最新微分方程与差分方程

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微分方程与差分方程

λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.

第十章微分方程与差分方程

微积分教案第十章微分方程§10.1 微分方程的基本概念教学目的与要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念。

掌握一阶可分离变量方程的解法。

教学重点（难点）：区分解与通解。

可分离变量方程的解法。

例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为2x +1，求曲线方程。

定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。

微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。

例：指出下列各微分方程的阶1. y''+y' 3+xy 4=sin x2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=13. y'+y y'=1+x 54. y'''=y注意：在一个微分方程中，自变量x 、未知函数y 可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。

如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。

如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。

用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。

用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。

一阶微分方程初始条件的提法为：00y y x x ==二阶微分方程初始条件的提法为：00y yx x ==，*00y y x x ='=§10.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y'=f (x ,y )若能化为y'=h (x )⋅g (y )，则称该方程为可分离变量的微分方程。

例如：y'=2x +1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：y=x 2+x +C.又如y'=2xy 2这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，这是因为⎰dx xy 22含有未知函数y 。

但若把上面的微分方程变形为：xdx dy y212=两边积分得：C x y+=-21一般地，若y'=h (x )⋅g (y )把方程变形为：dx x h dy y g )()(1=，若y=ϕ(x )是方程的解，则有：dx x h dx x x g )()()]([1='ϕϕ两边对x 积分，左边利用凑微分法：⎰⎰=dx x h dy y g )()(1。

第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件

x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .

第5章微分方程与差分方程

两边积分，得故
dy = − p( x) d x ， ( y ≠ 0) ， y y = 0 对应于 ln | y | = − ∫ p ( x) d x + C1 ， C＝。 0
y = ±e ⋅ e ∫
C1 − p( x)d x
。
记 C = ± eC1，得一阶齐线性方程的通解为 y = Ce ∫
− p( x)d x
2d y = d x， 2 y −1
对上式两边积分，对上式两边积分，得原方程的通解 y −1 ln = x + C1 。 y +1 经初等运算可得到原方程的通解为隐函数形式
1 + Ce x y= 。 (C = ± eC1 ) 1 − Ce x 你认为做完了没有？你认为做完了没有？
代入原方程可知：令 y 2 − 1 = 0 ，得出 y = ±1，代入原方程可知：
5、初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
dx = t2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx d x − x2 = t3 dt
2
一阶线性二阶线性一阶非线性
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式为
F ( x, y′, y′′, L , y ( n ) ) = 0 。
dN = rN (1 例1、 ) dt N ( 0) = N 0

微分方程与差分方程方法

第四章微分方程与差分方程方法第一节微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。

一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。

自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。

微分方程与差分方程方法

微分方程和差分方程方法课件

适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日等都对微分方程的发展做出了重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学、经济学等广泛使用微分方程来描述和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如波动方程、热传导方程等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出来，转化为几个常微分方程的组合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术，加速微分方程和差分方程的求解过程。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微分方程和差分方程，适应不同应用场景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率由于微分方程和差分方程的复杂性，往往需要设计高效的算法来降低计算复杂度，提高计算效率。

微分方程和差分方程简介

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（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
解首先分离变量，得
g ( y )dy
f ( x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解其中C为任意常数。
例1 求
解
d2y
2
dx du 1 u 2 的通解. dt
0 应表达为：D2y=0.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析，当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种误解。

微积分第3版第9章微分方程与差分方程

例1的微分方程模型可以改写为: dt
y(0) 64
常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.
在n 阶微分方程中形如
a n ( x ) y (n ) a n1 ( x ) y (n1) a 1 ( x ) y a 0 ( x ) y b ( x )
的微分方程称为线性微分方程; 其中
d 2Q
dQ Q
( 5) 2 R
0;
dt
dt C
d
( 6)
sin2 .
d
解 (1), (4), (6)为一阶微分方程;
(2), (5)为二阶微分方程;
(3)为三阶微分方程;
其中 (2), (3), (5), (6)是线性微分方程;
(1), (4)是非线性微分方程.
9.2 一阶微分方程
故, x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
例3 验证 y sin(x C ), (C 是任意常数) 是微分
2
2

y

y
1 的通解.
方程
解将 y sin(x C ), y cos( x C )
代入方程, 得恒等式
sin2 ( x C ) cos 2 ( x C ) 1
9.2.1 可分离变量的微分方程
1. 定义可化为形如
或
dy
( x ) ( y ) (9 1)
dx
M 1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0 (9 1')
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
其中 ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.

第章微分方程和差分方程

第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。

一个一维粒子，初始时刻处于点0x x =，初始速度为0v ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。

解：用()x t 表示粒子在任意时刻t 的位置，根据牛顿第二定律F ma =，有mx F =对于阻尼作用F kx =-，于是，粒子的运动方程mx kx =- 这是关于时间t 的常微分方程，非常简单。

求解得12()ek t mx t c c -=+结合初始条件0(0)x x =，0(0)x v =，则010mv c x k =+，02mvc k=- 代入得粒子的运动轨迹0()(1e )kt m mv x t x k-=+-这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。

1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。

线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。

齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。

例如 u = 4 u xx ; 二阶线性，x 2u = u xx ; 二阶线性，(u x )2 + u 2 = 1; 一阶非线性。

一、二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=若()0f x ≡为齐次，()0f x ≠为非齐次。

方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数。

能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解。

线性微分方程及差分方程

u x
du dx
u

1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时，分离变量得： du 1 u
2

dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数定义2 称为微分方程的阶三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解
一线性方程
(Linear differential equation)
二伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三小结思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式两边同时积分，得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x

第三章微分方程及差分方程方法

依此法继续进行，接连积分 n 次，便得到原方程的含有 n 个任意常数的通解．
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ．此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )

x

C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得

第十五章微分方程和差分方程简介

dy 2 xy 分离变量，得到 dx
1 dy 2 xdx ， y
两边同时积分，得到
y dy 2 xdx ，
ln y x 2 C ，
即 y C1e （ C1 e ）．
C
x2
1
其中 C1 是任意常数．若 C1 0 ，即得到特解 y 0 ．二、齐次微分方程有很多的方程不是可分离变量的微分方程，其中有一些可以通过一系列的变换转化为这种形式．看下面一类方程．
令u 再分离变量，得到
du dx ． u u x
两边同时积分，得
u u ln x C ．
将左边的积分求出后，再将 u 例 2 解方程 y x y ' xyy '
2 2
du
y 代入，就得到方程的解． x
解：原方程可以化为
dy y2 dx xy x 2
其中 G y
g y dy ， F x f x dx ．要注意的是同时积分是，左边是
1
对 y 积分，右边是对 x 积分．
我们也可以验证一下．若方程的解为 y x ，满足 G y F x C ，则
1 g y dy f x dx ，
dy 4x ， dx
所以 y 4 x d x = 2 x C ，
2

当 x 0 时， y 1 ，所以 1 2 0 C ，即 C 1 ．
2
所以所求的曲线方程为
y 2x 2 1．
这里
dy 4 x 就是一个一阶常微分方程． dx
总之, 微分方程在物理、几何、经济等方面都有非常重要的应用．微分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为微分方程的解．对于一阶微分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解．一般来说，对于 n 阶微分方程，其含有 n 个互相独立的任意常数的解称为微分方程的通解．不含有任意常数的解称为微分方程的特解．例如函数 y x 是

2023年常微分方程与差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。

)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。

详细例子可参照书本P10—P11旳例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。

将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。

10 微分方程与差分方程

方法更简便些，从而知道求解齐次微分方程也可以采用例 5 的方法．例 6．求微分方程解法一公式法所给方程可改写为对照标准式可知，这是一阶线性微分方程．代入公式得满足条件的特解．
将初始条件解法二常数变易法
代入，得原方程的特解为
．
先解方程所对应的齐次方程
，分离变量并两边积分
（把式中常数 c 换成函数）设为原方程的解，则
，代入方程得
这是一个变量 u 关于变量 x 的可分离变量的方程，求出 u 的通解，再用（iii）一阶齐次线性微分方程形如解法分离变量法．的方程．的方程．
代入，即得原方程的通解．
（iv）一阶非齐次线性微分方程形如解法常数变易法或公式法．的通解
常数变易法先解对应齐次方程，即令通解公式法（v）贝努利方程形如解法作变量代换, 令
将
代入原方程并整理得．代入得 2 = 1 + c , 得 c = 1，所以原方程的特解为．
，
所以原方程的通解为将初始条件
例 7．求微分方程解方程改写为
的通解．
这是 x 关于 y 的一阶线性微分方程．由公式得
从这个例子看出，在求解微分方程时，首先应掌握各种类型的微分方程解法，同时也应学会把 x 看成是 y 的函数，来套用已知类型的微分方程的解法．
解
分离变量得
．．确定，此解易被漏掉．
两边积分，得通解此外也是方程的解，这不能由
（2）作变量替换后，注意代回原来变量
例如
求
的通解．
解
这是伯努利方程，
，令
，
，代入原方程得
．由一阶线性方程求解公式，得通解
．本题到此并未解答完毕，最后应代回原变量，得

微分方程与差分方程简介

u( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx q( x) u( x) q( x) e
p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C
p ( x ) dx p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C 代入 y u ( x)e
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, q 均为未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) ( y)2 2xy x 2 3
1 3 y 1 y ; ( 4) a
d 2q g (5) 2 sin q 0 ( g , l 为常数). dt l
例如函数y = x2 + C 是微分方程 y = 2x 的通解；而 y = x2 +3就是方程 y = 2x 的特解.
再如函数y
=Cex 是微分方程
y y 的
的通解；如果给出初始条件 y(0) = 0 ，可得C = 0 ，从而就得到特解y=0.
通常一阶微分方程的初始条件是
y |x x0 y0 , 或 y( x0 ) y0 .
(1) 分离变量 (2) 两边积分
g ( y)dy f ( x)dx
g ( y)dy f ( x)dx C
(3) 整理后即可得方程通解.
2 例 1 求方程 y (cos x sin x) 1 y 的通解 .
解分离变量，得 dy
1 y2
(cosx sin x)dx,
1 y 的通解,以及y(1) =2 的特解. 例 4 求 y 2 xy(1 x )

第八章微分方程与差分方程简介

《微积分简明教程》复旦大学出版社
u ( x ) e 将y和y代入原方程得
积分得
p ( x ) dx
q( x),
因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为:
p ( x ) dx p ( x ) dx y [ q( x)e dx C ]e
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
解得 u
3 2
例2 求方程 xy y cos x 满足初始条件y( ) 1的特解.
解
1 p( x) , x
cos x q ( x) , x
ye
e

1 dx x
ln x
1 x
cos xdx C
cos x ln x 将初始条件 y( ) 1 e dx C x 代入上式，可得 C
2xy2dx 无法进行，方程两边直
《微积分简明教程》复旦大学出版社
观察与分析： 2．求微分方程y2xy2 的通解． 1 为求通解可将方程变为 2 dy2xdx，两边积分，得 y 1 1 x2C，或 y 2 ， y x C 1 可以验证函数 y 是原方程的通解． 2 x C
xe
1 dy y

[ y e
2

1 dy y
dy C ]
y[ y dy C ]
1 3 cy y . 2
《微积分简明教程》复旦大学出版社
§8.4 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x)型的微分方程
二、y = f (x, y) 型的微分方程三、y=f(y, y)型的微分方程
C 11．
C 23．把C 1、C 2的值代入xC1 cos tC2 sin t中，得

微分方程与差分方程_详解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

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微分方程与差分方程第八章微分方程与差分方程一、作业题1．«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为任意常数(2)«Skip Record If...»设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (代入上式) «Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(3)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(4)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»的特解为«Skip Record If...»(5)设«Skip Record If...»代入（1）式中，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»满足初始条件的特解为«Skip Record If...»(6)特征方程为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70故方程的两个特解为«Skip Record If...»得到通解«Skip Record If...»因此方程满足初始条件«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»所以满足初始条件的特解为«Skip Record If...»2.依题意，«Skip Record If...» («Skip Record If...»为常数)，且初始条件为«Skip Record If...»故解微分方程«Skip Record If...»，两边同时积分«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入初始条件，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»、二、练习题1.填空（1）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为任意常数）（2）«Skip Record If...»（3）2（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»2.选择（1）D（2）C（3）A（4）C（5）C3.求下列微分方程的解：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»即满足初始条件的特解为«Skip Record If...»（2）设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»又由初始条件«Skip Record If...» «Skip Record If...»得«Skip Record If...»，特解为«Skip Record If...»（3）解：该方程为一阶线性非齐次方程，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（4）解：该方程可化为齐次方程 «Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»即为方程的通解（其中«Skip Record If...»）（5）解：特征方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»特征根为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»（6）解：特征方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»特征根为«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70(7)解：特征方程为«Skip Record If...»，特征根为«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»代入初始条件«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所以方程的特解为«Skip Record If...»4．解：由题意得 «Skip Record If...»，则«Skip Record If...»方程为一阶线性非齐次方程，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，从而原方程的解为«Skip Record If...»5．解：由题意有«Skip Record If...»方程为可分离变量微分方程，分离变量得«Skip Record If...»两边积分求得通解为 «Skip Record If...»又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»为所求6．解：方程可化为 «Skip Record If...»方程两边同时对«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（*）令方程 «Skip Record If...»中«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，代入（*）式有«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»7．解：由题意有«Skip Record If...»方程为可分离变量微分方程，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70分离变量得 «Skip Record If...»，两边积分求得 «Skip Record If...»整理得«Skip Record If...»，代入«Skip Record If...»得«Skip Record If...»；代入«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，所以方程的解为«Skip Record If...»故当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»（尾）三、提高题1．解：由题意得 «Skip Record If...»，两边对«Skip Record If...»求导得 «Skip Record If...»整理得 «Skip Record If...»2．解：方程«Skip Record If...»两边同时对«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»整理得«Skip Record If...»3．求下列微分方程的通解（1）解：该方程可化为齐次方程 «Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得«Skip Record If...»分离变量得 «Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»（令«Skip Record If...»）再将 «Skip Record If...»代入上式得方程的通解 «Skip Record If...»(2) 解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(3) 解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入初始条件«Skip Record If...»时«Skip Record If...»，解得 «Skip Record If...»，故«Skip Record If...»（4）解：该方程为齐次方程，设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得 «Skip Record If...»分离变量得 «Skip Record If...» «Skip Record If...»再将 «Skip Record If...»代入上式得方程的通解 «Skip Record If...»，又因为 «Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（5）解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢704．解：设质点运动的速度为«Skip Record If...»，由题意«Skip Record If...»方程整理为一阶线性非齐次方程为 «Skip Record If...»其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»5．解：由题意«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»），解得«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»综上，«Skip Record If...»6．解：销售函数为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为最大销售量，则由题意有«Skip Record If...»，该方程为可分离变量微分方程，分离变量得 «Skip Record If...»，两边积分得 «Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70。

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