自然界奇妙的费氏数列

自然界奇妙的费氏数列（图）

一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！

真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列（也称作斐波那契数列）的奥妙所在。

斐波那契数列用文字来说就是，斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数（费氏数）就由之前的两数相加。头几个斐波那契数是（OEIS A000045）：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，………………

特别指出：0不是第一项，而是第零项。这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【√5表示根号5】

很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……

让我们再回到上文魔术师拼地毯的游戏：为什么64＝65？其实这是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到！

1150年印度数学家戈帕拉（Gopala）和金月在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述了这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是意大利比萨的列奥纳多·斐波那契，他描述兔子生长的数目时用上了这个数列。

∙第一个月有一对刚诞生的兔子

∙第两个月之后它们可以生育

∙每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子

∙兔子永不死去

假设在n月有新生及可生育的兔子总共a对，n+1月就总共有b对。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，所有在n月就已存在的a对兔子皆已可以生育并诞下a对后代；同时在前一月(n+1月)之b对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草，野玫瑰，南美血根草，大波斯菊，金凤花，耧斗菜，百合花，蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3，5，8，13，21……

自然界中到处可见费氏数列的踪迹。树技上的分枝数，多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3，梅花 5，桔梗常为 8，金盏花 13，…等等。费氏数列也出现在松果上。一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针。仔细瞧瞧，顺时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13，而另一组常出现的数字是“5和8”。

向日葵也是一样，常见的螺线数目为“34和55”，较大的向日葵的螺线数目则为“89和144”，更大的甚至还有“144和233”。这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。

为什么呢？

植物是以种子和嫩芽开始生长；种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光。

如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程——包括叶子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在顶端的中央，有一个圆形的组织称为“顶尖”（apex）；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个的形成，这些隆起则称为“原基”（primordium）。

生长时，每一个原基自顶尖移开（顶尖从隆起处向外生长，新的原基则在原地）；最后，这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等，之后能够获得最大的生长空间。例如叶片希望得到充足的阳光，根部则希望得到充足的水份，花瓣或花蕊则希望充份地自我展现好吸引昆虫来传粉。因此，原基与原基隔得相当开，由于较早产生的原基移开的较远，所以你可以从它与顶尖之间的距离，来推断出现的先后次序。另人惊奇的是，我们若依照原基的生成时间顺序描出原基的位置，便可画出一条卷绕得非常紧的螺线——称为“生成螺线”（generative spiral）。

前面提到的左右旋螺线，虽然能够明显到让人一眼看出（植物学家称之为“斜列线”，但那并不是植物的原基生长模式的实际表征；就某种程度而言，这些螺线只是视学上的错觉。人的眼睛之所以能分辨出斜列线，是因为斜列线是由相邻的原基所形成。

晶体学先驱布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）发现原基沿生成螺线交错排列的数学规则。他们量测相邻两原基之间的角度，发现量得的各个角度非常相近；这些角的共同值就称为“发散角”。

想象从原基的中心各画一条直线连到顶尖的中心，然后测量这两条线的夹角。他们发现发散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果从另一边量起），也就是――“黄金角”。如果我们将一个圆分成两个弧，而两个弧的长度比为黄金比例，小弧的圆心角也就是黄金角。