医用高等数学题库
大学医用高等数学习题
解的存在唯一性定理
在一定条件下，微分方程存在唯一解的定理。
一阶常微分方程
1 2
线性一阶微分方程
形如y'=f(x,y)的一阶微分方程，其中f是x和y的已 知函数。
一阶常系数线性微分方程
形如y'=f(x)的一阶微分方程，其中f是x的已知函 数。
3
一阶微分方程的通解和特解
满足给定初始条件和边界条件的微分方程的解。
生物信息学
基因组学、蛋白质组学等生物信息学领域，通过高等数学方法对大规 模数据进行处理和分析，挖掘疾病与基因、蛋白质之间的关系。
药物研发
药物动力学模型、药效学模型等高等数学模型在药物研发过程中用于 预测药物在体内的分布、代谢和排泄情况。
医学中常用的高等数学概念
微积分
微积分是医学中应用最广泛的高等数学概念，包括极限、连续 性、导数和积分等，用于描述生物体内物质分布、生理过程和
药物作用等的动态变化。
线性代数
线性代数在医学数据处理和统计分析中发挥重要作用，如矩阵 运算、特征值和特征向量等，用于表示和处理医学图像、基因
表达数据等。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是医学研究中不可或缺的数学工具，用 于描述随机现象、进行假设检验和预测疾病发生风险等。
02
函数与极限
函数定义与性质
复合函数的导数
对于复合函数，需要先对内层函 数求导，再将结果与外层函数的 导数相乘，得到复合函数的导数。
隐函数的导数
对于由方程确定的隐函数，可以 通过对方程两边求导的方法来求 得其导数。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点的变化率的线性近似，用符号“d”表示。
微分的几何意义
微分可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。
医用高等数学G
医用高等数学半期考试G 卷班级： 姓名： 学号：一、选择题（2’*10,共20’） 1. 设=≤<≤<--=→)(10,01,1{)(lim 0x f x x x x x f x 则 （ ）A .–1B. 1C. 0 D 不存在2. 0)('=x f 是可导函数)(x f 在0x 点处有极值的（ ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分为非必要条件若函数3. )(x f 为可微函数，则dy （ ） A. 与x ∆无关B.为x ∆的线性函数C. 当0→∆x 时为x ∆的高阶无穷小 C.为x ∆的等价无穷小4. 若⎰==)()()('x dF x f x F ，则（ ） A. )(x fB )(x FC. C x f +)(D.C x F +)(5. a x x a y =，求y '=( ) A. )(ln xaa xa ax+B. )1(xaxa ax+C. )(ln a a xaax+D. a xaa x ln 11-+6.下列各组函数中（ ）为同一函数的原函数 A.F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3+x) B. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(x -1) C.F 1（x ）=lnx F 2(x)=3lnxD. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3x)7. =⎰dx x x2ln （ ） A. C x x x ++1ln 1B. C x x x ++-1ln 1C. C x x x +-1ln 1D. C xx x +--1ln 18.=⎰→320sin limxdt t xx （ ）A. 0B. 1C.31 D ∞9. 下列积分中，值为零的是（ ） A⎰-112dx xB.⎰-213dx xC.⎰-11dxD.⎰-112sin xdx x10. 下无结论正确的是（ ） A 初等函数必存在原函数B. 每个不定积分都可以表示为初等函数C. 初等函数的原数必定是初等数D. A,B,C 都不正确 二．填空题（2’*10,共20’）1.若函数)(x f 在0x 点及其附近有二阶导数，且0)(,0)(0''0'<=x f x f ，则)(x f 在0x 处有极 值。
医用高等数学 试卷9
一、填空题（每空2分，共20分）得分评阅人答案请写此处：1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.1、函数的定义域是。
2、。
（利用微分公式计算，保留小数点后3位）3、设可导，则______ ________。
4、若在处可导，则______ ________。
5、函数的n阶导数为。
6、。
7、函数的复合过程是。
8、设函数在点的某领域内可导，。
9、= 。
10、设，则______________。
二、是非题（“√”表示正确，“×”表示错误，每题2分，共20分）得分评阅人（）1、0是无穷小量。
（）2、分段函数一定有间断点。
（）3、初等函数在其定义区间内必可导。
（）4、初等函数在其定义域内都是连续的。
（）5、若为函数的极值点，则。
（）6、函数在点处可导，而函数在点处不可导，则在点处不可导。
（）7、函数在处可微，则函数在处一定连续。
（）8、设函数在有定义，在内连续，且，则方程在内必有根。
（）9、为内单调增函数，若在内可导，则在区间处处有。
（）10、。
三、单项选择题（每题2分，共10分）得分评阅人答案请写此处：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1、下列哪组中的函数为相同的函数（）。
A. B.C. D.2、函数是在点处连续，是函数在点处可导的什么条件（）。
A.必要非充分B.充分非必要C.充分必要D.既非充分，也非必要3、若，则k=( ) 。
(A) (B) 3 (C) (D) 04、当时，是无穷大量吗？它有界吗？（）。
A.是，有B.不是，没有C.是，没有D.不是，有5、在处( ) 。
(A) 不连续； (B) 连续但不可导；(C) 可导，但导数在该点不连续； (D) 导函数在该点连续四、计算题（每题5分，共30分）得分评阅人1、 2、3、 4、5、 6、五、解答题（第1、2每题6分，第3题8分，共20分）得分评阅人1、证明：2、试确定的值，使在点处可导。
3、描绘函数的图像。
参考答案一、填空题1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、0 10、二、是非题1、√2、×3、×4、√5、×6、√7、√8、×9、× 10、×三、单项选择题1、D2、A3、C4、B5、B四、计算题五、解答题3、的定义域为:。
医学高数期末考试试题
医学高数期末考试试题### 医学高数期末考试试题#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是微积分的基本定理？A. 牛顿-莱布尼茨公式B. 泰勒级数展开C. 定积分的性质D. 不定积分的计算2. 函数 \( f(x) = x^2 + 3x - 2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最大值是：A. 2B. 4C. 6D. 83. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的泰勒级数展开式？A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \)B. \( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \ldots \)C. \( 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \ldots \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 45. 方程 \( y'' - 2y' + y = 0 \) 的通解是：A. \( y = e^{t} \)B. \( y = e^{t} + e^{2t} \)C. \( y = e^{t} + e^{-t} \)D. \( y = e^{t} + e^{2t} + e^{-t} \)#### 二、填空题（每题2分，共20分）6. 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = ________ \)。
7. 函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数 \( g'(x) \) 是 ________。
医学高数复习题
医学高数复习题一、单元运算与三角函数1. 计算：sin(π/2) + cos(0) = ?2. 计算：tan(π/4) - cot(π/3) = ?3. 计算：sin²(π/6) + cos²(π/6) = ?4. 计算：sec²(π/4) - csc²(π/3) = ?二、极限与连续性1. 计算：lim(x→0) (3x² - 4x) / (2x² + 3x) = ?2. 计算：lim(x→∞) (2x - 3) / (5x + 2) = ?3. 计算：lim(x→1) (x³ - 2x² + x) / (x² - x) = ?4. 计算：lim(x→1) ((x - 1) / √(x + 2)) = ?三、导数与微分1. 求函数f(x) = 2x³ - 3x² + 5x -1的导数f'(x)。
2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数f'(x)。
3. 求函数f(x) = ln(x² + 1)的导数f'(x)。
4. 求函数f(x) = e^(2x)的导数f'(x)。
四、函数与其图像1. 根据方程y = 3x² - 4x + 1，画出函数y的图像。
2. 根据方程y = e^x - 2，画出函数y的图像。
3. 根据方程y = ln(x + 1)，画出函数y的图像。
4. 根据方程y = sin(2x)，画出函数y的图像。
五、定积分与不定积分1. 求定积分∫(0→π) sin(x) dx的值。
2. 求定积分∫(1→2) x² dx的值。
3. 求不定积分∫(2x + 3) dx的原函数。
4. 求不定积分∫(e^x + 1) dx的原函数。
六、微分方程1. 求解微分方程dy/dx = x² - 4x + 4，并给出其通解。
医用高数精选习题(含答案)
高等数学第1-3章一、求下列各极限1、 求极限 1)1(3tan lim 21--→x x x 、2、 求极限)ln 11(lim 1x x x x --→。
3、 求极限22)2(sin ln limx x x -→ππ4、 求极限)1ln(102)(cos lim x x x +→ 5、 当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+就是2x 得高阶无穷小，求a ，b 得值 6、 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→7、 求极限xx xx )1cos 2(sin lim ++∞→ 8、 求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数得导数或微分1、求函数x x y tan ln cos ⋅=得导数；2、设.42arcsin2x x x y -+= ，求1=x dxdy3、求)()(2(2tan u f f y x=可导）得导数；4、设 xe x y xarccos )1(ln-= ， 求)0(y ' 5、 设 )ln(2222222a x x a a x x y -+--= ，求y '。
6、设方程0=+-yxe e xy 确定了y 就是x 得隐函数，求0=''x y 。
7、 设xx e y x sin )1ln(++=,求dy 。
8、设)0(,22)()2(lim20≠+=∆-∆+→∆x xx x x f x x f x ，求)2(x df 。
三、应用题1、讨论函数2332x x y -=得（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2、 求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上得极值。
3、 求函数 )0(ln 1)(2>-+=x xx x f 得极值4、 在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物得浓度x 得关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 就是反应开始时反应物得浓度，k 就是反应速率常数，问反应物得浓度x 为何值时，反应速度)(x v 达到最大值？四、选择题1．设,)(x x f =则=-∆+)2()2(f x f （ ）A ．x ∆2B ． 2C ．0D ．x ∆ 2．设)(x f y =得定义域为]1,1[-，则)()(a x f a x f y -++=(10≤≤a )得定义域就是（ ）A ．]1,1[+-a aB ．]1,1[+---a aC ．]1,1[--a aD ．]1,1[a a --3．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（ ） A ．)(x f 在0x 得函数值必存在且等于极限值 B ．)(x f 在0x 得函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．)(x f 在0x 得函数值可以不存在 D ．如果)(0x f 存在得话必等于极限值 4．若0)(lim 0=→x f x x ，则（ ）A ．当)(x g 为任意函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xB ．仅当0)(lim 0=→x g x x 时，才有0)()(lim 0=→x g x f x xC ．当)(x g 为有界函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xD ．仅当)(x g 为常数时，才能使0)()(lim 0=→x g x f x x 成立5． 设)(x f y =且,0)0(=f 则=')0(f （ B ） A ．0 B ．xx f x )(lim→ C ．常数C D ． 不存在 6．设函数11)(--=x x x f ，则=→)(lim 1x f x （ ）A 、 0B 、 1-C 、 1D 、 不存在7．无穷小量就是（ ）A ．比零稍大一点得一个数B ．一个很小很小得数C ．以零为极限得一个变量D ．数零 8．当0→x 时，与无穷小量12-xe等价得无穷小量就是（ ）A 、 xB 、 x 2C 、 x 4D 、 2x 9． 若函数)(x f y =满足21)(0='x f ，则当0→∆x 时，0d x x y =就是（ ） A ．与x ∆等价得无穷小 B ．与x ∆同阶得无穷小 C ．比x ∆低阶得无穷小 D ．比x ∆高价得无穷小10．=→x xx sin 3sin lim 0（ ）A ．1B ．3C ．0D ．不存在11．如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．94 D ．4912．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)21()(1x k x x x f x 在0=x 处连续，则=k （ ）A ．2e B ． 2-e C ．21-eD ．21e13．设 212lim2=-+∞→x xax x ，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．314．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003sin1)(x ax x x x f ，若使)(x f 在),(∞+-∞上就是连续函数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．31D ．3 15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f 在1=x 处（ ） A ．极限存在 B ．右连续但不连续 C ．左连续但不连续 D ．连续16． 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=00011)(x x xx x f ，则0=x 就是)(x f 得（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．无穷间断点 17．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h )()(lim000（ ）A ．)(0x f '-B ．)(0x f -'C ．)(0x f 'D ．)(20x f ' 18．设x e f x2)(=则=')(x f （ ）A ．2B ．x2C ．x eD ．x e 2 19．设)(u f y =，xe u =则=22d d xy（ ）A ．)(2u f ex'' B ．)()(2u f u u f u '+'' C ．)(u f e x '' D ．)()(u uf u f u +''20．设)1ln()(2x x f +=，则=-'')1(f （ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2 21．已知22ln arctan y x xy +=，则=x yd d （ ）A ．y x y x +- B ．y x y x -+ C ．y x +1D ．yx -1 22．若x x y ln =，则=y d （ ）A ．x dB ．x x d lnC ．x x d ]1)[(ln +D ．x x x d ln 23．已知x x y ln =，则()=10y （ ）A ．91x -B ．9-x C ．x 8!8 D ．9!8x 24．设函数n n n n a x a x a x a x f ++⋅⋅⋅++=--1110)(，则：='])0([f （ ）A ．n aB ．!0n aC ．0aD ．0 25．)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处（ ）A ．必可导B ．连续但不一定可导C ．一点不可导D ．不连续26．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，则至少有一点),(b a ∈ξ，满足（ ） A ．))(()()(a b f a f b f -ξ'=- B ．))(()()(b a f a f b f -ξ'=- C ．0)(=ξ'f D ．0)(=ξ''f27．已知曲线5+=xe y 上点M 处得切线斜率为2e ，则点M 得坐标为（ ）A ．)52(2+,eB ．)2(2,e C ．)52(2+--,e D ．)2(2,e -28．函数5224+-=x x y 在区间[-2,2]上得最大值与最小值分别为（ ） A ．4,5 B ．5,13 C ．4,13 D ．1,13- 29．下列命题正确得就是（ ）A ．函数)(x f 在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一定存在最值B ．函数)(x f 在),(b a 内得极大值必大于极小值C ．函数)(x f 在[]b a ,上连续，且)()(b f a f =则一定有),(b a ∈ε，使0)(='εfD ．函数得极值点未必就是驻点30．点)1,0(就是曲线c bx ax y ++=23得拐点，则有：（ ）A ．1=a ，3-=b ，1=cB ．a 为非零任意值，0=b ，1=cC ．1=a ，0=b ，c 就是任意值D ．a ，b 就是任意值，1=c31．函数)(x f 在点0x x =得某领域有定义，已知0)(0='x f ，且0)(0=''x f ，则在点0x x =处，)(x f （ ）A ．必有极值B ．必有拐点C ．可能有极值，也可能没有极值D ．可能有拐点，但必有极值 32．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则=a （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 33．曲线1123+-=x x y 在区间)2,0(内（ ）A ．单调增加且为凹函数B ．单调增加且为凸函数C ．单调减少且为凹函数D ．单调减少且为凸函数1． D 2．D 3． C 4． C 5、 B6． D 7．C 8． B 9． B 10． C 11．C 12．B 13．C 14． C 15． B 16．C 17．A 18．B 19． B 20． C 21．B 22．C 23．D 24． D 25． B 26．A 27．A 28． C 29． D 30． B 31．C 32． C 33． C。
医用高等数学试题
医用高等数学试题1. 建模与微分方程某医院整理了一组病人的实验数据，发现他们在被注射某种药物后，体内药物浓度的变化可以用以下微分方程描述：\[ \frac{{dC}}{{dt}} = -kC \]其中，\( C \) 表示病人体内的药物浓度，\( t \) 表示时间，\( k \) 为常数。
请回答以下问题：a) 请解释该微分方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用该微分方程及已知条件，求解出药物浓度 \( C \) 与时间 \( t \) 的关系式。
c) 若某位病人的初始药物浓度为 100 mg/L，且经过 2 小时后浓度下降至 50 mg/L，请计算该药物的半衰期。
2. 曲线拟合与概率某药物在人体内的分布情况可以用以下方程描述：\[ C(t) = \frac{{A \cdot e^{-k_1 \cdot t}}}{{1 + k_2 \cdot t}} \]其中，\( C(t) \) 为药物浓度，\( t \) 为时间，而 \( A \)，\( k_1 \)，\( k_2 \) 均为常数。
某研究小组通过实验得到了一组药物浓度的数据，并希望通过曲线拟合来估计未知的参数值。
请回答以下问题：a) 解释方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用已有的实验数据，通过最小二乘法拟合曲线，求解未知参数的数值，并给出拟合的曲线方程。
c) 对于拟合得到的曲线方程，若药物浓度 \( C(t) \) 达到峰值后开始下降，在什么条件下浓度可以收敛到接近零的稳定值？3. 概率与统计某医院对一种特定疾病的诊断准确率进行了研究。
根据数据统计，一个人真正患有该疾病的概率为 0.05，而经过医院的诊断，诊断结果显示该人患有该疾病的概率为 0.98。
进一步，研究还发现该医院通过这种诊断方法错误地将一些没有该疾病的人诊断为患有该疾病，错误率为 0.03。
请回答以下问题：a) 若一个人在该医院被诊断患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？b) 若一个人在该医院被诊断不患有该疾病，那么他实际上可能患有该疾病的概率是多少？c) 利用统计学相关知识，你认为在这种情况下，该医院的诊断方法的可靠性如何评价？有何改进的建议？4. 误差分析与可行性研究某医疗设备用于测量患者体内某种物质的浓度，设备测得的浓度值与实际浓度存在误差。
关于医学用高等数学期末复习题
医学类高等数学期末复习题一、选择题:1.⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17，则 。
（A ）;0lim =∞→n n x （B ）;10lim 7-∞→=n n x （C ）;,10,,0lim 7⎩⎨⎧=-∞→为偶数为奇数n n x n n (D) 不存在n n x ∞→lim 。
2. 下列数列n x 中，收敛的是 。
（A ）n n x nn 1)1(--=； （B ）1+=n n x n ；（C ）2sin πn x n =；（D ）n n n x )1(--=。
3. 1→x 时与无穷小x -1等价的是 。
(A)()3121x -； (B) ()x -121 ； (C) ()2121x - ； (D) x -1。
4．下列极限中，值为1的是 。
(A) xxx sin 2lim π∞→； (B) xxx sin 2limπ→； (C) xxx sin 2lim 2ππ→； (D) xxx sin 2limππ→。
5. 连续的在是00)()()(limx x x f x f x f x x ==→ 。
（A ）必要条件而非充分条件； (B) 充分条件而非必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 无关条件。
6. xx x f x 1sin sin )(0⋅==是的 。
(A) 可去间断点； (B) 跳跃间断点； (C) 振荡间断点； (D) 无穷间断点。
7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<--=1 ,21 ,11)(2x x x x x x f ，的是则)(1x f x = 。
(A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 无穷间断点。
8.的是则)(0 ,0 ,1cos ,0 ,0,0 ,sin )(x f x x x x x x x xx x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+= 。
(A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 振荡间断点。
医用高数精选习题(含答案)
医用高数精选习题(含答案)高等数学第1-3章一、求下列各极限1.求极限$\lim\limits_{2x\to1}\tan\dfrac{3(x-1)}{x}$；2.求极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^2-1}$；3.求极限$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sin x$；4.求极限$\lim\limits_{2x\to(\pi-2x)}\dfrac{\cosx}{\ln(1+x^2)}$；5.当$x\to0$时，$\ln(1+x)-(ax^2+bx)$是$x^2$的高阶无穷小，求$a$，$b$的值；6.求极限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\tan x-\sqrt{\cos2x}}{x^3}$；7.求极限$\lim\limits_{x\to0}(\sin x+\cos x)$；8.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。
二、求下列各函数的导数或微分1、求函数$y=\cos x\cdot\ln\tan x$的导数；2、设$y=x\arcsin\dfrac{1}{\tan^2x}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；3、求$y=f(2(1-x)e^x)$的导数，其中$f(u)$可导；4、设$y=\ln\dfrac{\sqrt{a^2+2x}-a}{2x-a-\ln(x+x^2-a^2)}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；5、设$y=\dfrac{2}{x^2+2}$，求$\mathrm{d}y$；6、设方程$xy-e^x+e=0$确定了$y$是$x$的隐函数，求$y''$；7、设$y=\ln(1+e^x)+\dfrac{x}{\sin x}$，求$\mathrm{d}y$；8、设$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-f(x)}{\Delta x^2}=\dfrac{1}{2}$，$(x\neq0)$，求$\mathrm{d}f(2x)$。
大学医用高等数学习题2
1 y 2
x
x
ln y=1/2[ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)]
1 e xsinx 1- e [ cot x ] 11 x x 2(1 e )
x
14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
(1) y=1+xey y´=ey+xeyy´ (1+xey)y´=ey
x x
e 1 lim x x x 0 2e xe 2
x
23
26. (7)
lim(tan x)
x
2cos x
lim e
x
2cos x ln(tan x )
e
x
ln tan x lim 2 1
2 cos x
2 sec 2 x lim 2 tan x sec x tan x x
2 2 2
20
e e 2x e e 2 (1) lim lim x 0 x 0 x sin x 1 cos x x x x x e e e e lim lim 2 x 0 x 0 sin x cos x (2)
x x
x
x
26. (3)
x 2
xe lim x x e x
v v0 e
A (1 e at ) a
A at e (a ) a e
at
19
v0 Ae
A (1 e at ) a
26.利用 L´Hospital 法则求下列函数极限
cos x 2 ln sin x csc x 1 sin x lim lim lim 2 ( 2 x ) 4( 2 x ) 8 8 x x x
医用高等数学D
A．可去间断点；B．跳跃间断点；
C．无穷间断点；D．振荡间断点．
3．如果函数 在点 处可导，则 （）
A． ；B． ；C． ；D． ．
4．设函数 在 上连续，在 内可导，则（）
A．必有 ， ，使得 ；
B．必有 ， ，使得Βιβλιοθήκη ；C．必有 ， ，使得 ；
D．必有 ， ，使得 ．
5．若 ，则 （）
《医用高等数学》D
一、填空题
1．若 ，则 ．
2．补充定义 ，使函数 在 处连续．
3． ．
4．若 ，则 .
5． .
6．若 ， ， ，则 .
7． .
8．已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 ，则微分方程为．
二、选择题
1．当 时， 与 相比是（）
A．高阶无穷小；B．低阶无穷小；
C．同阶无穷小；D．等价无穷小．
2．如果点 为可导函数 的极值点，那么必有 ．（）
3．初等函数的原函数一定是初等函数．（）
4.如果函数 ，则 ．（）
5．如果函数 在 上可积，且 ，则 ．（）
6．如果函数 是方程 的两个解，则 为 的通解( 为任意常数)．（）
四、计算题
1．求 2．已知 ，求 ．
3．已知 ，求 4．计算 ．
5．计算 ．
6．试确定 ，使函数 有一拐点 ，并在 处有极大值．
7．求微分方程 的通解．
五、综合题
1．求由曲线 和直线 所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积 ．
2．设函数 在区间 上连续，试证：
（1）当 为偶函数时， ；
（2）当 为奇函数时， ．
A． ；B． ；C． ；D． ．
6．若 为可导函数，且已知 ，则 = ( )
医用高等数学 试卷5
一、填空题（每题2分，共16分）答案请写此处： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1、函数)0)((log 22>-=a y x z a 的定义域是________________。
2、椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(处的切平面方程是_____________。
3、极限=-+→→xyxy y x 11lim0___________。
4、函数)2si n(),(y x xy y x f ++=在点)0,0(处沿)2,1(=的方向导数=∂∂)0,0(lf______________。
5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
7、方程03=+'y y 的通解为________________。
8、方程x x y y cos tan =+'的通解为______________。
答案请写此处：1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6.( ) 7.( ) 8. ( ) 1、下列论述正确的是（ ）A ．),(y x f 的极值点必是),(y x f 的驻点B ．),(y x f 的驻点必是),(y x f 的极值点C ．可微函数),(y x f 的极值点必是),(y x f 的驻点D ．可微函数),(y x f 的驻点必是),(y x f 的极值点 2、设),(b a f x '存在，则xb x a f b a x f x ),(),(lim--+→=（ ）A ．),(b a f x 'B ．0C ．2),(b a f x 'D ．21),(b a f x ' 3、设函数),(y x f z =有222=∂∂y f，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ） A ．21y xy +- B ．21y xy ++ C ．221y y x +- D ．221y y x ++4、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xyy x f ,则在点（0，0）处（ ）A ．连续且偏导数存在B ．连续但偏导数不存在C ．不连续但偏导数存在D ．不连续且偏导数不存在 5、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(，则有（ ） A ．21I I < B ．21I I = C ．21I I > D ．不能比较 6、若积分域D 是由曲线2x y =及22x y -=所围成，则⎰⎰Dd y x f σ),(=（ ）A ．⎰⎰--22211),(x x dy y x f dx B ．⎰⎰--22211),(x x dy y x f dx C ．⎰⎰-y ydx y x f dy 21),( D ．⎰⎰--112),(22dx y x f dy x x7、积分σd eI y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为（ ）A ．)1(24-e πB ．)1(24-e πC ．)1(4-e πD ．4e π8、微分方程0)(112='-+''y yy 的通解为（ ） A ．21c e c y x+= B ．21c ey xc += C ．x c e c y x 21+= D ．112+=x c e c y1、求函数)l n(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 沿A 指向点)2,2,3(-B 的方向的方向导数。
医用高等数学(计算题)
医用高等数学计算题1、求曲线y =cux 上与直线x +y =1垂直的切线方程。
剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。
解：设切点为(x 0y 0)则点(x 0.y 0)处的切线斜度为k =y '|x =x 0=1x1=1x依题意知所求切线（）坐x +y =1垂直，从而、0)；切线（）为k =1.x 0=1利切点为(1故所求切线方程为y -0=x -1即：y =x -1f (2-tc )-f (2)1-2设f (x )=e则lim =-e t →0tc 4-1x12、如果f (x )为偶函数，且f '(0)存在，证明f '(0)=0证明：因为f (x )为偶函数，所以f (-x )=f (x )从而f (0)=lim x →0f (x )-f (0)f (-x )=f (x )-f (0)=lim =-f '(0)-x →0x -0-x -0∴2f '(0)=0故f '(0)=01⎧2⎪x sin y =⎨x⎪⎩0x ≠0x =03、讨函数在x =0处方程连续性与可得1=y (0)，所以函数y 在x =0处连续x →0x →0x 1x 2siny -y (0)x =lim x sin 1=0又lim =lim x →0x →0x →0x -0x x 解：lim y =lim x 2sin 故函数y 在x =0处可导、值y '|x =0=0⎧x 2x ≥04、已知f (x )=⎨求f +'(0)及f -'(0)，f '(0)是否存在⎩-x x <0f (x )-f (0)x 2=lim =0解:f +'(0)=lim +x →0+x →0x -0xf -'(0)=lim -x →0f (x )-f (0)-x =lim =-1x →0-xx -0故f '(0)不存在⎧sin x x <05、已知f (x )=⎨求f '(x )x ≥0,⎩x解：当x <0时.f '(x )=cos x当x >0时.f '(x =)1f '(x )=lim 1=1f +'(0)=lim ++x →0x →0所以：f 1(0)=1s x <0⎧c o x 从而f '(x )=⎨x ≥0⎩16、证明：双曲线xy =2a 2上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2。
医用高等数学高数试卷
《 高 等 数 学》 试 卷 (1)一．是非判断题 (本大题共10题，每题2分，共20分。
)1.函数sinln(x y e =是初等函数. ( A )A 、正确B 、错误2. ()ln 0.f x x x +=→函数当时是无穷小量( B ) A 、正确 B 、错误3. 当0x →时，21x e -和sin x 是同阶无穷小量。
( A ) A 、正确 B 、错误4. 01sin()12lim2x x x →-=- ( A ) A 、正确 B 、错误25.(cos )2cos .()x x B '=A 、正确B 、错误 6. 22()()()2xx xx x ex e e '''== ( B )A 、正确B 、错误7.()()f x dx f x C '⋅=+⎰ （ A ） A 、正确 B 、错误8.110〈⎰⎰( A )A 、正确B 、错误9.220cos 1sin 4xdx x ππ=+⎰（ A ）A 、正确B 、错误10. 若是f (x)连续函数，则由曲线y=f (x)和直线x=a 、x=b （a <b ）及x 轴所围成的曲边梯形面积为 S =|()b af x ⎰dx | ( B )A 、正确B 、错误二．单项选择题 (本大题共20题，每题3分，共60分) 11. ()f x 在0x 处左、右极限存在是()f x 在0x 处连续的 (B )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、前三者都不是12. 已知函数f (x) = ln 11x x x x >⎧⎨-≤⎩ ，则10lim ()x f x →-=（ A ）A. -1;B. 0;C. 1;D. 不存在13．已知21lim232x ax bx x →∞++=-，则a ，b 的值是 ( C ) A 、0，1 B 、1，0 C 、0，6 D 、1，112012214.lim(1)().;.1;.;..xx x A A e B C e D e →+=15. 当x →0时，下列函数为无穷小量的是（ D ） A.xe; B.xe-; C.2x-+ 1; D.1sec sinxx+.16. 以下各式中能直接使用洛必达法则计算的是（ D ）A 、sin lim 3x x x →∞ B、0x → C 、1cos lim x x x →∞- D 、01cos lim 2x xx→-17.ln ()..(,1);.01).(0,);.1)y x x D A B C D =--∞+∞+∞函数的单调递增区间是(,;(,.18. ()sin f x x =，则(())f f x '=（ C ）A 、sin(sin )xB 、sin(cos )xC 、cos(sin )xD 、cos(cos )x 19. 函数y = f (x)的微分可以表示为（ B ）A. y ;B. dy;C.y x ∆∆; D. 0lim x yx →∆∆.20. 设()f x 可导，且2()xy f e =，则()dy D =A 、2()xf e dx '; B 、22()xxf e e dx '; C 、222()xxf e e '; D 、以上都不对.332222222221.10,,().330;.330;.3310;.3310.x y y y x A A x y y y B x y y C x y y D x y '++='''++=++='++=++=设为求将方程两边对求导得223.ln(1),1,().1.;.2.3;.2y x x dy A A dx B dx C dx D =+==函数则当时有;dx.233324.,11.2;.3.1;.(1)33x C A x B x C x D x ++在以下各式中的一个原函数是().25.()()u x dv x =⎰（ B ）A. ()()()()u x v x v x du x +⎰； B. ()()()()u x v x v x du x -⎰；C. ()()()()u x v x u x dv x +⎰；D. ()()()()u x v x u x dv x -⎰26. 函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在区间[,]a b 上可积的（ B ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、既不是充分条件又不是必要条件0327.().23;.3;.. 1.x dx A A B C D =-⎰.2;28.cos ()x dx C π=⎰A 、0B 、1C 、2D 、π29. 51421cos 21x xdx x x -=--⎰( D ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、030. 如图所示，阴影部分的面积是（ C ）A. [()()]b a f x g x dx +⎰;B. [()()]b a f x g x dx -⎰;C. [()()]b a f x g x dx -+⎰;D.[()()]b af xg x dx --⎰（这个题每套卷子基本都有，所以后面几套的30题删了）三．多项选择题(本大题共3题，每题4分，共12分。
医药高等数学试题及答案
医药高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 的零点是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 曲线 \( y = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. \( e \)D. \( e^2 \)3. 以下哪个函数是奇函数：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)4. 以下哪个积分是发散的：A. \( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \)B. \( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx \)C. \( \int_0^\infty e^{-x} dx \)D. \( \int_0^\infty \frac{1}{x} dx \)5. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是：A. 5B. -2C. 7D. -5二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是 ________。
2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是________。
3. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点是 ________。
4. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 ________。
5. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值点和极值。
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医用高等数学题库第一章函数与极限1．设，求，并作出函数的图形。
2．设，，求，并作出这两个函数的图形。
3．设，求。
4．试证下列函数在指定区间的单调性：（1）（2）5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）（2）6．设。
试求下列复合函数，并指出x的取值围。
7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：8．计算下列极限：（1）（2）（3）9．（1）设，求常数a，b。
（2）已知，求a，b。
10．计算下列极限：（1）（2）（x为不等于零的常数）（3）（4）（5）（k为正整数）11．计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（k为常数）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶？是否等价？13．证明：当时，有（1）（2）14．利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）（n，m为正整数）（2）15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在：（1）（2）16．讨论下列函数的连续性：（1）的连续性（2）在x=0处的连续性17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]至少存在一个实根。
18．设函数在开区间（a，b）连续，，试证：在开区间(a，b)至少有一点c，使得（其中）。
第二章导数与微分1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：（1）（2）2．设存在，求3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导？4．已知，求及，并问：是否存在？5．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
6．问当系数a为何值时，抛物线与曲线相切？7．求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲线在点处的切线方程和法线方程。
9．用对数求导法求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）10．求下列隐函数的导数：（1）（2），求（3）（4）（5）11．求下列函数的n阶导数：（1）（2）（3）12．已知函数，求。
13．若存在，求下列函数y的二阶导数：（1）（2）14．求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数：（1）（2）15．求下列函数的微分：（1）（2）（3）16．计算下列各式的近似值：（1）（2）17．求极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）18．确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（a>0）（4）19．求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）20．求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1）（2）（3）21．描绘下列函数的图形：（1）（2）（3）（4）22．要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时直径与高的比是多少？23．一火车的锅炉每小时的耗煤费用与速度的立方成正比。
已知当速度为每小时20公里时，每小时耗费的煤价为40元。
至于其他费用每小时需200元。
问当火车行驶的速度为多少时才能使火车从甲地到乙地的总费用最省？第三章不定积分1．求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．设有一曲线，在其上任一点处的切线斜率为，并知此曲线通过点（3，2），求曲线的方程。
3．设有一通过原点的曲线，在其上任一点处切线斜率为，其中a为常数，且知其拐点的横坐标为，求曲线的方程。
4．求下列不定积分：（1）（2）（为常数）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）5．求下列各不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）6．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）7．求下列各不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）与8．求下列各有理函数的积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．设是连续函数，求。
10．如果的一个原函数是，证明：。
11．求12．试确定常数A，B，使下式成立：第四章定积分及其应用1．比较下列各对积分的大小：（1）（2）（3）（4）（5）2．证明不等式：3．设（x>0），求4．（1）设，求（2）设，其中连续，求5．设，求6．设，求7．计算下列极限：（1）（2）（3）8．利用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．计算下列各积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）10．计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）11．利用分部积分法计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）12．利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）（2）（3）13．下列各广义积分如果收敛，求其值：（1）（2）（3）（4）（a>0）（5）（6）14．求面积：（1）求曲线与直线所围成的平面图形的面积。
（2）求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。
（3）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积。
（4）求三次曲线与直线所围成的平面图形的面积。
（5）求抛物线与直线之间的面积。
15．已知塔高为80米，离它的顶点x米处的水平截面是边长为米的正方形，求塔的体积。
16．一立体的底面为一半径为5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积。
17．一立体的底面为由双曲线与直线所围成的平面图形。
如果垂直于x轴的立体截面分别是：（1）正方形；（2）等边三角形；（3）高为3的等腰三角形；求各种情况的立体体积。
18．直径为20cm，高为80cm的圆柱体充满压强为10的蒸汽。
设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？第五章微分方程1．下列等式中哪些是微分方程？（1）（2）（3）（4）（5）2．说出下列微分方程的阶数：（1）（2）（3）（4）3．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）4．求下列微分方程满足所给初值条件的特解：（1）（2）5．用分离变量法求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）6．求下列齐次微分方程的通解：（1）（2）（3）7．求满足下列微分方程和初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）8．求解下列微分方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）9．质量为1kg的质点受外力的作用作直线运动，该力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。
在t=10s时，速度为45，力为4N。
问从运动开始经过20s后的速度为多少？10．一桶有100的水，现以浓度为2的盐溶液用3的速率注入桶，同时，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。
（1）求任一时刻t桶盐的含量m；（2）何时桶存盐100kg?11．设汽车A从原点出发，以固定速度沿y轴正向行驶，汽车B从以固定速度出发（），其速度方向永远指向汽车A，求汽车B的运动轨迹。
12．在某粘性液体中，一单位质点P受一力作用沿直线运动，该力与P点到原点O的距离成正比（比例系数为10），粘性液体的阻力与运动速度成正比（比例系数为3），求该质点的运动规律（运动开始时，质点P静止，距原点kcm）。
第六章概率论初步1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，，，3，4，5，从中同时取3只球，球的最小为1。
（2）在1，2，3，4四个数中可重复地取两个数，一个数是另一个数的2倍。
（3）将a,b两个球随机地放到三个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球。
（4）10件产品中有一件废品，从中任取两件得一件废品。
（5）两个口袋各装一个白球与一个黑球，从一袋中任取一球记下其颜色放入第二袋，搅匀后再从第二袋中任取一球，两次取出的球有相同的颜色。
（6）重复掷硬币，掷了偶次后才第一次得到正面。
2．在数学系学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
（1）叙述事件的意义。
（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）什么时候关系式成立？（4）什么时候成立？3．将下列事件用A，B，C表示出来：（1）A发生（2）只有A发生（3）A与B都发生而C不发生（4）三个事件都发生（5）三个事件中至少有一个发生（6）三个事件中至少有两个发生（7）三个事件中恰好发生一个（8）三个事件中恰好发生两个（9）三个事件都不发生（10）三个事件中不多于二个事件发生（11）三个事件中不多于一个事件发生4．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）6．一部五卷文集任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？7．把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0,1,2,3）涂有颜色的概率。
8．甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数。
求甲取的数大于乙取的数的概率。
9．在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求他们正好可以互相吃掉的概率。
10．一批灯泡有40只，其中3只是坏的，从中任取5只检查。
问：（1）5只都是好的概率为多少？（2）5只中有2只坏的概率为多少？11．一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7为乘客。
电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设没位乘客在每层离开都是等能的，求没有2为乘客在同一层离开的概率。
12．一个班级有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意的分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率。
13．公共汽车每隔五分钟有一辆汽车到站，乘客到汽车站的时刻是任意的。
求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率。
14．平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a的正方形。
向平面任意地透一半径为r（2r<a）的圆，求此圆不与平行线相交的概率。
15．在三角形ABC中任取一点P，证明：的面积之比大于的概率为。
16．两艘船都要停靠在同一码头，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠的时间分别为1小时和2小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率。
17．把长为1的棒任意地折成三段，求：（1）三小段的长度都不超过a的概率。
（2）三小段能构成一个三角形的概率。
18．从装有a个白球及b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，取后都不放回，直至两人中有一人取到白球为止。