十初等数论-

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• 分析：
–先明确下各个变量代表的意思：
• x：青蛙A的出发点坐标 • y：青蛙B的出发点坐标 • m：青蛙A一次能跳m米 • n：青蛙B一次能跳n米 • L：纬度线总长L米
–求：需要几步可以相遇
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假设需要s步可以相遇，则必有以下关系成立 (x + sm) – (y + sn) = kL (k ∈ Z) 变形为： (n – m)s + Lk = x – y （2） 于是我们的题目就变成了求（2）式中s的最 小非负整数解
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扩展欧几里德算法
程序代码如下： int extended_ gcd(int a, int b, int &x, int &y){ int t, gcd; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } gcd = extended_ gcd (b, a%b, x, y); t = x; x = y; y = t – a / b * y; return gcd; }
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–我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并 且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为 正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条 首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x， 青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米， 青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的 时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它 们跳了几次以后才会碰面。
来自百度文库
• 定理：对于不完全为0的非负整数a，b， gcd（a，b）表示a，b的最大公约数d， 必然存在整数对x，y，使得gcd（a， b）=d=ax+by。
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扩展欧几里德算法
• 对于gcd(a,b) = d，对(a, b)用欧几里 德辗转相除会最终得到(d, 0)。此时对 于把a =d, b = 0 代入a*x + b*y = d， 显然x = 1，y可以为任意值。 • 我们可以用a = d, b = 0的情况逆推出 来任何gcd(a, b) = d 满足a*x + b*y = d的解。如果x0，y0是b*x + (a%b)*y = d 的解，那么对于a*x + b*y = d的解呢？
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二元一次不定方程
• 利用扩展欧几里得算法，很容易求得 诸如ax+by=c(1)这样二元一次不定方程 的整数解问题。 • 设a,b的最大公约数为d=（a,b），则 a=a1d， b=b1d，(a1,b1)=1，因此(1)可表 示为： d(a1x+b1y) = c • 于是，当且仅当d|c时(1)方有整数解
素数求法
• 如何求出1～n中的所有素数？ • 筛法1： Eraosthenes（爱拉托斯尼筛法）筛法：每次求出 一个新的素数，就把n以内的它的所有倍数都筛去。 经典的Eraosthenes筛法（核心代码）： for (int i = 2; i * i < N; i++) { if (tag[i]) continue; for (int j = i; i * j < N; j++) tag[i*j] = 1; } for (int i = 2; i < N; i++) if (!tag[i]) prime[tol++] = i;
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筛法2： 一种线性筛素数的方法（复杂度是O(n)）： void get_prime() { int cnt = 0; for (int i = 2; i < N; i++) { if (!tag[i]) p[cnt++] = i; for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < N; j++) { tag[i*p[j]] = 1; if (i % p[j] == 0) break; } } }
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扩展欧几里德算法
b*x + (a%b)*y = d → b*x + (a - [a/b]*b)*y = a*y + b*(x - [a/b]*y)， 所以a*x + b*y = d的解x1 = y0， y1= x0 [a/b]*y0; 这样我们可以程序迭代了。 注：a,b为正整数，设集合A = {x*a+y*b|x,y是整数}，则A中最小正元素是 gcd(a,b)
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二元一次不定方程
• 显然，若x0,y0为(1)的解，那么对任意整数t有x = x0-bt, y = y0 + at 均为该方程的解 • 因此，可设计一个求解出特解的算法，然后利用这条性质 得到该方程的通解 • 步骤如下： –求解a、b的最大公约数d=(a,b)，若d c，则方程无整数解， 否则，将方程两边同时除以d，得到: a0x+b0y=c0 (2) –使用扩展欧几里得算法计算上述方程的解x0,y0，求得特 解x1=x0c0，y1=y0c0。 –代入通解得x=x0c0-a0t，y=y0c0+b0t
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第三章
同 余
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数 问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，剩 余类和完全剩余系.
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例3. 求 7 的个位数.
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解： 7 3(mod10), 7 1(mod10), 7 1(mod10)
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最大公约数 gcd（最大公因子）
• Euclidean算法求两个正整数a和b的 gcd。先令r0为a，r1为b，接着执行如 下运算：
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最大公约数
• GCD递归定理：对任意非负整数a和任 意正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。
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Extended-Euclidean 算法
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• POJ 1061 青蛙的约会
–两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于 是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它 们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝 西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记 了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特 征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们 都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方 向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只 青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都 不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙， 你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能 够碰面，会在什么时候碰面。