正方体,正三棱锥,与球
确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A ．2B ．62C ．112D ．52【解析】 易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B ． 【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
阅读与欣赏(七) 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
空间几何体的表面积及体积公式大全
空间⼏何体的表⾯积及体积公式⼤全空间⼏何体的表⾯积与体积公式⼤全⼀、全（表）⾯积（含侧⾯积） 1、柱体①棱柱②圆柱 2、锥体①棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=②圆锥：l c S 底圆锥侧213、台体①棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=②圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、球体①球：r S 24π=球②球冠：略③球缺：略⼆、体积 1、柱体①棱柱②圆柱 2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台 4、球体①球：rV 334π=球②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧⾯积时使⽤侧⾯的斜⾼h '计算；⽽圆锥、圆台的侧⾯积计算时使⽤母线l 计算。
三、拓展提⾼ 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的⼉⼦）夹在两个平⾏平⾯间的两个⼏何体，如果它们在任意⾼度上的平⾏截⾯⾯积都相等，那么这两个⼏何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之⽗⼦便是运⽤这个原理实现的。
2、阿基⽶德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在⼀个⾼和底⾯直径都是r 2的圆柱形容器内装⼀个最⼤的球体，则该球体的全⾯积等于圆柱的侧⾯积，体积等于圆柱体积的32。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3222)(ππ=?==圆柱圆柱侧⾯积：r h cS r r 242)2(ππ=?==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=?=球球体表⾯积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到⼀个很重要的关系（如图）+ =即底⾯直径和⾼相等的圆柱体积等于与它等底等⾼的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底⾯中⼼连线的纵切⾯为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于⼀点P 。
设台体上底⾯积为S 上，下底⾯积为S 下⾼为h 。
易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=，则h h PF +=1由相似三⾓形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似⽐等于⾯积⽐的算术平⽅根)整理得：SS h S h 上下上-=1⼜因为台体的体积=⼤锥体体积—⼩锥体体积∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代⼊：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(3S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平⾏分成相同⾼度的若⼲层（层n ），n 越⼤，每⼀层越近似于圆柱，+∞→n 时，每⼀层都可以看作是⼀个圆柱。
高中数学常用公式定理大全
高中数学学考常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有x B ∈，则称A 是B 的子集。
记作A B⊆真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠⊂B集合相等：若：,A B B A ⊆⊆,则A B =3.元素与集合的关系：属于∈不属于：∉空集：φ4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*N整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R二、函数的奇偶性1、定义：奇函数<=>f (–x )=–f (x )，偶函数<=>f (–x )=f (x )（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D 的函数f (x )，若任意的x 1,x 2∈D ，且x 1<x 2①f (x 1)<f (x 2)<=>f (x 1)–f (x 2)<0<=>f (x )是增函数②f (x 1)>f (x 2)<=>f (x 1)–f (x 2)>0<=>f (x )是减函数2、复合函数的单调性:同增异减三、二次函数y =ax 2+bx +c （0a ≠）的性质1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab ac a b 44,22，对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.四、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m +n ，（2）nm nmaa a -=÷，（3）(a m )n =a m n（4）(ab )n =a n •b n（5）nn nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛（6）a 0=1(a ≠0)（7）nna a 1=-（8）mnmn a a=（9）mnmn a a1=-2、根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.4、指数函数y =a x (a >0且a ≠1)的性质：（1）定义域：R ；值域：(0,+∞)（2）图象过定点（0，1）5.指数式与对数式的互化：log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.五、对数与对数函数1对数的运算法则：（1）a b =N <=>b =log a N （2）log a 1=0（3）log a a =1（4）log a a b =b （5）a log a N=N （6）log a (MN)=log a M +log a N （7）log a (NM)=log a M --log a N （8）log a N b =b log a N（9）换底公式：log a N =aN b b log log （10）推论log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).（11）log a N =aN log 1（12）常用对数：lg N =log 10N （13）自然对数：ln A =log e A （其中e =2.71828…）2、对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的性质：（1）定义域：(0,+∞)；值域：R（2）图象过定点（1，0）YX1a >1YX10<a <1Ya >1Y0<a <1六、幂函数y =x a 的图象:（1）根据a 的取值画出函数在第一象限的简图.例如：y =x 221xx y ==11-==x xy 七.图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；规律：左加右减，上加下减八.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.九、函数的零点：1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。
球与多面体的组合体问题
问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案)
数学复习---球的切、接、截面问题(附参考答案)一．选择题（共16小题）．．2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）D．3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）D4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为．C5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，π6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，．C D．8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的．C D．10．（2013•郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）11．（2013•河池模拟）一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的D．12．（2012•南宁模拟）已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O ．C D．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）C．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣．C D15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）．D16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=．C D．二．填空题（共8小题）17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________．18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________．19．（2014•呼伦贝尔二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________．20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于_________．21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为_________．22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为_________；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_________．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是_________．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=_________．截面问题一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是__．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_________（只填写序号）．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是_________．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为_________．5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为_________．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是_________．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为_________．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为_________．9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？2015年高三数学复习---球的切接问题组参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）．．）R=）．2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）D．r=，球的表面积．3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）D它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为．C解：由题意所以球的体积为：5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，π．=2所求球的体积为：2=326．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，，正方体的对角线长为：6=67．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，．C D．所以球的半径为：8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则AC=×=259．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的．C D．=，E==2=3的半径为10．（2013•郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）的面积分别为、，，，，AD=∴半径为=611．（2013•河池模拟）一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）D．=5R=12．（2012•南宁模拟）已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O ．C D．，∴AC==的体积为=13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）C．，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与解：由于侧面与底面所成角为）R=所以两者的比为：14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣．C D的半径为，cosA==215．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）．D，球的半径为：；所以球的体积为：=16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=．C D．正六棱柱的体积为，则，得极值点二．填空题（共8小题）17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．易得球半径18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．R=点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可∴正方体的棱长为，解得r=19．（2014•呼伦贝尔二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是8．=AC=20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于．外接圆的半径是AO=PO==∴四棱锥的外接球的半径为：R==故答案为：21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．的半径为V=S h=PC=××2=22=×=的距离为﹣22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3．OED==323．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是3．PF=，底面三角形的高为：24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=．EF=ED=×==，R=故答案为：参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是．则正三角形的高为，边长为RR=•R R=2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为①②③（只填写序号）．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是．，故答案为：4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．R=SD==×故答案为：5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．，π××．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是（2）．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为．OM===4的最大距离为：故答案为：8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．R=求出球2r=R=V=，故答案为：二．解答题（共1小题）9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？AC= ==即圆锥内的水深是。
上课 正方体、三棱锥的内切球和外接球和棱切球的问题讲解学习
1 3
2
VABCD
3
4
2
6
1
2 3
O•
D
1 3
rS全3ຫໍສະໝຸດ 223 rB
C r 6 2 S球 8 5 2 6
1 注意：①割补法，② V多 面 体 3 S全 r内 切 球
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R
6 a
4
E 3a
6
S表
3 2
a2
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
正四面体的三个球
一个正四面体有一个外接球， 一个内切球和一个与各棱都 相切的球。那么这三个球的 球心及半径与正四面体有何 关系呢？为了研究这些关系， 我们利用正四面体的外接正 方体较为方便。
正四面体的外接球即为正 方体的外接球，与正四面 体各棱都相切的球即是正 方体的内切球，此两球的 球心都在正方体的中心， 在正四面体的高的一个靠 近面的四等分点上，
棱柱和棱椎的外接球和内切球
简单几何体得外切球与内接球得计算一、棱柱与球1、正棱柱具备内切球得条件：侧棱长与底面边长有一定得运算关系。
分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长得比例。
其中正三棱柱得侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱得侧棱与底面连长得比值为1：1；正六棱柱得侧棱与底面连长得比值为、2、直棱柱得外接球球心位置：上下两底中心连线得中点。
[分析原因]注：长方体与正方体得外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线得中点。
例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球得表面积。
二、棱锥与球1、棱锥得内切球半径=[分析过程：等体积法]例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。
例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。
2、棱锥得外接球半径得计算。
1、利用外接球球心得意义求普通棱锥得外接球半径注：棱锥得外接球球心就就是确定一点，到棱锥所有顶点得距离都相等，并且该距离就就是半径。
[主要体现在折叠过程中找线段相等得条件]例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球得表面积。
分析：对角线AC得中点就就是外接球得球心。
2、正棱锥得外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。
例：已知正三棱锥得侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球得表面积之比。
[9：1]注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高得。
例：正四棱锥P－ABCD得五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为23、共顶点得三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应得长方体中，它们所对应得外接球为同一个球，[棱锥得外接球]例：三棱锥P－ABC得三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥得顶点都在同一个球面上，则这个球面得表面积为（14）例：已知P、A、B、C、D就是球O得球面上得五点，正方形ABCD得连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球得体积为（32）三、圆锥得内切球以及内接圆柱得相关计算思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间得运算关系例：若圆锥得高等于其内切球半径长得3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）例：圆锥得高与底面半径相等，它得一个内接圆柱得高与圆柱底面半径也相等，求圆柱得表面积与圆锥得表面积得比值为（）四、若球与几何体得棱相切时，则对棱之间得距离就就是球得直径。
各种立体几何图形(彩色)
（11）正方体内的正八面体（12）四工作室倾情制作易数工作室倾情制作易数工作室倾情制作111正四面体外接球正四面体外接球正四面体外接球222正四面体内切球正四面体内切球正四面体内切球333正方形沿正方形沿正方形沿aeaeaeafafafefefef折叠起来折叠起来折叠起来分别是正方体棱中点分别是正方体棱中点分别是正方体棱中点过过的直线被的直线被的直线被三点重合三点重合三点重合截线是mnmnmn一个球内切于一个圆台一个球内切于一个圆台一个球内切于一个圆台666正三棱锥三视图正三棱锥三视图正三棱锥三视图777正方体内切球正方体内切球正方体内切球888正方体长方体外接球正方体长方体外接球正方体长方体外接球999与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球与正方体所有棱相切的球101010圆锥内接正方体圆锥内接正方体圆锥内接正方体111111正方体内的正八面体正方体内的正八面体正方体内的正八面体121212四个面都是直角三角形的四四个面都是直角三角形的四四个面都是直角三角形的四面体三棱锥面体三棱锥面体三棱锥
各种立体几何图形
易数工作室倾情制作
（1）正四面体外接球（2）正四面体内切球
（3）正方形沿AE, AF, EF折叠起来,（4）E,F分别是正方体棱中点,过E,F的直线被使B, C , D三点重合球所截,截线是MN
（5）一个球内切于一个圆台（6）正三棱锥三视图
（7）正方体内切球（8）正方体（长方体）外接球
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Last revision on 21 December 2020正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
立体几何专题 外接球问题中常见的8种模型
立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型一、概述在立体几何学中，外接球问题是一个常见而重要的课题。
外接球不仅在几何图形的构造过程中起到关键作用，还在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍外接球问题中常见的8种模型，帮助读者更全面地理解和掌握外接球的相关知识。
二、正方体的外接球1. 定义：正方体是一种每个面都为正方形的立体几何体，其所有角均为直角。
外接球即为能够与正方体的八个顶点相切的球。
2. 性质：正方体的外接球是唯一的，其半径等于正方体的对角线的一半。
3. 应用：正方体的外接球常用于建筑工程和立体图形的设计中。
三、长方体的外接球1. 定义：长方体是一种每个面都为矩形的立体几何体，其所有角均为直角。
外接球即为能够与长方体的八个顶点相切的球。
2. 性质：长方体的外接球不唯一，其半径等于长方体的对角线的一半。
3. 应用：长方体的外接球常用于船舶和飞机的设计中，以及工业生产中的成型模具设计。
四、正三棱锥的外接球1. 定义：正三棱锥是一种底面为正三角形，且其余各侧面均为三角形的立体几何体。
外接球即为能够与正三棱锥的四个顶点相切的球。
2. 性质：正三棱锥的外接球不唯一，其半径等于正三棱锥底面边长的一半，乘以根号3。
3. 应用：正三棱锥的外接球常用于建筑和雕塑领域，也常出现在几何学教学中的案例中。
五、正四面体的外接球1. 定义：正四面体是一种每个面都为等边三角形的立体几何体，其四个顶点位于同一平面外接球即为能够与正四面体的四个顶点相切的球。
2. 性质：正四面体的外接球不唯一，其半径等于正四面体的高的三分之一，乘以根号6。
3. 应用：正四面体的外接球常用于建筑和城市规划中，以及几何学竞赛中的题目设计中。
六、棱台的外接球1. 定义：棱台是一种顶面和底面都为多边形，且其余各侧面均为梯形的立体几何体。
外接球即为能够与棱台的顶点和底面相切的球。
2. 性质：棱台的外接球不唯一，其半径需通过棱台的不同侧面长度和角度进行计算。
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
Байду номын сангаас
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
三棱锥的外接球问题
多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。
题型一有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1. 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， BC ＝ 3，沿 AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 B ACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A. 125B.125 C. 125D.125 12963B2. 三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 且 SAACSB BC 2 2，SC 4 ，则该球的体积为256 B32 C16 D64A33解析：．在四面体 S ABC 中， AB BC, AB BC2, SA SC 2，二面角 S AC B 的余弦值是D33 ，则该四面体外接球的表面积是（）3A ．86 B ．6 C ．24D ．6A4. 在平面四边形 ABCD 中， AB ADCD 1，BD2 ， BDCD ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A ' BCD ，使平面 A ' BD平面 BCD ，若四面体 A 'BCD 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A3 B3C2 D223225．平行四边形 ABCD 中， AB · BD =0，沿 BD 将四边形折起成直二面角A 一 BD －C ，且 2 ABBD4，则三棱锥 A － BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．B． C． 4D．224试题分析：AB BD 0, 所以 AB BD , 因为 ABCD 为平行四边形 , 所以 CD BD, AB CD .因为A BD C 为直二面角 , 所以 面 ABD 面 CBD , 因为 面 ABD 面 CBD=BD , AB 面 ABD , ABBD ,所以AB 面 CBD . 因为 BC 面 CBD , 所以 ABBC . 分析可知三棱锥 ABCD 的外接球的球心为AC 的中2 2 22 2222点 .因 为 A CABBCA (BCD ) B2DAB 4CD则三棱锥,所以AC 2.A BCD 的外接球的半径为1, 表面积为 4 .故 C 正确.6 已知直角梯形ABCD ， ABAD ，CDAD ，AB 2 AD 2CD2 ，沿 AC 折叠成三棱锥 ，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4解：如图，2， AD ，13∴ AC2，BC 2， BC AC .取 AC 的中点 E ，AB 的中点 O ，连结 DE ， OE ， ∵当三棱锥体积最大，∴平面 DCA平面 ACB ，OB OA OC OD ， OB1即为外接球的半径. 此时三棱锥外接球的体积： 4R 34．33题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体， 长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1. 在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6, AC BD AD BC 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为科____________ 432 A ， B ， C ， D 四点在半径为5 2的球面上，且 AC BD5， ADBC41 ， AB CD ，则三2棱锥 DABC 的体积是 ____________． [来源 :学 ,科 ,网 ]【答案】 20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC ，如图所示，设长方体的长、宽、a 2b 2 25高分别为 a ， b ， c ，则有 a 2c 2 41，解得 a 4， b3 ， c 5 ，所以三棱锥的体积为5a 2b 2c 250－ 4114 3 5＝20．3 2题型三 直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1. 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若 PA, PB, PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC3的距离为 ________3→ → → → → →2．设 A ，B ， C ， D 是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足 AB ·AC ＝ 0， AD ·AC ＝ 0，AB ·AD ＝ 0，用 S 1、 S 2、S 3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积，则 S 1 ＋S 2＋ S 3 的最大值是 ________．答案 8→ → → → → → →→→→→→解析 由AB ·AC ＝ 0，AD ·AC ＝ 0， AB ·AD ＝ 0， ∴ AB ⊥ AC ， AD ⊥ AC ，AB⊥AD ，由点 A ， B ，C ，D 构成的2 2三棱锥，可以补形成一个长方体， 该长方体的外接球半径为2222AB ＋AC2，∴ AB ＋ AC ＋ AD ＝ (2＋ 2) ＝ 16，即 2AB 2 ＋AD 22＋ AC 2＋ ＋ AD 1 1 2 ＝ 16≥ AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD ， ∴S 1＋ S 2＋ S 3 ＝ (AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD)≤2 2 2× 16，当且仅当 AB ＝ AC ＝ AD ＝43时， S ＋S ＋S 取得最大值 8.31233．三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形，PA PBPC 2， PAPB ，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（）A ． 48B ． 12C． 4 3D．32 3解析 :由题意得： PA, PB , PC 两两相互垂直，以 PA, PB, PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC 的外接球，半径为 3 ，表面积为 4 ( 3) 2 12 ，选 B ．C4. 在正三棱锥 A BCD 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点， EF DE ，若 BC2 ，则 A BCD 外接球的表面积为AB2C3D4C5. 在正三棱锥 S ABC 中， M , N 分别是 SC, BC 的中点，且 MN AM ，若侧棱 SA2 3 ，则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积为A 12B32C36D487．已知正方形APP P的边长为4，点 B,C 分别是边PP , P P的中点，沿 AB, BC ,CA 折叠成一个三棱1 2 31 22 3锥 P ABC （使 P , P , P 重合于点 P ），则三棱锥 P ABC 的外接球的体积为（）123A.24B.86C.46D. 4解析：折成的三棱锥 P ABC 如图所示.由题意可知 PA,PB,PC 两两互相垂直且PA PB PC 4,AB AC 2 5,BC 2 2.设此棱锥外接球的半径 r , 则 r2224 r 326 . 则外接球的体积为 V8 6 . 故 B 正确.38. 已知 P, A, B,C, D 在球 O 的表面上， PA ABCD ， PA2 6 ， ABCD 是边长为 23 的正方形，则 OAB 的面积为 ____________ 3 3 题型四 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体 P ABC ,其中 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC , PA 4 ,则四 面体P ABC 外接球的表面积为 ________．【答案】 64π．【解析】根据已知中底面 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC ,可得此三棱锥外接球 ,即以ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球．因为 ABC 是边长为 6 的正三角形 ,所以 ABC 的外接圆半径为 r2 3 ,所以球心到 ABC 的外接圆圆心的距离为 d 2 ,所以球的半径为R r2d 2 12 4 4 所以四面体 P ABC外接球的表面积为 S 4πR 264π故应填．,,64π2.已知三棱锥 A BCD 中， ABACBD CD 2 , BC 2 AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是，3则此时三棱锥外接球的体积是()A82 4 28 2BC3D33选 D3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为B73 1 C．体积为 3 D．外接球的表面积为43．表面积为3解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高 的三棱锥， AC=2 ， BE=1 ，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为 0，半径为 x ，则，在直角三角形222，即，OEC 中， OE +CE =OC整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以 A ，C ， D 都不正确，故选 B ．题型五平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d ，球的半径为 R ，截面圆的半径为r ，则有R 2 d 2 r 21. 已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB 18, BC 24, AC30 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A. 1200B. 1400C. 1600D.18002.已知一个球的球心 O 到过球面上 A 、 B 、 C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 ABBCCA3，则球的体积为32.33. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上， 且 AB 6, BC 2 3,则棱锥 OABCD 的体积为 。
高考数学专题19 几何体中与球有关的切、接问题(解析版)
专题19 几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①假设球为正方体的外接球，那么2R ＝3a ；②假设球为正方体的内切球，那么2R ＝a ；③假设球与正方体的各棱相切，那么2R ＝2a .(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，那么2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一 、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，假设⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，那么球O 的外表积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的外表积2464S R ππ==.应选：A.此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.例2、【2021年高考天津】假设棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的外表积为2244336S R πππ==⨯=. 应选：C ．此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；〔3〕如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、〔2021届山东省潍坊市高三上学期统考〕边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，那么过A ，B ，C ，D 四点的球的外表积为〔 〕A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==24(52S ππ==，应选C.例4、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕四棱锥P ABCD -的体积是，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，那么四棱锥P ABCD -外接球体积为〔 〕A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是，13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x ==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.应选：A.例5、〔2021届山东省德州市高三上期末〕中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED ，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，那么3143R π=，解得1R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=，可得2PA ==PA ∴正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==，2r ∴=PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的外表积为22420R ππ=. 故答案为：20π.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r =π=π.. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、〔2021届山东省潍坊市高三上期中〕如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的外表积为__________；假设该六面体内有一小球，那么小球的最大体积为___________．【答案】2 729【解析】〔1〕因为16(1222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的外表积为2. 〔2〕由图形的对称性得，小球的体积要到达最大，即球与六个面都相切时，2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()63R R =⨯⇒=，所以球的体积3344()393297V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、〔2021届山东省泰安市高三上期末〕正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么该正三棱锥外接球的外表积是〔 〕 A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如下图，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的外表积为2464S R ππ==， 应选D.2、【2021年高考全国II 卷理数】△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.假设球O的外表积为16π，那么O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，那么2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.应选：C ．此题考查球的相关问题的求解，涉及到球的外表积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，那么球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一局部，2R ==即344π33R V R =∴=π==，应选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==，2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，应选D.此题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ．C ．D ．【答案】B【解析】如下图，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABCS AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=， ()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2021年新高考全国Ⅰ卷】直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，那么1DE EP ⊥，1D E ，所以||EP ===所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π==.故答案为：2. 6、〔2021届山东省滨州市三校高三上学期联考〕三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.假设三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为________.【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，那么SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan 3SAAB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，那么必有OG ⊥面ABC在ABC ∆，2222cos31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 那么1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的外表积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、〔2021届山东省枣庄、滕州市高三上期末〕如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC ，那么PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC外接球的外表积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，那么平行四边形ABCD 是矩形．由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==． 故答案为：45︒；6π．8、〔2021届山东省烟台市高三上期末〕三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的外表上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，那么：〔1〕球O 的外表积为__________；〔2〕假设D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，那么截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】〔1〕由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,那么可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,那么体对角线为外接球直径,即2r ==,那么r =,所以球的外表积为224452r πππ=⨯=；〔2〕由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,那么外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：〔1〕52π；〔2〕4π9、〔2021届山东省滨州市高三上期末〕在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的外表积为________.8π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC ，AC =AB ==因此222BC AC AB +=，那么AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，那么OA OB OC OS ====所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC =所以该四面体外接球的外表积为248S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为13ABC V S SO =⋅=故答案为：(1). (2). 8π10、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕下列图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，那么三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如下图的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。
人教版高中数学必修2A版_第1章空间几何体单元同步测试题(二)【精品2套】
必修2A版_第1章空间几何体_本章小结_试题资源：单元测试题（三）（时间：120分钟，满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面几何体的轴截面一定是圆面的是A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台2.下列说法正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C．有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.D．棱台各侧棱的延长线交于一点.3.一个几何体的某一方向的视图是圆,则它不可能是A．球体 B．圆锥 C．长方体 D．圆柱4.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③A．3个 B．2个 C．1个 D．0个5.下列四个命题中,正确的命题是A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的对应的中位线6.下面的四个图中不能围成正方体的是A． B． C． D．7.长方体的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的体积是A．6 B．12 C．24 D．368.如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则这圆锥的侧面积与全面积的比是A．1:2 B．2:3 C．．9.一个三角形用斜二测画法画出来是一个正三角形,边长为2,则原三角形的面积为A．．．10.若球的半径为1,则这个球的内接正方体的全面积为A．8 B．9 C．10 D．12第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11.以等腰直角梯形的直角腰所在的直线为轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是_____.12.三视图都为圆的几何体是__________13.两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个球，这个大球的半径为 .14.矩形长6,宽4,以其为圆柱侧面卷成圆柱,则圆柱体积为 ________15.圆台上,下底半径分别为r,R,侧面面积等于两底面积之和,圆台的母线长为________.16.圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的表面积______圆柱的侧面积.(填>,<,=)17.平行于锥体底面的截面截得锥体的体积与原锥体的体积之比为8:27,则它们的侧面积之比为_______.三．解答题：本大题共5小题，共72分。
正三棱锥的内切球与外接球
正三棱锥的内切球与外接球Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.。
内切球的半径公式
内切球的半径公式
1. 正方体的内切球半径公式。
- 设正方体的棱长为a。
- 正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球半径r = (a)/(2)。
2. 正三棱锥的内切球半径公式（利用体积法）
- 设正三棱锥的底面边长为a，高为h，内切球半径为r。
- 首先求正三棱锥的体积V=(1)/(3)S_底h，其中S_底=(√(3))/(4)a^2。
- 把正三棱锥分割成以球心为顶点，以三棱锥的各个面为底面的四个三棱锥。
- 这四个三棱锥的体积之和等于原三棱锥的体积。
- 设正三棱锥的表面积为S，则V=(1)/(3)Sr。
- 通过计算S = S_底+ 3S_侧（S_侧为侧面三角形的面积），侧面三角形的高H=√(h^2)+<=ft((√(3))/(6)a)^{2}，S_侧=(1)/(2)aH，然后根据V=(1)/(3)Sr求出
r=(3V)/(S)。
3. 三棱柱（直三棱柱）的内切球半径公式（特殊情况）
- 当直三棱柱上下底面为直角三角形时（设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c），直三棱柱的高h = a + b - c时存在内切球。
- 此时内切球半径r=(a + b - c)/(2)。
4. 一般多面体的内切球半径公式（体积法通用）
- 设多面体的体积为V，表面积为S。
- 同样根据V=(1)/(3)Sr，可得内切球半径r = (3V)/(S)。