计算方法作业-差分法解常微分方程
差分法的原理
差分法的原理介绍差分法（Differential Method）是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于求解函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将详细阐述差分法的原理，介绍其基本思想和常见应用，并提供相关数学推导和实例说明。
差分法的基本思想差分法的基本思想是利用函数在某点附近的差商逼近函数的导数、积分或微分方程的解。
差分法将连续问题转化为离散问题，通过在有限的点集上进行计算，近似得到连续函数的性质。
其核心思想是用有限差分逼近函数的微分。
一阶导数的差分逼近前向差分对于函数f(x)，在点x0处的一阶导数可以使用前向差分逼近：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ为步长。
后向差分后向差分逼近则是：f′(x0)≈f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ中心差分中心差分逼近则是前向差分和后向差分的平均：f′(x0)≈f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ高阶导数的差分逼近类似地，我们可以使用类似的思路进行高阶导数的差分逼近。
例如，二阶导数的差分逼近可以使用以下公式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2常见应用差分法在数值计算中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：数值积分差分法可以用于数值积分，通过对函数在一定区间上的离散点进行差分逼近，求解积分值。
求解微分方程差分法可以用于求解常微分方程和偏微分方程。
通过离散化空间和时间，将微分方程转化为差分方程，进而求解得到数值解。
数据平滑和插值差分法可以用于对数据进行平滑处理和插值。
通过差分逼近函数的导数或曲线的斜率，可以对数据进行处理和插值，使其更接近实际情况。
优化问题差分法可以用于求解优化问题，通过逼近函数的导数，来确定函数的极值点。
数学推导和实例说明下面将通过一个具体的数学推导和实例说明差分法的应用。
数学推导考虑函数f(x)在x0处的二阶导数。
使用中心差分逼近，可以得到以下表达式：f″(x0)≈f(x0+ℎ)−2f(x0)+f(x0−ℎ)ℎ2其中ℎ为步长。
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解1常系数微分方程概述常系数微分方程（Constant Coefficient Differential Equation,CCD），是指存在有限个常数系数的微分方程，即存在有m 个常数a1,a2,…,an的微分方程：y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an*y=0其中，y是函数，y^(n)是函数的n阶微分，当n>=0时，常系数微分方程称为普通的常系数微分方程，而当n<0时，称为被动的常系数微分方程。
2常系数微分方程的求解常系数微分方程的求解是数学分析学中的重要内容，目前已经形成了解该类问题的一些方法：（1）对于线性方程，采用求解线性常系数微分方程的一般解法，例如附加变量法、变特征值法等；（2）对于高阶非线性微分方程，采用求解微分方程的数值方法，即差分近似法，例如有限差分法、有限元法等；（3）对于常系数微分方程的拓展问题，则需要添加对应的拓展方法，例如组合数值分析法、Laplace变换法等；（4）对于非线性常系数微分方程的求解，采用求解非线性方程的数值方法，例如弦截法、分段线性化方法、图像法、牛顿迭代法等；（5）对于具有给定强行条件的常系数微分方程，有时需要采用求解条件方程的解析方法，例如克莱姆法、特征值法等；（6）综合方法，例如基于拟牛顿方法的滤波器法、基于随机变量的最大似然估计方法等。
3四个重要概念在学习常系数微分方程的求解时，要熟悉以下4个概念：（1）特征根：对于函数y=f(x)，它的特征根是指y'=0时的解。
所以，当一个微分方程有解时，那么它的特征根就可以成为方程解中特定变量x的“0值变化”点，即可将该方程分解为特征根和变量x的关系。
（2）特征方程：特征方程是指常系数微分方程的特征多项式及其对应的特征方程的求解问题。
特征多项式就是通过将常系数微分方程化为特征形式，转换出来的多项式。
在求解特征方程时，利用传统的多项式解法，即贝祖定理，计算出特征方程的特征根。
matlab差分法求解微分方程
一、概述微分方程是自然科学和工程技术中常见的数学模型，它描述了连续系统的变化规律。
在实际应用中，求解微分方程是一项重要且复杂的工作。
而matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的数学函数和工具，能够辅助工程师和科学家在求解微分方程方面取得良好的效果。
二、matlab差分法求解微分方程的基本原理差分法是一种常见的数值求解微分方程的方法。
它基于微分的定义，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。
在matlab中，可以利用内置的数学函数和工具，通过差分法求解微分方程，得到数值解或者近似解。
三、matlab中使用差分法求解常微分方程的步骤1. 确定微分方程的类型和边界条件需要明确所要求解的微分方程是什么类型的，以及其所对应的边界条件是什么。
这对于后续的数值求解过程非常重要。
在matlab中，可以利用符号变量和函数来表示微分方程和边界条件。
2. 将微分方程离散化接下来，需要将微分方程进行离散化处理，将微分方程中的微分运算用差分逼近来进行计算。
这一步需要根据微分方程的具体形式和求解精度选择合适的差分方法，常见的有前向差分、后向差分和中心差分等方法。
3. 构建代数方程组将离散化后的微分方程转化为代数方程组。
这一步需要根据微分方程的离散化表达式和边界条件，利用matlab的矩阵和向量运算功能，构建代数方程组。
4. 求解代数方程组利用matlab的求解函数，求解构建得到的代数方程组，得到微分方程的数值解或者近似解。
在求解过程中，需要注意数值稳定性和收敛性，以及选择合适的数值积分方法和迭代算法。
四、实例：使用matlab差分法求解一阶常微分方程为了更好地理解matlab中使用差分法求解微分方程的过程，以下将通过一个具体的实例来演示。
假设要求解如下的一阶常微分方程：dy/dx = -2x + 1, y(0) = 11. 确定微分方程的类型和边界条件根据给定的方程，可以确定它是一阶常微分方程，且给定了初始条件y(0) = 1。
第三章常微分方程的差分方法15
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn
yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。
python差分法解微分方程
Python差分法解微分方程引言微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界中的各种现象。
Python作为一种功能强大的编程语言，提供了许多工具和库来求解微分方程。
本文将介绍如何使用Python中的差分法来解微分方程。
差分法简介差分法是一种常见的数值求解微分方程的方法。
它通过将连续的函数或曲线离散化为有限个点，然后利用点之间的差值来近似求解微分方程。
差分法的核心思想是使用离散化后的函数值和导数值来逼近原始函数和导数，从而得到微分方程的近似解。
差分法求解一阶常微分方程首先考虑一个一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是关于x和y的已知函数。
我们可以使用差分法来逼近该微分方程。
将自变量x划分为等间距的n个点，即x[i] = x0 + i * h，其中x0是起始点，h是步长。
对于每个点x[i]，我们可以使用差分法来逼近导数dy/dx和函数值y。
根据差分法的定义，导数的近似值可以通过有限差分公式来计算：(y[i+1] - y[i]) / h。
将该公式代入微分方程，我们可以得到一个递推关系：y[i+1] = y[i] + h * f(x[i], y[i])。
现在我们可以使用Python编写一个求解一阶常微分方程的差分法函数：def solve_ode(f, x0, y0, h, n):x = [x0 + i * h for i in range(n)]y = [y0]for i in range(1, n):y.append(y[i-1] + h * f(x[i-1], y[i-1]))return x, y其中f是微分方程右侧的函数，x0和y0是起始点，h是步长，n是离散化后的点数。
函数返回离散化后的自变量和因变量的列表。
示例让我们通过一个具体的例子来演示如何使用差分法求解微分方程。
考虑一阶线性常微分方程：dy/dx = 2 * x，初始条件为y(0) = 1。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（），=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1), (2), (3), (4)三、1、2、（15(1)(1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
微分方程的求解方法例题
微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
常微分方程有限差分
常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。
而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。
将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。
在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。
这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。
常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。
通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。
总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。
通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。
求解微分方程的常用方法
求解微分方程的常用方法微分方程是数学的一个重要领域，在各个科学领域中都有着广泛的应用。
求解微分方程是解决实际问题的重要方法之一。
本文将介绍一些求解微分方程的常用方法。
一、解析解法解析解法是指用变量分离、母函数法、变量代换等方法，将微分方程转化为一些已知函数的方程，从而求得方程的解。
变量分离法是一种常见的解析解法。
对于形如y'=f(x)g(y)的微分方程，可以将其变为dy/g(y)=f(x)dx的形式，进而通过积分得到y的解。
母函数法是将微分方程变成一个恒等式的形式，从而求出微分方程的通解。
变量代换法则是通过适当的变量代换，使微分方程变为已知形式的微分方程，进而求出其解。
二、初值问题法初值问题法通常用于求解一阶微分方程的初值问题。
该方法的基本思路是先求得微分方程的通解，然后利用给定的初始条件（即初值），确定通解中的任意常数，从而得到特解。
三、数值解法数值解法是指将微分方程转化为一个差分方程，利用数值方法求得近似解。
数值解法的基本思路是将区间分为若干小段，然后在每一小段上通过近似计算求得微分方程的解。
常用的数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
这些方法的特点是简单易实现，但对于复杂的微分方程而言，计算量较大，精度也有限。
四、级数解法级数解法是将微分方程的解表示为幂级数的形式，从而求解微分方程。
这种方法的思路是假设微分方程的解为幂级数的形式，然后代入微分方程得到一组关于幂级数系数的递推公式，进而求得幂级数的系数，并由此得出微分方程的解。
五、特殊函数解法特殊函数解法是指利用已知的特殊函数求解微分方程。
一些常见的特殊函数包括贝塞尔函数、连带勒让德函数、超几何函数等。
这些特殊函数有着特殊的性质，可以用于求解某些类型的微分方程。
例如，我们可以用贝塞尔函数求解振动问题中的一些微分方程。
六、变分法变分法是一种通过变分原理，求解微分方程的方法。
变分法需要通过变分原理，利用根据函数微小变化的变分量所对应的增量来导出微分方程的一些重要性质。
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。
近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。
本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。
计算方法常微分方程的差分方法
01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有 与 恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析
微分方程数值解差分法
微分方程数值解差分法微分方程是自然科学和工程技术中广泛使用的工具，它们描述了许多物理过程的动力学行为。
对于复杂的微分方程，解析解往往很难或者不可能得到。
此时我们需要数值解差分法来解决问题。
一、微分方程数值解的方法1.分裂法分裂法是将一个复杂的微分方程分解为多个简单的方程。
例如，将一个偏微分方程分解成几个常微分方程，从而可以方便地使用数值方法计算解。
2.有限差分法有限差分法是一种常见的微分方程数值计算方法。
它将一维或多维的连续函数离散为一系列离散点，然后使用差分方程近似微分方程，最后用迭代法计算数值解。
3.有限元法有限元法是一种广泛使用的数值计算方法，它可以用于求解各种类型的微分方程。
该方法将求解区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行离散化和近似处理。
二、数值解差分法数值解差分法是微分方程数值解的基本方法之一。
它是一种基于差分方程的离散化方法，可以对微分方程进行近似，并将微分方程转化为一个差分方程。
数值解的差分法可以分为前向差分、后向差分和中心差分三种方法。
1.前向差分法前向差分法使用前一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而增大。
前向差分的公式如下：y_i+1 = y_i + hf_i(x_i,y_i)其中，h是时间步长，f_i是微分方程的左侧。
2.后向差分法后向差分法使用后一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而减小。
后向差分的公式如下：y_i+1=y_i + hf_i(x_i+1,y_i+1)3.中心差分法中心差分法使用前一时间步和后一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而增大。
中心差分的公式如下：y_i+1=y_i + 1/2hf_i(x_i,y_i) + 1/2hf_i(x_i+1,y_i+1)三、差分法的优缺点差分法作为微分方程数值解的一种基本方法，具有以下优缺点：1.优点（1）简单易实现：差分法的实现很简单，只需要计算微分方程的离散值和靠近值即可。
算法大全第15章_常微分方程的解法
-1-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22dyy x dx=+，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是(,)()dyf x y a x bdxy a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩ (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数(,)f x y 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y (x )在若干点012N a x x x x b =<<<<=处的近似值(1,2,,)n y n N =的方法，(1,2,,)n y n N = 称为问题（1）的数值解，1n n n h x x +-=称为由n x 到1n x +的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商()()1n n y x y x h+-代替()n y x '代入（1）中的微分方程，则得()()()()1,(0,1,)n n n n y x y x f x y x n h+-≈=化简得()()()()1,n n n n y x y x hf x y x +≈+如果用()n y x 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为()1n y x +的近似值，记为1n y +， 则有()1,(0,1,)n n n n y y hf x y n +=+=(2)这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题()10,(0,1,)()n n n n y y hf x y n y y a +⎧=+=⎨=⎩ (3) 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出1y ,2y ,…。
常微分方程的差分方法
隐式欧拉格式
设改用后差商 1
hຫໍສະໝຸດ yxn1
y
xn
y ' xn1 f xn1, y xn1
替代方程
中的导数项 y 'xn1 ，再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
该格式右端含有未知的 yn1 ，它实际上是个关于yn1 。
• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余 卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论 占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作， 足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉
y(xn1 )
y(xn )
hy'(xn )
1 2
h2 y"(xn )
O(h3 ),
y(xn1 )
y(xn
)
hy' ( xn
)
1 2
h2
y"(xn )
O(h3 ),
y(xn1 ) y(xn1 ) 2hy'(xn ) O(h3 )
yn1 y(xn1 ) 2hy'(xn )为两步Euler公式
2316555937安工大2004431数值分析简明教程亚当姆斯格式2格式二阶展开式安工大2004432数值分析简明教程亚当姆斯格式3格式均可以看作为线性多步梯形公式公式两步公式公式adamseulerhyeulerhy安工大2004433数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式1同样我们也可导出如下隐式的二阶三阶和四阶亚当安工大2004434数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式2adams格式是梯形公式二阶隐式展开式最简单的形式为即采用内插过程的数值的数值来预报也可以由是外推过程的数值的数值来预报格式是由二阶安工大2004435数值分析简明教程作业1623试证明下式为安工大2004436数值分析简明教程证明3阶adams格式12161216121612231623安工大2004437数值分析简明教程亚当姆斯预报校正系统仿照改进的欧拉格式的构造方法将显式和隐式两种亚当姆式相匹配可构成下列亚当姆斯预报校正系统
数值分析9-常微分方程的差分方法
➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在 [ xi , xi1] 上积分，得到
y( xi1) y( xi )
xi1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近1 似y地i 算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
2
p
1 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 就2是 改12 进的欧拉法。
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
龙格-库塔方法一般推导公式
yi1
yi
h[
1
K1
2
K2
...
m
Km]
K1 f (xi , yi )
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f ( xi ph, yi phK1 )
f ( xi , yi ) phfx ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O(h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
yn )
f ( xn1,
yn1 )]
各种方法的比较
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低 精度低, 计算量大
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
改进的欧拉格式
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
欧拉公式
向前差商近似导数
常微分方程的差分方法-欧拉法
常微分方程的差分方法-欧拉法一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。
在今天，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。
二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自身理论体系的数学学科。
微积分的发明是人类智慧的伟大发展。
求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法。
怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微分方程呢？四、正文y′=f(x,y) (1)y(x0)=y0 (2)方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。
数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。
由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代导数。
譬如，若在点x n列出方程（1）：y′(x n)=f(x n,y(x n))替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y(x n+1)−y(x n)hy(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。
若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式.我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式.再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解.其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式.我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程.特别地.当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程.否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法.我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy.这是可分离变量的方程.两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(.其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况.两者的解存在着对应关系.设)(x C 来替换 C.于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(.再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(.于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
微分方程与差分方程详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
常微分方程的差分方法
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值 方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
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作 业
整理上机作业
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十一．边值问题
差分法求解微分方程
差分法求解微分方程
微分方程是数学中常见的一种求解问题，但是它是一种难以定性求解的问题，为了解决这一问题，出现了一种新的求解方法：差分法。
差分法是一种基于差分方程组的近似解法，它通过一系列的迭代叠加，以计算出数学方程的近似解。
差分法是一种常用的求解方法，广泛应用于各行各业、物理和化学等学科的计算和模拟。
它由方程组的差分表示引出，直接求解方程组，一般不使用求解公式，可以快速准确地求解复杂的方程。
它是一种基于叠加法的近似解法，主要用于连续变化的系统模型，有效地解决了求解复杂的微分方程的算法问题。
差分法的基本思路是，将微分方程组简化成差分方程组，将微分方程组转化为差分方程组进行求解，从而得到微分方程的近似解。
首先，要对微分方程做变换，通过变换微分方程，将其转化为差分方程，然后计算出对应的解。
其次，根据所给出的差分方程，使用叠加法计算出其近似解，最后，根据解法，从近似解中求出最终的解，实现微分方程组的求解。
因此，差分法可以有效解决求解复杂微分方程的计算问题，与数值分析、数值解析等方法相比，差分法可以更快速、更精确地求解复杂的微分方程，并且易于实现。
更重要的是，差分法具有普适性，可以用于解决任意高度的复杂的微分方程，因此被广泛应用于各行各业，尤其是在工程领域中。
总之，差分法是一种普遍适用的求解方法，可以快速精确地求解
复杂的微分方程组，在现实应用中有广泛的应用性，受到了广大研究人员的重视和关注。