自然界奇妙的费氏数列
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列费波纳奇数列（Fibonacci Number Series）该数列由十三世纪意大利数学家费波纳奇（Leonardo Fibonacci）发现。
数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数、奇异数。
具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……数列的公式：A0=A1=1；An=An-1+An-2 （n=2，3，4，……）用语言来表达的话，就是：从数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。
与费波纳奇数列有关的数字现象很多：两个连续的费波纳奇数字没有公约数；数列中任何10个数之和，均可被11整除；……。
无论是从宏观的宇宙空间到微观的分子原子，从时间到空间，从大自然到人类社会，政治、经济、军事……等等，人们都能找到费波纳奇数的踪迹。
在期货市场、股票市场的分析中，费波纳奇数字频频出现。
例如在波浪理论中，一段牛市上升行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；而一段熊市行情可以用1个下降浪来表示，也可以用3个低一个层次的小浪来表示，还可以继续细分为13个或55个小浪；而一个完整的牛熊市场循环，可以用一上一下2个浪来表示，也可以用8个低一个层次的8浪来表示，还可以继续细分为34个或144个小浪。
以上这些数字均是费波纳奇数列中的数字。
人们在谈到市场的回调、延伸时，常用到0.618，0.328，0.236和1.618，2.382，4.236等数字，这些数字均可出自费波纳奇数中数与数之比例，被称之为费波纳奇比列。
如，相邻两个费波纳奇数之比趋向于0.618或1.618，间隔一个的两个相邻费波纳奇数之比趋向于0.382或2.618；间隔两个的相邻费波纳奇数之比趋向于0.236或4.236。
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列，又称黄金分割数列，是一种非常特殊的数列。
这个数列的每一项都是前两项之和，从而形成了1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……这样的一组数字。
这个数列的特殊之处在于，它的每一项都是前一项和前两项的和，这样的组合关系使得它具有非常神奇的性质。
这个数列的特殊性质之一，便是它的比值趋近于黄金分割比例。
黄金分割比例是一种非常美学的比例，它是指一条线段分成两段时，较长的一段与整条线段的比值等于较短一段与较长一段的比值。
这个比例的数学表达式为（a+b）/a=a/b，其中a和b分别为较长和较短的线段长度。
费波纳奇数列的比值趋近于黄金分割比例，是因为当n趋近于无穷大时，Fn+1/Fn趋近于黄金分割比例1.6180339887……。
除了黄金分割比例，费波纳奇数列还有其他非常有趣的性质。
例如，这个数列中每个数的个位数字都是以5为周期循环的。
更特别的是，它还具有非常神奇的几何性质，被称为“费波那契螺旋”。
这个螺旋是通过在一个正方形内不断绘制正方形来构建的。
每个正方形的边长都是前一个正方形的边长。
当这个螺旋不断绘制下去时，它所构成的线条和形状非常美妙，被认为是一种非常优美的图形。
费波纳奇数列的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，费波纳奇数列被用来预测股价和市场走势。
在自然界中，很多的植物和动物都具有费波纳奇数列的特性。
例如，一些植物的叶子排列和一些动物的身体构造都具有这个数列的性质。
费波纳奇数列是一种非常特殊的数列，它具有非常神奇的性质。
这个数列的比值趋近于黄金分割比例，它的每个数的个位数字都是以5为周期循环的，它还具有非常神奇的几何性质。
费波纳奇数列的应用非常广泛，它被用来预测股价和市场走势，在自然界中，很多的植物和动物都具有这个数列的性质。
斐波那契数列趣谈
斐波那契数列趣谈一般认为斐波那契数列的提出是基于兔子的繁殖问题：如果一开始有一对兔子，它们每月生育一对兔子，小兔在出生后一个月又开始生育且繁殖情况与最初的那对兔子一样，那么一年后有多少对兔子？答案是，每月兔子的总数可以用以下数列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…。
这一数列是意大利数论家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他13世纪初的著作Liber Abaci中最早提出的。
如果取数列前两个元素为1，那么递推关系就是：当然，曾经有一度数学家们将0作为斐波那契数列的首项（或第0项）。
这一数列看起来相当简单，但却隐藏着一些有趣的东西。
关于数列元素关于斐波那契数列的元素，人们发现了不少有意思的事情。
质数与合数：斐波那契数列的质数元素也是该数列的质数项，唯一的例外是第4项元素3。
但这个规律反过来不成立，数列的质数项元素的也可能是合数。
这一“规律”可以为人们提供搜索大质数的线索。
但在相当大的元素以后是不是仍有这个规律呢？目前没有人知道。
如果把用二进制表示的斐波那契数列前511个元素绘制出来，是这个样子的Wolfram Research）：是不是有点分形的味道？第10n项：分别是2，21，209，2090，20899，208988，2089877，20898764…。
（Sloane’s A068070）也就是说，这一数字不断接近208987640249978733769…的前几项。
而208987640249978733769…和这样一个数有关：Binet公式：这个公式不是轨道力学里的那个常用的同名公式，而是给出斐波那契数列第n项的另一个公式，是Jacques Philippe Marie Binet在1843年发现的：看到了什么？是不是括号中的两个数似乎和黄金分割有关？斐波那契数列与黄金分割苏格兰人Robert Simson证明了，当项数趋于无穷时，斐波那契数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是1.61803398875…。
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
fibonacci数列在自然界中的
fibonacci数列在自然界中的
"自然界中的Fibonacci数列：从花瓣的数量到种子的排列，把一切
用数学的规律表示出来。
"
Fibonacci数列在自然界中具有重要意义。
它是以0、1开头，后续
元素由其前两位之和而来，这种现象就出现在自然界中。
1.生物界: 在动物和植物的发展过程中，都可以看到Fibonacci数列的踪迹。
比如花瓣的设计，往往是3，5，8，13等等Fibonacci数；而在昆
虫的触角中，也可以看到Fibonacci数的精彩表现。
2.自然界: 在天文界，有很多基于Fibonacci数的十足惊喜，比如类似MILKYWAY银河系的行星环绕木星的轨迹，其轨道半径都接近的Fibonacci的比例；而在地质界，我们可以找到很多Fibonacci数的痕迹，比如在咖啡壳里，有精妙的纤维螺旋，其实就是Fibonacci数列。
3.数学界: Fibonacci数列在数学界有很多用处，比如可以求解各种衍生函数，解决求最大公约数，最小公倍数等问题；而且在金融界，有大
量的金融模型都依赖于Fibonacci数列，比如股票定价，投资等。
总之，Fibonacci数列在自然界中带给我们许多惊喜，虽然它看似极其简单，但是却拥有强大的生命力，值得人们越来越深入地去研究它。
费不纳契数列
费不纳契数列费不纳契数列，又称黄金分割数列，是由意大利数学家费波那契在13世纪提出的数列。
这个数列的特点是每个数字都是前两个数字之和，即第三个数字等于前两个数字的和。
费不纳契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……。
费不纳契数列的独特之处在于，它具有一种奇妙的比例关系。
当我们将相邻两个数字相除，随着数字的增大，这个比值会趋近于1.618，即黄金分割比。
这个比值在艺术、建筑、音乐等领域中经常被应用，被认为是最美的比例之一。
这个数列的美妙之处不仅仅在于它的数值关系，更在于它所代表的一种生命的律动。
这个数列在自然界中随处可见，例如：向日葵的花瓣数、松果的排列、贝壳的螺旋、旋涡云的形态等等，都可以用费不纳契数列来描述。
这种数列像是大自然的密码，向我们展示了一个奇妙而又神秘的世界。
当我们仔细观察这个数列，我们会发现其中蕴含着一种无限延伸的美妙。
每个数字都是前两个数字之和，而前两个数字又是前面两个数字之和，如此循环往复，永不停歇。
这种无限延伸的特性让人不禁想起宇宙的辽阔和时间的长河。
费不纳契数列不仅仅是一种数学上的规律，更是一种哲学上的思考。
它告诉我们，在这个世界上，一切都是相互联系的，一切都是无限延伸的。
每个数字都有它独特的位置和意义，就像每个人都有他们独特的存在和价值。
当我们面对生活中的困难和挑战时，不妨想一想费不纳契数列。
它告诉我们，每个困难都是一个数字，而我们可以通过不断努力和奋斗，找到解决问题的方法，就像数列中的每个数字都是由前两个数字相加得到的。
费不纳契数列的美丽和神奇让人感到震撼和敬畏。
它不仅仅是数学家们的研究对象，更是一种启迪和鼓舞。
它告诉我们，数学不仅仅是一堆枯燥的公式和计算，它可以让我们看到世界的奥秘和生命的美好。
让我们一起来探索费不纳契数列的奥秘，感受数学的魅力，让我们的思维跟随数字的律动，追寻无限的美丽。
斐波那锲数列
斐波那锲数列
斐波那锲数列是一种非常有趣的数列，它的特点是每个数都是前两个数的和。
具体来说，斐波那锲数列的前几个数是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……这个数列的规律非常简单，但是却有着非常广泛的应用。
斐波那锲数列在自然界中有着很多的应用。
例如，许多植物的花瓣数、叶子数、果实数等都符合斐波那锲数列的规律。
这是因为斐波那锲数列的规律可以帮助植物在生长过程中更加高效地利用养分和能量，从而使得它们的生长更加健康和稳定。
斐波那锲数列还在金融领域中有着广泛的应用。
例如，斐波那锲数列可以用来预测股票价格的走势。
具体来说，如果我们将股票价格看作斐波那锲数列中的一个数，那么我们就可以通过计算前面几个数的和来预测未来的股票价格。
这种方法虽然并不完全准确，但是却可以帮助投资者更好地把握市场的走势。
斐波那锲数列还在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，斐波那锲数列可以用来设计一些高效的算法，从而提高计算机程序的运行速度。
斐波那锲数列虽然看起来非常简单，但是却有着非常广泛的应用。
无论是在自然界、金融领域还是计算机科学中，斐波那锲数列都可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，从而推动人类社会的发展
和进步。
大自然里的斐波那契数列
大自然里的斐波那契数列
斐波那契数列是一组数列，其中每个数都是前两个数的和。
这个数列在大自然中出现得很频繁，比如：
1. 植物的排列方式：例如太阳花的花瓣数目往往是斐波那契数列中的某个数。
2. 蜂巢的排列方式：蜂巢中的蜜蜂把巢室分为两类，较小的巢室和较大的巢室，两种巢室的数量比例是斐波那契数列。
3. 螺旋壳的形状：许多螺旋壳的外形都很像斐波那契数列。
4. 人体的比例：人体的身体比例也有一定的斐波那契关系，比如手指的长度比例就符合斐波那契数列。
斐波那契数列在自然界中的出现似乎说明这个数列具有一定的普遍性和规律性，这也让人们更加好奇斐波那契数列的奥秘。
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自然界中的斐波那契数列现象
自然界中的斐波那契数列现象
斐波那契数列是一种可以在自然界中看到的数学现象。
下面是一些例子：
1. 植物的生长规律。
许多植物在生长过程中都会遵循斐波那契数列的规律。
例如，植物的根系、枝条、叶子和花序的数量都通常是斐波那契数列中相邻两个数的比例。
这种规律可以在许多有机体中看到，包括叶绿体和蛋白质的编码序列。
2. 蜗牛的壳。
蜗牛的壳也呈现出斐波那契数列的规律。
每一个螺旋线上的颗粒数量都是前一个和后一个颗粒数量的和。
3. 黄金比例。
黄金比例是斐波那契数列的一个重要特征，也是自然界中许多美学和设计原则的基础。
黄金比例被认为是最好的比例，因为它具有一种特殊的美学和视觉吸引力。
4. 雪花的形状。
雪花的形状也有斐波那契数列的特征。
每个雪花都有六个分支，每个分支的角度都是60度。
这种形状可以通过斐波那契数列中的数字来解释和预测。
5. 海贝壳的形状。
海贝壳的形状也有斐波那契数列的规律。
每个海贝壳都由相邻的分支线形成，这些线的长度和角度都遵循斐波那契数列的特征。
费波那契数列及其性质
费波那契数列及其性质费波那契数列（Fibonacci sequence）是一个古老而重要的数学序列，由13世纪意大利数学家列昂纳多·费波那契（Leonardo Fibonacci）首次提出。
该数列的定义如下：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233...每个数字都是前两个数字之和。
简单来说，第三个数字是前两个数字的和，第四个数字是前两个数字的和，以此类推。
费波那契数列在数学和自然界中都有广泛的应用。
在以下内容中，我们将探讨费波那契数列的一些性质以及在实际应用中的一些例子。
1. 黄金比例费波那契数列与黄金比例密切相关。
黄金比例是一种特殊的比例关系，大约是1：1.618。
在费波那契数列中，如果你将相邻两个数字进行除法运算，得到的结果会逐渐趋近于黄金比例。
例如，233除以144的结果大约为1.618，与黄金比例非常接近。
黄金比例在建筑、绘画、金融等领域中都有应用。
许多古代建筑物的比例关系以及著名艺术作品的构图都使用了黄金比例。
2. 广义黄金比例广义黄金比例是指将费波那契数列的相邻两个数字进行除法运算，并得到无穷序列的极限。
即：lim(n→∞) Fn/F(n-1) = φ其中，Fn表示第n个费波那契数，φ为黄金比例。
这个广义黄金比例的极限值为φ，与简单的黄金比例相等。
3. 数学规律费波那契数列还具有许多有趣的数学规律。
以下是其中的一些例子：- Fn会以指数级别增长，随着n的增大，数列呈现出明显的增长趋势。
- 连续的费波那契数的比值逐渐趋近于黄金比例。
- 第n个费波那契数列的平方近似等于第n-1和第n+1个费波那契数的乘积，即Fn^2 ≈ F(n-1)F(n+1)。
4. 自然界中的应用费波那契数列在自然界中也有许多应用。
以下是一些例子：- 植物的分枝模式有时遵循费波那契数列，例如松果的排列。
- 螺旋壳、花朵的排列、果实的种子等也可能呈现出费波那契数列的规律。
结论费波那契数列是一个具有许多有趣性质和应用的数学序列。
费氏数列
无所不在的费氏数列
1.排砖块
以长 × 高为 2 × 1 的砖块为基本素材，组合成高度为2、 长度为n 的围墙。请问：砖块的组合方式有多少种可能？
2.蜂巢问题
若一只蜜蜂要飞到蜂巢，而蜜蜂只能前进、不能后退， 则抵达第n号蜂巢的方法有多少种？
动动脑时间
让我们仔细地算一下。 第一、第二个月，小兔子长成大兔子，但还没成熟不能生小兔子，所
以总共只有一对。 第三个月，原有的一对大兔子生了一对小兔子，现在一共有二对了。 第四个月，大兔子又生了一对小兔子，但是第二代的那对小兔子还没
成熟，还不能生小兔子，所以总共有三对。 第五个月，第一、二两代的两对兔子各生了一对小兔子，连同四月份
这些兔子的数目我们称之为费氏数（Fibonacci numbers）。
为方便起见，我们用 Fn 表示第 n 代兔子的数目。
我们观察到F1 = F2 = 1
而 当 n≧3 时，Fn = Fn - 1 + Fn – 2
生活中的费氏数列
自然界中到处可见费氏数列的踪迹。树枝上的分枝数， 多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3，梅花 5， 桔梗常为 8，金盏花 13，…等等。
其中有五条较平缓的平行 螺线往右上旋，有八条较 陡的平行螺线往左上旋， 另外还有更陡的十三条平 行螺线是往右上旋。
向日葵种子的螺旋排列
向日葵花心的排列中，可以 看到一组顺时钟方向的螺线， 及另一组逆时锺方向的螺线， 这两组螺线的数目，恰好是 费氏数列的「相邻两项」， 有些菊花是13,21或21,34。
生活中的数列
==费氏数列==
费波那西数列（Fibonacci Sequence）
大自然中的斐波那契数列
⼤⾃然中的斐波那契数列科学家发现，⼀些植物的花瓣、萼⽚、果实的数⽬以及排列的⽅式上，都有⼀个神奇的规律，它们都⾮常符合著名的斐波那契数列。
科学家发现，⼀些植物的花瓣、萼⽚、果实的数⽬以及排列的⽅式上，都有⼀个神奇的规律，它们都⾮常符合著名的斐波那契数列。
例如：蓟，它们的头部⼏乎呈球状。
在下图中，你可以看到两条不同⽅向的螺旋。
我们可以数⼀下，顺时针旋转的（和左边那条旋转⽅向相同）螺旋⼀共有13条，⽽逆时针旋转的则有21条。
此外还有菊花、向⽇葵、松果、菠萝等都是按这种⽅式⽣长的。
蓟顺时针旋转的螺旋⼀共有13条，⽽逆时针旋转的则有21条最典型的例⼦就是以斐波那契螺旋⽅式排列的向⽇葵种⼦。
仔细观察向⽇葵花盘，你会发现2组螺旋线，⼀组顺时针⽅向盘绕，另⼀组则逆时针⽅向盘绕，并且彼此相嵌。
虽然不同的向⽇葵品种中，种⼦顺、逆时针⽅向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。
前⼀个数字是顺时针盘绕的线数，后⼀个数字是逆时针盘绕的线数。
向⽇葵种⼦以斐波那契螺旋⽅式排列的向⽇葵种⼦菠萝的表⾯，与松果的排列略有不同。
菠萝的每个鳞⽚都是三组不同⽅向螺旋线的⼀部分。
⼤多数的菠萝表⾯分别有5条、8条和13条螺线，这些螺线也称斜列线。
菠萝果实上的菱形鳞⽚，⼀⾏⾏排列起来，8⾏向左倾斜，13⾏向右倾斜。
挪威云杉的球果在⼀个⽅向上有3⾏鳞⽚，在另⼀个⽅向上有5⾏鳞⽚。
常见的落叶松是⼀种针叶树，其松果上的鳞⽚在2个⽅向上各排成5⾏和8⾏，美国松的松果鳞⽚则在2个⽅向上各排成3⾏和5⾏…… 。
植物从花到叶再到种⼦都可以显现出对这些数字的偏好。
松柏等球果类植物的种球⽣长⾮常缓慢，在此类植物的果实上也常常可以见到螺旋形的排列。
这枚松果上分别有8条向左和5条向右的螺旋线。
⽽这枚则有8条向左和13条向右的螺旋线。
菠萝与松果如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞⽚数，那么为什么斐波那契数列会与此如此的巧合？这也是植物在⼤⾃然中长期适应和进化的结果。
斐波那契及费氏数列不为人知的惊世秘密
斐波那契及费氏数列不为人知的惊世秘密(转载一）分类：知识箱(2009-12-10 13:42:27) 转载标签：杂谈地震、海啸、洪水、沙尘暴、森林火灾、热浪、瘟疫、战争为什么接二连三地爆发？为什么与人类社会的经济大萧条同时发生？这个世界究竟是怎么了？=======================================================================人类文明的斐波那契演进：人类是一种将无知的经济学家整出的垃圾当科学，拿科学预测当巫术的愚蠢动物。
(注：13世纪意大利著名数学家斐波那契)斐波那契及费氏数列简介：欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（Fbonacc·约1170～1250），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列”。
《几何实践》（Practica Geometriae，1220）则着重叙述希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有《平方数书》（VLiberQuadratorum，1225）、《花朵》（Flos，1225）.... 等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程／十2x2十10x～－20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解（J 一1．36880810785）。
数学趣谈——神奇的斐波那契数列
数学趣谈——神奇的斐波那契数列问题来源：1202年，意大利数学家Leonardo Fibonacci提出了这样一个问题：在最佳条件下，一年里，一对兔子能繁殖多少对兔子？这个理论实验规定，母兔总是生下成对的兔宝宝，每对由一公一母组成。
两只新生的兔子被安置在一个有围栏的院子里，然后让像正常兔子一样繁殖。
长到一个月才能开始繁殖，所以第一个月只有一对兔子。
在第二个月月底，母兔产下两只兔子。
当第三个月到来时，原来的一对兔子又产了一对新生儿，而它们早期的后代则已经成年。
此时便留下了三对兔子，其中两对将在下个月再生两对兔子。
每个月的兔子对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，这个数列被命名为斐波那契数列。
通项公式：很显然，这个数列的每一项都是正整数，可是通项公式是确实用无理数表示的。
特性：斐波那契数列有很多神奇的特性，其中有不少涉及到很多复杂的数学领域，我们仅就高中生容易理解的范围简单讨论一些：平方项：从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。
黄金分割：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……集合子集：斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
两倍项关系：f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)整除性：每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除……斐波那契螺旋线:也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。
大自然中的斐波纳契数列之奇
繁育数量的问题：在理想的环境中一 对兔子能变成多少对兔子？
ｏ＠０囝
口方陵生／译
万方数据
大自然中的
斐渡纳契数列之奇
以下的数列被称为斐波纳契数 列：Ｉ，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，
８９，１４４，２３３，３７７，６１０，９８７，１５９７，
２５８４，４１８１，…．．斐波纳契数列是一种 整数数列，每个数字都是前两个数字 之和，如５＋８＝１３，前一个数字与 后一个数字之比为０．６１８，如８／１３＝ ０．６１８。Ｏ ６１８被世人视作神奇的数字， 人们将其称之为“黄金分割率”，对于 较小的数值来说，这个比值并不那么 精确，但其接近程度足以具有实用价 值。
大自然中处处充满了神奇的数学。下次当你 买回一颗花椰菜后，不妨先观察一番，数一数螺 旋状的菜花共有几瓣。给香蕉剥皮后你可以观察 一下它的截面，将一个苹果一切两半，不是从它 的茎切开，看看会有什么发现。
（本文相关图片见封二）
万方数据
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“一对一个月大的兔子还太小不 能够产生后代，到第二个月开始，这对 兔子每个月生出一对兔子，如果每对 新出生的兔子也以同样的方式产生后 代，而且没有兔子死亡，那么问在每个 月的月初时共有多少对兔子？”
第一个月底，仍然只有一对兔子。 第二个月底，雌兔新生出一对兔 子，那就有两对兔子。 第三个月底，最早的那个雌兔又 生出第二对兔子，现在共有３对兔子。 第四个月底，最早的那个雌兔又 生出第三对兔子，两个月前出生的那 对兔子生出第一对兔子，现在共有５ 对兔子。
无处不在的斐波那契数列
无处不在的斐波那契数列斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明，起始的正方形的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
1.斐波那契数列的提出斐波那契是意大利的数学家，他是一个商人的儿子，儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚，在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识，从而对数学产生了浓厚的兴趣。
长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识。
回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版。
这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道“兔子数目”的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列".你能把兔子的对数计算出来吗?解:可以这么推算:第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子。
第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子。
第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子。
第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子。
费纳契数列
费纳契数列费纳契数列（Fibonacci sequence）是指由0和1开始，后面每一项都是前面两项的和。
用数学公式表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0=0，F1=1。
费纳契数列以其独特的特性在数学领域产生了广泛的应用，包括自然界、金融领域、艺术和计算机科学等。
费纳契数列最初由13世纪的意大利数学家费纳契（Leonardo Fibonacci）在他的书《算学之书》中提出。
费纳契长期在北非旅行，他观察到了一个有趣的现象。
如果假设一对兔子在出生后第一个月达到繁殖能力，然后每个月能够繁殖一对新的兔子，并且不会死亡，那么经过n个月后，兔子对数是如何增长的呢？费纳契用数学的方式解释了这个现象，得出了费纳契数列的规律。
费纳契数列的前几项为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等。
从第三项开始，每一项都是前两项的和。
这种规律使得费纳契数列呈现出独特的递归特性。
费纳契数列不仅仅是数学领域的一种概念，它还在自然界中有着广泛的应用。
例如，植物的叶子排列通常遵循费纳契数列的规律。
例如，向太阳曝光的旋状叶片会围绕茎轴形成一条螺旋线，每个旋细胞之间的角度一般接近于137.5度，这个角度正是黄金分割比例的倒数。
由于黄金分割比例与费纳契数列有密切的关系，所以这种叶排列方式就可以用费纳契数列来解释。
费纳契数列也在金融领域中有着重要的应用。
例如，在股票价格波动的分析中，经常会用到费纳契数列的概念。
根据费纳契数列的规律，可以通过分析股票价格的波动来预测未来的走势。
除了数学和自然界，费纳契数列还在艺术领域中得到了广泛的应用。
许多艺术家使用费纳契数列的规律来设计、排列他们的作品。
例如，在绘画中，艺术家们常常使用费纳契数列的黄金分割比例来布置图形的构图，以此来提高作品的美感。
此外，费纳契数列还在计算机科学领域有着重要的应用。
例如，在算法设计和数据结构中，费纳契数列经常用来解决一些复杂问题，比如递归算法和分治策略等。
费波纳基数列
费波纳基数列费波纳基数列是指这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……在数学中，费波纳基数列是一个非常经典且重要的数列。
它从一开始就呈现出了一种规律性和美感，深受数学爱好者和研究者的青睐。
费波纳基数列的规律非常简单，它的每一个数都是由前两个数相加而得到的。
也就是说，从第三个数开始，后一个数等于前两个数的和。
比如，第三个数是1+1=2，第四个数是1+2=3，以此类推。
费波纳基数列最早由意大利数学家列奥纳多·费波那契在13世纪提出，并因此而得名。
费波那契是欧洲中世纪最重要的数学家之一，他在研究数学问题时，发现了这个神奇的数列。
费波那契数列虽然看似简单，但隐藏着许多深入的数学原理和思想。
费波那契数列在自然界中也有很多出现的现象。
例如，许多花朵的花瓣数目就是一个费波那契数列。
玫瑰花一般有5个花瓣，蒲公英一般有34个花瓣，这些都符合费波那契数列中的规律。
此外，一些植物的茎叶排列和旋转壳体的形态也与费波那契数列相关。
费波那契数列不仅在数学中有重要意义，也在实际生活中有一定指导价值。
它能够帮助我们理解和发现自然界中一些规律和现象。
同时，费波那契数列也启示我们在解决实际问题时，可以利用数学的思维方式和方法。
此外，费波那契数列还被广泛应用在金融、计算机科学等领域。
在金融领域，费波那契数列可以用来预测股市的变化趋势。
在计算机科学中，费波那契数列用于优化算法和设计数据结构等方面。
总之，费波那契数列作为一种经典的数学模型，不仅具有美感和规律性，还具备很多实际应用价值。
它不仅仅是数学领域的研究对象，也是我们了解自然界和解决实际问题的重要工具。
对于学生来说，学习费波那契数列可以培养数学思维和创造力，对于数学爱好者和研究者来说，深入研究费波那契数列可以拓宽数学的视野，探索更深层次的数学奥秘。
因此，我们应该认真对待费波那契数列，进一步挖掘其内涵和应用，为数学和科学的发展做出更多的贡献。
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自然界奇妙的费氏数列（图）
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。
”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。
他让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列（也称作斐波那契数列）的奥妙所在。
斐波那契数列用文字来说就是，斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数（费氏数）就由之前的两数相加。
头几个斐波那契数是（OEIS A000045）：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………
特别指出：0不是第一项，而是第零项。
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）【√5表示根号5】
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
让我们再回到上文魔术师拼地毯的游戏：为什么64＝65？其实这是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到！
1150年印度数学家戈帕拉（Gopala）和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述了这个数列。
在西方，最先研究这个数列的人是意大利比萨的列奥纳多·斐波那契，他描述兔子生长的数目时用上了这个数列。
∙第一个月有一对刚诞生的兔子
∙第两个月之后它们可以生育
∙每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
∙兔子永不死去
假设在n月有新生及可生育的兔子总共a对，n+1月就总共有b对。
在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，所有在n月就已存在的a对兔子皆已可以生育并诞下a对后代；同时在前一月(n+1月)之b对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。
例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草，野玫瑰，南美血根草，大波斯菊，金凤花，耧斗菜，百合花，蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3，5，8，13，21……
自然界中到处可见费氏数列的踪迹。
树技上的分枝数，多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3，梅花 5，桔梗常为 8，金盏花 13，…等等。
费氏数列也出现在松果上。
一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针。
仔细瞧瞧，顺时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13，而另一组常出现的数字是“5和8”。
向日葵也是一样，常见的螺线数目为“34和55”，较大的向日葵的螺线数目则为“89和144”，更大的甚至还有“144和233”。
这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。
为什么呢？
植物是以种子和嫩芽开始生长；种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光。
如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程——包括叶子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。
在顶端的中央，有一个圆形的组织称为“顶尖”（apex）；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个的形成，这些隆起则称为“原基”（primordium）。
生长时，每一个原基自顶尖移开（顶尖从隆起处向外生长，新的原基则在原地）；最后，这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。
每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等，之后能够获得最大的生长空间。
例如叶片希望得到充足的阳光，根部则希望得到充足的水份，花瓣或花蕊则希望充份地自我展现好吸引昆虫来传粉。
因此，原基与原基隔得相当开，由于较早产生的原基移开的较远，所以你可以从它与顶尖之间的距离，来推断出现的先后次序。
另人惊奇的是，我们若依照原基的生成时间顺序描出原基的位置，便可画出一条卷绕得非常紧的螺线——称为“生成螺线”（generative spiral）。
前面提到的左右旋螺线，虽然能够明显到让人一眼看出（植物学家称之为“斜列线”，但那并不是植物的原基生长模式的实际表征；就某种程度而言，这些螺线只是视学上的错觉。
人的眼睛之所以能分辨出斜列线，是因为斜列线是由相邻的原基所形成。
晶体学先驱布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）发现原基沿生成螺线交错排列的数学规则。
他们量测相邻两原基之间的角度，发现量得的各个角度非常相近；这些角的共同值就称为“发散角”。
想象从原基的中心各画一条直线连到顶尖的中心，然后测量这两条线的夹角。
他们发现发散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果从另一边量起），也就是――“黄金角”。
如果我们将一个圆分成两个弧，而两个弧的长度比为黄金比例，小弧的圆心角也就是黄金角。