微分方程和差分方程简介
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
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ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程与差分方程的区别
微分方程与差分方程的区别
微分方程和差分方程是描述各种现象和过程的数学模型。
微分方程描
述连续变量的变化，而差分方程描述离散变量的变化。
具体而言，微分方程表示一个函数与它的导数之间的关系，而差分方
程则是描述一个序列与其各项差分之间的关系。
在微分方程中，变量和函
数是连续的，可以取任意值；而在差分方程中，变量和序列只能取整数值。
另外，微分方程有解析解，即可以求出函数的解析表达式；而差分方
程则通常需要用数值方法进行求解。
总之，微分方程和差分方程有着不同的应用领域和求解方法，但它们
都是数学上重要的工具，在物理、工程、经济等实际问题中都有广泛应用。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
微分方程差分方程
微分方程与差分方程1. 引言微分方程和差分方程是数学中两个重要的概念，它们在许多领域有着广泛的应用。
微分方程主要研究连续变量的变化规律，而差分方程则研究离散变量的变化规律。
本文将对微分方程和差分方程进行详细介绍，并比较它们之间的异同。
2. 微分方程2.1 定义微分方程是描述函数导数与自变量之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0其中y是未知函数，y′表示y的一阶导数，y″表示y的二阶导数，以此类推，y(n)表示y的 n 阶导数。
2.2 分类微分方程可以根据未知函数、自变量、导数之间的关系进行分类。
常见的分类包括：•常微分方程：只涉及一元函数及其有限个阶导数。
•偏微分方程：涉及多元函数及其偏导数。
•线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是线性的。
•非线性微分方程：未知函数及其导数之间的关系是非线性的。
2.3 解法求解微分方程是找到满足方程的函数y的过程。
常见的解法包括：•分离变量法：将微分方程转化为两个变量的乘积形式，然后进行积分得到解。
•齐次方程法：通过变量代换将非齐次方程转化为齐次方程，再通过求解齐次方程得到解。
•常数变易法：对于一阶线性非齐次微分方程，可以通过假设待定系数为常数来求解。
•变量替换法：通过适当的变量替换将微分方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
3. 差分方程3.1 定义差分方程是描述离散变量之间关系的方程。
一般形式为：F(n,y(n),y(n+1),…,y(n+k))=0其中n表示自变量取值的序列，y(n)表示对应自变量取值时的函数值。
3.2 分类差分方程可以根据自变量、因变量之间的关系进行分类。
常见的分类包括：•一阶差分方程：差分方程中只包含一阶差分项。
•二阶差分方程：差分方程中包含二阶差分项。
•线性差分方程：未知函数及其差分项之间的关系是线性的。
•非线性差分方程：未知函数及其差分项之间的关系是非线性的。
3.3 解法求解差分方程是找到满足方程的函数y(n)的过程。
第九章 微分方程与差分方程简介
第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。
四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。
微分方程和差分方程方法课件
适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数 线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、 拉格朗日等都对微分方程的发展做出了 重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学 、经济学等广泛使用微分方程来描述 和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分 方程，如波动方程、热传导方程 等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出 来，转化为几个常微分方程的组 合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离 变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术， 加速微分方程和差分方程的求解过程 。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微 分方程和差分方程，适应不同应用场 景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率 由于微分方程和差分方程的复杂 性，往往需要设计高效的算法来 降低计算复杂度，提高计算效率 。
第十二讲 常微分方程和差分方程
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
相关定理
4. 线性方程
特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
(1) 形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
设y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2) 对应
* 的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y 是二阶
非齐次线性微分方程(2) 的通解.
定理 4 设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函 数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
微分方程和差分方程简介
返 回
（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
解 首先分离变量 ，得
g ( y )dy
f ( x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
例1 求
解
d2y
2
dx du 1 u 2 的通解. dt
0 应表达为：D2y=0.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数 增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
线性微分方程及差分方程
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
差分方程与微分方程的区别
差分方程与微分方程的区别
差分方程和微分方程均是数学中的重要工具，主要用于描述物理
现象和求解相关问题。
其主要区别在于：
1. 描述对象不同
微分方程主要用于描述连续变化的物理现象，如电路中电流、液
体中压强等。
而差分方程则主要用于描述离散的物理现象，如计算机
程序中的序列、经济学中的时间序列等。
2. 方程形式不同
微分方程的本质是求导运算，通常具有连续性和光滑性。
而差分
方程则是通过离散化的方式进行计算，通常是递推式或差分式的形式。
3. 解法不同
由于微分方程具有连续性和光滑性，因此可以采用解析方法求解，如变量分离法、积分因子法等。
而差分方程则通常需要采用数值方法
进行求解，如欧拉法、龙格-库塔等。
总之，差分方程和微分方程在描述对象、方程形式和解法等方面
存在较明显的差异，选择哪一种方法应根据问题的具体情况而定。
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
第十五章 微分方程和差分方程简介
dy 2 xy 分离变量，得到 dx
1 dy 2 xdx ， y
两边同时积分，得到
y dy 2 xdx ，
ln y x 2 C ，
即 y C1e （ C1 e ） ．
C
x2
1
其中 C1 是任意常数．若 C1 0 ，即得到特解 y 0 ． 二、齐次微分方程 有很多的方程不是可分离变量的微分方程，其中有一些可以通过一系列的变 换转化为这种形式．看下面一类方程．
令u 再分离变量，得到
du dx ． u u x
两边同时积分，得
u u ln x C ．
将左边的积分求出后，再将 u 例 2 解方程 y x y ' xyy '
2 2
du
y 代入，就得到方程的解． x
解：原方程可以化为
dy y2 dx xy x 2
其中 G y
g y dy ， F x f x dx ．要注意的是同时积分是，左边是
1
对 y 积分，右边是对 x 积分．
我们也可以验证一下．若方程的解为 y x ，满足 G y F x C ，则
1 g y dy f x dx ，
dy 4x ， dx
所以 y 4 x d x = 2 x C ，
2
当 x 0 时， y 1 ，所以 1 2 0 C ，即 C 1 ．
2
所以所求的曲线方程为
y 2x 2 1．
这里
dy 4 x 就是一个一阶常微分方程． dx
总之, 微分方程在物理、几何、经济等方面都有非常重要的应用． 微分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为微分方程 的解．对于一阶微分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的 通解．一般来说，对于 n 阶微分方程，其含有 n 个互相独立的任意常数的解称为 微分方程的通解．不含有任意常数的解称为微分方程的特解．例如函数 y x 是
微分方程与差分方程简介
u( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx q( x) u( x) q( x) e
p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C
p ( x ) dx p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C 代入 y u ( x)e
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, q 均为未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) ( y)2 2xy x 2 3
1 3 y 1 y ; ( 4) a
d 2q g (5) 2 sin q 0 ( g , l 为常数). dt l
例如函数y = x2 + C 是微分方程 y = 2x 的 通解； 而 y = x2 +3就是方程 y = 2x 的特解.
再如函数y
=Cex 是微分方程
y y 的
的通解； 如果给出初始条件 y(0) = 0 ， 可得C = 0 ， 从而就得到特解y=0.
通常一阶微分方程的初始条件是
y |x x0 y0 , 或 y( x0 ) y0 .
(1) 分离变量 (2) 两边积分
g ( y)dy f ( x)dx
g ( y)dy f ( x)dx C
(3) 整理后即可得方程通解.
2 例 1 求方程 y (cos x sin x) 1 y 的通解 .
解 分离变量，得 dy
1 y2
(cosx sin x)dx,
1 y 的通解,以及y(1) =2 的特解. 例 4 求 y 2 xy(1 x )
差分方程和微分方程
差分方程和微分方程都是用来描述变量之间的关系的数学方程，但它们在描述的对象和求解方法上有所不同。
1.差分方程（Difference Equation）描述的是离散变量之间的关系。
它使用差分算子（如Δ）表示变量之间的差异，而不是使用导数。
差分方程中的变量只在离散的时间或空间点上取值，而非连续的。
差分方程常用于描述递归关系，例如在离散时间序列分析、差分方程模型中的动态系统等。
差分方程的解是离散的数列或数列的生成规则。
2.微分方程（Differential Equation）描述的是连续变量之间的关系。
它使用导数和函数本身来表示变量之间的变化率。
微分方程中的变量是连续的，可以取任意实数值。
微分方程广泛应用于自然科学领域，如物理学、生物学和工程学等。
微分方程的解是一个连续函数或一组连续函数。
对于求解差分方程和微分方程，方法也有所不同：
-差分方程的求解通常采用迭代法、递推公式或差分运算等离散计算的方法。
-微分方程的求解可以有多种方法，如分离变量法、变量代换法、常系数线性微分方程的特征方程法、级数展开法等，具体方法取决于方程的类型和性质。
需要注意的是，差分方程和微分方程之间并不是完全独立的。
在一些情况下，差分方程可以通过逼近连续变量的导数来近似描述微分方程，而微分方程也可以通过离散化（如欧拉方法）来近似描述差分方程。
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2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
故有公式：
y i 1 y i hf ( xi , y i ) i 0,1,2, , n - 1 y 0 y ( x0 )
此即欧拉法。
2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y ( xi 1 ) y( xi )
x3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成 ln y, 但要 记住结果中的常数C可正可负。 显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
C=0即可。
2.
一阶线性微分方程
形如 y P( x) y Q( x) (1) 的方程叫做一阶线性微分方程
解法：常数变易法。得到通解
y Ce
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四、微分方程的数值解
（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
y' f(x,y) 对常微分方程： ， 其数值解是指由初始点x 0 开始 y(x0 ) y0 的若干离散的x值处，即对x0 x1 x2 xn， 求出准确值y(x1 ), y ( x2 ),, y ( xn ) 的相应近似值y1 , y2 ,, yn。
0
x x0 (1 r0 ) k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
i. 指数增长模型(Malthus模型)
设 t 时刻的人口为 x (t ) ，经过一段短的时间 t 后，在 t t 时刻，人口数量变化为 x(t t ) 。 由基本假设，在这段短的时间 t 内，人口数量 的增加量应与当时的人口 x (t ) 成比例，不妨设 比例系数为 r0 ，即 t 内人口的增量可写为
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数 增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
由待解 方程写 成的m文件名
函数的 ts=[t0，tf]， 初值 t0、tf为自 变量的初 值和终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
三、利用Matlab求微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 yi(1) yi hf ( xi , yi ) h ( k 1) k yi 1 yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi(1) )] k 0,1,2, 2
k k （k 对于已给的精确度， 当满足 yi(11) yi(1) 时， y i 1 yi 11） 取 ，
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（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
一、 微分方程的基本概念
含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程.未知函 数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括： 1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量 xm 。 2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质： 当人口数量 x (t ) 很小且远小于 xm 时， 人口以固定增长率 r0 增加； x (t ) 接近 xm 当 时，增长率为零。 r0 和 xm 可由统计数据确定。 满足上述性质的增长率可以写作
xi 1 xi
xi 1 xi f (t , y(t )) dt [ f ( xi , y( xi )) f ( xi 1 , y ( xi 1 ))] 2
故有公式：
h y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 )] 2 y 0 y ( x0 )
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
x(t t ) x(t ) r0 x(t )t
等式两边同除以 t ，当 t 0 时
x(t t ) x(t ) lim r0 x(t ) t 0 t
等号的左边即是导数 d x d t ，已知初始时刻人口 数量为 x0 ，则
d x d t r0 x (t ) x ( 0) x 0
(3.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微 分方程。
用分离变量法，得
x(t ) x0 e r0 t
从上式看出人口随时间呈指数增长， 因此该模型称 为指数增长模型。 不妨将它应用到我国人口的预测 上
x 11.6 e 0.014810 13.45 亿
与前面的结果 13.44 亿非常相近。
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回
（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。
解法：齐次方程的通解+原方程的特解=原方程的通解
特征方程 r 2 pr q 0的根 齐次方程 y py qy 0 的通解 y C1e r x C2 e r x 两个相异实根 r r2 1 y (C1 C2 x )e rx 两个相等实根 r r1 r2
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x)e
例1 求方程xy y e x的通解 y ex 解 将方程改写为 y x x 它是一阶线性微分方程，其中 1 ex P( x) , Q( x) x x
直接利用非齐次方程的通解公式，得
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）
例3
求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt
d2y dy p qy f ( x); 2 dx dx
dy y 2 x; dx dny 1 0; ... n dx
解：满足等式的函数
特解：在特定初始值条件下的解
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常
数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)