(37)13.4 课题学习《最短路径问题》-导学案
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
2022年初中数学精品导学案《课题学习最短路径问题学案》导学案
13.4《最短路径问题》导学案一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题.②体会图形的变化在解决最值问题中的作用；③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成以下问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试答复， 并互相补充，最后达成共识：〔1〕从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；〔2〕在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；〔3〕现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小〔如图〕．三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试答复，互相补充 〔2〕连接AB ′，与直线l 相交于点C ，那么点C 即为所求如果学生有困难，教师可作如下提示作法：〔1〕作点B 关于直线l 的对称点B ′；l B A l C B。
A l四、稳固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，那么与该直线的交点即为所求．如下图，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，那么点C 是直线l 与AB ′的交点．2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？〔假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕〔二〕变式训练：.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)假设要使厂部到A ，B 村的距离相等，那么应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得 。
课题学习：最短路径问题导学案
13.4课题学习：最短路径问题导学目标:1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。
3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。
导学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。
导学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
导学过程：一、创设情景，引入新知。
(1)我们已经学习过“两点的所有连线中，。
”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。
(2)请画出点A关于直线L的对称点。
A．_______________________ L二、自主学习，探究新知。
1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？（I）两点在一条直线异侧：活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
思考：（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？（2）你如何验证PA+PB 最短呢？(Ⅱ) 两点在一条直线同侧活动2：如图，牧马人从A 地出发到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点C 在什么位置时。
AC 与BC 的和最小。
BA思考：（1） 如何将点B “移”到l 的另一侧B ′处，满足直线l 上的任意一点C ，都保持CB 与CB ′的长度相等？（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？（3）试证明你的结论。
作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______, 则点_______就是所要求作的点想一想：如果A 、B 处于小河的两侧，在河上建一座与两岸垂直的桥,你能找到所走最短路径吗？2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题活动3，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思考：①怎样将实际问题转化为数学问题？②若直线重合，最短路径是什么？③若将直线平移开，怎样思考该问题？④怎样解决造桥选址问题？A B l作法：如图（2），将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到C.连接BC交河岸与点N，在此处造桥MN，所得路程AMNB就是最短路程。
课题学习 最短路径问题 导学案(带习题和答案)
13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
【课前预习】1．平面直角坐标系xOy 中，已知A(－1－0)－B(3－0)－C(0－－1)三点，D(1－m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD 的面积为（ －A ．B ．23C ．43D ．832．A－B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上 C ．线段AB 的反向延长线上 D ．直线l 上3．x 是数轴上任意一点表示的数，若|x ﹣3|+|x+2|的值最小，则x 的取值范围是（ ） A ．x≥3B ．x≤﹣2C ．﹣2≤x≤3D ．﹣2＜x ＜34．下列四种说法：①线段AB 是点A 与点B 之间的距离；②射线AB 与射线BA 表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ） A ．750米B ．1000米C ．1500米D ．2000米6．在等腰－ABC 中，AB=AC－一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长31为－－A．7B．7或11C．11D．7或107．如图－点P是直线a外一点－PB⊥a－点A－B－C－D都在直线a上－下列线段中最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD8．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）9．如图，在－ABC中，－ACB＝90°，以AC为底边在－ABC外作等腰－ACD，过点D作－ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，－ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则－PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010．如图，等边△ABC的边长为4－AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为－ －A．15°B．22.5°C．30°D．45°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．举出常见的轴对称图形：_____（至少写三个）。
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前言：
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13．4 课题学习最短路径问题
1．理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定．
2．理解并掌握平面内两平行线异侧有两个点，则在平行线间何处作垂线段使得顺次连接的三条线段之和最小的位置的确定．
阅读教材P85～86“问题1”，完成预习内容．
知识探究1
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，分别满足以下条件，奶站应建在什么地方？
(1)使从A，B到它的距离相等；
(2)使从A，B到它的距离之和最短．
第(1)小题是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；第(2)小题根据轴对称转化为两点之间线段最短．
阅读教材P86～87“问题2”，回答下列问题：
知识探究2
如教材P87图13.4－9，路径AMNB最短的依据是什么？
解：依据有2点：①是平移前后的线段平行且相等；②是两点之间线段最短．
活动1小组讨论
如教材P87图13.4－9，求证：AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B′.
1。
最短路径问题导学案、[1]
![最短路径问题导学案、[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4659ac26bd64783e08122b0f.png)
13.4课题学习 最短路径问题学习目标：1.会利用公理“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题。
2.经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决办法，找到关于线段的对称点实现“折”转“直”，再利用两点之间，线段最短这一性质来解决一些简单的实际问题。
学习重难点：重点：1.确定两点一线和两点两线型的线段和最小值问题难点：2.分析问题、确定问题类型并解决问题一．知识链接：1.如下图:由A 地到B 地有三条路供选择，你会选择 ，理由是：2.请画出点A 关于直线L 的对称点。
A ．_______________________ L3.已知线段AB ，请在平面内找一点P ，使PA+PB 的值最小。
A___________________B二．新知探究：1.如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？做出图形并写出已知、求作、作法。
L作法：1.作点A 关于L 的对称点_____，2.连接_______,交直线L 与_______,则点_______就是所要求作的点 AB想一想：如图所示，如果A 、B 处于小河的两侧，你能找到使所走路径最短的点么？A ．____________________________．B2.如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现在要在小河上造一座桥MN 。
桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）请你根据作法画出图形并给出理由。
AabB作法：（1）将点A 沿与河垂直的方向平移 的距离到1A（2）连接 ，交河岸b 于点N ，作NM ⊥河岸a ，垂足为M（3）连接AM ，MN ，NB ，则MN 即为桥的位置，所得路径AMNB 就是最短路径归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
《课题学习 最短路径问题》教案、导学案、同步练习
《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计一、教材分析1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。
初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．问题5 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN 如图所示：AB三、巩固训练（一）基础训练：1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l 的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）(1)若要使厂部到(2)若要使厂部到（三）综合训练：茅坪民族中学八图a 图b 四、反思小结布置作业《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题一、知识链接1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？（1）三角形的三边关系：___________________________________；(2)直角三角形中边的关系：______________________________ .4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？一、要点探究探究点1：牧人饮马问题实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.想一想：1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？证明：要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.典例精析例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3） B．（0，2）C．（0，1） D．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.探究点2：造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？画一画：（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.（3）把桥平移到和A 相连. （4）把桥平移到和B 相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 是两个村庄.欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．想一想：如何说明此时AM+MN+BN 最短呢？3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？拓展提升6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．《13.4 课题学习最短路径问题》导学案学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
13.4课题学习-最短路径问题 教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册
13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。
三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。
四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。
最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。
2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。
2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。
它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。
弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。
2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。
13.4 课题学习 最短路径问题学案2022-2023学年人教版八年级上册
13.4 课题学习最短路径问题学案2022-2023学年人教版八年级上册学习目标•理解最短路径问题的背景与定义。
•掌握最短路径问题的求解方法。
–迪杰斯特拉(Dijkstra)算法。
–弗洛伊德(Floyd)算法。
•能够应用最短路径算法解决实际问题。
•培养解决问题的动手实践能力和团队合作能力。
课前导入最短路径问题是指在给定的图中，从一个顶点出发到达另一个顶点的最短路径。
在实际生活中，最短路径问题有很多应用，比如导航系统中的路线规划、电力传输网络中的电线铺设等。
解决最短路径问题可以提高效率和优化资源利用。
课堂学习1. 最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个带权重的有向图或无向图中，找到两个顶点之间的最短路径。
其中，顶点代表图中的节点，边代表节点之间的连接关系，权重代表边的长度或权值。
2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法迪杰斯特拉算法是解决单源最短路径问题的常用算法。
其基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展路径，直到找到目标顶点或所有顶点都被遍历。
算法的具体步骤如下：1.创建两个集合：已确定最短路径的顶点集合S，未确定最短路径的顶点集合Q。
初始时，S中只包含起始顶点，Q中包含除起始顶点外的所有顶点。
2.初始化起始顶点到各个顶点的距离为无穷大，起始顶点到自身的距离为0。
3.从Q中选取到起始顶点距离最短的顶点u，将其加入S集合。
4.更新与顶点u邻接的顶点v的距离，如果通过顶点u可以得到比当前已知距离更小的距离，则更新v的距离。
5.重复步骤3和4，直到Q集合为空或找到目标顶点的最短路径。
3. 弗洛伊德(Floyd)算法弗洛伊德算法是解决多源最短路径问题的常用算法。
其基本思想是通过动态规划的方式逐步求解所有顶点对之间的最短路径。
算法的具体步骤如下：1.初始化一个二维矩阵dist，矩阵中的元素dist[i][j]表示顶点i到顶点j 的最短路径长度。
2.初始化矩阵dist的初始值，如果存在直接连接的边，则dist[i][j]为边的权重，否则为无穷大。
课题学习：最短路径问题(导学案)八年级数学上册同步备课系列
13.4课题学习：最短路径问题导学案一、学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.二、学习过程：课前热身1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？问题解决---（牧马人饮马问题）问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究1：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？作法：_________________________________;(依据：____________________).探究2：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？请呈现证明过程：典例解析例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）问题解决---（造桥选址问题）问题：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？（请在组内讨论，并画出图形）请呈现证明过程：典例解析例3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？达标检测1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC3.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是()4.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN;(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.5.甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则:甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，丙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短.6.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的．桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)7.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.。
最短路径问题导学案
13.4 课题学习最短路径问题：建立数学模型已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，1.1正数与负数课后作业班级姓名1．（2011•营口）零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（）A．2 B．-2 C．2℃D．-2℃2．（2009•宜昌）如果+20%表示增加20%，那么-6%表示（）A．增加14% B．增加6% C．减少6% D．减少26%3.（2011•曲靖）某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，请你写出一个适合药品保存的温度4．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的（）A．24.70千克B．25.30千克C．24.80千克D．25.51千克5.（2013•济宁）一运动员某次跳水的最高点离跳台2m，记作+2m，则水面离跳台10m可以记作（）A．-10m B．-12m C．+10m D．+12m 6．（2011•金华）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（）A．+2 B．-3 C．+3 D．+47. 下列各组数中，具有相反意义的量是（）A．节约汽油10公斤和浪费酒精10公斤 B．向东走5公里和向南走5公里C．收入500元和支出500元 D．身高180cm和身高90cm8.在,75,, 3.2,0,4.5,0.00134-+--中，负数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.零下15℃，表示为_________，比0℃低4℃的温度是_________.10.地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为－5米，其中高处为_______地，最低处为_______地.11.“甲比乙大－3岁”表示的意义是______________________.12.风筝上升－10米实际上就是.13.一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸(单位:mm),最小不小于标准尺寸(单位:mm).14.观察下列一组数字：1，-3,5，-7,9，-11，…..,则第二十个数字是_______15.请预习数学书第6页(勾画出概念,并完成练习题)1.2.1 有理数新知探究课1.1.2有理数课后作业:【基础过关】班级姓名一、选择题3．（2013•丽水）在数0，2，-3，-1.2中，属于负整数的是（）A．0 B．2 C．-3 D．-1.2 2.下列各数中既不是正数又不是负数的是（）A．－1 B. －3 C.－0.13 D.03.既是分数，又是正数的是（）.5 A+1.54B-.0C3.810D4．下列说法正确的是（）.A有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数.B有理数不是正数就是负数.0C有理数不是整数就是分数; .D以上说法都正确二、填空题5．写出一个不大于2的非负整数有．6．按规律填数：1，2，－3，4，5，－6，____，____，____，…．7．把下列各数填在相应的集合中：8，－1，－0.4，35，0，13-，0.9，317-，－19．正数集合：﹛…﹜负数集合：﹛…﹜整数集合：﹛…﹜分数集合：﹛…﹜非正数集合：﹛…﹜非负数集合：﹛…﹜非正整数集合：﹛…﹜非负整数集合：﹛…﹜三、解答题8．某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求：螺帽内径可以有0.02mm误差．现抽查5只螺帽，超过规定内径的mm数记作正数，检查结果如下表：（单位：mm）（1）表中的负数表示什么意思？（2）指出哪些产品是合乎要求的？（3）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？9．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下列形式：－12 －3 4－5 6 －78 －910 －11 12 －13 14 －15 16按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是多少？10.如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的．（1）把有理数223,2013,0,37,,0.25,3%7---填入它所属的集合的圈内；11.请预习数学教材第7页。
课题学习】 最短路径问题导学案
13.4课题学习 最短路径问题班级_____________ 姓名_____________ 座号_____________【学习目标】1.重点：利用轴对称、两点之间线段最短解决最短路径问题.2.难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图并能说明理由.一、基础感知1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，如何作点A 关于直线l 的对称点？3.已知：如图，A ，B 在直线l 的两侧，在l 上求一点P ，使得PA+PB 最小.4.阅读课本第85、86页问题1，回答下列问题。
探究：在一条直线上找一个点到直线外两点的距离之和最小问题1： 点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？问题2： 当点A,B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ． 则点C 即为所求．如图所示 你能用所学的知识证明你所作的点C 使AC+BC 最短吗？证明：5.阅读课本第86、87页问题2，回答下列问题。
画一画：（1）把A 平移到岸边.（2）把B 平移到岸边.（3）把桥平移到和A 相连（4）把桥平移到和B 相连.比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.二、探究应用1. 如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法) l AB2.如图所示，P ，Q 为△ABC 边上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．三、能力提升 1.（1）如图1，在AB 直线一侧C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点．（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M 、N ，是否在OA 、OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N ，四点组成的四边形的周长最短，找出E 、F 两点．【课堂记录】【知识点记录】【习题记录】E FAB答案一、1.②2.3.略4.问题1：连接AB问题2：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示证明：在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’,B’C’,证明AC+CB<AC’+C’B.5.略二、1.（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．2.做P（或Q）关于BC的对称点P'（或Q'）,然后再连接QP'（或PQ'）,与BC的焦点即为所求R三、解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．。
13.4最短路径导学案
北京师范大学广安实验学校八年级(上)数学导学案回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？MN,桥应造在何处才能使从A到处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返例1 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4.连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C。
若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为____________例2 如图，已知点A 是锐角∠MON 内一点，试分别在OM 、ON 上确定点B 、点C ，使△ABC 的周长最小。
写出你作图的步骤，并标明你所确定的点。
（要求画出草图，保留作图痕迹）四、当堂训练：1、如图，P 为∠AOB 内一点，P 1、P 2关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=8cm ，则△PMN 的周长是_______________2、如图，已知∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 周长取最小值时，∠APB 的度数是___________3、如图，∠AOB=45°，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一动点，N 是OB 上一点，M 是OB 上的一个定点，要使PM+PN 最小，则∠PMO=_________4、如图，AD 是等边△ABC 的BC 边上的高，AD=6,M 是AD 上的动点，E 是AC 边的中点，则EM+CM 的最小值为___________5、如图，A 、B 两村在一条公路的同一侧，现在要在路边建一垃圾回收站。
若要使垃圾回收站M 到两村的距离之和最短，回收站M 应选在哪个位置最为合适？（要求画出草图，保留作图痕迹）6、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小是，求∠AMN+∠ANM 的度数。
7、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？。
八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题导学案新版新人教版2
13.4 最短路径问题学习目标：体会利用作图解决最短路径问题学习重点：体会利用作图解决最短路径问题学习难点：体会利用作图解决最短路径问题一、自主学习1、如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2、两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
二、合作探究与展示问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．作法：FEDCBA①②③三、课堂检测：（1题为必做题； 2题为选做题。
）1、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
2、某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D处座位上，，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？总结反思：BC．D.OA张村李庄lAB2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM 、CN 、MN ，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．46B ．26C ．22D ．232．2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )A ．1999年B ．2004年C ．2009年D ．2014年3．一次函数332y x =-+的图象如图所示,当33y -<<时,则x 的取值范围是（ ）A ．34x -<<B ．12x -<<C ．04x <<D ．12x -<<4．直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（ ） A ．10 B ．8 C ．6D ．55．如图，在中，，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，一次函数y 1=kx+4与y 2=x+b 的图象交于点A ．则下列结论中错误的是（ ）A ．K ＜0，b ＞0B ．2k+4=2+bC ．y 1=kx+4的图象与y 轴交于点（0，4）D ．当x ＜2时，y 1＞y 27．已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ） A ．45，48B ．44，45C ．45，51D ．52，538．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，则菱形的边长等于（ ）A ．10B ．20C ．7D ．59．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤10．方程()22113(1)x x x -+=-中二次项系数一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，-3，1B ．-1，-3，1C ．-3，3，-1D ．1，3，-1二、填空题11．如图，已知一次函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组y ax bkx y =+⎧⎨-=⎩的解是_____．12．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S 甲2=2，S 乙2=1.5，则射击成绩较稳定的是_____________（填“甲”或“乙“）． 13．已知a =b ﹣23，则代数式222a ab b -+的值为_____． 14．计算12＝_____，（﹣6）2＝_____，37﹣7＝_____．15．已知1x =是一元二次方程220x mx +-=的一根，则该方程的另一个根为_________．16．飞机着陆后滑行的距离s （米）关于滑行的时间t （秒）的函数表达式是s =60t -1.5t 2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了__________米． 17．若b 为常数，且214x ﹣bx+1是完全平方式，那么b ＝_____． 三、解答题18．已知平行四边形ABCD 的两边AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋－＝0的两个实数根． (1)当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？19．（6分）如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，点N 在正方形ABCD 外部，且满足∠CMN ＝90°，CM ＝MN ．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点． （1） ①依题意补全图形； ②求证：BE ⊥AC ．（2）请探究线段BE ，AD ，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB ＝1，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为______________（直接写出答案）．20．（6分）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．求每件商品售价是多少元时，商店销售这批服装获利能达到12000元？21．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x 轴的正半轴上，且OC＝2OB．（1）点F是直线BC上一动点，点M是直线AB上一动点，点H为x轴上一动点，点N为x轴上另一动点（不与H点重合），连接OF、FH、FM、FN和MN，当OF+FH取最小值时，求△FMN周长的最小值；（2）如图2，将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A′O′B，其中点A对应点为A′，点O对应点为O'，连接CO'，将△BCO'沿着直线BC平移，记平移过程中△BCO'为△B'C'O″，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，点O′对应点为O″，直线C'O″与x轴交于点P，在平移过程中，是否存在点P，使得△O″PC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，点D从点A出发沿AC方向以1cm/s 的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA2cm/s的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t(0<1≤10)s．过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DE．（1）用含t的式子填空：BE=________ cm ，CD=________ cm．（2）试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．（1）求证：AE＝CF．（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．24．（10分）某公司销售人员15人，销售经理为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如表所示：每人销售量/件1800 510 250 210 150 120人数 1 1 3 5 3 2(1)这15位营销人员该月销售量的中位数是______，众数是______；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件，你认为是否合理？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额，并说明理由．25．（10分）目前由重庆市教育委员会，渝北区人们政府主办的“阳光下成长”重庆市第八届中小学生艺术展演活动落下帷幕，重庆一中学生舞蹈团、管乐团、民乐团、声乐团、话剧团等五大艺术团均荣获艺术表演类节目一等奖，重庆一中获优秀组织奖，重庆一中老师李珊获先进个人奖，其中重庆一中舞蹈团将代表重庆市参加明年的全国集中展演比赛，若以下两个统计图统计了舞蹈组各代表队的得分情况：（1）m＝，在扇形统计图中分数为7的圆心角度数为度．（2）补全条形统计图，各组得分的中位数是分，众数是分．（3）若舞蹈组获得一等奖的队伍有2组，已知主办方各组的奖项个数是按相同比例设置的，若参加该展演活动的总队伍数共有120组，那么该展演活动共产生了多少个一等奖？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180 阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积＝12×矩形的面积，∵AB=22，BC=3∴阴影部分的面积＝12×22×36．故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．2．C【解析】【分析】把数据的年份从小到大排列，根据中位数的定义即可得答案，【详解】把数据的年份从小到大排列为：2014年、1994年、2009年、2004年、1999年，∵中间的年份是2009年，∴五次统计数据的中位数的年份是2009年，故选：C．【点睛】本题考查中位数，把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．3．C【解析】【分析】函数经过点（0，3）和（1，-3），根据一次函数是直线，且这个函数y随x的增大而减小，即可确定．【详解】解：函数经过点（0，3）和（1，-3），则当-3＜y＜3时，x的取值范围是：0＜x＜1．故选：C．【点睛】认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．4．D【解析】【分析】如图，根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CD=AB即可．【详解】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB==10，∵CD是△ABC中线，∴CD=AB=×10=5，故选D．【点睛】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CD=AB是解此题的关键．5．C【解析】【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．【详解】∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=110°，故选：C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．6．A【解析】【分析】利用一次函数的性质结合函数的图象逐项分析后即可确定正确的选项．【详解】解：∵y1=kx+4在第一、二、四象限，y2=x+b的图象交于y轴的负半轴，∴k＜0，b＜0故A错误；∵A点为两直线的交点，∴2k+4=2+b，故B 正确；当x=0时y 1=kx+4=4，∴y 1=kx+4的图象与y 轴交于点（0，4），故C 正确；由函数图象可知当x ＜2时，直线y 2的图象在y 1的下方，∴y 1＞y 2，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查两直线的交点问题，能够从函数图象中得出相应的信息是解题的关键．注意数形结合． 7．A【解析】【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．【详解】数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，所以这组数据的众数为45，中位数为12×(45+51)=48， 故选A.【点睛】本题考查了众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．8．D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA 、OB ，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， 11,,22OA AC OB BD AC BD ∴==⊥ ∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，5AB∴==即菱形ABCD的边长是1．故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．9．B【解析】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝12x+b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【详解】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线y＝12x+b中，可得32+b=1，解得b=-12；直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线y＝12x+b中，可得12+b=1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线y＝12x+b中，可得1+b=2，解得b=1．故b的取值范围是-12≤b≤1．故选B．【点睛】考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．10．A【解析】【分析】先把方程化为一般形式，然后可得二次项系数，一次项系数及常数项.【详解】解：把方程()22113(1)x x x -+=-转化为一般形式得：x 2−3x ＋1＝0，∴二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，−3，1．故选：A ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．二、填空题11．42x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案．【详解】如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组{0y ax b kx y +-＝＝的解是：4{2x y --＝＝． 故答案为：4{2x y --＝＝． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确利用图形获取正确信息是解题关键． 12．乙【解析】【分析】直接根据方差的意义求解．方差通常用s 2来表示，计算公式是：s 2=1n [（x 1-x¯）2+（x 2-x¯）2+…+（x n -x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．解：∵S 甲2=2，S 乙2=1.5，∴S 甲2＞S 乙2，∴乙的射击成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 13．1【解析】【分析】由已知等式得出a b -=-2222()a ab b a b -+=-计算可得答案．【详解】解：a b =-∴a b -=-∴(22222(=12)a ab b a b -+=--= 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了完全平方的运算，其中熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14． 6 ．【解析】【分析】根据二次根式的性质化简）2，利用二次根式的加减法计算.【详解】＝）2＝6，＝故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【解析】【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．【详解】设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系可得：1×x 1=－2， ∴x 1=－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，明确根与系数的关系是解题的关键.16．1【解析】【分析】将260 1.5s t t =-化为顶点式，即可求得s 的最大值．【详解】解：2260 1.5 1.5(20)600s t t t =-=--+，则当20t =时，s 取得最大值，此时600s ，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m ．故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值．17．±1【解析】【分析】根据完全平方式的一般式，计算一次项系数即可.【详解】解：∵b 为常数，且14x 2﹣bx+1是完全平方式， ∴b ＝±1，故答案为±1．【点睛】本题主要考查完全平方公式的系数关系，关键在于一次项系数的计算.三、解答题18．（1）m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的边长是；（2）平行四边形ABCD的周长是1．【解析】试题分析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.1，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.1；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.1，把m=2.1代入原方程得x2﹣2.1x+1=0，解得x1=2，x2=0.1，∴C▱ABCD=2×（2+0.1）=1．考点：一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质．19．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）2BE2AD＋CN，证明见解析；（3）3 4 .【解析】分析：（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）212CN．根据正方形的性质可得出2AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=12CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．详解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=12 AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE=22AD+12CN．证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=12 CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=2 BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=22AD．∵BE=BF+FE，∴BE=22AD+12CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=12BD=22，22，∴S 梯形DFCN =12（DF+CN ）•CF=12）=34． 点睛：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD 表示出EF 、BF 的长度；（3）找出EN 所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．20．70或80【解析】【分析】要求服装的单价，可设服装的单价为x 元，则每件服装的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可；【详解】解：设单价应定为x 元，根据题意得：(x−50)[800−(x−60)÷5×100]=12000，(x−50)[800−20x+1200]=12000，整理得，x 2−150x+5600=0，解得1x =70，2x =80；答：这种服装的单价应定为70元或80元.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键.21．（12）满足条件的点P 为：（，0）或（163，0）或（5，0） 【解析】【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，用待定系数法求出直线BC 的解析式，作点O 关于直线BC 的对称点O'（816,55），过点O'作O'H ⊥OC 于点F ，交BC 于点H ，此时OF+FH 的值最小，求出点F 坐标，作点F 关于直线AB 与直线OC 的对称点，连接F'F''交直线AB 于点M ，交直线OC 于点N ，此时△FMN 周长有最小值，由两点距离公式可求△FMN 周长的最小值；（2）分O''C ＝PC ，O''P ＝PC ，O''P ＝O''C 三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴点A（﹣2，0），点B（0，2）∴OB＝2∵OC＝2OB．∴OC＝4∴点C（4，0）设直线BC解析式为：y＝kx+2，且过点C（4，0）∴0＝4k+2∴k＝1 2 -∴直线BC解析式为：y＝12-x+2，如图，作点O关于直线BC的对称点O'（816,55），过点O'作O'H⊥OC于点F，交BC于点H，此时OF+FH的值最小．∴点F的横坐标为8 5∴点F（86 55，）作点F关于直线OC的对称点F'（86,55 -），作点F关于直线AB的对称点F''（418,55 -）连接F'F''交直线AB于点M，交直线OC于点N，此时△FMN周长有最小值，∴△FMN周长的最小值＝22 84186125 5555⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）∵将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A'O’B，∴O'点坐标（2，2）设直线O'C的解析式为：y＝mx+b∴2204m bm b=+⎧⎨=+⎩∴14 mb=-⎧⎨=⎩∴直线O'C的解析式为：y＝﹣x+4 如图，过点O'作O'E⊥OC∴OE＝2，O'E＝2∴EC＝O'E＝2∴∠O'CE＝45°∵将△BCO'沿着直线BC平移，∴O''O'∥BC，O'C∥O''C'，∴设O'O''的解析式为y＝12-x+n，且过（2，2）∴2＝12-×2+n∴n＝3∴直线O'O''的解析式为y＝12-x+3若CO''＝CP，∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PC＝45°∵CO''＝CP∴∠CO''P＝∠O''PC＝45°∴∠O''CP＝90°∴点O''的横坐标为4，∴当x＝4时，y＝12×4+3＝1∴点O''（4，1）∴CO''＝1＝CP∴点P（5，0）若CO''＝O''P，如图，过点O''作O''N⊥CP于N，∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PC＝45°∵CO''＝O''P∴∠O''CP＝∠CPO''＝45°，∴∠CO''P＝90°，且CO''＝O''P，O''N⊥CP∴CN＝PN＝O''N＝12CP设CP＝a，∴CN＝PN＝O''N＝12CP＝12a∴点O''（4+12a，12a），且直线O'O''的解析式为y＝﹣12x+3∴12a＝﹣12（4+12a）+3∴a＝4 3∴CP＝4 3∴点P（163，0）若CP＝O''P，如图，过点O''作O''N⊥CP于N∵O'C∥O''C'，∴∠O'CE＝∠O''PM＝45°∴∠O''PN＝∠O''PM＝45°，且O''N⊥CP∴∠NPO''＝∠PO''N＝45°∴PN＝O''N∴O''P2PN＝CP设PN＝b，则O''N＝b，CP＝PO''2b∴点O''坐标（2b+b，﹣b），且直线O'O''的解析式为y＝12-x+3∴﹣b＝12-×（2b+b）+3∴b＝2+2∴CP＝2∴点P坐标（2，0）综上所述：满足条件的点P为：（2，0）或（163，0）或（5，0）【点睛】本题考查了利用轴对称思想解决线段和最小值或周长最小的问题，以及等腰三角形的分类讨论问题，综合性较强，综合运用上述几何知识是解题的关键．22．（1）（1）2t ，10-t；（2）见解析；（3）满足条件的t的值为5s或203s，理由见解析【解析】【分析】（1）点D从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，由路程=时间×速度，得AD=t, CD=10-t,; 点E从点B出发沿BA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动,所以BE=2t；（2）因为△ABC 是等腰直角三角形，得∠B=45°，结合BE= 2t，得EF=t, 又因为∠EFB和∠C都是直角相等，得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形ADFE是平行四边形；（3）①当∠DEF=90°时，因为DF平分对角，四边形EFCD是正方形，这时AD=DE=CD =5，求得t=5;②当∠EDF=90°时，由DF∥AE，两直线平行，内错角相等，得∠AED=∠EDF=90°，结合∠A=45°，AD= 2 AE , 据此列式求得t值即可；③当∠EFD=90°，点D、E、F在一条直线上，△DFE不存在. 【详解】（1）由题意可得BE=2tcm，CD=AC-AD=(10-t)cm，故填：2t ，10-t；（2）解：如图2中∵CA=CB，∠C=90°∴∠A=∠B=45°，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°∴∠FEB=∠B=45°∴EF=BF∵2，∴EF=BF=t∴AD=EF∵∠EFB=∠C=90°∴AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形（3）解：①如图3-1中，当∠DEF=90°时，四边形EFCD是正方形，此时AD=DE=CD，∴t=10-t,∴t=5②如图3-2中，当∠EDF=90°时，∵DF∥AC，∴∠AED=∠EDF=90°，∵∠A=45°∴2AE，∴22- 2t)，解得t= 20 3③当∠EFD=90°，△DFE不存在综上所述，满足条件的t的值为5s或20 3s.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°，证出OE=OF ，由SAS 证明△AOE ≌△COF ，即可得出AE=CF ；（2）证出△AOB 是等边三角形，得出OA=AB=2，AC=2OA=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理求出=ABCD 的面积．【详解】(1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，在△AOE 和△COF 中，OA OCAOE COF OE OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE ＝CF ；（2）解：∠AOD ＝120°，所以，∠AOB ＝60°，∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2，∴AC ＝2OA ＝4，在Rt △ABC 中，BC=，∴矩形ABCD 的面积＝AB•BC ＝2×【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算24．（1）210，210；（2）合理，理由见解析【解析】【分析】(1)根据中位数和众数的定义求解；(2)先观察出能销售210件的人数为能达到大多数人的水平即合理．【详解】解：(1)按大小数序排列这组数据，第7个数为210，则中位数为210；210出现的次数最多，则众数为210；故答案为：210，210；(2)合理；因为销售210件的人数有5人，210是众数也是中位数，能代表大多数人的销售水平，所以售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件是合理的．【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．25．（1）25，54；（2）如图所示见解析；6.5，6；（3）该展演活动共产生了12个一等奖．【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，即可得到总的组数，进而得出各分数对应的组数以及圆心角度数；（2）根据中位数以及众数的定义进行判断，即可得到中位数以及众数的值；（3）依据舞蹈组获得一等奖的队伍的比例，即可估计该展演活动共产生一等奖的组数．【详解】（1）10÷50%＝20（组），20﹣2﹣3﹣10＝5（组），m%＝520×100%＝25%，320×360°＝54°，故答案为：25，54；（2）8分这一组的组数为5，如图所示：各组得分的中位数是12（7+6）＝6.5，分数为6分的组数最多，故众数为6；故答案为：6.5，6；（3）由题可得，220×120＝12（组），∴该展演活动共产生了12个一等奖．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，直线y ax b =+过点()0,3A 和点()2,0B -，则方程0ax b +=的解是（ ）A ．3x =B ．2x =-C ．0x =D ．3x =-2．某次自然灾害导致某铁路遂道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车，问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 3．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ）A ．含有45°角的两个直角三角形B ．腰相等的两个等腰三角形C ．边长相等的两个等边三角形D ．一个钝角对应相等的两个等腰三角形4．(2)0x x -=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 5．《中国诗词大会》是央视科教频道自主研发的一档大型文化益智节目，节目带动全民感受诗词之趣，分享诗词之美，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．比赛中除了来自复旦附中的才女武亦姝表现出色外，其他选手的实力也不容小觑．下表是随机抽取的10名挑战者答对的题目数量的统计表，则这10名挑战者答对的题目数量的中位数为答对题数（ ）答对题数 4 5 7 8人数 3 4 2 1A ．4B ．5C ．6D ．76．在解分式方程31x -+21x x+-=2时，去分母后变形正确的是（ ） A ．()()3221x x -+=- B ．()3221x x -+=- C ．()322x -+=D ．()()3221x x ++=-7．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为( )A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．24cm8．反比例函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，以下结论错误的是（ ）A ．0k >B ．若点()1,3M 在图象上，则3k =C ．在每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小D ．若点()1,A a -，()2,B b 在图象上，则a b > 9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．2(2)(2)4x x x +-=- B ．24+3(2)(2)3x x x x x -=+-+ C ．2+4(4)x xy x x x y -=+D ．21(1)(1)a a a -=+-10．下列分式2410xy x ，22a b a b ＋＋，22x y x y －＋，221a aa ＋－最简分式的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．12．如图所示，将直角三角形, ,,沿方向平移得直角三角形，,阴影部分面积为_____________.13．若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为________． 14．使分式x 12x --有意义的x 范围是_____． 15．如图，已知正方形ABCD ，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，将正方形ABCD 沿直线EF 翻折，使点B 刚好落在AD 边上的点G 处，连接GF 交CD 于点H ，连接BH ，若AG ＝4，DH ＝6，则BH ＝_____．16．八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4×100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一棒的概率为______．17．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、⋯在x 轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，11B C O 60∠=，112233B C //B C //B C //⋯，则正方形2018201820182018A B C D 的边长是______．三、解答题18．（111842432（2）(743743+-19．（6分）如图，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,3A -、()6,0B-、()1,0C -.（1）请直接写出点A 关于原点对称的点的坐标；（2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒得到111A B C ∆，画出111A B C ∆，直接写出点A 、B 的对应点的点1A 、1B 坐标；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.20．（6分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD=5cm ，求AB 的长．21．（6分）某旅游纪念品店购进一批旅游纪念品，进价为6元.第一周以每个10元的价格售出200个、第二周决定降价销售，根据市场调研，单价每降低1元，一周可比原来多售出50个，这两周一共获利1400元.(1)设第二周每个纪念品降价x 元销售，则第二周售出 个纪念品(用含x 代数式表示); (2)求第二周每个纪念品的售价是多少元?22．（8分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 23．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A 、B 、C 、D 都在格点上．。
13.4课题学习最短路径问题(教案)2022秋八年级上册初二数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用图示和模型来演示Dijkstra算法的执行过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了最短路径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于最短路径问题的兴趣还是比较高的。在导入新课的时候，通过提问的方式，大家都能积极参与进来，分享自己在生活中遇到的最短路径问题。这为接下来的新课讲授奠定了良好的基础。
在新课讲授环节，我尽量用简单明了的语言解释了最短路径的基本概念，并通过案例分析，让学生们看到了这个知识点的实际应用。不过，我也注意到，对于Dijkstra算法这一部分，学生们理解起来还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要在这一部分多花一些时间，用更直观的方式，比如图解或者动画演示，来帮助学生更好地理解这个算法的原理和步骤。
3.增强学生的空间观念，通过实践活动，培养其在现实情境中运用几何知识进行观察、分析和解决问题的能力。
4.培养学生的数据分析素养，使其能够对实际问题进行合理的数据整理和分析，为求解最短路径提供依据。
5.激发学生的创新意识，鼓励其在解决最短路径问题时，积极探索多种可能，优化解决方案。
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吉昌中学八年数学（上）导学案
制作人：霍雨佳复核人：曹三成审核人：№：班级：小组：姓名：
一、导入新课：
问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，
然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
二、探究新知：
1．将实际问题抽象为数学问题
2．尝试解决数学问题
（1）如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找
到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
3.合作证明“AC＋BC”最短。
证明：如上右图，在直线l上的任一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，
由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′．
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′．
即AC＋BC最短．
三、巩固练习：
1.已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
2.造桥选址问题：如下图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
复习旧知识，为本节课学习做准备。
请认真阅读课本第85页内容，并填写第二大题第1、2、3小题。
请认真阅读课本第86页例题，模仿例题做一做。
（按照步骤书写）
要善于总结自己这一节课的收获和疑问，问题也要及时找同学或者老师帮你解决，这样更有利于把所学的知识形成体系，对今后的学习很有益处。
方法总结。