福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题 Word版含答案

2017年泉州市普通高中毕业班质量检查
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +
2.已知集合11|
<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛
⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩
⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦
C ．1,12
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．(]1,1-
3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则22z x y =+的最小值是（ ）
A
．45 C ．1 D ． 4
4.已知向量,a b
满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B
．
．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=<
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，且对于任意的x R ∈，
()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
.则 （ ）
A ．()()f x f x π=+
B ．()2f x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C. ()3f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是
（ ）
A ．11,1e ⎛
⎤+ ⎥⎝
⎦ B ．(]1,1e - C. 1
1,1e e
⎡⎤+-⎢⎥⎣
⎦
D ．()1,+∞
9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.
下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）
A ．0
B ． 1 C. 2 D ．3
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）
A ．圆弧
B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,
C
D 分别为
,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）
A ．等腰三角形且为锐角三角形
B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin
122n n n a a n π+⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：
根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65y
x a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．
14. ()()4
121x x -+的展开式中，3
x 的系数为 ．
15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线，l 与圆()222
x c y a
-+=（其中2
2
2
c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．
16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将
其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点
P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为2
5a π
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2
cos cos cos sin A C A C B -+= ．
（1）证明：,,a b c 成等比数列；
（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ． 18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面
ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．
（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．
19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.
（1）求,,a b c 的值；
（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()
()
E M D ξξ=
，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．
（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；
（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．
（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()x
f x e ≤，求实数m 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），在以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．
试卷答案
一、选择题
1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB
二、填空题
16. ①②③④ 三、解答题
17.解法一:
（1）因为()2
cos cos cos sin A C A C B -+= ，
所以()2
cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，
化简可得2
sin sin sin A C B =，
由正弦定理得，2
b a
c =，故,,a b c 成等比数列. （2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得
11
sin 2sin 22
BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.
由（1）知，2
ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，
11222AD h CD h ⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭
（h 为ABC ∆中AC 边上的高）
， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，
在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos
2b c a A bc +-===
在ABD ∆中由余弦定理可得，2
2
2
2cos BD AD AB AD AB A =+-
，
即(2
2
2
42428
BD =+-⨯⨯=，求得BD =
解法二：（1）同解法一.
（2）同解法一，4,2AD CD ==.
在ABC ∆
中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2
2
2
2cos BD CD BC CD BC C =+-
，
即(
2
2
2
22228BD =+-⨯⨯=
，求得BD =解法三： （1）同解法一.
（2）同解法二，4,2AD CD ==.
在ABC ∆中由余弦定理可得，222543
cos 2724
a c
b B a
c +-=
==， 由于2
cos 12sin
2B B =-
，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆
中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==
，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，
sin sin CD BD CBD C =∠
，即sin sin CD C
BD CBD
=
=∠ 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.
（2）同解法一，4,2AD CD ==.
在BCD ∆
中由余弦定理得，(2
22
2214
cos 224BD BD BDC BD BD +--∠=
=⨯⨯，
在BDA ∆
中由余弦定理得，(2
2
2
2456cos 248BD BD BDA BD
BD
+--∠=
=⨯⨯，
因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，
故
221456
048BD BD BD BD
--+=，
整理得，2
384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .
又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .
∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .
又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，
又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，
∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.
（2）
过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，
∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，
以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，
∴1,BG AG ==
则
))
1,0,B
C
-.
∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，
∴(
)()
0,4,0,BC BE ==
.
设平面BCE 的法向量(),,n x y z =
，
由00
n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得4030y y z =⎧⎪⎨
++=⎪⎩，
取x =BCE
的一个法向量)
n =
.
设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，
又∵()0,2,3EF =-
，
∴
sin cos ,n EF θ==
=
，
故直线EF 和平面BCE
所成角的正弦值为
26
. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：
6
600.1
=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，
又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.
18
0.0156020
c =
=⨯.
（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.
ξ的分布列为：
()()()43122
66464444101010183
20,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，
()()13464444101041
5,035210
C C C P P C C ξξ======
. ξ的分布列为：
所以()20151050121421735210
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得
()()()()()()2
2222
18341201215121012512012161421735210
D ξ=-⨯
+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，
所以()()12
0.750.716
E M D ξξ===>，
故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：
（1）以O 为坐标原点，以BC
的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .
依题意得,B C ⎛⎫⎫
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，
所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），
所以A 的轨迹方程为()22
21399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13
OT OA =
，
所以()()001
,,3x y x y =
，即00
33x x y y =⎧⎨
=⎩， 代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()2
2
323199
x y +=，
所以点T 的轨迹E 的方程为()2
2
211x y x +=≠±.
（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =
-，所以直线QM 为()1
1y y x m x m
=--， 与2
2
21x y +=联立得，
()()()2
2222211111122120m
mx x m x x mx x m x +---+--=，
由韦达定理222
1111221
212mx x m x x x m mx --=+-，
同理2
22
222111*********
11
1122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()
()
21122
12112m x x x m
mx -+=
+-，得2221
m
x m =
+，
同理3222
122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪
⎝⎭===+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，PR x ⊥轴.
因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：
（1）以O 为坐标原点，以BC
的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .
依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 在x
轴上取12,F F ⎛⎫
⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，
则(
)1
21211
6233
FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()2
2
211x y x +=≠±.
（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛
⎫
≠=
⎪⎝⎭
，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，
故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11
x m
t y -=
， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()
222
2210t y mty m +++-=，
由韦达定理可知，21221
2
m y y t -=+ ，
其中
()2
222
12
1112
2
112222x m x mx m y t y y --+++=
+=，
因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有2
21121x y +=，
所以22
12
1
122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11
x n
s y -=
， 同理222
11322
1121,22nx n n y y s s y -+-=+=
+ ， 故()()()()()(
)222
2222122222
31321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 22
2121
2122
112
11221111212nx n m m x y m m mx m mx m
y -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，
因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.
21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，
由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.
因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫
'=++
+ ⎪+⎝⎭
，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.
（2）令()()()[)ln 11,0,x x g x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，
()()[)1ln 1,0,1x x
g x e m x m
x x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1x
x h x e m x m
x x =--+-∈+∞+， ()()[)()2
11,0,,01211x
h x e m x h m x x ⎡⎤
''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，
所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，
所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()x
e f x ≥恒成立.
② 当1
02
m <≤
时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()x
e f x ≥恒成立.
③ 当1
2
m >
时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，
因为()()()22111111111x
h x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤
'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()11111
41440164284
h m m m '-≥-
->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，
即()h x 在[]00,x 上单调递减，
所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，
此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
说明：③也可以按以下方式解答： 当1
2
m >
时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，
当x →+∞时，()2
11,011x
e m x x ⎡⎤
→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.
22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕ
ϕ
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），
消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，
即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()2
4cos 0*ρρθ-=，
将222
cos x x y ρθρ
=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2
2
24x y -+=.
（2）将直线l 的参数方程代入()2
224x y -+=得，()2
2cos sin 20t t ϕϕ++-=，
()2
4cos sin 80ϕϕ∆=++>，
设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，
所以
12PQ t t =-=
==
因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214
π
ϕϕ=
=-
时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一
（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()2
23212CM
=-+=
，PQ ===
所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一
（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，
cos sin 4d πϕϕϕ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
又因为()0,ϕπ∈， 所以当3
4
ϕπ=
时，d
又PQ == 所以当3
4
ϕπ=
时，
PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩
.
①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.
②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.
③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.
（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，
故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1
316362
S =
+-=.。