微分方程解法ppt课件
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curve).如 y x2 c 是方程（1）的积分曲线族,而 yx2 1只是其中过 1， 2） （点的一条积分曲
.
10
8.2 可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
yf(x,y)
(1)
如果能化g成 (y)dyf(x)d(x2)
.
4
d 2s
dt 2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t0
10
(6)
对（ 5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得 S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件 v t0 10 代入（ 7）式中，将条件 S t0 0代入（ 8）式，
得 c2 0, 从而得到 v 4t 10
.
6
d d2y 2xpd d y xq yf(x)
dy y 2x dx
dny dxn
10
等都是常微分方程。
(1)1
(12) (13)
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高 阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和 （12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程， 而（13）是n阶微分方程。
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 （differential equation）.未知函数为一元函数的微分 方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微 分方程（partial differential equation）.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为 y xx0 y0;二阶微分方程的初值件条
yxx0 y0,yxx0 y0.其中 x0,y0,y0都是给定的
.
9
从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲 线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分 曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral
.
8
的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
形如 yx0 0或St0 10,ddStt010的定解条件，
所研究系统所 时处 刻的的 状态初 得到始 的定解条件， 称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
.
2
8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：
dy 2 x
(1)
dx
及条件 y x 1 2
(2)
对（ 1）式两端积分，得
.
3
y2xdx即yx2＋c (3)
将条件2） （代入3） （，可c得 1，则所求曲线
yx2 1
(4)
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s2,问汽车是否会撞到小孩？
解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
(9)
S 2t 2 10 t
Fra Baidu bibliotek
(10 )
在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
.
5
的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：
S22.52102.512.（ 5 米）
所以汽车不会。 撞到小孩
上述两例1中 ）， 式（ 和 5）（ 式都含有未导 知数 函， 数
都是微分方程。 二.微分方程的基本概念
的形式，即端 可只 表 y的 含 示函 为d数 ,一 y而 和另一端
x的函数 dx,和 那么原方程就离 称变 为量 可的 分微分
(differential equation of separated variables).
形如
dy f ( x ) g ( y )
dx
P1 ( x ) P2 ( y ) dx Q1 ( x )Q 2 ( x ) 0
第八章 微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念 8.2 可分离变量的一阶微分方程 8.3 一阶线性微分方程 8.4 可降阶的高阶微分方程 8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
退出
.
1
第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。
.
7
如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式， 则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。 （4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分 方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微 分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分 别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一 常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。 为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件， 这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
的方程均为可分离变量 的微分方程。
.
11
对（ 2）式两端分别积可分得，到便微分方程的通
g ( y ) d y f ( x ) d C x
其中 C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2y的通解。
解 首先分离变量 ，得
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 ln y x3 C1
即
y ex3C1或y eC1ex3
因 eC1仍是任意常数，令其C为，则所求得通解为
y Cex3
.
12
以后为了方便起见，我们可把 lny写成 lny,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
.
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8.2 可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
yf(x,y)
(1)
如果能化g成 (y)dyf(x)d(x2)
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4
d 2s
dt 2 4
(5)
及条件
S
t0
0, v t0
ds dt
t0
10
(6)
对（ 5）式两端积分一次，得
v
ds dt
4t
c1
(7)
在积分一次，得 S 2t 2 c1t c2
(8)
将条件 v t0 10 代入（ 7）式中，将条件 S t0 0代入（ 8）式，
得 c2 0, 从而得到 v 4t 10
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d d2y 2xpd d y xq yf(x)
dy y 2x dx
dny dxn
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等都是常微分方程。
(1)1
(12) (13)
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高 阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和 （12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程， 而（13）是n阶微分方程。
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 （differential equation）.未知函数为一元函数的微分 方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微 分方程（partial differential equation）.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为 y xx0 y0;二阶微分方程的初值件条
yxx0 y0,yxx0 y0.其中 x0,y0,y0都是给定的
.
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从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲 线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分 曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral
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的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
形如 yx0 0或St0 10,ddStt010的定解条件，
所研究系统所 时处 刻的的 状态初 得到始 的定解条件， 称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
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8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：
dy 2 x
(1)
dx
及条件 y x 1 2
(2)
对（ 1）式两端积分，得
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y2xdx即yx2＋c (3)
将条件2） （代入3） （，可c得 1，则所求曲线
yx2 1
(4)
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s2,问汽车是否会撞到小孩？
解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
(9)
S 2t 2 10 t
Fra Baidu bibliotek
(10 )
在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
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的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：
S22.52102.512.（ 5 米）
所以汽车不会。 撞到小孩
上述两例1中 ）， 式（ 和 5）（ 式都含有未导 知数 函， 数
都是微分方程。 二.微分方程的基本概念
的形式，即端 可只 表 y的 含 示函 为d数 ,一 y而 和另一端
x的函数 dx,和 那么原方程就离 称变 为量 可的 分微分
(differential equation of separated variables).
形如
dy f ( x ) g ( y )
dx
P1 ( x ) P2 ( y ) dx Q1 ( x )Q 2 ( x ) 0
第八章 微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念 8.2 可分离变量的一阶微分方程 8.3 一阶线性微分方程 8.4 可降阶的高阶微分方程 8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
退出
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第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。
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如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式， 则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。 （4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分 方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微 分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分 别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一 常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。 为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件， 这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
的方程均为可分离变量 的微分方程。
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对（ 2）式两端分别积可分得，到便微分方程的通
g ( y ) d y f ( x ) d C x
其中 C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2y的通解。
解 首先分离变量 ，得
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 ln y x3 C1
即
y ex3C1或y eC1ex3
因 eC1仍是任意常数，令其C为，则所求得通解为
y Cex3
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以后为了方便起见，我们可把 lny写成 lny,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取