然，乙就应该得1/4。

他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。

在十六世纪，惠更斯的专著《论掷骰子游戏中的计算》被认为是概率论中最早的论著。

可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。

这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。

而后，雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。

1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。

雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。

他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。

若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。

以此类推，若甲前n-1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。

那么问题来了，在赌博开始前甲应付给乙多少卢布，才有权参加赌博而不致乙方亏钱呢？当时有许多数学家都研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。

但是结果却是，不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。

随着十八世纪到十九世纪科学的发展，人们注意到很多物理和社会现象都与这种“赌博概率”有关，从而由赌博起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。

法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。

拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。

概率论在20世纪再度迅速地发展起来，这是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。

1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。

1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。

如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是人们从概率诞生开始就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。

20世纪初，勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论的完成为概率公理体系的建立奠定了基础。

现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。

二丶正文1.离散型随机变量数学期望的定义设离散型随机变量X的分布列∞∞∞∞∑P（X=Xi）=Pi (i=1,2,...)，若数级∑XiPi绝对收敛，即∑XiPi < +∞，则称∑XiPi为Ｘ的i=1 i=1 i=1 i=1∞∞数学期望或均值，记为E（X），即E（X）＝∑XiPi。

若∑XiPi发散时，则称Ｘ的数学期望不存在。

i=1 i=12.离散型随机变量数学期望的作用期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它事概率意义下的平均值，不同与相应数值的算术平均数，是简单算术平均数的一种推广，类似加权平均。

它不仅在科学技术、工农业生产和经济管理中发挥着重要作用，而且常常出现在我们生活中，并对我们的生活产生影响。

在解决实际问题时，作为一个重要参数，对市场预测、经济统计、风险与决策、体育比赛等领域有着重要的指导作用。

作为数学基础理论中统计学上的数字特征，广泛应用于工程技术、经济社会领域；概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。

3.离散型随机变量的数学期望的求法离散型随机变量数学期望的求法常常分四个步骤：1、确定离散型随机变量可能取值；2、计算离散型随机变量每一个可能值相应的概率；3、写出分布列，并检查分布列的正确与否；4、求出期望。

4.数学期望的应用（一）数学期望体育比赛中的运用为了取得好成绩，我们常对选手进行选拔，通过对他们的平时表现，按照一定的统计方法得出规律，进行比较分析，从而判断和选择参赛人员或估计他们获奖的可能性。

下面就是一个数学期望的应用：X ，Y 的概率分布如下，试问哪一个射手本领较好？ 解：甲、乙命中环数的均值分别为E （X ）=8×0.3＋9×0.1＋10×0.6=9.3E （Y ）=8×0.2＋9×0.5＋10×0.3=9.1所以甲射手的本领较乙射手的好一些，若是选拨，应选甲参赛；若是比赛，甲能赢的可能性比较大。

（二）数学期望在提高工作效率上的运用工作中，我们常常会遇到许多重复性的操作步骤，重复越多，更易降低工作效率，可能会导致成本增加。

为了尽量减少或避免这种情况发生，我们可以通过数学期望进行估算，然后选择最佳方案。

某单位n （比较大的数）个人，为普查某种疾病都去验血，验血有两种方法：Ⅰ每个人分别验，需要验n 次；Ⅱ按每k 个人一组进行分组，将每个人所抽的血取出一半混合在一起化验，如果是阴性，则说明这k 个人的血都是阴性，这样对k 个人来说，只用化验一次；如果是阳性，则说明这k 个人中至少有一个人呈阳性，这需要对着k 个人的血再进行逐个化验，这是对这k 个人来说，总共要化验k+1次。

假定对所有人来说验血的结果呈阳性的概率为p ，且这些人的化验结果是相互独立的（即一般来说，这种病不是传染病或遗传病）。

试问，按哪一种方案化验效率最高，为什么？解：（1）因个人验血呈阳性的概率为p ，故呈阴性的概率为q=1-p ，而这些人的化验结果是相互独立的，故k 个人混合血液为阴性的概率为q^k ，呈阳性的概率为1-q^k 。

（2）设k每k 将n 个人分成n/k 组，每组k 人，各组所需化验次数是与X1有相同分布列的随机变量，故E （X ）=（n/k)，E （X1）=n(1-q^k +1/k)。

（3）求k ，使E （X ）最小，由于p 是给定的常数，选择k 使E （X ）=n(1-q^k +1/k)最小。

这样可对其求导并令其为零得K^2*q^k*lnq+1=0近似解出。

对应于p=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05，0.1，0.2，经计算得出使E （X ）最小的k 分别为k=11,8,6,6,5,4,3。

设p=0.05，则q=0.95，此时k=5时，最好的分组方法是在方法Ⅱ下只用化验1000*（1-0.95^5 +1/5）=426（次）可以减少57%的工作量。

三丶总结概率论与数理统计是一门在通信、物理、金融、社会科学以及其他工程技术等诸多领域中获得广泛运用的学科。

人们既可以通过试验来观察随机现象，找到其变化规律从而解决问题，也可以根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。

直观地说，电子技术发展、影视文化的进步、人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。

借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。

概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。

面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，敢于创新，既要学习数学理论知识，更应该重视对所学知识的实践应用，做到理论联系实际，学以致用。

参考文献：[1]应用概率统计； [2]应用数理统计； [3]概率论与数理统计题型精讲；[4]浅谈数学期望的应用； [5]概率论在日常生活中的几个简单应用；[6]概率论和数理统计典型问题探究；。