十初等数论-
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初等数论初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和特殊的数学关系。
它是数学发展的基础，对于数学中的许多其他分支，如代数、几何和数值分析都具有重要的影响。
初等数论可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们对整数之间的关系进行了研究，并推导出了许多重要的结论。
在初等数论中，最基础的概念是整数和素数。
整数是自然数、负自然数和零的总称，它们可以用来表示数量。
素数是只能被1和自身整除的正整数，它们没有其他的因子。
素数在初等数论中具有重要的地位，因为他们是其他整数的构成单元。
在初等数论中，我们可以探讨整数的因子分解。
因子分解是将一个整数表示为素数的乘积的过程。
例如，将数字20分解成素数的乘积可以得到2×2×5=20。
因子分解在数论中起着重要的作用，它有助于我们理解整数之间的数学关系。
初等数论中的另一个重要概念是最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是两个整数中能够同时被整除的最大的正整数。
最小公倍数是能够同时整除两个整数的最小的正整数。
最大公约数和最小公倍数可以帮助我们解决一些实际问题，比如找到最简分数、解线性方程等。
初等数论中还有一个重要的概念是同余。
同余是指两个整数除以一个正整数得到的余数相同。
例如，当两个整数被3除得到的余数相同时，我们可以说这两个整数互为3的同余数。
同余关系在数论中起着重要的作用，它可以帮助我们研究整数之间的性质和特殊的数学规律。
初等数论还涉及到数论函数的研究。
数论函数是定义在整数上的函数，它们可以帮助我们描述整数的性质和特征。
常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
这些函数在数论中有广泛的应用，可以帮助我们研究素数分布、整数方程的解等问题。
除了以上几个基本概念，初等数论还包括一些其他的内容，如二次剩余、费马小定理、威尔逊定理等。
这些概念和定理都有着重要的理论意义和实际应用。
初等数论在数学中具有广泛的应用。
它不仅是其他数学分支的基础，还有着许多实际应用。
例如，在计算机科学中，初等数论可以帮助我们设计和分析算法、构建密码系统等。
初等数论简介
初等数论初等数论是研究整数最基本性质的一个数学分支，它也是数学中最古老的分支之一，至今仍有许多没有解决的问题。
初等数论是数学中“理论与实践”相结合最完美的基础课程。
近代数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是对整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域内得到广泛的应用。
在日常生活中，也常会遇到一些数论问题。
具体内容1．整数的可除性：了解整除的概念，掌握带余数除法及其运用；理解最大公因数的基本概念及其性质，掌握用辗转相除法求整数的最大公因数。
掌握整除的性质及其运用，会求整数的最小公倍数。
掌握两个整数的最小公倍数与最小公因数的关系。
了解质数基本概念与性质，理解算术基本定理及其证明，会运用算术基本定理解决问题。
了解函数[x]，{x}的基本性质，运用这两个函数解决n!的标准分解式。
2．不定方程：掌握二元及多元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握一次不定方程的求解。
勾股数公式的推导及其运用，了解费尔马问题及无穷递降法。
3．同余：理解同余的概念及其基本性质，掌握检查因数的一些方法和弃九法。
了解剩余类及完全剩余系的性质，并会加以运用。
了解简化剩余系及其性质，会推导欧拉函数，知道它的简单运用。
应用简化剩余系的性质证明Euler定理和Fermat定理，运用欧拉定理研究循环小数；欧拉定理与费马定理的综合运用。
了解同余在信息安全与密码中的运用。
4．同余式：了解同余式的基本概念，掌握一次同余式的求解；理解孙子定理，会解模互素的一次同余式组的求解。
了解一般一次同余式组的解法，掌握高次同余式的解数及解法。
理解质数模的同余式解数的有关定理，并予初步运用。
5.连分数：掌握连分数的基本性质、把实数表成连分数和循环连分数，了解连分数在天文中的运用。
初等数论是数论的一个分支。
它以算术方法为主要的研究方法，而区别于数论的其他分支。
公元前6世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯就已研究过整数的可除性问题，例如，当时已经知道正整数中有奇数、偶数、素数、复合数等各种类型的数。
初等数论
初等数论一、知识要点1、数的整除对于整数a和非零整数b，总存在整数m、n，使得a＝bm＋n（0≢n＜m），其中m 称为商，n称为余数。
特别的，当n＝0时，即a＝bm，便称a被b整除（也称a是b 的倍数，或者b是a的约数），记作b|a整除的基本性质：①若a|b，a|c，则a|（b±c），a|b c；②若a|b，b|c，则a|c；③若a|bc，且（a，c）＝1，则a|b；④若质数p|bc，则必有p|b或p|c；⑤若a|c，b|c，且（a，b）＝1，则a b|c整除的特征：被2整除的数：；被3整除的数：；被4整除的数：；被5整除的数：；被8整除的数：；被9整除的数：；被25整除的数：；被125整除的数：；被11整除的数：；被13整除的数：；2、同余由于整数除以一个正整数m，所得的余数有m种（即0，1，2，……，m－1），所以我们常常将整数按照它们除以正整数m的余数可以分为m类，称为按照模m分类。
例如：m＝2 时，分为偶数和奇数两类，记作｛2k｝，｛2k－1｝；m＝3 时，分为三类，记作｛3k｝，｛3k＋1｝，｛3k＋2｝或者｛3k｝，｛3k＋1｝，｛3k －1｝；m＝5 时，分为五类，记作｛5k｝，｛5k＋1｝，｛5k＋2｝，｛5k＋3｝，｛5k＋4｝或者，｛5k｝，｛5k±1｝，｛5k±2｝；3、奇数与偶数整数按照能否被2整除分为两大类：奇数与偶数。
数的奇偶有如下性质：4、完全平方数：能表示成为一个整数的平方的自然数叫做完全平方数。
完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这六个数字中的某一个，如果一个整数的末位数字是2、3、7、8中之一，那么它一定不是完全平方数。
二、例题讲解与变式训练（一）整除与同余例1、（1）不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和是（2）将1、2、3、4排成一个四位数，使得这个四位数是11的倍数，则这样的四位数一共有个。
变式1、若k—4—5—k—9—是能被3整除的五位数，则k的可能值有，这样的五位数中能被9整除的是。
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
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许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21Λ都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++Λ。
或着i b a |，则∑=ni ii b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,Λ=∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p Λ21|，则p 能整除n a a a ,,,21Λ中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
初等数论
第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
初等数论知识点总结
初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。
初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。
下面将对初等数论的关键知识点进行总结。
1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。
质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。
常见的质数有2、3、5、7等。
2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。
例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。
3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。
GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。
4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。
例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。
欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。
6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。
高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。
7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。
初等数论(课堂PPT)
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
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1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
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本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
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第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
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例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、xx大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
初等数论 第一讲
初等数论第一讲 整数的可除性（1）一. 数论的简单介绍在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点之一。
初等数论可以说是最古老的数学分支之一，主要研究整数的性质及其相互关系。
数论的发展有很长的历史，古希腊人对数论的发展做出了重要贡献。
初等数论的知识比较简单，但处理问题方面技巧性比较强。
它所涉及的范围有：整数的可除性，同余理论，不定方程，反证法等。
反证法是解决数论问题常用的方法.二. 本讲内容1.整数的基本性质（1）偶数2n ，奇数21n +或21n -.（n 是整数）（2）奇数与偶数的性质奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；奇数⨯奇数=奇数；偶数 ⨯偶数=偶数；奇数 ⨯偶数=偶数.（3）任何一个正整数n 都可以写成2k n m =⋅的形式， 其中k 为非负整数，m 为奇数.2.整除的性质定义：设,a b 是任意两个整数，其中0b ≠，如果存在一个整数q 使得等式a bq =成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b a .整除的性质：(1).|,|,|;(2).,,(1,2,,),|,|;1(3).,,,|,|.(4).|,||||.|,|,;a b b c a c n a b x Z i n a b a b x i i i i i i a b m Z a b am bm a b a b a b b a a b ∈=∑=∈≤=±若则若且则若且则反之，亦成立；若则因此，若则 (5).,|,|,|;|,|(6).|,12|(1).|,|.(7).a b a c b c ab c a bc a c p p a a a a n i n p a i n p p a p a in ⋅≤≤互质，若则若则；为质数，若则至少有一个，使得特别地，若是质数，且则个连续整数的成积一定能被n ！整除.算术基本定理（正整数的唯一分解定理） 若不计因数的次数，每一个大于1的整数a 都可以唯一分解成质因数乘积的形式.即12121212,,.n n nn a p p p p p p αααααα=⋅<<<其中均为质数，，，为自然数定理：质数的个数是无穷的.三.例题精讲1.证明：2.3. 设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证： 三数中至少有一个能被10整除.3|(1)(21),.n n n n ++！其中是任何正整数21n+若是质数(n>1),证明：n 是2的方幂.333333,,a b ab b c bc c a ca ---4. 4.设n 为自然数，求证： 能被1985整除.5. 5.设p 是大于5的质数，求证：6.设正整数 d 不等于2，5，13.证明：在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素a,b ，使得ab-1不是完全平方数.7.设 是一组数，它们中的每一个都去1或-1，而且 证明： n 必须是4的倍数.3237632855235n n n n A =--+4240|(1)p -12,,,n a a a 123423451230n a a a a a a a a a a a a +++=。
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第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。
这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。
初等数论
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的正整数 使得他们中的任意三个的和都是质数？证明你的结论。
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的 正整数使得他们中的任意三个的和都是质数？证明 你的结论。 特殊化猜想：1 3 7 9 一般化证明：假设存在5个符合题意的正整数。考 虑他们除以3的余数，设余数为0,1,2的分别为 a b c 个则 （1）若a b c均不为0则一定存在三个数，他们的余 数分别为0 1 2 取这三个数他们的和为3的倍数，不 是质数 （1）若a,b,c中有零，则根据抽屉原理至少有三个 数，他们的余数相同，这三个数的和为3的倍数一 定不是质数。综上最多能找到4个
2 设m=x1 x2 x3 x4 x5 , c4 6 这5个数中有两个相等；
不妨设x1
x2
x3
a 44, 45, 46, 47 a 46, m 57 x1 13, x2 12, x3 x5 11, x4 10
m x1 44 m x 45 2 x4则 m x3 46 则4m 182 a m x 47 4 m x5 a
初等数论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有 整数的整除理论、同余理论、连分数理论和 某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就 是用初等朴素的方法去研究数论。 在自主招生考试中所考察的内容包括：整数， 有理数，实数 整除，同余理论，多项式， 韦达定理，高斯函数等。 特点：形式简单所用知识不多但是富有灵巧 性不易下手
2014数学竞赛河南预赛7（高斯函数）
n n n 符号 x 表示不超过x的最大整数，n是正整数则 ( ) 3 6 n 1 2
初等数论
证明:唯一性
设m=p1p2…pr=q1q2…qs 只要证明只是顺序不同就好了 p1|q1q2…qs，所以对于某个i,p1|qi，显然p1=qi 则m/p1=p2…pr=q1q2…qi-1qi+1…qs 可以继续这样做，直到最后可以证明p1,p2,…,pr和 q1,q2,…,qs之间存在一一对应关系 严格叙述可以用数学归纳法或最小整数原理
引理3
假定ab≠0,(a,b)=1,且x0,y0是ax+by=c的一组解, 则ax+by=c的所有解可写为 x=x0+bt , y=y0-at, 其中t是整数
证明
由引理2,因为(a,b)=1,对任何c,有1|c,方程确实有解. 设r,s是ax+by=c的任意解. 我们要证,r=x0+bt,s=y0-at必对某一整数t成立.由 ax0+by0=c得 c-c=(ax0+by0)-(ar+bs) 即 a(x0-r)+b(y0-s)=0 由a|a(x0-r)和a|0,可得a|b(y0-s),由于(a,b)=1,所以a|y0s 即存在一个整数t,使at=y0-s 可知,s=y0-at,r=x0+bt
function gcd(a , b : longint;var x , y : longint) : longint; Var _x , _y : longint; Begin if (b = 0) then begin gcd := a; x := 1; y := 0; end else begin gcd := gcd(b , a mod b , _x , _y); x := _y; y := _x – _y * (a div b); end; End;
初等数论知识点
初等数论知识点数论是一门数学分支，主要研究整数（和实数）的性质和相互关系，以及它们的数学结构。
在数论中，初等数论是一门基础学科。
它主要探讨正整数的基本性质、算术运算规则、因数分解、最大公约数和最小公倍数等知识点的理论和应用。
本文将对初等数论的常见知识点进行详细介绍。
一、质数与合数任何一个大于1的自然数，如果它的因数除了1和它本身外，再没有其他因数，那么称这个数是质数。
否则，这个数就是合数。
例如，2、3、5、7、11、13等等，都是质数。
而4、6、8、9、10等等，都是合数。
在初等数论中，质数是一个非常重要的概念。
以下是一些质数的基本性质和定理：（1）2是最小的质数，它是唯一的偶质数。
（2）除2以外的任何偶数都是合数。
（3）如果一个整数p>1不能被2到√p之间的任何整数整除，那么它一定是质数。
（4）如果一个数是质数，则它不能表示成两个较小的正整数相乘。
（5）如果p是质数，且a、b是任意两个整数，那么a^p-b^p可以因式分解成(a-b)和另外一个整数的积。
（6）费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且p不整除a，那么a^(p-1)除以p的余数为1。
以上定理在证明和应用上都非常重要，其中费马小定理还有广泛的应用，例如用于RSA加密算法中。
二、因数分解因数分解是指将一个正整数分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解成2^3 * 3，而30可以分解成2 * 3 * 5。
因数分解在初等数论和高等数学中都是非常常见的操作，因为它在求解最大公约数、最小公倍数等问题时非常关键。
以下是一些因数分解的常见方法和技巧：（1）试除法：从小到大枚举质数，依次判断是否为该数的因数，如果是，则将该因数除掉，继续枚举，直到该数变成1为止。
（2）质因数分解法：先将一个数的因子分解成若干个质数的乘积，然后将质数按照大小递增的顺序尝试分解该数，最终得到因子分解式。
（3）辗转相除法：用较小的数去除较大的数，得到商和余数，然后用余数去除已经得到的商，继续得到商和余数，重复上述操作，直到余数为0为止。
初等数论简介
初等数论
勒让德[法]1752～1833，在分 析学、数论、初等几何与天体 力学，取得了许多成果，是椭 圆积分理论奠基人之一。对数 论的主要贡献是二次互反律， 还是解析数论的先驱者之一.
雅可比[德]1804～1851，在偏 微分方程中，引进了“雅可比 行列式。对行列式理论作了奠 基性的工作，在代数学、变分法 复变函数论、分析力学 、动 力学及数学物理方面也有贡献。
初等数论
陈景润1933－1996，主要研究 解析数论，他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至 今仍然在世界上遥遥领先。其 成果也被称之为陈氏定理。
王元1930－50年代至60年 代初，首先在中国将筛法 用于哥德巴赫猜想研究， 并证明了命题3+4，1957年 又证明2+3，这是中国学者 首次在此研究领域跃居世 界领先地位.
初等数论
欧几里得[前330年～前275年] 丢番图Diophante 246～330 欧氏几何学的开创者 ， “代数学之父” 古希腊数学家，以其所著的 古希腊数学家，著《算术》 《几何原本》闻名于世。
初等数论
刘徽，生于公元250年左右， 三国时期数学家，是世界上最 早提出十进小数概念的人，著 《九章算术注》10卷；《海岛 算经》；《九章重差图》.割圆 术求圆面积和圆周率.
初等数论 三 、 几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费 尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
初等数论 1、哥德巴赫猜想： 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发 现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学
大学数学---初等数论
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同理可得：[14976,524]=1961856, 于是：[128,234,524]=1961856.
习题
1、求[21，35]. 2、求[123，321]. 3、求[125，725，1125，2015].
§1.4整数可除性的检验
例2：求（2605，-5125）.
解：因为5125=2605×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5 所以（2605，-5125）=5.
例3：求（2605，3245，7250）.
解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605×1+1180， 2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170， 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5 10=5×2 所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5.
第二章 不定方程
中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的题目： “鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡．问鸡翁、母、雏 各几何？” 设用 x，y，z 分别代表鸡翁、鸡母，鸡雏的数目，就得到下面的方程：
1 5 x 3 y z 100 3 x y z 100
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• 定理：对于不完全为0的非负整数a，b， gcd（a，b）表示a，b的最大公约数d， 必然存在整数对x，y，使得gcd（a， b）=d=ax+by。
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扩展欧几里德算法
• 对于gcd(a,b) = d，对(a, b)用欧几里 德辗转相除会最终得到(d, 0)。此时对 于把a =d, b = 0 代入a*x + b*y = d， 显然x = 1，y可以为任意值。 • 我们可以用a = d, b = 0的情况逆推出 来任何gcd(a, b) = d 满足a*x + b*y = d的解。如果x0，y0是b*x + (a%b)*y = d 的解，那么对于a*x + b*y = d的解呢？
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扩展欧几里德算法
程序代码如下： int extended_ gcd(int a, int b, int &x, int &y){ int t, gcd; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } gcd = extended_ gcd (b, a%b, x, y); t = x; x = y; y = t – a / b * y; return gcd; }
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–我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并 且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为 正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条 首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x， 青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米， 青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的 时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它 们跳了几次以后才会碰面。
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筛法2： 一种线性筛素数的方法（复杂度是O(n)）： void get_prime() { int cnt = 0; for (int i = 2; i < N; i++) { if (!tag[i]) p[cnt++] = i; for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < N; j++) { tag[i*p[j]] = 1; if (i % p[j] == 0) break; } } }
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扩展欧几里德算法
b*x + (a%b)*y = d → b*x + (a - [a/b]*b)*y = a*y + b*(x - [a/bห้องสมุดไป่ตู้*y)， 所以a*x + b*y = d的解x1 = y0， y1= x0 [a/b]*y0; 这样我们可以程序迭代了。 注：a,b为正整数，设集合A = {x*a+y*b|x,y是整数}，则A中最小正元素是 gcd(a,b)
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• 分析：
–先明确下各个变量代表的意思：
• x：青蛙A的出发点坐标 • y：青蛙B的出发点坐标 • m：青蛙A一次能跳m米 • n：青蛙B一次能跳n米 • L：纬度线总长L米
–求：需要几步可以相遇
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假设需要s步可以相遇，则必有以下关系成立 (x + sm) – (y + sn) = kL (k ∈ Z) 变形为： (n – m)s + Lk = x – y （2） 于是我们的题目就变成了求（2）式中s的最 小非负整数解
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二元一次不定方程
• 利用扩展欧几里得算法，很容易求得 诸如ax+by=c(1)这样二元一次不定方程 的整数解问题。 • 设a,b的最大公约数为d=（a,b），则 a=a1d， b=b1d，(a1,b1)=1，因此(1)可表 示为： d(a1x+b1y) = c • 于是，当且仅当d|c时(1)方有整数解
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最大公约数 gcd（最大公因子）
• Euclidean算法求两个正整数a和b的 gcd。先令r0为a，r1为b，接着执行如 下运算：
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最大公约数
• GCD递归定理：对任意非负整数a和任 意正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。
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Extended-Euclidean 算法
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• POJ 1061 青蛙的约会
–两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于 是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它 们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝 西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记 了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特 征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们 都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方 向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只 青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都 不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙， 你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能 够碰面，会在什么时候碰面。
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二元一次不定方程
• 显然，若x0,y0为(1)的解，那么对任意整数t有x = x0-bt, y = y0 + at 均为该方程的解 • 因此，可设计一个求解出特解的算法，然后利用这条性质 得到该方程的通解 • 步骤如下： –求解a、b的最大公约数d=(a,b)，若d c，则方程无整数解， 否则，将方程两边同时除以d，得到: a0x+b0y=c0 (2) –使用扩展欧几里得算法计算上述方程的解x0,y0，求得特 解x1=x0c0，y1=y0c0。 –代入通解得x=x0c0-a0t，y=y0c0+b0t
素数求法
• 如何求出1～n中的所有素数？ • 筛法1： Eraosthenes（爱拉托斯尼筛法）筛法：每次求出 一个新的素数，就把n以内的它的所有倍数都筛去。 经典的Eraosthenes筛法（核心代码）： for (int i = 2; i * i < N; i++) { if (tag[i]) continue; for (int j = i; i * j < N; j++) tag[i*j] = 1; } for (int i = 2; i < N; i++) if (!tag[i]) prime[tol++] = i;
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第三章
同 余
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数 问题的重要工作之一.本章介绍同余的基本概念，剩 余类和完全剩余系.
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例3. 求 7 的个位数.
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解： 7 3(mod10), 7 1(mod10), 7 1(mod10)
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