微分方程差分方程(英文版)(托马斯微积分)

方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
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6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第22页
差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两
边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)

maxl
,
n
k

0 1
i不是特征方程的根时; i是特征方程的单根时.
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第十章 常微分方程与差分方程
第18页
7.差分方程基本概念
差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ，
函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
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第十章 常微分方程与差分方程
第25页
定理 2：如果 y1 ( x), y2 ( x)， ，yn ( x) 是方程(1)
的 n 个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解.
（ C1, C2， ，Cn 是任意常数）
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y1*
与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0 1
定理 1 如果函数 y1( x), y2 ( x), ， y k ( x ) 是
方程(1)的两个解,那末 y C1 y1 C2 y2 Ck yk 也是(1)的解.（ C1, C2， ，Ck 是任意常数）
的特解,
那么
y* 1

y* 2
就是原方程的特解.
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第十章 常微分方程与差分方程
第27页
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
迭代法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a 2 y0
第19页
函 数y f ( x)的 二 阶 差 分 为 函 数y的 一 阶 差 分 的 差 分,即
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) y x2 2 y x1 y x
同样可定义三阶、四阶 差分： 3 yx (2 yx ),4 yx (3 yx )
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
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y* 2
就是原方程的特解.
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第十章 常微分方程与差分方程
第14页
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
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第十章 常微分方程与差分方程
1.微分基本概念
第6页
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程．
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
第10页
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第十章 常微分方程与差分方程
第11页
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
1
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
f x 0
注：1为2所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
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第十章 常微分方程与差分方程
第24页
n阶常系数齐次线性差分方程解的结构
2 是重根
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第十章 常微分方程与差分方程
第17页
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y

x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x

R(2) m
(
x
)
s
in
x],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
y

e
P( x)dx
[
Q( x)e P( x)dxdx C]
（用常数变易法）
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第十章 常微分方程与差分方程
3.可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
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第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
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第十章 常微分方程与差分方程
第9页
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx（用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
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第十章 常微分方程与差分方程
第20页
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx , 的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx , , n yx ) 0
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
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第十章 常微分方程与差分方程
第15页
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第十章 常微分方程与差分方程
第26页
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x f2 x
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f2 x
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第十章 常微分方程与差分方程
第21页
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 , 的方程，称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx1, , yxn ) 0 或G( x, yx , yx1, , yxn ) 0 (n 1)
y3 ay2 a3 y0
可降阶方程
线性方程 解的结构
相关定理
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第十章 常微分方程与差分方程
第3页
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
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第十章 常微分方程与差分方程
第4页
一、主要内容——差分方程
一阶方程
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
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第十章 常微分方程与差分方程
第23页
8.常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
第十章 常微分方程与差分方程
第1页
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第十章 常微分方程与差分方程
第2页
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
4. 线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
f (0)，f (1)， ，f ( x)，f ( x 1)，
将之简记为
y0，y1，y2， ，y x，
称 函 数 的 改 变 量y x1

y
为
x
函
数y
的
x
差
分
，
也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 为Δ y x y x1 y x .
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第十章 常微分方程与差分方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
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第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解,
那么
yx
Yx

y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
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第十章 常微分方程与差分方程
第16页
６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
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第十章 常微分方程与差分方程
第12页
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性