常微分方程的差分方法
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程数值解法的误差分析汇总
淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。
许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。
因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。
数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
第三章常微分方程的差分方法15
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn
yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
第三章 常微分方程的差分方法
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
常微分方程与差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
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第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。
近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。
本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。
数值分析9-常微分方程的差分方法
➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在 [ xi , xi1] 上积分，得到
y( xi1) y( xi )
xi1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近1 似y地i 算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
2
p
1 2
这里有 3 个未知 数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库 塔格式。注意到，p 1, 1 就2是 改12 进的欧拉法。
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
龙格-库塔方法一般推导公式
yi1
yi
h[
1
K1
2
K2
...
m
Km]
K1 f (xi , yi )
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f ( xi ph, yi phK1 )
f ( xi , yi ) phfx ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O(h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
yn )
f ( xn1,
yn1 )]
各种方法的比较
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低 精度低, 计算量大
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
改进的欧拉格式
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
欧拉公式
向前差商近似导数
常微分方程的差分方法-欧拉法
常微分方程的差分方法-欧拉法一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。
在今天，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。
虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。
二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自身理论体系的数学学科。
微积分的发明是人类智慧的伟大发展。
求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法。
怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微分方程呢？四、正文y′=f(x,y) (1)y(x0)=y0 (2)方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。
数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。
由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代导数。
譬如，若在点x n列出方程（1）：y′(x n)=f(x n,y(x n))替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y(x n+1)−y(x n)hy(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。
若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。
常微分方程差分方程解法归纳
‘P(x)dxC (x) =Q(x)e ，，再对其两边积分得fP(x) dxC(x)二.Q(x)e dx C ，于是将其回代入常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分①可分离变量方程(分离变量法) 如果一阶微分方程 d^ = f (x, y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y)二g(x)h(y) dx 的形式，我们称 3 =g(x)h(y)为可分离变量的方程。
dx 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 -dy g(x)dx 的形式，再对此式两边积 h(y)分得到 型 g(x)dx C 从而解出 3二g(x)h(y)的解，其中C 为任意常数。
' h(y) ' dx 具体例子可参考书本 P10 — P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法) 如果一阶微分方程史=f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示为 dx f(x, y) =Q(x) - P(x)y 的形式，我们称由此形成的微分方程 dy P(x)y =Q(x)为一阶线 dx性微分方程，特别地，当 Q(x) =0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性 非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程裂P(x)厂0,这是可 —P(x)dx分离变量的方程，两边积分即可得到 y 二Ce • ，其中 C 为任意常数。
这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设 C(x)来替换C ,于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如 y=C(x)e - …P(x)dx …P(x)dx得至U C (x)e —P(x)C(x)e-P(x)dx dy 的解。
将其代入 P(x)y 二Q(x)我们就可 dx…P(x)dxP(x)C(x)e • 二Q(x)这其实也就是 —'P(x)dx y = C(x)e 即得一阶线性微分方程鱼，P(x)y =Q(x)的通解 dx-P(x)dxy =e .Q(x)eP(x)dxdx + CI 。
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
第3章 常微分方程的差分方法
a = x0 < x1 < … < xi < … < xn = b
上的近似值y0, y1, …, yn。
两相邻节点间的距离
hi = xi+1 - xi (i=0,1,2,…,n-1)
称为步长。当
hi h （常值）时称为等步长，有
x x i, h ( i 1 , 2 ,... n ) i 0
Pn 1
Pn
Pn
y y(x)
Pn 1
o
x 0 x1 x 2
x i x i 1 x n 1 x n
图7-2
x
与14Leabharlann 得到 y2 作为y(x2 ) 的近值；……如此继续，直到Pn 点。这样，得出一条折线P0 P1P2…Pi…Pn 近似代
替积分曲线P'0 P'1P'2…P'i…P'n 。当步数越多时，
步格式。其中（2.5）是一个数值微分公式。故用其他数值微 分公式也可导出略异于（ 2.2）的其他形式的算式来。例如， 用向后差商表示的两点数值微分公式
1 h y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( ) i 1 i 1 i i h 2 ( i 0 , 1 , ,n 1 )
y(xi+1 )和 y(xi )用其近似值 yi+1 和 yi 代入，则得
y y hf ( x , y )( i 0 , 1 , 2 ,..., n 1 )
i 1 i i i
16
此即（2.2）（欧拉格式）。 显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一
步所得结果 yi 一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一
常微分方程的差分方法
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值 方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
19
作 业
整理上机作业
20
16
十一．边值问题
常微分方程的差分方法
x, y x
h 2
f
xn, y xn f
xn1, y xn1
再离散化，即可得如下计算公式
yn1
yn
h 2
f
xn ,
yn
f
xn1,
yn1
与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。
第三章 常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
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4.1
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引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的
最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
数值分析简明教程
4.9
安工大2004
七桥问题
• 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥 尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷 格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任 一块出发，恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究并解决了 此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能 的。
，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为 灰烬了．
•
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完
全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着
记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久
数值分析简明教程
4.11
安工大2004
常微分方程初值问题RK法和多步法
ｙ ＝ ＋ △＝ ＿
ｌ＋ ＋ ９＋ 州 １ ） ＝ （ ＋＋９ ５一 吨 （ ） Ｌ ＋
Ｅ ｌｒ ｕｅ 法是最简单 的一种求解 常微分方 程 初值问题 的数值方法 ， 但其局部截 断误差仅为 Ｏｈ） （ ， 是一 阶方法 ， 为了达到更高 的精度 ， 们 我 构造了 Ｒ Ｋ法 ．通过构造高阶单步法来提高精 度， 而较高的精 度意味着计算结果更加精确 ， 误 差 随 着 的减 小 迅 速 减 小 ， 虑 常 微分 方 程 ： 考
由此可见 ， 当Ｎ２５时 ， ） Ｎ， 而 四级 四 ｐＯ ＜ 从 Ｎ
的方法 ， 应用公式 时 需要提供 主 ｙ，。 ： ｖ４ ｂ ｏ ， 和 ＝／－ ｙＹ ； Ｎ 困（ ７或 （．） 显式公 式 ， 以 又称 它们 为 始值， ２） ２ 是 ８ 所 通常也是由经典 Ｒ Ｋ公式提供。 ｄｍｓ 易 ｄｍｓ ２） ７ 已 知信 息 （ Ｙ ， 一， … ） 构 造 高 精 度 的 显式 Ａ ａ 公 式 ， 见 显式 Ａ ａ 公式 （． 或 如 ｙ Ｙ 来 同样 ， 于四 阶隐式 Ａ ａ 法 ． （． ） 对 ｄｍｓ 式 ２ ２是一 １ 算 法计 算 Ｙ 。 （．］ 性 （＋１ ２ 是线 ８ ） 步公式 。 个三级四阶的，应用该公式需要提供 ３ 个初始值 常刚 的 四阶盟式 Ａ ａ ｓ ｄ ｍ 公式 为日 四级 四阶 Ｒ Ｋ的 常 用 基 本格 式 有 … ｙ， 和 ｙ， 常由经典 ＲＫ公式 提供 。 ０ ２ Ｙ 通 ＝ ＋ （ 一 ９ 十 ７ 一 ９ 。 ５ ５ ５ 一 ３Ａ ） 一 （９） ２ ３ 精度 比较 ２ ｙ＋ ＝ Ｔ ｈｃ 十ｃＫ２ ， ｃＫ ） 【 （ｌ Ｋｌ ２ 十ｆ ＋ ４ ４ 步法 的基 本 思 想 是 如何 通 过 较 多 地 利 用 前 面 的
计算方法常微分方程的差分方法
01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有 与 恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析
常微分方程有限差分
常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。
而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。
将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。
在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。
这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。
常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。
通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。
总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。
通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。
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邻两个节点的间距
No Image
称为步长，步长可以相等，也
可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可
表示为
No Image
数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点 的数值解。
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第 三 章 常微分方程的差分方法
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第 三 章 常微分方程的差分方法 例3.1 用欧拉法解初值问题
No Image
取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数
解: h=0.2,
No Image
欧拉迭代格式
No Image
No Image
当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8
No Image
(3.9)
所以, 由(3.8)和(3.9)可得两步欧拉公式的局部截断误差为, 即
No Image
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第 三 章 常微分方程的差分方法
3.1.5 改进的欧拉公式
显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高
第 三 章 常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
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第 三 章 常微分方程的差分方法
3.1.3 两步欧拉公式
对方程
的两端在区间上 No
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积分得 No
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改用中矩形公式计算其积分项，即
( 3.6 )
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代入上式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到两步欧拉公式
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把y(xi-1)在xi处展开成Taylor级数，即
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第 三 章 常微分方程的差分方法
No Image
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由
No
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No Image
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(3.8)
再将y(xi+1)在xi+1处进行泰勒展开
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这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达 它的解。
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第 三 章 常微分方程的差分方法 从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解 法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
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定义3.2
数值方法的局部截断误差为
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,则称这种数值方
法的阶数是P。步长(h<1) 越小,P越高, 则局部截断误差越小,
计算精度越高。欧拉公式的局部截断误差为
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, 欧拉方法
仅为一阶方法。
两步欧拉公式比欧拉公式精度也是高一个数值方法,
设
, No
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前两步准确,则两步欧拉公式
Image
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直线方程为
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当 时,得 No Image
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第 三 章 常微分方程的差分方法
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由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的
点:P1,P1,…,Pn。对已求得点
类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了初 值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表
是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，
还要用到
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，即前面k步的值，此类方法
称为多步法；其代表是亚当斯法。
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第 三 章 常微分方程的差分方法
3.1.2 梯形公式
为了提高精度,对方程
的两端在区间上 No
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No Image
积分得，
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( 3.4 )
改用梯形方法计算其积分项，即
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代入(3.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式
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第 三 章 常微分方程的差分方法
3.1.4 欧拉法的局部截断误差
衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度, 因
此引入局部截断误差和阶数的概念。
定义3.1 在yi准确的前提下, 即
No Image
时, 用数值方法计算
( 3.2 )
还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导Euler格式。
以数值积分为例进行推导。
将方程
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的两端在区间
上积分得， No
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选择不同的计算方法计算上式的积分项 会得到不同的计算公式。
(3.3)
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,就
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第 三 章 常微分方程的差分方法
3.1 欧拉（Euler）法 3.1.1 Euler公式
欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。 初值问题
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的解y=y(x)代表通过点
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的一条称之为微分方程的积
分曲线。积分曲线上每一点
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的切线的斜率
),与x=x1直线
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相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。 过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为
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当 时,得 No Image
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这样就获得了P1点的坐标。
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预测 校正
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（3.10）
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第 三 章 常微分方程的差分方法
可以证明,公式(3.10)的精度为二阶。这是一种 一步显式格式,它可以表示为嵌套形式。
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以 = 为斜率作直线 No Image
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当 时,得 No Image
取
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第 三 章 常微分方程的差分方法
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这样,从x0 逐个算出 对应的数值解
当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有 y(0.4) y2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144
当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有 y(0.6) y3=0.2×0.6144×(4-0.4×0.6144)=0.4613
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都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。
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第 三 章 常微分方程的差分方法
在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典 型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次 线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求 解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可 能给出解析解。 譬如
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中的导数
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进行不同的离散化处理。
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第 三 章 常微分方程的差分方法
对于初值问题
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的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一
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第 三 章 常微分方程的差分方法
7.2 数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(7.1)式的数值解法，就是要算出精确
解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点
处的函数值
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的近似值
相 No
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第 三 章 常微分方程的差分方法
x0
x1
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第 三 章 常微分方程的差分方法
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同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线
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交直线x=x2于P2点,切线