2019年四川省自贡市中考数学试卷以及解析版
2019年四川省自贡市中考真题数学试题(解析版)
2019年四川省自贡市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2019年自贡）﹣2019的倒数是（ ）A ．﹣2019B ．﹣12019C ．12019D ．20192．（2019年自贡）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（ ） A ．2.3×104 B ．23×103 C ．2.3×103 D ．0.23×105 3．（2019年自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2019年自贡）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ ） A ．甲的成绩比乙的成绩稳定 B ．乙的成绩比甲的成绩稳定 C ．甲、乙两人的成绩一样稳定 D ．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5．（2019年自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2019年自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．（2019年自贡）实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．|m |＜1B ．1﹣m ＞1C ．mn ＞0D ．m +1＞0 8．（2019年自贡）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．m ≥1 C ．m ≤1 D ．m ＞1 9．（2019年自贡）一次函数y ＝ax +b 与反比列函数y ＝xc的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A. B. C.D ．10．（2019年自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2019年自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ） A ．54 B ．43 C ．32 D ．2112．（2019年自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x ＝﹣5和x 轴上的动点，CF ＝10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ） A ．178 B ．177 C ．94 D ．95 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（2019年自贡）如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1＝120°，则∠2＝ ． 14．（2019年自贡）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 分． 15．（2019年自贡）分解因式：2x 2﹣2y 2＝ ． 16．（2019年自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ． 17．（2019年自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE ＝ ．18．（2019年自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．三、解答題（共8个题，共78分）19．（2019年自贡）计算：|﹣3|﹣4sin45°+8+（π﹣3）020．（8分）（2019年自贡）解方程：121=--xx x ． 21．（2019年自贡）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD 、BC ．求证：（1）»»=AD BC ；（2）AE ＝CE ．22．（2019自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据：成绩x （单位：分）频数（人数）60≤x ＜70 1 70≤x ＜80 80≤x ＜90 17 90≤x ＜100（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 ．23．（2019年自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．24．（2019年自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．25．（2019年自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．26．（2019年自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝174的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省自贡市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2019年自贡）﹣2019的倒数是（）A．﹣2019 B．﹣12019C．12019D．2019{答案}B{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－2019×(－12019)＝1，因此本题选B．2．（2019年自贡）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）A．2.3×104B．23×103C．2.3×103D．0.23×105{答案}D{解析}本题考查了科学记数法，23000＝2.3×104，因此本题选A．3．（2019年自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形是指沿图形内某直线折叠直线两旁的部分能完全重合的图形，能确定出对称轴的图形为轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，除了直接观察判断外，还可采用折叠法判断，只有选项A、D符合要求，又因为选项A不是中心对称图形，因此本题选D．4．（2019年自贡）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定{答案}B{解析}本题考查的是平均数和方差.平均数反映的是一组数据的集中程度，方差反映的是一组数据的离散程度.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，稳定性较差；根据方差的意义可得选项B是正确的．5．（2019年自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．{答案}C{解析}本题考查了由几何体的俯视图的概念，根据俯视图概念，从上面观察可得到一个实线矩形环组成的，故应选C ． 6．（2019年自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 {答案}C{解析}本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；设第三边为x ，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9． 7．（2019年自贡）实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．|m |＜1B ．1﹣m ＞1C ．mn ＞0D ．m +1＞0 {答案}B{解析}本题考查了实数的大小比较，利用数轴得m ＜0＜1＜n ，所以﹣m ＞0，1﹣m ＞1，mn ＜0，m +1＜0．故应选B. 8．（2019年自贡）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．m ≥1 C ．m ≤1 D ．m ＞1 {答案}D{解析}本题考考查了一元二次方程根的判别式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m ＜0，然后解不等式得m ＞1．故选D ．9．（2019年自贡）一次函数y ＝ax +b 与反比列函数y ＝xc的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A. B. C.D ．{答案}A{解析}本题考查了二次函数与一次函数、反比例函数的结合，根据一次函数y 1＝ax +c 图象过第一、二、四象限可得a ＜0，b ＞0，因为﹣ab2＞0，所以二次函数y 3＝ax 2+bx +c 开口向下，二次函数y 3＝ax 2+bx +c 对称轴在y 轴右侧；因为反比例函数y 2＝xc的图象在第一、三象限，所以c ＞0，即与y轴交点在x 轴上方．故应选A ． 10．（2019年自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）A ．B ．C ．D ．{答案}D{解析}本题考查了函数的图象，由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选D ． 11．（2019年自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）A ．54 B ．43C ．32 D ．21 {答案}C{解析}本题考查了圆的有关计算，连接AC ，设正方形的边长为a ，根据正方形的性质得到∠B ＝90°，根据圆周角定理得到AC 为圆的直径为a 2，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算可得正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为2222a π⨯（）＝π2≈32，选C ．12．（2019年自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x ＝﹣5和x 轴上的动点，CF ＝10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A ．178 B ．177 C ．94 D ．95{答案}B{解析}本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，如图，设直线x ＝﹣5交x 轴于K ．由题意KD ＝21CF ＝5，∴点D 的运动轨迹是以K 为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD 与⊙K 相切时，△ABE 的面积最小， ∵AD 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥KD ， ∵AK ＝13，DK ＝5，∴AD ＝12，∵tan ∠EAO ＝OA OE ＝AD DK ，∴1258=OE ， ∴OE ＝310，∴AE ＝32622=+OA OE ，作EH ⊥AB 于H ．∵S △ABE ＝21•AB •EH ＝S △AOB ﹣S △AOE ，∴EH ＝327，∴AH ＝321722=-EH AE ， ∴tan ∠BAD ＝AH EH ＝3217722＝177．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（2019年自贡）如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1＝120°，则∠2＝ ．{答案}60°{解析}本题考查了平行线的性质，先利用平角的定义结合平行线的性质得出∠2＝60°． 14．（2019年自贡）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 分． {答案}90{解析}根据众数的定义求解可得这组数据的众数是90分． 15．（2019年自贡）分解因式：2x 2﹣2y 2＝ ． {答案}2（x +y ）（x ﹣y ）{解析}先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解，即2x 2﹣2y 2＝2（x 2﹣y 2）＝2（x +y ）（x ﹣y ）． 16．（2019年自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ． {答案}⎩⎨⎧=+=-46654,4y x y x{解析}本题考查了列二元一次方程组解应用题，解答时首先要找出等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元，②篮球的单价﹣足球的单价＝4元，根据等量关系列出方程组⎩⎨⎧=+=-46654,4y x y x ．17．（2019年自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE ＝ ．{答案}559 {解析}本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，由CD ∥AB ，∠D ＝∠ABE ，∠D ＝∠CBE ，所以CD ＝BC ＝6，再证明△AEB ∽△CED ，根据相似比求出DE 的长为559． 18．（2019年自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．{答案}721 {解析}本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质，给图中各点标上字母，连接DE ，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形ADE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝3a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）=ADDE=721．三、解答題（共8个题，共78分）19．（2019年自贡）计算：|﹣3|﹣4sin45°+8+（π﹣3）0{解析}本题考查了实数的运算．先分别计算平方、零指数幂，与化简绝对值、二次根数，特殊角的锐角三角函数值，最后进行加减运算得最简结果． {答案}解：原式＝3﹣4×22+22+1＝3﹣22+22+1＝4． 20．（8分）（2019年自贡）解方程：121=--xx x ． {解析}本题考查了分式方程的解法，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．{答案}解：去分母得：x 2﹣2x +2＝x 2﹣x ， 解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，方程左右两边相等， 所以x ＝2是原方程的解． 21．（2019年自贡）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD 、BC ．求证：（1）»»=AD BC ；（2）AE ＝CE ．{解析}本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，（1）由AB ＝CD 知»»=AB CD ，利用等式的性质可证；（2）由»»=AD BC 知AD ＝BC ，结合∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE 可证△ADE ≌△CBE ，从而得出答案．{答案}证明（1）∵AB ＝CD ，∴»»=AB CD ，即»»»»+=AD AC BC AC ， ∴»»=AD BC ； （2）∵»»=AD BC ， ∴AD ＝BC ，又∵∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ， ∴△ADE ≌△CBE （ASA ）， ∴AE ＝CE ． 22．（2019年自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据：成绩x （单位：分）频数（人数）60≤x ＜70 1 70≤x ＜80 80≤x ＜90 17 90≤x ＜100（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 ． {解析}本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法求概率，（1）由已知数据计数即可得； （2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得． {答案}解：（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×1030＝120（人）； （3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A 、B 、C 、D ， 画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6， 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为12， 23．（2019年自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝（m ≠0）的图象相交于第一、象限内的A （3，5），B （a ，﹣3）两点，与x 轴交于点C ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB ﹣PC 最大，求PB ﹣PC 的最大值及点P 的坐标； （3）直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围．{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y 1＝x +2，求得与y 轴的交点P ，此交点即为所求；（3）根据AB 两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x 的取值范围． {答案}解：（1）把A （3，5）代入y 2＝mx（m ≠0），可得m ＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为y 2＝15x； 把点B （a ，﹣3）代入，可得a ＝﹣5， ∴B （﹣5，﹣3）．把A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入y 1＝kx +b ，可得35,53k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,2k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y 1＝x +2；（2）一次函数的解析式为y 1＝x +2，令x ＝0，则y ＝2， ∴一次函数与y 轴的交点为P （0，2）， 此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求， 令y ＝0，则x ＝﹣2， ∴C （﹣2，0）， ∴BC ＝22(52)332-++=． （3）当y 1＞y 2时，﹣5＜x ＜0或x ＞3．24．（2019年自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S ＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S ＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S ﹣S ＝S ＝22019﹣1∴S ＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ ； （2）3+32+…+310＝ ；（3）求1+a +a 2+…+a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）． {解析}本题考查了规律型探究题，（1）利用题中的方法设S ＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S ＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S 即可；（2）利用题中的方法设S ＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S ＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S 即可； （3）利用（2）的方法计算．{答案}解：（1）210﹣1（2）1133 2-；（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②﹣①得：（a﹣1）S＝a n+1﹣1，a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝111naa+--，即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝111naa+--.25．（2019年自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．{解析}此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．{答案}解：（1）①DB＝DG；②BF+BE2BD，理由如下：由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE＝FG，∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，∴CD ＝CG ＝CB ， ∵DG ＝BD ＝2BC ， 即BF +BE ＝2BC ＝2BD ； （2）①如图2，BF +BE ＝3BD ，理由如下：在菱形ABCD 中，∠ADB ＝∠CDB ＝12∠ADC ＝12×60°＝30°， 由旋转120°得∠EDF ＝∠BDG ＝120°，∠EDB ＝∠FDG ，在△DBG 中，∠G ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBG ＝∠G ＝30°， ∴DB ＝DG ，∴△EDB ≌△FDG （ASA ）， ∴BE ＝FG ，∴BF +BE ＝BF +FG ＝BG ，过点D 作DM ⊥BG 于点M ，如图2，∵BD ＝DG ， ∴BG ＝2BM ，在Rt △BMD 中，∠DBM ＝30°， ∴BD ＝2DM ．设DM ＝a ，则BD ＝2a ， DM 3a ， ∴BG ＝3a ， ∴233BD BG a == ∴BG 3BD ， ∴BF +BE ＝BG 3BD ；②过点A 作AN ⊥BD 于N ，过D 作DP ⊥BG 于P ，如图3，Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，∴AN＝1，BN＝3，∴BD＝2BN＝23，∵DC∥BE，∴21 CD CMBE BM==，∵CM+BM＝2，∴BM＝23，Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝23，∴BP＝3，由旋转得：BD＝BF，∴BF＝2BP＝6，∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣23＝193．26．（2019年自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝174的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．{解析}（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝174的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝174的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．{答案}解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得10, 443 a ca c-+=⎧⎨++=⎩解得a＝﹣1，c＝3，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得0, 23k bk b-+=⎧⎨+=⎩解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣12）2+94，根据二次函数的性质可知，当a＝12时，MK有最大长度94，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝12MK•AH+12MK•（x B﹣x H）＝12MK•（x B﹣x A）＝12×94×3＝278，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×278＝274，M（12，154）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y＝174的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝174的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则BF＝BN＝174﹣3＝54，CF＝CH＝174，由题意可列：222225(21)(3)()417(31)4aa⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得，a＝154，∴F（1，154）．。
2019四川省自贡中考数学(Word版,含答案)
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 一.选择题（每小题4分，共48分） 1.-2019的倒数是（ B ） A.-2019 B.20191-C.20191 D.2019 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ） A.4103.2⨯ B.31023⨯ C.3103.2⨯ D.51023.0⨯ 3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ） A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ） A.7 B.8 C.9 D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ） A.|m |＜1 B.1-m ＞1 C.mn ＞0 D.m +1＞08.关于x 的一元二次方程022=+-m x x ，无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ） A.1<m B.1≥m C.1≤m D.1>m 9.一次函数y=ax+b 与反比例函数xcy =的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A.54 B.43 C.32 D.2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线5-=x 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当★ABE 面积取最小值时，tan★BAD 的值是（ B ） A.178 B.177 C.94 D.95第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ★CD ，★1=120°，则★2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分 15.分解因式=-2222y x ))((2y x y x -+ .16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ⎩⎨⎧=-=+446654y x y x17.如图，在Rt ★ABC 中，★ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ★AB ，★ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE =559 .18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，★α，★β如图所示，则cos （α+β）=721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：x x x x -=+-2222，.2=∴x 经检验2=x 是原方程的解.21.（本题满分8分）如图，★O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.求证：（1）»»AD BC=；（2）AE=CE；证明：（1）如图，连接AC.★AB=CD，★»»AB CD=，★»»»»AB AC CD AC-=-，即»»AD BC=（2）★»»AD BC=，★★ACD=★BAC，★AE=CE22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）将图中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：1203603010=⨯÷（人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是 . 答案：2123. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xmy 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围答案：（1）把A （3,5）代入x m y =2得15=m ，∴反比例函数的解析式为xy 15= 把B （a ，-3）代入xy 15=得5)3(15-=-÷=a ；∴B （-5，-3） 把A （3,5），B （-5，-3）代入b kx y +=1得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解之得⎩⎨⎧==21b k∴一次函数的解析式为2+=x y（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=52，PC=22，∴PB -PC 的最大值为32（3）当21y y >时，x 的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞324.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算20182017222221+++++Λ的值，采用以下方法：设=S 20182017222221+++++Λ★ 则=S 220192018222221+++++Λ★★-★得1222019-==-S S S★12222212019201820172-=+++++=ΛS请仿照小明的方法解决以下问题： （1）+++9221Λ 1210- ；（2）=+++102333Λ 23311- ；（3）求na a a ++++Λ21的和（0>a ，n 是正整数，请写出计算过程）.解：设na a a S ++++=Λ21①则132+++++=n aa a a aS Λ②②-①得11-=-+n aS aS∴11112--=++++=+a a a a a S n nΛ25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将★BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ★线段DB 和DG 之间的数量关系是 DB=DG ； ★写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BD BF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，★ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将★BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .★如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；★如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3 （2）①BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF -∠BDF=∠BDG -∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG -∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=a 3.∴BG=a 32，∴3232==aaBD BG ∴BF+BE=3BD.②GM 的长度为319.理由：∵1==BE GF ，FC=2DC=4，CM=32BC=34，∴GM=31926.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线c x ax y C ++=2:2相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点. （1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a 解之得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：1+=x y ，如图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设)32,(2++-m m m M ，则)1,(+m m N ，（-1＜m ＜2） ∴22++-=-=m m y y MN N M ，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =MN x x A B )(21- ∴S △ABM =827)21(233)2(2122+--=⨯++-m m m ，∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41，设),1(n F 设)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG.则 PG=452)32(41722+-=++--x x x x ，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=41，即顶点D 到直线417=y 的距离为41 ∴PF=DF=41，∴)415,1(F ，∵PG=PF ，∴22PF PG =， ∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF 222)452(+-=x x PG∴222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22)452(+-=x x 整理化简可得00=x ，∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG=PF。
【中考真题】2019年四川省自贡市中考数学真题试卷(附答案)
10．D
【解析】
【分析】
由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【详解】
根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;
详解：∵方程 有两个不相同的实数根，
∴
解得：m＜1．
故选D．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=- ，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
A． B． C． D．
3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
4．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
5．下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）
A． B． C． D．
6．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）
A．7B．8C．9D．10
7．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）
2019年四川省自贡市中考数学试卷及答案解析
四川省自贡市2019年毕业生学业考试数学一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2019-的倒数是( )A.2019- B.12019- C.12019D.20192.近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23 000公里,将23 000用科学记数法表示应为( )A.42.310⨯ B.32310⨯ C.32.310⨯ D.50.2310⨯3.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩的方差是3,下列说法正确的是( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是( )A B C D6.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为( )A.7B.8C.9D.107.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是( )A.||1m＜ B.11m-＞C.0mn＞ D.10m+＞8.关于x的一元二次方程220x x m-+=无实数根,则实数m的取值范围是( )A.1m＜ B.1m≥ C.1m≤ D.1m＞9.如一次函数y ax b=+与反比例函数cyx=的图象如图所示,则二次函数2y ax bx c=++的大致图象是( )A B C D10.均匀的向一个容器内注水,在注水过程中,水面高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列中的( )A B C D11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可以近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近( )-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________A.45B.34C.23D.1212.如图,已知A B、两点的坐标分别为(8,0),(0,8)点C F、分别是直线5x=-和x轴上的动点,10CF=,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E；当ABE△面积取得最小值时,tan BAD∠的值是( )A.817B.717C.49D.59二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上)13.如图,直线AB CD、被直线EF所截,AB CD∥,1120∠=o；则2∠=.14.在一次12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是.15.分解因式：2222x y-=.16.某活动小组购买4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为.17.如图,在Rt ABC△中,90ACB∠=o,10AB=,6BC=,CD AB∥,ABC∠的平分线BD交AC于E,DE=.18.如图,由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,αβ∠∠、如图所示,则cos()αβ+=.三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分8分)计算：0|3|4sin458(π3)--++-o.20.(本小题满分8分)解方程：211xx x-=-.21.(本小题满分8分)如图,Oe中,弦AB与CD相交于点E,AB CD=,连接AD BC、.求证：(1)»»AD BC=；(2)AE CE=.22.(本小题满分8分)某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了竞赛. 收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位：分)： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9786848779858982(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学,根据上表统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是 .23.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2(0)my m x=≠的图象相交于第一、三象限内的(3,5),(,3)A B a -两点,与x 轴交于点C .(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上找一点P 使PB PC -最大,求PB PC -的最大值及点P 的坐标； (3)直接写出当12y y ＞时,x 的取值范围.24.(本小题满分10分)阅读下列材料：小明为了计算22017201812222+++++L 的值,采用以下方法： 设22017201812222S =+++++L ① 则22018201922222S =++++L②-②①得2019221S S -=-∴22017201820191222221S =+++++=-L-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________(1)291222++++=L ； (2)210333+=++L ；(3)求21n a a a ++++L 的和(0a >,n 是正整数,请写出计算过程).25.(本小题满分12分)⑴如图1,E 是正方形ABCD 边AB 上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90o ,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.(2)当四边形ABCD 为菱形,60ADC ∠=o ,点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120o,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2,点E 在线段上时,请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系,写出结论并给出证明；②如图3,点E 在线段AB 的延长线上时,DE 交射线BC 于点M ；若1,2BE AB ==,直接写出线段GM 的长度.图1图2图326.(本小题满分14分)如图,已知直线AB 与抛物线C ：22y ax x c =++相交于(1,0)A -和点(2,3)B 两点. (1)求抛物线C 的函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点,以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时,求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离,若存在,求出定点F 的坐标；若不存在,请说明理由.四川省自贡市2019年毕业生学业考试数学答案解析一、选择题2.【答案】A【解析】把一个数A 记成10n a ⨯的形式(其中a 是整数为1位的数,n 恰好为原数的整数的位数减1).就为科学记数法,423000 2.310=⨯.故选A. 【考点】科学记数法. 3.【答案】D【解析】轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形,只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合,中心对称图形是绕着一个点旋转180o 后与自身重合,D 选项符合这一特点.故选D. 【考点】轴对称图形,中心对称图形. 4.【答案】B【解析】在同样条件下,样本数据的方差越大,波动越大；方差越小,波动越小,B 选项符合这一性质.故选B. 【考点】方差的性质. 5.【答案】C【解析】几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线；C 符合这一要求.故选C. 【考点】三视图之俯视图. 6.【答案】C【解析】三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；所以41-＜第三边41+＜,即3＜第三边5＜；第三边取整数为4,4419++=.故选C. 【考点】三角形三边之间的关系. 7.【答案】B 【解析】∵0m ＜∴11m -＞；也可以用“赋值法”代入计算判断.故选B. 【考点】数轴上点的坐标的意义,实数的运算. 8.【答案】D【解析】∵原一元二次方程无实数根,∴2(2)410m ∆=--⨯⨯＜,解得1m ＞；故选D. 【考点】一元二次方程跟的判别式,解不等式. 9.【答案】A【解析】根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知0a ＜,0b ＞,0c ＞,所以对于二次函数2y ax bx c =++的图象的抛物线开口向下,对称轴直线02bx a=-＞(即抛物线的对称轴在y 的右侧),与y 轴的正半轴,A 符合这一特征；故选A.【考点】一次函数,二次函数以及反比例函数的图象及其性质. 10.【答案】D【解析】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度(即斜率)可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢；故选D. 【考点】函数图象及其性质的实际应用. 11.【答案】C【解析】连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的边长为a ,则正方形的面积为2a ；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角线长为=,则圆的半径为2,所以圆的面积为221ππ2a ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭,所以它们的面积之比为2220.63661ππ2a a =≈,与C 的近似值比较接近；故选C.【考点】正方形和圆的有关性质和面积计算.12.【答案】B【解析】见后面的示意图.根据题中“点C F 、分别是直线5x =-和x 轴上的动点,10CF =”可以得到线段CF 的中点D 的运动“轨迹”是以点M 为圆心5半径的圆,当D 运动到x 轴上方的圆上D '处恰好使AD '圆相切于D '时,此时的图中的1∠最大,则BAD '∠最小,此时ABE △面积最小. 在Rt MD A '△中,由坐标等可求13AM =,5MD '=,12AD '=.根据题意和圆的切线的性质容易证明AOE AD M ':△△,∴OE AO MD AD ='',即8512OE =解得：103OE =,∴1014833BE =-=.∵A B 、两点的坐标分别为(8,0)(0,8),且90AOB ∠=o ,∴AB =；过点EN AB ⊥于N ,容易证明ENB △是等腰直角三角形∴143NE NB ==∴AN AB NB =-==在Rt ANE △中,7tan 17NE BAD AE ∠===.故选B.【考点】直角三角形,等腰三角形,相似三角形,圆的有关性质,勾股定理,三角函数等. 二.填空题13.【答案】60o【解析】∵AB CD ∥ ∴13120∠=∠=o ∵23180∠+∠=o ∴218012060∠=-=o o o 故应填：60o .【考点】平行线的性质,邻补角的定义. 14.【答案】90【解析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据,90分的有4人,次数最多,故应填：90.【考点】众数的定义. 15.【答案】2()()x y x y +-【解析】先提取公因式,再利用平方差公式分解.即2222222()2()()x y x y x y x y -=-=+-.【考点】提公因式,公式法分解因式.16.【答案】454664x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】本题抓住两个等量关系列方程组：其一、4个篮球的费用5+个足球的费用466=元；其二、篮球的单价-足球的单价=4元.故应填：454664x y x y +=⎧⎨-=⎩.【考点】列方程组解应用题. 17.【解析】在Rt ABC △中求出8AC == ∵BD 是ABC ∠的平分线∴12∠=∠ ∵CD AB ∥∴1D ∠=∠∴2D ∠=∠∴6CD BC == ∵CD AB ∥∴ABE CDE :△△∴63105CE DE CD AE BE AB ==== ∴3383358CE AC ==⨯=+ 又在Rt BCE △中BE ==∴3355DE BE ==⨯【考点】勾股定理,相似三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的定义.18.【解析】根据正三角形可菱形的性质求出1230α∠=∠=∠=o ,360∠=o ∴2390ACB ∠=∠+∠=o ；设正三角形的边长为a ,则2AC a =,利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC =在Rt ACB △中,AB =∴cos BC ABC AB ∠===cos()αβ+=,【考点】正三角形,菱形的性质,勾股定理,三角函数,整体思想. 三、解答题19.【答案】原式341=-31=-4=【解析】原式341=-+31=-4=【考点】实数的运算,特殊锐角三角函数值,次幂,绝对值,二次根式的化简. 20.【答案】22(1)(1)x x x x --=-2222x x x x -+=- 2x =当2x =时,代入(1)0x x -≠所以原方程的解为2x =.【解析】22(1)(1)x x x x --=-2222x x x x -+=- 2x =当2x =时,代入(1)0x x -≠所以原方程的解为2x =.【考点】去分母法解分式方程,解一元一次方程. 21.【答案】(1)连接AC∵AB CD =∴»»AB CD = ∴»»»»AB AC CD AC -=-即»»AD BC = (2)∵»»AD BC = ∴ACD BAC ∠=∠ ∴AE CE =【解析】(1)连接AC∵AB CD =∴»»AB CD = ∴»»»»AB AC CD AC -=-即»»AD BC = (2)∵»»AD BC = ∴ACD BAC ∠=∠ ∴AE CE =【考点】圆的等对等关系,圆周角定理的推论,等腰三角形的判定.22.【答案】(1)图表：(2)36012030⨯=(人).答：初一年级360人中,约有120人将获得表彰. (3)树状图分析图：共有12种情况,其中恰好有恐龙图案的是6种.故P (恐龙图案)61122==故应填：12.(2)1036012030⨯=(人). 答：初一年级360人中,约有120人将获得表彰. (3)树状图分析图：共有12种情况,其中恰好有恐龙图案的是6种.故P (恐龙图案)61122==故应填：12.【考点】频数分布表和频数分布直方图,样本估计总体,概率. 23.【答案】(1)∵(3,5)A 在反比例函数2(0)my m x=≠上 ∴3515m =⨯=∴反比例函数的解析式为15y x= 把(,3)B a -代入15y x=可求得15(3)5a =÷-=- ∴(5,3)B --.把(3,5)A ,(5,3)B --,代入y kx b =+为3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得12k b=⎧⎨=⎩.∴一次函数的解析式为2y x =+.(2)PBPC -的最大值就是直线AB 与两坐标轴交点间的距离. 设直线2y x =+与y 轴的交点为P .令0y =,则20x+=,解得2x=-,∴(2,0)C - 令0x =,则022y =+=,,∴(0,2)P∴PB =,PB ==∴PB PC -的最大值为(3)根据图象的位置和图象交点的坐标可知： 当12y y ＞时x 的取值范围为；50x -＜＜或3x ＞.【解析】(1)∵(3,5)A 在反比例函数2(0)my m x=≠上 ∴3515m =⨯=∴反比例函数的解析式为15y x= 把(,3)B a -代入15y x=可求得15(3)5a =÷-=- ∴(5,3)B --.把(3,5)A ,(5,3)B --,代入y kx b =+为3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得12k b =⎧⎨=⎩.∴一次函数的解析式为2y x =+.(2)PB PC -的最大值就是直线AB 与两坐标轴交点间的距离. 设直线2y x =+与y 轴的交点为P .令0y =,则20x +=,解得2x =-,∴(2,0)C - 令0x =,则022y =+=,,∴(0,2)P∴PB ==,PB =∴PB PC -的最大值为=(3)根据图象的位置和图象交点的坐标可知： 当12y y ＞时x 的取值范围为；50x -＜＜或3x ＞.【考点】待定系数法求解析式,最值,勾股定理,利用函数图象确定自变量的取值范围. 24.【答案】(1)1021-.(2)11312-.(3)设21n S a a a =++++L ① 则231n aS a a a a +=++++L ② -②①得1(1)1n aS S a S a +-=-=-∴12111n na S a a a a +-=++++=-L .【解析】(1)设291222S =++++L ① 则2102222S =+++L ② -②①得10221S S -=-∴2910122221S =++++=-L ；故应填：1021-. (2)设210333S =+++L ① 则2113333S =+++L ② -②①得11331S S S -==-∴11210313332S -=+++=L ；故应填：11312-.(3)设21n S a a a =++++L ① 则231n aS a a a a +=++++L ② -②①得1(1)1n aS S a S a +-=-=-∴12111n na S a a a a +-=++++=-L .【考点】规律型探究,数式变形,整体思想,实数的运算. 25.【答案】(1)①DB DG =②根据旋转的特征可知DEB DFG ≌△△∴BE FG =∴BE BF GF BF BG +=+=. 容易证明BDG △是等腰直角三角形,利用勾股定理或三角函数可以求出BG ,即BE BF +. (2)①BE BF +=. 理由如下：∵四边形ABCD 菱形∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=o由旋转120o 可得：120EDF BDG ∠=∠=o∴EDF BDF BDG BDF ∠-∠=∠-即FDG BDE ∠=∠ 在DBG △中,18030G BDG DBG ∠=-∠-∠=o o ∴30DBG G ∠=∠=o ∴BD DG =∴(ASA)BDE GDF △△≌∴BE GF =∴BE BF BF GF BG +=+= 如图所示：过点D 作DH BG ⊥点H∵BD DG =∴2BG BH = 在Rt BHD △中30DBM ∠=o ∴2BD DH =设DH m =,则2,BD m BH =∴BG =∴BG BD=∴BF BE +.②GM 的长度为193.理由： 根据旋转的特征容易证明DEB DFG ≌△△∴1FG BE ==；同时利用菱形的性质和旋转的特征并结合条件中的“60ADC ∠=o ,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120o ”可以推出90CDF ∠=o ,30GFD ∠=o ∴224CF CD AB ===；由菱形可得出DC AE ∥∴BEM CDM ≌△△∴12BM BE CM CD ==∴2433CM BC ==∴4191433GM GF CF CM =++=++=.【解析】(1)①根据旋转的特征直接可以得出DB DG =.故应填：DB DG =； ②根据旋转的特征可知DEB DFG ≌△△∴BE FG =∴BE BF GF BF BG +=+=.容易证明BDG △是等腰直角三角形,利用勾股定理或三角函数可以求出BG =,即BE BF+=.(2)①BE BF +=.理由如下：∵四边形ABCD 菱形 ∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=o由旋转120o 可得：120EDF BDG ∠=∠=o∴EDF BDF BDG BDF ∠-∠=∠-即FDG BDE ∠=∠在DBG △中,18030G BDG DBG ∠=-∠-∠=o o ∴30DBG G ∠=∠=o ∴BD DG =∴(ASA)BDE GDF △△≌∴BE GF =∴BE BF BF GF BG +=+=如图所示：过点D 作DH BG ⊥点H∵BD DG =∴2BG BH = 在Rt BHD △中30DBM ∠=o ∴2BD DH =设DH m =,则2,BD m BH==∴BG=∴BG BD== ∴BF BE +=. ②GM 的长度为193.理由： 根据旋转的特征容易证明DEB DFG ≌△△∴1FG BE ==；同时利用菱形的性质和旋转的特征并结合条件中的“60ADC ∠=o ,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120o ”可以推出90CDF ∠=o ,30GFD ∠=o ∴224CF CD AB ===； 由菱形可得出DC AE ∥∴BEM CDM ≌△△∴12BM BE CM CD ==∴2433CM BC ==∴4191433GM GF CF CM =++=++=.【考点】旋转的特征,正方形以及菱形的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,等腰三角形以及直角三角形的性质,勾股定理. 26.【答案】(1)∵(1,0)A -和点(2,3)B 两点在抛物线22y ax x c =++上 ∴20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩解得13a c =-⎧⎨=⎩∴抛物线C 的表达式为：223y x x =-++(2)设直线AB 的解析式为y kx b =+ ∵(1,0)A -和点(2,3)B 在直线AB 上∴023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得11k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为1y x =+如图所示,过M 作MN x ⊥轴交AB 于N设2(,23)M a a a -++,则(,1)(12)N a a a +-＜＜∴22(23)(1)2M N MN y y a a a a a =-=-++-+=-++,∴1()2B A ABM AMN BMN S S S x x MN =+=-g △△△∴22131273(2)2228ABM S a a a ⎛⎫=⨯⨯-++=--+ ⎪⎝⎭△∴当12a =,ABM △的面积有最大值278∴2724MANB ABM S S ==W △,此时17,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.(3)存在.151,4F ⎛⎫⎪⎝⎭.理由如下：令抛物线顶点为D ,则(1,4)D ；则顶点D 到直线174y =的距离为14； 设(1,)F m ,再设2(,23)P x x x -++ 设P 到直线174y =的距离为PG ,则22175(23)244PG x x x x =--+==-+ ∵P 为抛物线上任意一点都有PG PF = ∴当P 与顶点D 重合时,也有PG PF =；则14PG =,即顶点D 到直线174y =的距离为14. ∴14PF DF ==,此时115444m =-= ∴151,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵PG PF =∴22PG PF =∵2222222153(1)23(1)244PF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,222524PG x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴2222235(1)2244x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理化简可得0x =∴当151,4F ⎛⎫⎪⎝⎭时,无论x 取任何实数,均有PG PF =.【解析】(1)∵(1,0)A -和点(2,3)B 两点在抛物线22y ax x c =++上∴20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩解得13a c =-⎧⎨=⎩∴抛物线C 的表达式为：223y x x =-++(2)设直线AB 的解析式为y kx b =+∵(1,0)A -和点(2,3)B 在直线AB 上∴023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得11k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为1y x =+如图所示,过M 作MN x ⊥轴交AB 于N设2(,23)M a a a -++,则(,1)(12)N a a a +-＜＜∴22(23)(1)2M N MN y y a a a a a =-=-++-+=-++, ∴1()2B A ABM AMN BMN S S S x x MN =+=-g △△△∴22131273(2)2228ABM S a a a ⎛⎫=⨯⨯-++=--+ ⎪⎝⎭△∴当12a =,ABM △的面积有最大值278∴2724MANB ABM S S ==W △,此时17,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.(3)存在.151,4F ⎛⎫⎪⎝⎭.理由如下：令抛物线顶点为D ,则(1,4)D ；则顶点D 到直线174y =的距离为14； 设(1,)F m ,再设2(,23)P x x x -++设P 到直线174y =的距离为PG ,则22175(23)244PG x x x x =--+==-+ ∵P 为抛物线上任意一点都有PG PF =∴当P 与顶点D 重合时,也有PG PF =；则14PG =,即顶点D 到直线174y =的距离为14. ∴14PF DF ==,此时115444m =-=∴151,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵PG PF =∴22PG PF =∵2222222153(1)23(1)244PF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,222524PG x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴2222235(1)2244x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理化简可得0x =∴当151,4F ⎛⎫⎪⎝⎭时,无论x 取任何实数,均有PG PF =.【考点】二次函数的图象及其性质,待定系数法,数学的建模思想,勾股定理,距离公式.。
2019年四川省自贡市中考数学试题及参考答案
四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学 试 卷本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用的条形码，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题 （共40分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动用橡皮擦擦干净，再选涂答案标号.一.选择题（共10个小题，每小题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.计算()--11的结果是（ ）A.2B.1C. 0D.-2 2.将.000025用科学记数法表示为 （ ）A..⨯42510B..-⨯402510C..⨯42510D.⨯42510 3.下列根式中，不是最简二次根式的是 （ ）A.10B.8C. 6D.2 4.多项式-2a 4a 分解因式，结果正确的是 （）A.()-a a 4B.()()+-a 2a 2C.()()+-a a 2a 2D.()--2a 245.如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ,,∠=∠=o o A 45AMD 75,则∠B 的 度数是 （ ） A.15° B.25° C. 30° D.75°6.--+=2a 1b 4b 40，则ab 的值等于 （ ）A.-2B.0C. 1D.2M BO DCA7.已知关于x 的一元二次方程()+--=2x 2x m 20有实数根，则m 的取值范围是（ ）A.>m 1B.<m 1C.≥m 1D.≤m 1 8. 下面是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视9.圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为 （ ）A.212cm πB.226cm πC.241cm πD.()244116cm π10.二次函数=++2y ax bx c 的图象如图，反比例函数=ay x与正比例函数=y bx 在同一 （第Ⅱ卷 非选择题 （共110分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题(共5个小题，每题4分，共20分)11. -x 1有意义，则x 的取值范围是 .12.若n 边形内角和为900°，则边数n = .13.一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机 选择一条路径，则它获取食物的概率是 .14.如图，Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠==o ，CAB 90BC 5,点 、A B 的坐标分别为()(),,、1040，将△ABC 沿x 轴向右平移，当C 在直线=-y 2x 6上时，线段BC 扫过区域面积为 .15.如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、A B C D 都在这些小12131A B C D x y O yO yOyOyO食物13题图xy BACO正方形的顶点上，、AB CD 相交于点P ,则APPB的值= ， ∠tan APD 的值 = .三、 解答题(共2个题，每小题8分，共16分)16.()-⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭oo 101sin6012cos 3031217.解不等式组-<⎧⎨+≥-⎩L L L L LL L Lx 122x 3x 1 请结合题意填空，完成本题解答：⑴.解不等式①，得： ； ⑵.解不等式②，得： ；⑶.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ⑷.不等式组的解集为： .四.解答题（(共2个题，每小题8分，共16分）18.某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品；若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，5支钢笔和1本笔记本共需90元，问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？19.某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区与抢险工作.如图，某探测队在地面、A B 两处均探测出建筑 物下方C 处有生命迹象，已知探测先与地面的夹角分别是25° 和60°，且=AB 4米，求该生命迹象所在的位置C 的深度（结果精确到1米，参考数据：≈≈≈≈o o o sin250.4,cos 250.9,tan250.5,3 1.7）五.解答题（(共2个题，每小题10分，共20分）20.我市开展“美丽自贡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动的情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： ⑴.将条形统计图补充完整；⑵.扇形图中“1.5小时”部分的圆心角是多少度？ ⑶.求抽查的学生劳动时间的众数、中位数.21. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD BA =, BE DC ⊥的延长线于点E . ⑴.求证：1BAD ∠=∠;⑵.求证：BE 是⊙O 的切线.PD CA15题图60°25°C A B 1812时人数301小时30%1.5小时2小时0.5小时1EBO CD六.解答题（本题12分）22. 如图，已知()(),,,A 4n B 24--是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=的图象的两个交点.⑴.求一次函数和反比例函数的解析式；⑵.观察图象，直接写出方程mkx b 0x +-=的解；⑶.求△AOB 的面积；⑷.观察图象，直接写出mkx b 0x+-<的解集.七.解答题（本题12分）23.已知矩形ABCD 中AD 8=,将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处. ⑴.如图①，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP OP OA 、、，若△OCP 与△PDA 的面积比为:14，求边CD 的长；⑵.如图②，在⑴的条件下擦去AO OP 、，连接BP ,动点M 在线段AP 上（点M 不与点P A 、 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =,连接MN 交PB 于F ,作ME BP ⊥于点E ,试问当M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律；若不变，求出线段EF 的长？八.解答题（本题14分） 24.抛物线()2y x 4ax b a 0=-++>与x 轴相交于O A 、两点（其中O 为坐标原点），过点(),P 22a 作直线PM x ⊥轴于点M ,交抛物线于点B ,点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (其中B C 、不重合)，连接AP 交y 轴于点N ,连接BC 和PC .⑴.3a 2=时，求抛物线的解析式和BC 的长；⑵.如图a 1>时，若AP PC ⊥,求a 的值；⑶.是否存在实数a ，使AP 1PN 2=,若存在，求 出a 的值；若不存在，请说明理E FC A B xyB A O P B A D FEN P B A D C M②xyNC MBAPO xyNCMBAPO 备用图。
中考复习专用：2019年自贡市中考数学试题(含考点分析及详细解答)
2019年自贡市中考数学试题全卷满分150分，时间120分钟 第一卷 选择题(共48分)一、选择题(本小题共12小题，每小题4分，共48分)1. -2019的倒数是( ) A .-2019 B .2019 C .20191 D .20191- 2. 近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在 中国高速铁路运营里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( ) A .2.3×104 B .23×103 C .2.3×103 D .0.23×105 3.)A.B.C. D.4. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩 方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( )A .甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定C .甲、乙两人的成绩一样稳定D .无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5. 下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是( )A.B. C. D.6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( ) A .7 B .8 C .9 D .107. 实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A .|m |＜1B .1-m ＞1C .mn ＞0D .m +1＞08. 关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0无实数根，则实数m 的取值范围是( ) A .m ＜1 B .m ≥1 C .m ≤1 D .m ＞19.一次函数y =ax +b 与反比例函数xcy =的图象如右图所示，则二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图象是( )A. B. C. D.10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如右图所示，则该容器是下列四个中的( )A B C Dm 0 1 n••••11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个 弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的 外接圆)，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( )A .54B .43C .32D .2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(8,0)，(0,8).点C 、F分别是直线x =-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF的中点，连接AD 交y 轴于点E.当△ABE 面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是( )A .178B .177C .94D .95第二卷 非选择题(共102二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分) 13.如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ， ∠1=120º，则∠2= .14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、 90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2， 那么这组数据的众数是 分.15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AB=10，BC=6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE= .16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元.其中篮球的单价比足球的单 价多4元，求篮球的单价和足球的单价，设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元.依题 意，可列方程组为 . 17. 分解因式：2x 2-2y 2= . 18. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， ∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= . 三、解答题(共8个题，共78分) 19. (本题满分8分)计算：0)3(845sin 43-++︒--π20.(本题满分8分)解方程：121=--xx x21.(本题满分8分)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD 、BC. 求证：(1)AD=BC ；(2)AE=CE.α β •D A BC OE某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机地取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下(单位：分)：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据：(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章.她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .23.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2=xm(m ≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)、B(a ，-3)两点，与x 轴交于点C. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上找一点P ，使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标； (3)直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围.24.(本题满分10分)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+...+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S=1+2+22+...+22017+22018 ① 则2S=2+22+23...+22018+22019 ② ②-①得2S -S=S=22019-1∴S=1+2+22+...+22017+22018=22019-1. 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+...+29= ； (2)3+32+33+...+310= ；(3)求1+a +a 2+...+a n (a ＞0,n 是正整数，请写出计算过程)成绩/分(1)如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE 、BF 和DB 之间的数量关系. (2)当四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60º，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M.若BE=1，AB=2，直接写出线段GM 的长度. 图1 图2 图326.(本题满分14分)如图，已知直线AB 与抛物线C ：c x ax y ++=22相交于点A(-1，0)和点B(2，3). (1)求抛物线C 的函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB.当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离？若存在，求出定点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
2019年自贡市数学中考试题含答案
12．D
解析：D 【解析】
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁 内角互补.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 ①点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，②点 P 在 BC 上时，根据同角的余角相 等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得 解． 【详解】 ①点 P 在 AB 上时，0≤x≤3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值 4； ②点 P 在 BC 上时，3＜x≤5，
故选 D． 【点睛】 此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
8．A
解析：A 【解析】 试题分析：根据只有符号不同的两数互为相反数，可知-2 的相反数为 2. 故选：A. 点睛：此题考查了相反数的意义，解题关键是明确相反数的概念，只有符号不同的两数互 为相反数，可直接求解.
9．A
要求提前 5 天交货，为按时完成订单，设每天就多做 x 套，则 x 应满足的方程为（ ）
A． 960 960 5 B． 960 5 960 C． 960 960 5
48 x 48
48
48 x 48 x
二、填空题
D． 960 960 5 48 48 x
13．如图，直线 a、b 被直线 l 所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．
当 8＜x＜9 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ）
A．27
B．9
C．﹣7
D．﹣16
5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则 cosB 的值为（ ）
四川省自贡市2019年中考数学试卷(word版,有答案)
2019年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣22．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4D．25×10﹣53．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B．C．D．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤18．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm210．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是．12．若n边形内角和为900°，则边数n=．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点P，则的值=，tan∠APD的值=．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：；（2）解不等式②，得：；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2019•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．七、解答题23．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M 与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．2019年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【考点】有理数的减法．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：1﹣（﹣1），=1+1，=2．故选A．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4 C．2.5×10﹣4D．25×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法解答即可．【解答】解：0.00025=2.5×10﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B．【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的和为零，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由+b2﹣4b+4=0，得a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出a、b的值是解题关键．7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1，故选C．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．【解答】解：主视图，如图所示：．故选：B．【点评】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图是从物体的正面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长= cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．由图象，得﹣＞0．由不等式的性质，得b＞0．a＜0，y=图象位于二四象限，b＞0，y=bx图象位于一三象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12．若n边形内角和为900°，则边数n=7．【考点】多边形内角与外角．【分析】由n边形的内角和为：180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=900，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：180（n﹣2）=900，解得：n=7．故答案为：7．【点评】此题考查了多边形内角和公式．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据树状图判断出蚂蚁一共有多少种路可以选择，有几种可能可以获取食物即可解决问题．【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．【点评】本题考查树状图、概率等知识，记住概率的定义是解决问题的关键，考虑问题要全面，属于中考常考题型．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16cm2．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．【解答】解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3．∵∠CAB=90°，BC=5，∴AC=4．∴A′C′=4．∵点C′在直线y=2x﹣6上，∴2x﹣6=4，解得x=5．即OA′=5．∴CC′=5﹣1=4．∴S▱BCC′B′=4×4=16 （cm2）．即线段BC扫过的面积为16cm2．故答案为16．【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点P，则的值=3，tan∠APD的值=2．【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．【专题】网格型．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，故答案为：3，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可．【解答】解：原式=2+1﹣+﹣1=2．【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住a﹣p=（a≠0），a0=1（a≠0），|a|=，属于中考常考题型．17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：x＜3；（2）解不等式②，得：x≥2；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：2≤x＜3．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：（1）不等式①，得x＜3；（2）不等式②，得x≥2；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，4）原不等式组的解集为2≤x＜3．故答案分别为：x＜3，x≥2，2≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2019•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC 中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；中位数．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果；（3）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可．【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：40%×360°=144°，则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．【点评】此题考查了众数，扇形统计图，条形统计图，以及中位数，弄清题中的数据是解本题的关键．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质．【分析】（1）把B （2，﹣4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（﹣4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；（3）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（4）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使kx+b ﹣＜0．【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得：．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）：∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2．（3）∵当x=0时，y=﹣2．∴点C（0，﹣2）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6；（4）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．七、解答题23．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M 与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB=，最后代入EF=PB即可得出线段EF 的长度不变【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【考点】二次函数的性质；轴对称的性质．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞0，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．。
2019四川省自贡中考数学(Word版,含答案)
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一.选择题（每小题4分，共48分）1.-2019的倒数是（ B ）A.-2019B.20191-C.20191 D.2019 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）A.4103.2⨯B.31023⨯C.3103.2⨯D.51023.0⨯3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）A.7B.8C.9D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）A.|m |＜1B.1-m ＞1C.mn ＞0D.m +1＞08.关于x 的一元二次方程022=+-m x x ，无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ）A.1<mB.1≥mC.1≤mD.1>m9.一次函数y=ax+b 与反比例函数xc y =的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A.54 B.43 C.32 D.2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线5-=x 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD 的值是（ B ） A.178 B.177 C.94 D.95第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=120°，则∠2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分15.分解因式=-2222y x ))((2y x y x -+.16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为⎩⎨⎧=-=+446654y x y x 17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE =559.18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos （α+β）=721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：x x x x -=+-2222，.2=∴x 经检验2=x 是原方程的解. 21.（本题满分8分）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD ，BC .求证：（1）»»AD BC =；（2）AE=CE ；证明：（1）如图，连接AC.∵AB=CD，∴»»AB CD=，∴»»»»AB AC CD AC-=-，即»»AD BC=（2）∵»»AD BC=，∴∠ACD=∠BAC，∴AE=CE22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）将图中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：1203603010=⨯÷（人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是 . 答案：21 23. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xm y 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两点，与x 轴交于点C . （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB-PC 最大，求PB-PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围答案：（1）把A （3,5）代入x m y =2得15=m ，∴反比例函数的解析式为xy 15= 把B （a ，-3）代入xy 15=得5)3(15-=-÷=a ；∴B （-5，-3） 把A （3,5），B （-5，-3）代入b kx y +=1得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解之得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为2+=x y（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=52，PC=22，∴PB-PC 的最大值为32（3）当21y y >时，x 的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞324.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算20182017222221+++++Λ的值，采用以下方法： 设=S 20182017222221+++++Λ①则=S 220192018222221+++++Λ② ②-①得1222019-==-S S S∴12222212019201820172-=+++++=ΛS请仿照小明的方法解决以下问题：（1）=+++9221Λ1210-； （2）=+++102333Λ23311-； （3）求na a a ++++Λ21的和（0>a ，n 是正整数，请写出计算过程）.解：设na a a S ++++=Λ21① 则132+++++=n a a a a aS Λ②②-①得11-=-+n a S aS ∴11112--=++++=+a a a a a S n nΛ25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①线段DB 和DG 之间的数量关系是DB=DG ；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BD BF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3（2）①BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=a 3.∴BG=a 32，∴3232==aa BD BG ∴BF+BE=3BD.②GM 的长度为319.理由：∵1==BE GF ，FC=2DC=4，CM=32BC=34，∴GM=319 26.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线c x ax y C ++=2:2相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a 解之得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：1+=x y ，如图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设)32,(2++-m m m M ，则)1,(+m m N ，（-1＜m ＜2） ∴22++-=-=m m y y MN N M ，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =MN x x A B )(21- ∴S △ABM =827)21(233)2(2122+--=⨯++-m m m ，∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41，设),1(n F 设)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG.则 PG=452)32(41722+-=++--x x x x ，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=41，即顶点D 到直线417=y 的距离为41 ∴PF=DF=41，∴)415,1(F ，∵PG=PF ，∴22PF PG =， ∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF 222)452(+-=x x PG ∴222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22)452(+-=x x 整理化简可得00=x ，∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG=PF。
2019年四川省自贡市中考数学试卷以及逐题解析版
2019年四川省自贡市中考数学试卷以及逐题解析一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）2019-的倒数是()A．2019-B．12019-C．12019D．20192．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( )A．42.310⨯B．32310⨯C．32.310⨯D．50.2310⨯3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是()A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是()A．B．C．D．6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )A ．7B ．8C ．9D ．107．（4分）实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．||1m <B ．11m ->C ．0mn >D ．10m +>8．（4分）关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．1m <B ．1m …C ．1m …D ．1m >9．（4分）一次函数y a x b =+与反比列函数c y x=的图象如图所示，则二次函数2y a x b x c =++的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )A．B．C．D．11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近()A．45B．34C．23D．1212．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C、F分别是直线5x=-和x轴上的动点，10CF=，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE∆面积取得最小值时，tan BAD∠的值是()A．817B．717C．49D．59二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，//AB CD，1120∠=︒，则2∠=．14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分．15．（4分）分解因式：2222x y -= ．16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，DE = ．18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，α∠、β∠如图所示，则cos()αβ+= ．三、解答題（共8个题，共78分）19．（8分）计算：0|3|4sin 45(3)π--︒+-20．（8分）解方程：211x x x-=-． 21．（8分）如图，O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD 、BC ． 求证：（1）AD BC =；（2）AE CE =．22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）:90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 ．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2(0)m y m x=≠的图象相交于第一、象限内的(3,5)A ，(,3)B a -两点，与x 轴交于点C ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB PC -最大，求PB PC -的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当12y y >时，x 的取值范围．24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算220172018+++⋯++的值，采用以下方法：12222设220172018S=+++⋯++①12222则220182019S=++⋯++②22222②-①得2019-==-221S S S2201720182019∴=+++⋯++=-1222221S请仿照小明的方法解决以下问题：（1）29+++⋯+=；1222（2）210++⋯+=；333（3）求2a>，n是正整数，请写出计算过程）．1n+++⋯+的和(0a a a25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将B D E∠绕点D逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，60∠=︒，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，ADC连接BD、DE，将B D E∠绕点D逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若1AB=，直BE=，2接写出线段GM的长度．26．（14分）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点(1,0)A -和点(2,3)B 两点．（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离？若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省自贡市中考数学试卷答案与解析一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）2019-的倒数是( )A ．2019-B ．12019-C ．12019D ．2019【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：2019-的倒数是12019-． 故选：B ．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( )A ．42.310⨯B ．32310⨯C ．32.310⨯D ．50.2310⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：423000 2.310=⨯，故选：A ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180︒后与原图重合．4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是()A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【分析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：乙的成绩方差<甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故选：B．【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是()A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．【解答】解：从上面观察可得到：．故选：C．【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【解答】解：设第三边为x ，根据三角形的三边关系，得：4141x -<<+，即35x <<， x 为整数，x ∴的值为4．三角形的周长为1449++=．故选：C ．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．7．（4分）实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．||1m <B ．11m ->C ．0mn >D ．10m +>【分析】利用数轴表示数的方法得到0m n <<，然后对各选项进行判断．【解答】解：利用数轴得01m n <<<，所以0m ->，11m ->，0mn <，10m +<．故选：B ．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．8．（4分）关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．1m <B ．1m …C ．1m …D ．1m >【分析】利用判别式的意义得到△2(2)40m =--<，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△2(2)40m =--<，解得1m >．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．9．（4分）一次函数y a x b =+与反比列函数c y x=的图象如图所示，则二次函数2y a x b x c =++的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a 、b 、c 的正负，再根据抛物线的对称轴为2b x a=-，找出二次函数对称轴在y 轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【解答】解：一次函数1y ax c =+图象过第一、二、四象限，0a ∴<，0b >，02b a∴->， ∴二次函数23y ax bx c =++开口向下，二次函数23y ax bx c =++对称轴在y 轴右侧； 反比例函数2c y x=的图象在第一、三象限， 0c ∴>， ∴与y 轴交点在x 轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A ．故选：A ．【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的()A．B．C．D．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近()A．45B．34C．23D．12【分析】连接AC，根据正方形的性质得到90B∠=︒，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC ，设正方形的边长为a ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，AC ∴为圆的直径，AC ∴==，2223π=≈， 故选：C ．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．12．（4分）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(8,0)、(0,8)，点C 、F 分别是直线5x =-和x 轴上的动点，10CF =，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当ABE ∆面积取得最小值时，tan BAD ∠的值是( )A ．817B ．717C ．49D ．59【分析】如图，设直线5x =交x 轴于K ．由题意152KD CF ==，推出点D 的运动轨迹是以K 为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD 与K 相切时，ABE ∆的面积最小，作EH AB ⊥于H ．求出EH ，AH 即可解决问题．【解答】解：如图，设直线5x =交x 轴于K ．由题意152KD CF ==，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与K相切时，ABE∆的面积最小，AD是切线，点D是切点，AD KD∴⊥，13AK =，5DK=，12AD∴=，tanOE DK EAOOA AD∠==，∴5 812 OE=，103 OE∴=，263AE∴=，作EH AB⊥于H．12ABE AOB AOES AB EHS S∆∆∆==-，EH∴=，AH∴=8tan17EHBADAH∴∠===，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，//AB CD，1120∠=︒，则2∠=60︒．【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：1120∠=︒，318012060∴∠=︒-︒=︒，//AB CD ，2360∴∠=∠=︒．故答案为：60︒．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出23∠=∠是解题关键．14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 90 分．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15．（4分）分解因式：2222x y -= 2()()x y x y +- ．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2222222()2()()x y x y x y x y -=-=+-．故答案为：2()()x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 445466x y x y -=⎧⎨+=⎩ ． 【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费5+个足球的花费466=元，②篮球的单价-足球的单价4=元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：445466x y x y -=⎧⎨+=⎩， 故答案为：445466x y x y -=⎧⎨+=⎩， 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．17．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，DE【分析】由//CD AB ，D ABE ∠=∠，D CBE ∠=∠，所以6CD BC ==，再证明AEB CED ∆∆∽，根据相似比求出DE 的长．【解答】解：90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴=，BD 平分ABC ∠，ABE CDE ∴∠=∠，//CD AB ，D ABE ∴∠=∠，D CBE ∴∠=∠，6CD BC ∴==，AEB CED ∴∆∆∽，∴10563AE BE AB EC ED CD ====， 338388CE AC ∴==⨯=，BE ==，3355DE BE ==⨯【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，α∠、β∠如图所示，则cos()αβ+= ．【分析】给图中各点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出30α∠=︒，同理，可得出：30CDE CED α∠=∠=︒=∠，由60AEC ∠=︒结合A E D A E C C E ∠=∠+∠可得出90AED ∠=︒，设等边三角形的边长为a ，则2AE a =，DE =，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos()αβ+的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示．在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，BA BC =，30α∴∠=︒．同理，可得出：30CDE CED α∠=∠=︒=∠．又60AEC ∠=︒，90AED AEC CED ∴∠=∠+∠=︒．设等边三角形的边长为a ，则2AE a =，2sin 603DE a a =⨯︒=，AD ∴=，cos()7DE AD αβ∴+==．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于αβ∠+∠的直角三角形是解题的关键．三、解答題（共8个题，共78分）19．（8分）计算：0|3|4sin 45(3)π--︒+-【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式341314=-+=-=． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程：211x x x-=-． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2222x x x x -+=-，解得：2x =，检验：当2x =时，方程左右两边相等，所以2x =是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（8分）如图，O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD 、BC ． 求证：（1）AD BC =；（2）AE CE =．【分析】（1）由AB CD =知AB CD =，即AD AC BC AC +=+，据此可得答案；（2）由A D B C =知AD BC =，结合ADE CBE ∠=∠，DAE BCE ∠=∠可证ADE CBE ∆≅∆，从而得出答案．【解答】证明（1）AB CD =，∴AB CD =，即AD AC BC AC +=+，∴AD BC =；（2）AD BC =，AD BC ∴=，又ADE CBE ∠=∠，DAE BCE ∠=∠，()ADE CBE ASA ∴∆≅∆，AE CE ∴=．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）:90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是．【分析】（1）由已知数据计数即可得；（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为1036012030⨯=（人)；（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6， 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2(0)m y m x=≠的图象相交于第一、象限内的(3,5)A ，(,3)B a -两点，与x 轴交于点C ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB PC -最大，求PB PC -的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当12y y >时，x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数12y x =+，求得与y 轴的交点P ，此交点即为所求；（3）根据AB 两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x 的取值范围．【解答】解：（1）把(3,5)A 代入2(0)m y m x =≠，可得3515m =⨯=， ∴反比例函数的解析式为215y x=； 把点(,3)B a -代入，可得5a =-，(5,3)B ∴--．把(3,5)A ，(5,3)B --代入1y kx b =+，可得3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得12k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为12y x =+；（2）一次函数的解析式为12y x =+，令0x =，则2y =，∴一次函数与y 轴的交点为(0,2)P ，此时，PB PC BC -=最大，P 即为所求，令0y =，则2x =-，(2,0)C ∴-，BC ∴=（3）当12y y >时，50x -<<或3x >．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算22017201812222+++⋯++的值，采用以下方法： 设22017201812222S =+++⋯++①则22018201922222S =++⋯++②②-①得2019221S S S -==-22017201820191222221S ∴=+++⋯++=-请仿照小明的方法解决以下问题：（1）291222+++⋯+= 1021- ；（2）210333++⋯+= ；（3）求21n a a a +++⋯+的和(0a >，n 是正整数，请写出计算过程）．【分析】（1）利用题中的方法设291222S =+++⋯+，两边乘以2得到292222S =++⋯+，然后把两式相减计算出S 即可；（2）利用题中的方法设2341133333S =+++++⋯+，两边乘以3得到23453333333S =+++++⋯+，然后把两式相减计算出S 即可；（3）利用（2）的方法计算．【解答】解：（1）设291222S =+++⋯+①则2102222S =++⋯+②②-①得10221S S S -==-2910122221S ∴=+++⋯+=-；故答案为：1021-（2）设23410133333S =+++++⋯+①，则2345113333333S =+++++⋯+②，②-①得11231S =-， 所以11312S -=， 即1123410311333332-+++++⋯+=； 故答案为：11312-； （3）设2341..n S a a a a a =++++++①，则2341..n n aS a a a a a a +=++++++②，②-①得：1(1)1n a S a +-=-， 所以111n a S a +-=-， 即123411..1n na a a a a a a +-++++++=-， 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．25．（12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将B D E ∠绕点D 逆时针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G ．①线段DB 和DG 的数量关系是 DB DG = ；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，60∠=︒，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，ADC连接BD、DE，将B D E∠绕点D逆时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若1AB=，直BE=，2接写出线段GM的长度．【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②先同理得：BG=，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．【解答】解：（1）①DB DG=，理由是：∠绕点B逆时针旋转90︒，如图1，DBE由旋转可知，BDE FDG∠=︒，∠=∠，90BDG四边形ABCD是正方形，45CBD∴∠=︒，45G∴∠=︒，45G CBD∴∠=∠=︒，DB DG∴=；故答案为：DB DG=；②BF BE+=，理由如下：由①知：FDG EDB∠=∠，45G DBE∠=∠=︒，BD DG=，()FDG EDB ASA∴∆≅∆，BE FG∴=，BF FG BF BE BC CG∴+=+=+，Rt DCG∆中，45G CDG∠=∠=︒，CD CG CB∴==，DG BD==，即2BF BE BC+==；（2）①如图2，BF BE+，理由如下：在菱形ABCD中，11603022ADB CDB ADC∠=∠=∠=⨯︒=︒，由旋转120︒得120EDF BDG∠=∠=︒，EDB FDG∠=∠，在DBG∆中，1801203030G∠=︒-︒-︒=︒，30DBG G∴∠=∠=︒，DB DG∴=，()EDB FDG ASA∴∆≅∆，BE FG∴=，BF BE BF FG BG∴+=+=，过点D作DM BG⊥于点M，如图2，BD DG =，2BG BM ∴=，在Rt BMD ∆中，30DBM ∠=︒，2BD DM ∴=．设DM a =，则2BD a =，DM =，BG ∴=， ∴BD BG ==，BG ∴=，BF BE BG ∴+==；②过点A 作AN BD ⊥于N ，如图3，Rt ABN ∆中，30ABN ∠=︒，2AB =，1AN ∴=，BN2BD BN ∴==//DC BE ，∴21CD CM BE BM ==， 2CM BM +=，23BM ∴=，由①同理得：BE BF BG +==，6BG ∴，216633GM BG BM ∴=-=-=． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明FDG BDE ∆≅∆是解本题的关键．26．（14分）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点(1,0)A -和点(2,3)B 两点．（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离？若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入22y ax x c =++即可求得二次函数的解析式；（2）过点M 作MH x ⊥轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点2(,23)M a a a -++，则(,1)K a a +，利用函数思想求出MK 的最大值，再求出AMB ∆面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）设抛物线对称轴与直线174y =交于点E ，抛物线顶点为Q ，作点E 关于点Q 的对称点F ，此时抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离，可分别先求出Q ，F 的坐标，由对称性可求出F 的坐标．【解答】解：（1）由题意把点(1,0)-、(2,3)代入22y ax x c =++，得，20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得1a =-，2b =，∴此抛物线C 函数表达式为：223y x x =-++；（2）如图1，过点M 作MH x ⊥轴于H ，交直线AB 于K ，将点(1,0)-、(2,3)代入y kx b =+中，得，023k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得，1k =，1b =，1AB y x ∴=+，设点2(,23)M a a a -++，则(,1)K a a +，则223(1)MK a a a =-++-+219()24a =--+， 根据二次函数的性质可知，当12a =时，MK 有最大长度94， AMK BMK AMB S S S ∆∆∆∴=+最大11()22B H MK AH MK x x =+- 1()2B A MK x x =- 19324=⨯⨯ 278=，∴以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时， 27272284AMB S S ∆==⨯=最大最大，1(2M ，15)4；（3）如图2，设抛物线对称轴与直线174y =交于点E ，抛物线顶点为Q ， 作点E 关于点Q 的对称点F ，此时抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离， 223y x x =-++2(1)4x =--+，(1,4)Q ∴，17(1,)4E ， 点F 与点E 关于点Q 对称，15(1,)4F ∴．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大。
2019四川省自贡市中考数学试卷(解析版)
2019年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）﹣2019的倒数是（）A．﹣2019 B．﹣C．D．20192．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）A．2.3×104B．23×103C．2.3×103D．0.23×1053．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞08．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞19．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A．B．C．D．11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A．B．C．D．12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝．14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分．15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝．16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD 交AC于点E，DE＝．18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．三、解答題（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）020．（8分）解方程：﹣＝1．21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m ≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y ＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．2019年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）﹣2019的倒数是（）A．﹣2019 B．﹣C．D．2019【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的倒数是﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）A．2.3×104B．23×103C．2.3×103D．0.23×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：23000＝2.3×104，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【分析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故选：B．【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．【解答】解：从上面观察可得到：．故选：C．【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【解答】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0 【分析】利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n，然后对各选项进行判断．【解答】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝﹣，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A．B．C．D．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC，设正方形的边长为a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC为圆的直径，∴AC＝AB＝a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan ∠BAD的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH 即可解决问题．【解答】解：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝60°．【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2＝∠3是解题关键．14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是90 分．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝2（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元，②篮球的单价﹣足球的单价＝4元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：，【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE ＝，DE ＝BE＝×＝，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．三、解答題（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是．【分析】（1）由已知数据计数即可得；（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2＝；把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC＝＝3．（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝210﹣1 ；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；（3）利用（2）的方法计算．【解答】解：（1）设S＝1+2+22+ (29)则2S＝2+22+ (210)②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；故答案为：210﹣1（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，②﹣①得2S＝311﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+…+310＝；故答案为：；（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②﹣①得：（a﹣1）S＝a n+1﹣1，所以S＝，即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝，【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是DB＝DG；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②先同理得：BG＝BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM 的长，根据线段的差可得结论．【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠CBD＝45°，∴DB＝DG；故答案为：DB＝DG；②BF+BE＝BD，理由如下：由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE＝FG，∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，∴CD＝CG＝CB，∵DG＝BD＝BC，即BF+BE＝2BC＝BD；（2）①如图2，BF+BE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠DBG＝∠G＝30°，∴DB＝DG，∴△EDB≌△FDG（ASA），∴BE＝FG，∴BF+BE＝BF+FG＝BG，过点D作DM⊥BG于点M，如图2，∵BD＝DG，∴BG＝2BM，在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，∴BD＝2DM．设DM＝a，则BD＝2a，DM ＝a，∴BG＝2a，∴＝，∴BG＝BD，∴BF+BE＝BG＝BD；②过点A作AN⊥BD于N，如图3，Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，∴AN＝1，BN＝，∴BD＝2BN＝2，∵DC∥BE，∴＝，∵CM+BM＝2，∴BM＝，由①同理得：BE+BF＝BG＝BD，∴BG＝×＝6，∴GM＝BG﹣BM＝6﹣＝．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y ＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）设抛物线对称轴与直线y＝交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，可分别先求出Q，F的坐标，由对称性可求出F的坐标．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，b＝2，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；最大（3）如图2，设抛物线对称轴与直线y＝交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴Q（1，4），E（1，），∵点F与点E关于点Q对称，∴F（1，）．【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．。
自贡市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)
四川省自贡市2019年中考数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）423．（4分）（2019•自贡）如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是（ ）B4．（4分）（2019•自贡）拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为2．．7．（4分）（2019•自贡）一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（）8．（4分）（2019•自贡）一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）=，再解方程即可．=，l=．9．（4分）（2019•自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致．B．．10．（4分）（2019•自贡）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）B×，，=二．填空题：（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（2019•自贡）分解因式：x2y﹣y=y（x+1）（x﹣1）．12．（4分）（2019•自贡）不等式组的解集是1＜x≤．，由①得，13．（4分）（2019•自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．14．（4分）（2019•自贡）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O 与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为3cm．底边高的，即OC=215．（4分）（2019•自贡）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是2或﹣7．，解得，，解得，三．解答题：（共2小题，每小题8分，共16分）16．（8分）（2019•自贡）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）17．（8分）（2019•自贡）计算：（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2+|1﹣|﹣4cos45°．=1+4+2×四．解答题：（共2小题，每小题8分，共16分）18．（8分）（2019•自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）米，≈19．（8分）（2019•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．五．解答题：（共2小题，每小题10分，共20分）20．（10分）（2019•自贡）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．）本次测试的优秀率是则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是21．（10分）（2019•自贡）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？（﹣÷六．解答题：（本题满分12分）22．（12分）（2019•自贡）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．）代入，，时，七．解答题：（本题满分12分）23．（12分）（2019•自贡）阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．BE=BCE==tan30，．八．解答题：（本题满分14分）24．（14分）（2019•自贡）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．，，，﹣﹣+2﹣x=，xAD=﹣。
2019年四川省自贡中考数学含答案
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一.选择题（每小题4分，共48分）1.-2019的倒数是（ B ）A.-2019B.20191-C.20191 D.2019 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）A.4103.2⨯B.31023⨯C.3103.2⨯D.51023.0⨯3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）A.7B.8C.9D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）A.|m |＜1B.1-m ＞1C.mn ＞0D.m +1＞08.关于x 的一元二次方程022=+-m x x ，无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ）A.1<mB.1≥mC.1≤mD.1>m9.一次函数y=ax+b 与反比例函数xc y =的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A.54 B.43 C.32 D.2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线5-=x 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan△BAD 的值是（ B ） A.178 B.177 C.94 D.95第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB △CD ，△1=120°，则△2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分15.分解因式=-2222y x ))((2y x y x -+ .16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ⎩⎨⎧=-=+446654y x y x 17.如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AB =10，BC =6，CD △AB ，△ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = 559 .18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，△α，△β如图所示，则cos （α+β）= 721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：x x x x -=+-2222，.2=∴x 经检验2=x 是原方程的解.21.（本题满分8分）如图，△O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.求证：（1）»»AD BC=；（2）AE=CE；证明：（1）如图，连接AC.△AB=CD，△»»AB CD=，△»»»»AB AC CD AC-=-，即»»AD BC=（2）△»»AD BC=，△△ACD=△BAC，△AE=CE22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）将图中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：1203603010=⨯÷（人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是.答案：21 23. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xm y 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围答案：（1）把A （3,5）代入x m y =2得15=m ，∴反比例函数的解析式为xy 15= 把B （a ，-3）代入xy 15=得5)3(15-=-÷=a ；∴B （-5，-3） 把A （3,5），B （-5，-3）代入b kx y +=1得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解之得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为2+=x y（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=52，PC=22，∴PB -PC 的最大值为32（3）当21y y >时，x 的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞324.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算20182017222221+++++Λ的值，采用以下方法：设=S 20182017222221+++++Λ△则=S 220192018222221+++++Λ△△-△得1222019-==-S S S△12222212019201820172-=+++++=ΛS请仿照小明的方法解决以下问题：（1）+++9221Λ 1210- ；（2）=+++102333Λ 23311- ； （3）求na a a ++++Λ21的和（0>a ，n 是正整数，请写出计算过程）. 解：设na a a S ++++=Λ21① 则132+++++=n a a a a aS Λ②②-①得11-=-+n a S aS∴11112--=++++=+a a a a a S n nΛ25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将△BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .△线段DB 和DG 之间的数量关系是 DB=DG ；△写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BD BF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，△ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将△BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .△如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；△如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3（2）①BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF -∠BDF=∠BDG -∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG -∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=a 3.∴BG=a 32，∴3232==aa BD BG ∴BF+BE=3BD.②GM 的长度为319.理由：∵1==BE GF ，FC=2DC=4，CM=32BC=34，∴GM=319 26.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线c x ax y C ++=2:2相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a 解之得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：1+=x y ，如图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设)32,(2++-m m m M ，则)1,(+m m N ，（-1＜m ＜2） ∴22++-=-=m m y y MN N M ，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =MN x x A B )(21- ∴S △ABM =827)21(233)2(2122+--=⨯++-m m m ，∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41，设),1(n F 设)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG.则 PG=452)32(41722+-=++--x x x x ，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=41，即顶点D 到直线417=y 的距离为41 ∴PF=DF=41，∴)415,1(F ，∵PG=PF ，∴22PF PG =， ∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF 222)452(+-=x x PG∴222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22)452(+-=x x 整理化简可得00=x ，∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG=PF。
2019四川自贡中考数学解析
2019年四川省自贡市初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．(2019四川省自贡市，1，4分)-2019的倒数是（）A.-2019B.C.D.2019【答案】B.【解析】解：∵a的倒数是，∴-2009的倒数是.故选B.【知识点】倒数.2．(2019四川省自贡市，2，4分)近年来，我国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高铁铁路营运里程将达到23000公里，将23000公里用科学记数法表示应为（）A.2.3×104B.23×103C.2.3×103D.0.23×105【答案】A.【解析】解：23000=2.3×1000=2.3×104.故选A.【知识点】科学记数法.3．(2019四川省自贡市，3，4分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D.【解析】解：对于A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；对于B，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于C，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于D，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.故选D.【知识点】轴对称图形、中心对称图形.4．（2019四川省自贡市，4，4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【答案】B.【解析】解：∵甲的方差＜乙的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定.故选B.【知识点】方差.5.(2019四川省自贡市，5，4分)下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）【答案】C.【解析】解：俯视图就是从上面看，从上面看可以看到两个矩形，并且都是实线.故选C.【知识点】三视图6.（2019四川省自贡市，6，4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C.【解析】解：∵两边长为1和4，∴由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4-1＜x＜1+4，即3＜x＜5.又∵第三边长为整数，∴x=4.∴该三角形周长为1+4+4=9.故选C.【知识点】三角形的三边关系7．（2019四川省自贡市，7，4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A.|m|＜1B.1-m＞1C.mn＞0D.m+1＞0 【答案】B.【解析】解：由数轴可知，m＜-1＜0，n＞1＞0.∴|m|＞1，mn＜0，m+1＜0，-m＞0，∴1-m＞1.∴选项A,C,D错误，正确的是选项B.故选B.【知识点】数轴，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，绝对值8．（2019四川省自贡市，8，4分）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m 的取值范围是（）A.m＜1B.m≥1C.m≤1D.m＞1【答案】D.【解析】解：∵方程无实数根，∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m＜0.解得，m＞1.故选D.【知识点】一元二次方程根的判别式.9．（2019四川省自贡市，9，4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（）【答案】A.【解析】解：∵双曲线y=经过一、三象限，∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即＜0.∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.【知识点】一次函数的图象，反比例函数图象和二次函数的图象.10．（2019四川省自贡市，10，4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）【答案】D.【解析】解：∵由图象可知，高度h随时间t的变换规律是先快后慢.∴D选项的底面积由小变大，水面高度随时间变换符合先快后慢.故选D.【知识点】一次函数的图象11.（2019四川省自贡市，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】解：由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形==≈.【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆12．（2019四川省自贡市，12，4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】解：∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=，∠OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，∵线段DH是Rt△CFD斜边上中线，∴DH=CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，△ABE的面积最小.在Rt△ADH中，AH=OH+OA=13,∴AD=.∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，∴△AOE∽△ADH，∴，即，∴OE=，∴BE=OB-OE=.∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，∴EG=.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=，∴AG=AB-BG=.在Rt△AEG中，tan∠BAD=.故选B.【知识点】勾股定理，锐角三角函数，圆的切线.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（2019四川省自贡市，13，4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=1200，则∠2= .【答案】600【解析】解：CD与EF交于G，∵AB∥CD，∴∠EGC=∠1=120°，∵∠EGC与∠2是邻补角，∴∠2=1800-∠EGC=600，【知识点】平行线的性质，邻补角的定义14．（2019四川省自贡市，14，4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分.【答案】90分.【解析】解：∵这组数据中出现次数最多的数90分，∴这组数据的众数是90分.【知识点】众数15．（2019四川省自贡市，15，4分）分解因式：2x2-2y2= .【答案】2(x+y)(x-y)【解析】解：原式=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).【知识点】因式分解，平方差公式.16．（2019四川省自贡市，16，4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .【答案】【解题过程】解：根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x=y+4;根据“买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元”可列方程4x+5y=466.联立组成方程组.【知识点】二元一次方程组的应用.17．（2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE= .【答案】.【解题过程】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠CBD=∠D，∴CD=BD=6.在Rt△ABC中，AC==8.∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴,∴CE=AE，DE=BE.即CE=AC=×8=3.在Rt△BCE中，BE=.∴DE=BE=×3=.【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质18．（2019四川省自贡市，18，4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= .【答案】.【解题过程】解：连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=a，在Rt△ACB中，AB=.∴cos∠ABC=又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=.【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理.三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019四川省自贡市，19，8分）计算：|-3|-4sin450++(π-3)0.【思路分析】根据绝对值、零指数次幂、特殊角三角函数和二次根式化简，先求出每个部分的值，再把所得结果进行合并.【解题过程】解：原式=-×++=-+2+=.【知识点】绝对值、特殊角三角函数、二次根式化简和合并.20．（(2019四川省自贡市，20，8分)解方程：【思路分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可得到分式方程的解.【解题过程】解：方程两边乘以x(x-1)得，x2-(x-1)=x(x-1)解得，x=.检验：当x=时，x(x-1)≠0，∴x=是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x=2.【知识点】分式方程的解法.21．（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）；（2）AE=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC 即可得到；（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴.（2）∵，∴AD=BC，∵，∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.22．（2019四川省自贡市，22，8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下：（单位:分）90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，收到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .【思路分析】（1）根据题目中所给的30个数据，分别找出70≤x＜80和90≤x＜100的数据个数填入相应的表格，并根据这一数值画出直方图即可；（2）先算出样本中90分及其以上同学所占百分比，估计总体表彰人数的百分比，再乘以总人数即可；（3）用列表法或树形图法列举出所有可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.【解题过程】解：（1）（2）∵30名同学中90分及其以上所占比例为=，、∴估计360名学生中90分及其以上人数为360×=120(人).答：约有120人获得表彰.（3）答案：.将所有结果列举如下：共有12中等可能的结果，其中恰好有恐龙图案的结果由6种，∴恰好有恐龙图案的概率为.【知识点】频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体和概率公式.23．（2019四川省自贡市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a,-3）两点，与x轴交于点C.（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围.【思路分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求出m，即可得到反比例函数解析式；把y=-3代入反比例函数解析式求出a的值，得到B点坐标，再将A，B坐标代入一次函数解析式求出k，b，即可求出一次函数解析式；（2）利用A、B坐标求出直线AB解析式，由解析式求出C、D两点坐标；分别对B、C、P三点是否共线进行讨论，得出PB-PC≤BC；从而当P与D重合时，PB-PC最大，最大值为BC.【解题过程】解：（1）A（3,5）代入y2=得，5=，∴m=15.∴反比例函数是y2=.当y2=-3时，-3=，∴x=-5，∴B坐标为（-5，-3）.将A（3,5），B（-5，-3）代入y1=kx+b得，解得，.∴一次函数为y1=x+2.（2）令y1=0时，x+2=0,x=-2.∴点C坐标为（-2,0）.令x=0，则y1=2.∴点D坐标为（0，-2）.连接PB，PC，当B，C和P不共线时，由三角形三边关系，P B PC＜BC；当B，C和P共线时，PB PC=BC，∴PB PC≤BC.由勾股定理可知，BC==.∴当P与D重合，即P为（0,2）时，PB-PC取最大值，最大值为.【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.24．（2019四川省自贡市，24，10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+……+22017+22018①则2S=2+22+……+22018+22019②②-①得，2S-S=S=22019-1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+……+29= ；（2）3+32+……+310= ；（3）求1+a+a2+……+a n的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).【思路分析】（1）类比材料中的方法，令S=1+2+22+……+29①，式子两边乘以2，得到2S=2+22+……+210②，两个式子相减计算即可；（2）令S=3+32+……+310①，式子两边乘以3，得到3S=32+33+……+311②，两个式子相减计算即可；（3）令S=1+a+a2+……+a n，则aS=a+a2+……+a n+1,两个式子相减求出S即可.【解题过程】解：（1）答案：210-1.令S=1+2+22+……+29①，则2S=2+22+ (210)②-①得，2S-S=S=210-1,即S=210-1.（2）答案：.令S=3+32+……+310①，则3S=32+33+……+311②，②-①得，3S-S=2S=311-3,∴S=.（3）令S=1+a+a2+……+a n，①则aS=a+a2+……+a n+1,②②-①得，aS-S=(a-1)S=a n+1-1，∴S=.即1+a+a2+……+a n=.【知识点】整式的加减，找规律.25．（2019四川省自贡市，25，12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.【思路分析】（1）根据旋转和正方形的性质，证明△BDG为等腰直角三角形即可；再判定△EDB≌△FDG，得到BE=GF，故BG=BF+FG=BF+BE；最后在Rt△BDG中，由∠DBG=45°得到BD与BG 的关系，将BG= BF+BE代入即可得到最终结果；（2）先类比第（1）问证明△EDB≌△FDG，再过D作DH⊥BG于H，探究△DBG中腰长BD与底边BG的关系，从而得出BE、BF和BD之间的数量关系；（3）先判定∠CDF=90°，求出FC的长；在根据△CDM∽BEM，计算CM的长；最后根据△BDE ≌△FDG,得出GF的长，由GM=FG+FC+CM即可求出结果.【解题过程】解：（1）①答案：DB=DG.∵∠BDE绕点D逆时针旋转90°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠DBA=∠ABC=45°.∵∠BDG=90°，∴∠DBG=∠G=45°.∴DB=DG.②线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=BD，理由如下：∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△EDB≌△FDG.故答案为DB=DG.在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°，∴cos∠DBG=,即BG=BD，又∵BG=BF+FG=BF+BE,∴BF+BE=BD.（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=BD，理由如下：∵∠BDE绕点D逆时针旋转120°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBG=∠ABC=30°，∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°，∴∠G=∠DBG，∴BD=GD，∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△DBE≌△DGF,∴BE=GF,∴BG=BF+GF=BF+BE.过D作DH⊥BG于H，又∵DB=DG,∴BH =BG，在Rt△BDH中，∠DBG=30°，∴cos∠HBD=,∴BH=BD,又∵BH =BG，又∵BG=BF+BE，∴BF+BE=BD.（3）GM=，理由如下：由旋转可知，∠BDF=1200，又∵∠ABC=600，四边形ABCD为菱形，∴∠CDB=∠CBD=∠ABC=300，∴∠FDC=∠BDF-∠BDC=900，在Rt△CDF中，∠DCF=1800-∠BCD=600，∴FC==4.∵AB∥CD，∴△CDM∽△BEM，∴，∴CM==.由（2）可知，△BDE≌△FDG，∴G F=BE=1.∴GM=FG+FC+CM=1+4+=.【知识点】全等三角形判定，旋转的性质，勾股定理，相似三角形判定.26．（2019四川省自贡市，26，14分）如图，已知直线AB与抛物线：y=ax2+2x+c相交于点A（-1，0）和点B（2，3）两点.（1）求抛物线C函数解析式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S 及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在顶点F，使抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得到关a,c的二元一次方程，解此方程即可求出抛物线解析式；（2）过过M作MH∥y轴，交AB于H，设M为（m，-m2+2m+3），根据平行四边形性质可知S四边形MANB=2 S△ABM，用m的代数式表示出S△ABM，即可求出S四边形MANB，从而利用二次函数性质求出最大值；（3）取点P为抛物线顶点，根据“点P到F的距离等于到直线y=的距离”求出F点坐标;过P作直线y=的垂线，垂足为T，再设P点为（a，-a2+2a+3）,分别用a的代数式表示P F和PT的长，验证PF和PT相等即可.【解题过程】解：（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得解得，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，解得，.∴直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=·MH·（x B-x A）=·(-m2+m+2)·(2+1)=-(m2-m)+3=-(m-)2+.∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-)2+，∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=时，S四边形MANB的最大值为.此时，M坐标为（，）.（3）存在，理由如下：过P作直线y=的垂线，垂足为T，∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=-4=.∵P到F的距离等于到直线y=的距离，∴4-t=，即t=.∴F为（1，）设P点为（a，-a2+2a+3）,由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-)2=a4-4a3+a2-5a+.又∵PT2=[-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+a2-5a+.∴PF2=PT2，即PF=PT.∴当F为（1，）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=的距离. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，勾股定理和平行四边形的性质.。
2019年自贡市中考数学试卷(解析版)
2019年自贡市中考数学试卷（解析版）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）﹣2019的倒数是（）A．﹣2019 B．﹣C．D．2019【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的倒数是﹣．故选：B．2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）A．2.3×104B．23×103C．2.3×103D．0.23×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：23000＝2.3×104，故选：A．3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．4．（4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【分析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故选：B．5．（4分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．【解答】解：从上面观察可得到：．故选：C．6．（4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．【解答】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9．故选：C．7．（4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0 【分析】利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n，然后对各选项进行判断．【解答】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．故选：B．8．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1．故选：D．9．（4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝﹣，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．10．（4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A．B．C．D．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：D．11．（4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．【解答】解：连接AC，设正方形的边长为a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC为圆的直径，∴AC＝AB＝a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，故选：C．12．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan ∠BAD的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH 即可解决问题．【解答】解：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选：A．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝60°．【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2＝∠3是解题关键．14．（4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是90 分．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝2（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．16．（4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元，②篮球的单价﹣足球的单价＝4元，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：，【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD 交AC于点E，DE＝．【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE＝，DE＝BE＝×＝，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．18．（4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．三、解答題（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．22．（8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：成绩x（单位：分）频数（人数）60≤x＜70 170≤x＜80 280≤x＜90 1790≤x＜100 10（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是．【分析】（1）由已知数据计数即可得；（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【解答】解：（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2＝；把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x+2；（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC＝＝3．（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．24．（10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝210﹣1 ；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；（3）利用（2）的方法计算．【解答】解：（1）设S＝1+2+22+ (29)则2S＝2+22+ (210)②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；故答案为：210﹣1（2）设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，②﹣①得2S＝311﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+…+310＝；故答案为：；（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②﹣①得：（a﹣1）S＝a n+1﹣1，所以S＝，即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝，【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．25．（12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是DB＝DG；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②先同理得：BG＝BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠CBD＝45°，∴DB＝DG；故答案为：DB＝DG；②BF+BE＝BD，理由如下：由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE＝FG，∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，∴CD＝CG＝CB，∵DG＝BD＝BC，即BF+BE＝2BC＝BD；（2）①如图2，BF+BE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠DBG＝∠G＝30°，∴DB＝DG，∴△EDB≌△FDG（ASA），∴BE＝FG，∴BF+BE＝BF+FG＝BG，过点D作DM⊥BG于点M，如图2，∵BD＝DG，∴BG＝2BM，在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，∴BD＝2DM．设DM＝a，则BD＝2a，DM＝a，∴BG＝2a，∴＝，∴BG＝BD，∴BF+BE＝BG＝BD；②过点A作AN⊥BD于N，如图3，Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，∴AN＝1，BN＝，∴BD＝2BN＝2，∵DC∥BE，∴＝，∵CM+BM＝2，∴BM＝，由①同理得：BE+BF＝BG＝BD，∴BG＝×＝6，∴GM＝BG﹣BM＝6﹣＝．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．26．（14分）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）设抛物线对称轴与直线y＝交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，可分别先求出Q，F的坐标，由对称性可求出F的坐标．【解答】解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，，解得a＝﹣1，b＝2，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，，解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）＝﹣（a﹣）2+，根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•（x B﹣x H）＝MK•（x B﹣x A）＝××3＝，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；（3）如图2，设抛物线对称轴与直线y＝交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴Q（1，4），E（1，），∵点F与点E关于点Q对称，∴F（1，）．。
【2019年中考数学真题试题】四川省自贡市(含解析)
四川省自贡市2019届毕业生中考数学试题及解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2019-的倒数是（ ）A.2019-B.12019-C.12019D.2019 分析：1除以一个不 等于0的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数乘积为1就行了. 2019-的倒数12019- .故选B .2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为 （ ） A..42310⨯ B.32310⨯ C..32310⨯ D..502310⨯ 分析：把一个数A 记成n a 10⨯的形式（其中a 是整数为1位的数，n 恰好为原数的整数的位数减1 ）.就为科学记数法，423000 2.310=⨯ .故选A .3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）分析：轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形，只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合，中心对称图形是绕着一个点旋转180°后与自身重合，D 选择支符合这一特点.故选D .4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（ ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定BCDA分析：在同样条件下，样本数据的方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，B 选择支符合这一性质.故选B .5.下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是 （ ）分析：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；C 符合这一要求.故选C .6.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 （ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10分析：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；所以41-<第三边41<+ ，即3<第三边5<；第三边取整数为4，4419++= .故选C .7.实数m,n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 （ ）A. m 1<B. 1m 1->C. mn 0>D. m 10+> 分析：∵m 0< ∴1m 1->；也可以用“赋值法” 代入计算判断.故选B .8.关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+= 无实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A. m 1< B. m 1≥ C. m 1≤ D. m 1> 分析：∵原一元二次方程无实数根，∴△=()2241m 0--⨯⨯< ，解得m 1>；故选D . 9.如一次函数y ax b =+与反比例函数cy x= 的图像如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的大致图象是分析：根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知a 0,b 0,c 0<>>，所以BCDAnmBCDA对于二次函数2y ax bx c =++的图象的抛物线开口向下，对称轴直线bx 02a=-> （即抛物线的对称轴在y 的右侧），与y 轴的正半轴，A 符合这一特征；故选A .10.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的分析：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D .11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就积之比最接近 （ ）A.45B.34C.23 D.12分析：连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的边长为a ，则正方形的面积为2a ；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角线长为= ，所以圆的面积为221a 2ππ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，所以它们的面积之比为22a 20.63661a 2ππ=≈，与C 的近似值比较接近； 故选C .12.如图，已知A B 、 两点的坐标分别为()()8,00,8，，点C F 、分别是直线x 5=-和x 轴上的动点，CF 10=,点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ；当⊿ABE 面积取得最小H第10题图BAD值时，tan BAD ∠的值是 （ ）A.817B.717C.49 D.59分析：见后面的示意图.根据题中“点C F 、分别是直线x 5=-和x 轴上的动点，CF 10=”可以得到线段CF 的中点D 的运动 “轨迹”是以点M 为圆心5半径的圆，当D 运动到x 轴上方的圆上D' 处恰好使AD'圆相切于D'时，此时的图中的1∠最大，则BAD'∠最小，此时△ABE 面积最小. 在Rt △'MD A 中，由坐标等可求AM 13,MD'5==AD'12==. 根据题意和圆的切线的性质容易证明△AOE ∽△'AD M ，∴OE AO MD'AD'= ，即OE 8512=解得：10OE 3=,∴1014BE 833=-= .∵A B 、 两点的坐标分别为()()8,00,8， 且AOB 90∠=∴AB =;过点EN AB ⊥于N ,容易证明△ENB 是等腰直角三角形∴14NE NB 3===∴AN AB NB =-== 在Rt △ANE中，NE tan BAD AE 717∠===.二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)13. 如图，直线AB CD 、被直线EF 所截，AB ∥CD ,1120∠;则2∠ = .略解： ∵AB ∥CD ∴13120∠=∠= ∵23180∠+∠= ∴218012060∠=-=故应填：60 .14.在一次12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 .分析：众数是指一组 数据中出现次数最多的数据，90分的有4人，次数最多；故应填：90 分.F'ED 'DMO1E AB第13题图15.分解因式：222x 2y -= .分析：先提取公因式，再利用平方差公式分解.即()()()22222x 2y 2x y 2x y x y -=-=+-故应填：()()2x y x y +- .16.某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 .分析：本题抓住两个等量关系列方程组：其一.4个篮球的费用+5个足球的费用=466元；其二.篮球的单价-足球的单价=4元.故应填：4x 5y 466x y 4+=⎧⎨-=⎩ .17.如图，在Rt △ABC 中，ACB 90,AB 10,BC 6∠===, CD ∥ABC ∠的平分线BD 交AC 于E ,DE = .略解： 在Rt △ABC 中求出AC 8==∵BD 是ABC ∠的平分线 ∴12∠=∠∵CD ∥AB ∴1D ∠=∠ ∴D 2∠=∠ ∴CD BC 6==∵CD ∥AB ∴△ABE ∽△CDE ∴CE DE CD 63AE BE AB 105==== ∴33CE AC 83358==⨯=+又在Rt △BCE 中 BE ===∴33DE BE 55==⨯= 故应填：5.18.如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，αβ∠∠、 如图所示，则()cos αβ+= .分析：本题可以先αβ, 拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC ； B第17题图B根据正三角形可菱形的性质求出α1230=∠∠=∠=,360∠= ∴ACB 2390∠=∠+∠= ;设正三角形的边长为a ，则AC 2a =，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC =在Rt △ACB 中,AB ===∴BC cos ABC AB 7∠===即()αβcos 7+= 故应填：7.三.解答题(共8个题，共78分)19.（本题满分8分） 计算：()034sin4583π--++-. 略解：原式 = 341-+ ···················································· 4分=31-=4 ········································································· 8分20..（本题满分8分）解方程：x 21x 1x-=-. 分析：先去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，注意验根. 略解： ()()2x 2x 1x x 1--=- ························································ 2分 22x 2x 2x x -+=-x 2=················································································ 6分 当x 2=时，代入()x x 10-≠ ················································ 7分 所以原方程的解为x 2= ······················································ 8分21.（本题满分8分）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ,AB CD =,连接AD BC 、. 求证：⑴. ；⑵.AE CE =.证明：⑴.连接 AC ···················································· 1分 ∵AB CD =∴AB CD= ·················································3分∴AB AC CD AC-=-即····················5分⑵.∵∴ACD BAC∠=∠ ········································7分∴AE CE=···················································8分22.（本题满分8分）某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了竞赛.收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82⑴.请将图表中空缺的部分补充完整；⑵.学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学，根据上表统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；⑶.“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是.分析：⑴.直接根据提供的数据得到相应的频数，再按频数补全图表的空缺部分；⑵.先计算出30名学生获奖的百分比，以此估算360人中的获奖人数；⑶.列举法求概率，注意属于“不放回”的情况.略解：⑴.图表各2分.⑵.1036012030⨯=（人）.210答：初一年级360人中，约有120人将获得表彰. ······························ 6分 ⑶.树状图分析图：共有12种情况，其中恰好有恐龙图案的是6种。
2019四川省自贡中考数学(Word版,含答案)
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一.选择题（每小题4分，共48分）1.-2019的倒数是（B ）A.-2019 B. C. D.201920191-201912.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）A. B. C. D.4103.2⨯31023⨯3103.2⨯51023.0⨯3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）A.7B.8C.9D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）A.|m |＜1B.1-m ＞1C.mn ＞0D.m +1＞08.关于的一元二次方程，无实数根，则实数的取值范围是（ D ）x 022=+-m x x m A. B. C. D.1<m 1≥m 1≤m 1>m 9.一次函数y=ax+b 与反比例函数的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致xc y =图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ）A. B. C. D.5443322112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线和x 轴上5-=x 的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD 的值是（ B ）A. B. C. D.1781779495第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=120°，则∠2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分15.分解因式 .=-2222y x ))((2y x y x -+16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题x y 意，可列方程组为⎩⎨⎧=-=+446654y x y x 17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .55918.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos （α+β）= 721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：，经检验是原方程的解.x x x x -=+-2222.2=∴x 2=x 21.（本题满分8分）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD ，BC .求证：（1）；（2）AE=CE ； AD BC =证明：（1）如图，连接AC .∵AB=CD ，∴，∴，即AB CD = AB AC CD AC -=- AD BC=（2）∵，∴∠ACD =∠BAC ，∴AE=CE AD BC=22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：成绩x （单位：分）频数（人数）60≤x ＜70170≤x ＜8080≤x ＜901790≤x ＜100（1）将图中空缺的部分补充完整；成绩x （单位：分）频数（人数）60≤x ＜70170≤x ＜80280≤x ＜901790≤x ＜10010（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：（人），答：约有120人受到表彰1203603010=⨯÷（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是.答案：2123.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图b kx y +=10≠k 象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两)0(2≠=m xm y 点，与轴交于点C .x （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB-PC 最大，求PB-PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当时，的取值范围21y y >x答案：（1）把A （3,5）代入得，∴反比例函数的解析式为x m y =215=m x y 15=把B （a ，-3）代入得；∴B （-5，-3）xy 15=5)3(15-=-÷=a 把A （3,5），B （-5，-3）代入得，解之得b kx y +=1⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为2+=x y （2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=5，PC=2，∴22PB-PC 的最大值为32（3）当时，的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞321y y >x24.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采20182017222221+++++ 用以下方法：设①=S 20182017222221+++++ 则②=S 220192018222221+++++ ②-①得1222019-==-S S S ∴12222212019201820172-=+++++= S 请仿照小明的方法解决以下问题：（1） ；=+++9221 1210-（2） ；=+++102333 23311-（3）求的和（，是正整数，请写出计算过程）.na a a ++++ 210>a n 解：设①na a a S ++++= 21则②132+++++=n a a a a aS ②-①得11-=-+n a S aS ∴11112--=++++=+a a a a a S n n25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①线段DB 和DG 之间的数量关系是 DB=DG ；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BDBF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1图2 图3（2）①BDBF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠21EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=.∴BG=，∴a 3a 323232==aa BD BG ∴BF+BE=BD.3②GM 的长度为.理由：∵，FC=2DC=4，CM=BC=，∴GM=3191==BE GF 323431926.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.c x ax y C ++=2:2（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.417=y解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得解之得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a ⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：，如图所示，过M 作MN 1+=x y ∥y 轴交AB 于N ，设，则，（-1＜m ＜2）)32,(2++-m m m M )1,(+m m N ∴，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =22++-=-=m m y y MN N M MN x x A B )(21-∴S △ABM =，∴当时，△ABM 的面积有最82721(233)2(2122+--=⨯++-m m m 21=m 大值，而S □MANB =2S △ABM =，此时82742727,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线的距离为，设417=y 41设，设P 到直线的距离为PG.则),1(n F )32,(2++-x x x P 417=yPG=，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与452)32(41722+-=++--x x x x 顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=，即顶点D 到直线的距离为41417=y 41∴PF=DF=，∴，∵PG=PF ，∴，41)415,1(F 22PF PG =∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF 222452(+-=x x PG ∴222222432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22452(+-=x x 整理化简可得，∴当时，无论取任何实数，均有PG=PF 00=x )415,1(F x。
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( 2) 2 4m 0 ，然后解不等式即可．
【解答】 解：根据题意得△
( 2)2 4m 0 ，
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解得 m 1．
故选： D ．
【点评】 本题考查了根的判别式：
一元二次方程
2
ax
bx
c
0(a
0) 的根与△
2
b 4ac 有
如下关系：当△ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△
甲的成绩方差是 15，乙的成绩方差是 3，下列说法正确的是 (
)
A ．甲的成绩比乙的成绩稳定
B ．乙的成绩比甲的成绩稳定 C ．甲、乙两人的成绩一样稳定
D ．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5．（ 4 分）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是
(
)
90 分，
A． C．
B．
D．
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2019 年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题 [共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（ 4 分） 2019 的倒数是 (
)
A ． 2019
1 B．
2019
1 C．
2019
D． 2019
2．（ 4 分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名
片．现在中国高速铁路营运里程将达到
23000 公里，将 23000 用科学记数法表示应为 (
)
A ． 2.3
4
10
B ． 23
3
10
C． 2.3
3
10
D． 0.23
5
10
3．（ 4 分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
A．
B．
C．
D．
4．（ 4 分）在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是
成绩 x （单位：分）
频数（人数）
60, x 70
1
70, x 80
80, x 90
17
90, x 100
（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛” 成绩在 90 分及其以上的同学． 根据上面统计结果估计
该校初一年级 360 人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的
1时， n 是负数．
故选： A ．
【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
1, | a | 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
a 10n 的形式，其中
3．（ 4 分）
【分析】 直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】 解： A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
数分别是 1、 3、 4、2、 2，那么这组数据的众数是
分．
第 3 页（共 27 页）
2
2
15．（ 4 分）分解因式： 2 x 2 y
．
16．（ 4 分）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的单价
比足球的单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为
25．（ 12 分）（ 1）如图 1， E 是正方形 ABCD 边 AB 上的一点，连接 BD 、 DE ，将 BDE 绕
点 D 逆时针旋转 90 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G ．
①线段 DB 和 DG 的数量关系是
；
②写出线段 BE ， BF 和 DB 之间的数量关系．
（2）当四边形 ABCD 为菱形， ADC 60 ，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上的一点，
边形 MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点
M 的坐标；
（3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F ，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于
到直线 y 17 的距离？若存在，求出定点 4
F 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 7 页（共 27 页）
（2）在 y 轴上找一点 P 使 PB PC 最大，求 PB PC 的最大值及点 P 的坐标；
（3）直接写出当 y1 y 2 时， x 的取值范围．
第 5 页（共 27 页）
24．（ 10 分）阅读下列材料：小明为了计算 1 2 2 2
设 S 1 2 22
22017 22018 ①
则 2S
2
2
2
2018
，求得第三边的
取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【解答】 解：设第三边为 x ，
根据三角形的三边关系，得： 4 1 x 4 1 ， 即 3 x 5，
x 为整数， x 的值为 4． 三角形的周长为 1 4 4 9 ． 故选： C ． 【点评】 此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D 、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选： D ．
【点评】 此题主要考查了中心对称与轴对称的概念： 轴对称的关键是寻找对称轴， 两边图象
折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转
系如图所示，则该容器是下列四个中的 (
)
h 与时间 t 的函数关
第 2 页（共 27 页）
A．
B．
C．
D．
11．（ 4 分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻
折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆）
，正方形桌面与翻折成的
圆形桌面的面积之比最接近 (
0 时，方程有两个相等的
两个实数根；当△ 0 时，方程无实数根．
9．（ 4 分）
【分析】 根据一次函数与反比例函数图象找出 a 、 b 、 c 的正负，再根据抛物线的对称轴为
b
x
，找出二次函数对称轴在 y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
2a
【解答】 解： 一次函数 y1 ax c 图象过第一、二、四象限，
．
、 如图所示，
三、解答題（共 8 个题，共 78 分） 19．（ 8 分）计算： | 3 | 4sin 45 8 ( 3)0 20．（ 8 分）解方程： x 2 1 ．
x1 x 21．（ 8 分）如图， O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E ， AB CD ，连接 AD 、 BC ． 求证：（ 1） AD BC ；（ 2） AE CE ．
2．（ 4 分） 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1, | a | 10 ， n 为整数．确定 n 的值
时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值 1时， n 是正数；当原数的绝对值
【解答】 解： 23000
4
2.3 10 ，
2019 年四川省自贡市中考数学试卷答案与解析
一、选择题 [共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1．（ 4 分）
【分析】 直接利用倒数的定义进而得出答案．
【解答】 解： 2019 的倒数是
1 ．
2019
故选： B ．
【点评】 此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
5．（ 4 分） 【分析】 根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【解答】 解：从上面观察可得到：
．
故选： C ． 【点评】 本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，
本题的关键是要考虑到俯视图中看见
的棱用实线表示．
6．（ 4 分） 【分析】 根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”
)
A． 8 17
B． 7 17
C． 4 9
二、填空题（共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）
D． 5 9
13．（ 4 分）如图，直线 AB 、 CD 被直线 EF 所截， AB / /CD ， 1 120 ，则 2
．
14．（ 4 分）在一次有 12 人参加的数学测试中，得 100 分、 95 分、 90 分、 85 分、 75 分的人
)
4 A．
5
3 B．
4
2 C．
3
1 D．
2
12．（ 4 分）如图，已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (8,0) 、 (0,8) ，点 C 、 F 分别是直线 x 5
和 x 轴上的动点， CF 10 ，点 D 是线段 CF 的中点， 连接 AD 交 y 轴于点 E ，当 ABE 面积
取得最小值时， tan BAD 的值是 (
)
A．m 1
B ． m…1
C． m, 1
D． m 1
c 9 ．（ 4 分 ） 一 次 函 数 y a x b与 反 比 列 函 数 y 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 二 次 函 数
x
2
y a x b x 的c 大致图象是 (
)
A．
B．
C．
D．
10．（ 4 分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度
6．（ 4 分）已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边长为整数，则该三角形的周长为
(
)
A ．7
B．8
C． 9
D． 10
7．（ 4 分）实数 m ， n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是