数据插值

实验二、 数据插值

【实验目的】

1．了解数据插值、曲线拟合的概念和原理。

2．掌握一维数据插值方法。

【实验内容】

把题目和相应的完整命令写在实验报告上。

1.某实验室对一根长10米的钢轨进行热源的温度在60秒内传播测试。x:表示测量点，h:测量时间，t:测量得到的温度。数据如下表

（1） 用线性插值求出在25秒时3.6米处钢轨的温度。

（2） 用样条插值求出在这60秒内每隔20秒，钢轨每

隔1米处的温度。

2. Fibonacci 数列通式的探索

对于Fibonacci 数列{n F }: 1, 1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…,

已知其满足递推关系式

21n n n F F F ++=+

试利用样条插值和一些猜测求出Fibonacci 数列通式.

【相关知识说明】

1．数据插值

问题1：某气温测量站，在某一天的早上6时至傍晚5时内，每隔1小时测量一次气温，得到下表

试估计在h=8.2，11.5，12.1，16.7时的气温值。

类似上面，在工程测量和科学实验中，往往测量出一批数据，例如n 个数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，这些数据点反映了一个函数关系()y F x =，然而我们并不知道()F x 的表达式是怎么样的。

数据插值的任务就是根据已测得的数据构造一个函数()y f x =，使得在(1,2,,)i x i n = 处，有()()i i f x F x =，且在两个相邻的采样点之间，()f x 光滑过度。

数据插值的基本思路是构造一个相对简单的函数()y f x =，通过全部的数据点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，即(),1,2,,i i y f x i n == 。再用()f x 来计算要插值的点。

(1)一维数据插值的命令（MATLAB语言，下同）

注意：x的数据必须单调，cx不能超出x的范围。

现在我们来看怎么回答问题1，这是一维插值问题。

输入命令(%后表示注释)：

h=[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]; %也可以写作h=6:17; t=[8,9,11,15,25,29,31,30,22,25,27,24];

t1=interp1(h,t,8.2) %缺省method参数，表示线性插值t2=interp1(h,t,11.5,'spline') %三次样条插值(光滑性)

t3=interp1(h,t,12.1,'nearest') %最近点插值

t4=interp1(h,t,16.7,'cubic') %三次多项式插值

我们也可以用一种插值方法对四个待插值点一起求解：t5=interp1(h,t,[8.2,11.5,12.1,16.7])

大家试运行之，看结果分别是什么。

（2）二维数据插值的命令

问题2：有一个汽车引擎在变转速（单位为rpm）时，温度（单位为o C）与时间（单位为s）的测量值如下：

请估计该引擎时间在2.6s, 转速为2500rpm时的温度。

这是二维插值问题。

r=[2000,3000,4000]; %x方向的取值

s=1:5; %y方向的取值

t=[20,110,176;60,180,220;68,240,349;77,310,450;110,405,503];

%将对应的数据排成5×3矩阵t1=interp2(r,s,t,2500,2.6,'cubic') %三次多项式插值大家试运行之，看看结果怎么样。

假如我们需要更多更详细的插值，例如，时间每隔0.5s,

转速每相差500rpm的所有插值结果，该怎么办？一个一个运用命令来插值不是办法，我们用数组一次搞定，请看下面ri=2000:500:4000; %转速每隔500取样

si=1:0.5:5; %时间每隔0.5取样

t1=interp2(r,s,t,ri,si','cubic')

注意si加多' , 表示转置。也可以对ri转置，而不对si转置。目的是要反映出其中一个是行向量，另一个是列向量。

2.请回答前面【实验内容】里面的问题……