计算方法-常微分方程的差分方法实验

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常微分方程与差分方程

数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以分为多种类型。常见的一阶常微分方程是形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表示y对x的导数。此外，根据是否含有线性项和非线性项，常微分方程还可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的数学模型，通常表示为离散时间点的函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。

常微分方程数值解法的误差分析汇总

淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。

许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。

因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。

数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。

随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。

关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。

常微分方程的差分的方法

对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大，但精度高；显式差分法精度低但计算量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
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REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。通过改进非线性项的处理方式，可以进一步提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法，通过将微分方程转化为差分方程来求解。该方法的关键在于选择合适的差分格式和离散化方案，以保证数值解的精度和稳定性。

第三章常微分方程的差分方法15

第三章常微分方程的差分方法
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1）（2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn

yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远比显式格式困难得多。

常微分方程有限差分

常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。

而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。

将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。

在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。

这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。

常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。

通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。

总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。

通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。

第三章常微分方程的差分方法

P1 P1 P0 Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自动化工程学院
School of Automation Engineering
第三章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线当 x xn1 时,得取 y( xn ) y n
第三章
常微分方程的差分方法
第三章常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是亚当斯法。

常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

计算方法常微分方程的差分方法

01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有与恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值，和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析

常微分方程两点边值问题的差分方法

常微分方程两点边值问题的差分方法说实话常微分方程两点边值问题的差分方法，我一开始也是瞎摸索。

我就知道这是个挺难搞的事儿，但我就想把它弄明白。

我最早尝试直接用我之前学过的常微分方程的一些解法，可发现对于两点边值问题完全行不通，这才意识到这个问题很特殊，需要专门的方法来对付。

那我就开始了解差分方法呗。

这个差分啊，简单来说就有点像我们数东西的时候不是一个一个数，而是隔几个数一个那样，在数学里就是把连续的函数离散化。

比如说我们有个常微分方程，在一个区间上的两点边值问题，我要做的第一步，不妨就把这个区间分成好多小份，这个小份的大小我开始还不确定选多少好呢，我就试了好几个不同的值。

我试着先在网格点上近似导数。

我最开始想当然地用了一种很简单的近似方法，就像我们估算速度的时候，直接用两个点的函数值之差除以距离嘛，但是发现这样得到的结果那叫一个惨不忍睹啊，误差大得很。

后来仔细研究才知道，要根据这个常微分方程的具体形式来更好地构造近似导数，才能减小误差。

还有在处理边界条件的时候，这个可千万不能马虎。

我一开始就没太重视边界条件，结果算出的结果也完全不对。

其实就像是盖房子必须要打好地基一样，这个边界条件对于两点边值问题就是根基，如果根基歪了，那整个房子肯定也立不住。

我后来发现了一个比较靠谱的步骤。

就是在差分的时候，对于方程中的每一项，根据泰勒公式来构建合理的差分格式。

这个就像搭积木，每个部分都要搭得准确才能让整体稳固。

我把方程中的项都按照精心设计的差分格式替换掉之后，就得到了一个代数方程组，解这个方程组就能够求出在离散点上的近似解了。

不过这里面还有个小窍门，在求解方程组的时候，我刚开始没注意方程组矩阵的性质，有时候得到的解是不准确的。

我后来发现有的矩阵如果是稀疏友好型的，那就要选择专门针对稀疏矩阵的算法来求解，这样速度又快结果又准确。

我不确定我现在的方法是不是最完美的，但就目前我做的一些练习题还有自己研究的小例子来说，这个方法已经相当好用了。

差分方法实验报告

实验报告课程名称：计算方法院系：数学科学系专业班级：数应1001学号：1031110139学生姓名：姚海保指导教师：沈林开课时间：2012至2013学年第一学期一、学生撰写要求按照实验课程培养方案的要求，每门实验课程中的每一个实验项目完成后，每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告，不得抄袭，不得缺交。

学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。

字迹工整，文字简练，数据齐全，图表规范，计算正确，分析充分、具体、定量。

二、教师评阅与装订要求1.实验报告批改要深入细致，批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题，给出评语和实验报告成绩，签名并注明批改日期。

实验报告批改完成后，应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。

2.实验报告成绩用百分制评定，并给出成绩评定的依据或评分标准（附于实验报告成绩登记表后）。

对迟交实验报告的学生要酌情扣分，对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育，并对该次实验报告的分数以零分处理。

对单独设课的实验课程，如学生抄袭或缺交实验报告达该课程全学期实验报告总次数三分之一以上，不得同意其参加本课程的考核。

3.各实验项目的实验报告成绩登记在实验报告成绩登记表中。

本学期实验项目全部完成后，给定实验报告综合成绩。

4.实验报告综合成绩应按课程教学大纲规定比例（一般为10-15%）计入实验课总评成绩；实验总评成绩原则上应包括考勤、实验报告、考核（操作、理论）等多方面成绩；5.实验教师每学期负责对拟存档的学生实验报告按课程、学生收齐并装订，按如下顺序装订成册：实验报告封面、实验报告成绩登记表、实验报告成绩评定依据、实验报告（按教学进度表规定的实验项目顺序排序）。

装订时统一靠左侧按“两钉三等分”原则装订。

4、复数矩阵的生成及运算A=[1,3;2,4]-[5,8;6,9]*iB=[1+5i,2+6i;3+8*i,4+9*i]C=A*BA = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i2.0000 - 6.0000i 4.0000 - 9.0000iB =1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 + 9.0000iC =1.0e+002 *0.9900 1.1600 - 0.0900i1.1600 + 0.0900i 1.3700。

5.1常微分方程的数值解法

5.1常微分⽅程的数值解法第五章常微分⽅程的差分⽅法⼀、教学⽬标及基本要求通过对本节课的学习，使学⽣掌握常微分⽅程、常微分⽅程⽅程组的数值解法。

⼆、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分⽅程的数值解法。

具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。

三、教学重点难点1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔⽅法、收敛性与稳定性。

2. 教学难点：收敛性与稳定性。

四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。

适当提问，加深学⽣对概念的理解。

五、正⽂基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引⾔1．主要考虑如下的⼀阶常微分⽅程初值问题的求解:00()(,)()y x f x y y x y '=??=?微分⽅程的解就是求⼀个函数y=y(x)，该函数满⾜微分⽅程并且符合初值条件。

2. 例如微分⽅程:xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得⼀阶常微分⽅程的初始问题24(1)3y y x y ?'=+=-?。

显然函数y(x)=x 2-4x 满⾜以上条件,因⽽是该初始问题的微分⽅程的解。

3. 但是,只有⼀些特殊类型的微分⽅程问题能够得到⽤解析表达式表⽰的函数解，⽽⼤量的微分⽅程问题很难得到其解析解，有的甚⾄⽆法⽤解析表达式来表⽰。

因此，只能依赖于数值⽅法去获得微分⽅程的数值解。

4．微分⽅程的数值解：设微分⽅程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进⾏划分得⼀系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本⽆法得到，我们⽤数值⽅法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分⽅程的数值解。

如果计算y n 时，只利⽤y n-1，称这种⽅法为单步法；如果在计算y n 时不仅利⽤y n-1，⽽且还要利⽤y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种⽅法为r 步⽅法，也称多步法。

常微分方程的差分方法

隐式欧拉格式
设改用后差商 1
hຫໍສະໝຸດ yxn1

y

xn

y ' xn1 f xn1, y xn1
替代方程
中的导数项 y 'xn1 ，再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
该格式右端含有未知的 yn1 ，它实际上是个关于yn1 。
• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉
y(xn1 )

y(xn )
hy'(xn )

1 2
h2 y"(xn )

O(h3 ),
y(xn1 )

y(xn
)

hy' ( xn
)

1 2
h2
y"(xn )

O(h3 ),
y(xn1 ) y(xn1 ) 2hy'(xn ) O(h3 )
yn1 y(xn1 ) 2hy'(xn )为两步Euler公式
2316555937安工大2004431数值分析简明教程亚当姆斯格式2格式二阶展开式安工大2004432数值分析简明教程亚当姆斯格式3格式均可以看作为线性多步梯形公式公式两步公式公式adamseulerhyeulerhy安工大2004433数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式1同样我们也可导出如下隐式的二阶三阶和四阶亚当安工大2004434数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式2adams格式是梯形公式二阶隐式展开式最简单的形式为即采用内插过程的数值的数值来预报也可以由是外推过程的数值的数值来预报格式是由二阶安工大2004435数值分析简明教程作业1623试证明下式为安工大2004436数值分析简明教程证明3阶adams格式12161216121612231623安工大2004437数值分析简明教程亚当姆斯预报校正系统仿照改进的欧拉格式的构造方法将显式和隐式两种亚当姆式相匹配可构成下列亚当姆斯预报校正系统

数值分析9-常微分方程的差分方法

➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在 [ xi , xi1] 上积分，得到
y( xi1) y( xi )
xi1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近1 似y地i 算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
2
p
1 2
这里有 3 个未知数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。注意到，p 1, 1 就2是改12 进的欧拉法。
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
龙格-库塔方法一般推导公式
yi1
yi
h[
1
K1
2
K2
...
m
Km]
K1 f (xi , yi )
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f ( xi ph, yi phK1 )
f ( xi , yi ) phfx ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O(h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
yn )
f ( xn1,
yn1 )]
各种方法的比较
方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式
中点公式
简单稳定性最好精度提高
精度提高, 显式
精度低精度低, 计算量大
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
改进的欧拉格式
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
欧拉公式
向前差商近似导数

常微分方程的差分方法-欧拉法

常微分方程的差分方法-欧拉法一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。

在今天，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。

二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自身理论体系的数学学科。

微积分的发明是人类智慧的伟大发展。

求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法。

怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微分方程呢？四、正文y′=f(x,y) (1)y(x0)=y0 (2)方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。

数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。

由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代导数。

譬如，若在点x n列出方程（1）：y′(x n)=f(x n,y(x n))替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y(x n+1)−y(x n)hy(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。

若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。

微分方程与差分方程详解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

第3章常微分方程的差分方法

6
a = x0 < x1 < … < xi < … < xn = b
上的近似值y0, y1, …, yn。
两相邻节点间的距离
hi = xi+1 - xi (i=0,1,2,…,n-1)
称为步长。当
hi h （常值）时称为等步长，有
x x i, h ( i 1 , 2 ,... n ) i 0
Pn 1
Pn
Pn
y y(x)
Pn 1

o
x 0 x1 x 2
x i x i 1 x n 1 x n
图7-2
x
与14Leabharlann 得到 y2 作为y(x2 ) 的近值；……如此继续，直到Pn 点。这样，得出一条折线P0 P1P2…Pi…Pn 近似代
替积分曲线P'0 P'1P'2…P'i…P'n 。当步数越多时，
步格式。其中（2.5）是一个数值微分公式。故用其他数值微分公式也可导出略异于（ 2.2）的其他形式的算式来。例如，用向后差商表示的两点数值微分公式
1 h y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( ) i 1 i 1 i i h 2 ( i 0 , 1 , ,n 1 )
y(xi+1 )和 y(xi )用其近似值 yi+1 和 yi 代入，则得
y y hf ( x , y )( i 0 , 1 , 2 ,..., n 1 )
i 1 i i i
16
此即（2.2）（欧拉格式）。显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一
步所得结果 yi 一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一

常微分方程的差分方法

y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
19
作业
整理上机作业
20
16
十一．边值问题

差分法求解微分方程

差分法求解微分方程
微分方程是数学中常见的一种求解问题，但是它是一种难以定性求解的问题，为了解决这一问题，出现了一种新的求解方法：差分法。

差分法是一种基于差分方程组的近似解法，它通过一系列的迭代叠加，以计算出数学方程的近似解。

差分法是一种常用的求解方法，广泛应用于各行各业、物理和化学等学科的计算和模拟。

它由方程组的差分表示引出，直接求解方程组，一般不使用求解公式，可以快速准确地求解复杂的方程。

它是一种基于叠加法的近似解法，主要用于连续变化的系统模型，有效地解决了求解复杂的微分方程的算法问题。

差分法的基本思路是，将微分方程组简化成差分方程组，将微分方程组转化为差分方程组进行求解，从而得到微分方程的近似解。

首先，要对微分方程做变换，通过变换微分方程，将其转化为差分方程，然后计算出对应的解。

其次，根据所给出的差分方程，使用叠加法计算出其近似解，最后，根据解法，从近似解中求出最终的解，实现微分方程组的求解。

因此，差分法可以有效解决求解复杂微分方程的计算问题，与数值分析、数值解析等方法相比，差分法可以更快速、更精确地求解复杂的微分方程，并且易于实现。

更重要的是，差分法具有普适性，可以用于解决任意高度的复杂的微分方程，因此被广泛应用于各行各业，尤其是在工程领域中。

总之，差分法是一种普遍适用的求解方法，可以快速精确地求解
复杂的微分方程组，在现实应用中有广泛的应用性，受到了广大研究人员的重视和关注。

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常微分方程与差分方程

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第三章常微分方程的差分方法15

常微分方程有限差分

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5.1常微分方程的数值解法

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微分方程与差分方程详解与例题

第3章 常微分方程的差分方法

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