解方程的常用方法

补充：
si2nco2s1co2s1si2n
sec
1，
cos
s2 e c 1 c1 2 o s 1 1 c c2 o 2 os s c s2 2 io n s ta 2 n
ta2n1se2c
例2
解方程
1 x
1 35 1x2 12
解：由于定义域是0<|x|<1,可引入三角代换
xsin()，
解之得 y2 9, y2 1。所以得到如下四
个解
4
2
y12 3,y22 3,y32 i,y42 i
换回原来变量得到原方程的解
2 5 72 72 x 1 3 ,x 2 3 ,x 3 6 3i,x 4 6 3i
对于形如 f(x, a2x2)0或 f(x, x2a2)0 或 f(x, x2a2)0的方程，引入三角代换使 方程转化为简单的三角方程来求解。
所以
x 2 (c2 k o s isi2 k n )k ( 0 ,1 ,2 ,3 ,4 )
5
5
四、因式分解法
在解高次方程时，常用因式分解（如 果可能的话）法将原方程转化为几个较 低次方程的积的形式，然后根据同解定 理分别求解。
例10 解方程 x41x2320 3
解 x4 12x323x4 12x3241 (x2 18)2 (36x2 12x1) (x2 18)2 (6x1)2 (x2 6x19)(x2 6x17)
故 x y z u ( k 1 ) 0
于是 xyzu0或 k 1 若 xyzu0，则 xyzu 0
x y z u
例6
已知实数
x,y,z,u满足
x y
y z
z u
u x
,求
x y z u的值。
x yzu
解：若 k 1，则 xyzu
所以
xyzu 2 x y z u
解法二： 令 x y z u k ，则 xk yk2zk3uk4x，所以
f (x)
（其中a，b，c为已知数，g ( x ) 为既约分式）的分式方程，
可令
u
f g
( (
x) x)
，化成一个整式方程
a2 ubu c0
形如 或 2 agf((xx)) bgf((xx))c0(a0)
agf((xx))cgf((xx))b0(a c0)
（其中a，b，c为已知数，f ( x ) 为既约分式）的
2
于是可变形为
21
sin
1
cos
1325，即
s inc os 35 sin2 24
两边平方，得
1sin2 sin2 2
122于5 是，得到一个二
576
次方程 12 s2 i2 n 5s 72 i6 n 5 7 06
例2
解方程
1 x
1 35 1x2 12
解得 sin 2 24 或 sin2 24 ，∴ cos2 7
TCholaivssnesrks
6 x
5
,解得
x12,x23；由
x6 7 x
解得 x31,x46，它们都是原方程的解。
二、引入参数法
例6
已知实数
x,y,z,u满足
x y
y z
z u
u x
,求Βιβλιοθήκη Baidu
x y z u的值。
x yzu
解法一:
令
x y z u k yzux
,则
x k,y y k,z z k,u u k.x
所以 x y z u k ( x y z u )
所以原方程同解与方程 (x 2 6 x 1)x 9 ( 2 6 x 1) 7 0
故方程的解为:
x 1 3 1 i , x 2 0 3 1 i , x 3 0 3 2 2 i , x 4 3 2 2 i
一、换元法
二、引入参数法 三、二项方程和三项方程的解法 四、因式分解法
74页~77页 例3、例7、例11
g (x)
分式方程，可令 u f ( x) ，化成一个整式方
g(x)
程 a2 ubu c0。
例 5 解方程 3x267x211(x6)2
解： 将方程右边展开经变形可得
(x21 23 x2)6 1(2 x6 x)3 50
令 u x 6 ，代入上式，得
x
u21u23 50
解得
u15,u27.由x
形如 x2npxnq0的方程叫做三项方程，
特别当 n2 时，得方程 x4px2q0，称为
双二次方程。
定理 如果cr(coissin )，那么 xn c0
二项方程的根是 nr (c o 2 ks isi n 2 。k)k , 0 ,1 ,2 , ,n 1
n
n
例8 解方程x5320
解:
x53(2c0 osisi0 n)
中学代数研究
目录
1 23 4 5 6
的二
换 元 法
引 入 参 数 法
解项 法方
程 和 三 项
因 式 分 解 法
总 结
作 业
方
程
一、换元法
用简单原理指导解题，是解方程 的基本思想，换元法就是通过换元达 到化简的目的。在解高次方程时，有 时引进新未知数代换原有未知数，使 原方程转化成一个易解的方程。
yzux
k4 1 ，k 1
例6
已知实数x,y,z,u满足
x y
y z
z u
u x
,求
的值。 x y z u
x yzu
解：
k 1 若
，则 xyzu4x2
xyzu 2x
k 1 若
，则
xyzu 0 0 xyzu 2k
三、二项方程和三项方程的解法
形如xn A0的方程叫做二项方程，解此
方程就是求的次方根。
例4 解方程 6x22x62 1 2xx2
解：将原方程变形为:
x 2 2 x 6 6x 2 2 x 6 2 7 0
令 y x22x6
则有 y26y270，解得 y3,y9（舍去），
由 x22x63，解得 x11,x23均为原方程的解。
例4 解方程 6x22x62 1 2xx2
解: 形如 ag f((x x))2bg f((x x))c0(a0)或 a g f((x x)) c g f((x x)) b0(a c0)
例1 解方程 6 x 7 2(3 x 4 )x ( 1 ) 6
解：令 3x 7 y ， 则 6 x 7 2 2y ,3 x 4 y 1 ,x 1 1 (y 1 )
2 32
原方程变形为 2y2(y1)(y1)18
22
即 4y4y2180
例1 解方程 6 x 7 2(3 x 4 )x( 1 ) 6
25
49
25
或 cos2 5 73，
49
sin2 2sincos cos2 12sin2
得 xsin 3,4,57,3 573 ，都是
5 5 14 14
增根，∴原方程的根是 x153,x254,x351473
形如 a(mf(x))nbmf(x)c0（a， b，c为已知数，，m，n为自然数）的方 程，可令 y m f (x) ，将方程化为关于 的整式方程。