点对称(中心对称)
两个点关于某点中心对称公式
两个点关于某点中心对称公式在数学的奇妙世界里，有很多有趣又实用的知识，其中就包括两个点关于某点中心对称的公式。
这看似有些复杂的概念，其实就像我们生活中的一些小默契一样，有着自己的规律和窍门。
先来说说啥叫两个点关于某点中心对称。
想象一下，你和你的好朋友站在操场上，你们的位置相对于操场中心是对称的，这就是一种中心对称。
在数学里，如果点 A(x₁, y₁)和点 B(x₂, y₂)关于点 C(a, b)中心对称，那么就有一个神奇的公式：a = (x₁ + x₂) / 2 ，b = (y₁ + y₂) / 2 。
这个公式看起来可能有点抽象，那我给你举个具体的例子。
比如说有两个点，A(2, 4)和 B(6, 8)，我们想找到它们关于某个点 C 中心对称的那个点 C 的坐标。
根据公式，先算横坐标，a = (2 + 6) / 2 = 4，再算纵坐标，b = (4 + 8) / 2 = 6，所以点 C 的坐标就是(4, 6)。
记得有一次，我在课堂上讲这个知识点，有个同学一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难懂啦！”我笑了笑，拿起教室里的两块小黑板当作两个点，然后自己站在中间说：“同学们，你们看，这两块小黑板就像两个点，老师站在这儿，是不是让它们看起来很对称呀？”同学们都笑了，那个迷茫的同学也好像突然明白了什么，眼睛一下子亮了起来。
其实啊，这个中心对称公式在很多地方都能派上用场。
比如在建筑设计中，设计师要让建筑物的两边看起来对称美观，就得用到这个知识；在制作一些对称的图案时，也离不开它。
我们再深入一点理解这个公式。
你可以把它想象成是在找平衡，就像跷跷板一样，中心点要让两边的“重量”相等，才能保持平衡。
而这里的“重量”就是点的坐标。
在解决数学题的时候，这个公式能帮我们快速找到对称点的位置。
比如说，给你一个点和中心点，让你求另一个对称点，直接套公式，轻松就能得出答案。
而且，这个公式不仅仅局限于二维平面，在三维空间中也有类似的概念和公式呢。
平面解析几何中的中心对称和轴对称
平面解析几何中的中心对称和轴对称龙碧霞一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合。
这两个图形关于这个点对称。
这个点叫着对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形。
对称点的连线都经过对称中心。
且被对称中心平分。
一般有三种情况。
（1） 点关于点对称。
点P （x,y ）关于点M(a,b)对称的点Q 的坐标是Q(2a-x,2b-y)。
（由中点坐标公式很容易得到）如点（１．－４）关于（－２，０）对称的点是（－５．４），（2） 直线关于点对称：直线l:Ax+By+C=0 关于点P （a,b ）对称的直线为l 1的方程是：A （2a-x ）+B(2b-y)+C=0 .即 Ax+By-2aA-2bB-C=0。
推导过程：方法一：在直线l 上任意取一点,最好是特殊点。
如取M(0,-B C )则点M 关于点P 对称的点N 的坐标是N （2a,2b+BC ）.点N l 1根据中心对称的定义。
l 11得2aA+B(2b+B C D=-2aA-2Bb-C 所以 l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0方法二：在直线l 上任意取两点并求出它们关于点P （a,b ）对称的点．由两点式易得直线为l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0．方法三：设直线为l 1上任意一点为Ｍ（x,y ），其关于点P （a,b ）对称的点M /(x /,y /)在直线为l 上．求出点M /的坐标后代入直线 l:Ax+By+C=0即得l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0例如：求直线l ；3x+y-2=0关于点A （-4，4）对称的直线l /方程。
解法一：关于点A 对称的两直线l 与l /互相平行。
于是可设l /的方程为：3x+y+C=0在直线l 上任取一点M （0，2），其关于点A 对称的点N 的坐标为N （-8，6），因为N 点在直线l /上。
所以3×（-8）+6+C=0，所以 C=18，故 直线l /的方程为 3x+y+18=0.解法二：在直线l ；3x+y-2=0上取两点M （0，2），N （1，-1）易得它们关于点A （-4。
中心对称
中心对称知识点一：中心对称及中心对称图形的基本知识① 中心对称：若一个图形绕着某个点O 旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。
其中，点O 叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O 旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。
其中，这个点叫做该图形的对称中心。
拓展知识：轴对称与轴对称图形(1)轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。
其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形。
练习：1、下列图形中，中心对称图形的是（ ）A 、B 、C 、D 、2、下图中是中心对称图形的是（ ）Ａ、Ａ和Ｂ Ｂ、Ｂ和Ｃ Ｃ、Ｃ和Ｄ Ｄ、都是 3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）4、下列命题中的真命题是 ( )（A ）全等的两个图形是中心对称图形（B ）关于中心对称的两个图形全等（C ）中心对称图形都是轴对称图形 （D ）轴对称图形都是中心对称图形5、有以下图形：①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形、⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 () （A ）5个（B ）4个 （C ）3个 （D ）2个ＡＢＣＤA BC DB'C'A'A BCO6、如图，88 方格纸的两条对称轴EF M N ，相交于点O ，对图a 分别作下列变换： ①先以直线M N 为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格； ②先以点O 为中心旋转180 ，再向右平移1格； ③先以直线EF 为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格，其中能将图a 变换成图b 的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③知识点二：中心对称的基本性质知识：中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形．练习：1、如图，△ABC 与△A ＇B ＇C ＇关于点O 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）A ．点A 与点A ＇是对称点B ． BO=B ＇OC ．AB ∥A ＇B ＇D ．∠ACB= ∠C ＇A ＇B ＇2、如图，△ABC 和△DEF 关于点O 中心对称，要得到△DEF ，需要将△ABC 旋转（ ）A.. 30°B. 90°C. 180°D. 360° 3、如图，已知△ABC 与△CDA 关于O 对称，过O 任作一直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，下列说法中：①点E 和点F ，点B 和点D 是关于中心O 的对称点；②直线BD 过点O ；③四边形ABCD 是中心对称图形；④四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；⑤△AOE 与△COF 成中心对称，其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5知识点三：中心对称的基本作图1、每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，①把△ABC 向上平移5个单位后得到对应的△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1， ②以原点O 为对称中心，再画出与△A 1B 1C 1关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，。
数学教案-中心对称和中心对称图形
数学教案－中心对称和中心对称图形教学建议知识归纳1．中心对称把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点重点、难点分析：本节课的重点是中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点.因为概念是推导三个性质的主要依据、性质是今后解决有关问题的理论依据；而作已知点关于某个点的对称点又是作中心对称图形的关键.本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.从概念角度来说，中心对称图形和中心对称是两个不同而又紧密相联的概念.从学生角度来讲，在学习轴对称时，有相当一部分学生对轴对称和轴对称图形的概念理解上出现误点.因此本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.教法建议本节内容和生活结合较多，新课导入可考虑以下方法：（1（2（3（4（5本田，（6（7品引入。
教学设计示例教学目标1．知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。
2．会根据关于中心对称图形的性质定理2的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。
，23有一条对称轴---直线图形沿轴对折，即翻转180度翻转后与另一图形重合123两个图形是全等形的图形叫做中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。
问题2：你能给“中心对称”下一个定义吗？说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：（l）有一个对称中心——点；（2）图形绕中心旋转180度；（3）旋转后与另一图形重合。
把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称”字样，以利于写“轴对称”进行练一练：在图4.7－3中，已知△ABC和△EFG关于点O成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。
说明与建议：教师可演示△ABC绕点O旋转180度后与△EFG重合的过程，让学生说出点E 和点A和FGO、G在逆命题问题5：怎样证明这个逆命题是正确的？说明与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。
中心对称知识点
标题：中心对称知识点中心对称是几何学中重要的概念，用于描述一个对象相对于某个中心的对称性质。
在本文中，我们将介绍中心对称的基本概念、性质以及在数学和物理等领域中的应用。
概念和性质中心对称是指当一个对象绕着中心旋转180度后，仍然能够保持不变。
这个中心可以是一个点，也可以是一个轴或平面。
中心对称的对象可以是平面形状、立体物体、图形、字母等。
中心对称有以下几个重要的性质：1. 对称图形的对称中心是唯一确定的，当对象有多个对称中心时，它必然具有其他对称性质。
2. 对称图形中，对称中心到图形上任意一点的距离与对称中心到该点关于对称中心的对称点的距离相等。
3. 对称图形中，对称中心与图形上任意一点，以及该点关于对称中心的对称点，三点共线。
4. 如果一个图形能够被分解成若干个互相关于一个中心对称的图形，那么这个图形也是中心对称的。
数学中的应用在数学中，中心对称被广泛应用于几何学、代数学和复数学等各个分支中。
在几何学中，中心对称被用于研究图形和形状的性质。
对称图形具有许多有趣的特征，如对称线的存在、角度的相等，以及对称图形的面积和周长等性质。
在代数学中，中心对称与方程的解有关。
当方程关于原点中心对称时，可以通过对称性质简化方程的求解过程。
在复数学中，中心对称与复数的共轭有关。
复数的共轭是指实部不变、虚部相反的复数，当复数关于实轴中心对称时，它的虚部相等。
物理中的应用在物理学中，中心对称广泛应用于研究力和场的性质。
在力学中，对称物体的质心可以作为平衡点，通过对称性质可以简化力学分析。
在电磁学中，对称物体相对于场的作用具有特殊的性质。
例如，对称电荷分布具有零总电场，对称电流线圈具有零总磁场等。
在光学中，中心对称有很多有趣的现象。
例如，当光线入射到中心对称的透镜上时，以透镜中心为焦点的反射或折射光线依然是中心对称的。
总结中心对称是一个重要的数学和物理概念，它描述了一个对象相对于中心的对称性质。
中心对称具有独特的性质，应用广泛且深入各个学科领域。
八年级数学《中心对称图形》知识点汇总
中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。
2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。
3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。
5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等。
②平行四边形的对边相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
②对角线互相平分的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤真命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
注意：假命题．．．：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（×）8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等。
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13、菱形面积等于对角线乘积的一半。
推而广之：（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。
14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
15、正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。
16、正方形性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
点对称图形(中心对称图形)-1
点对称图形（中心对称图形）教学目的:1、了解中心对称图形的概念、知道与轴对称图形之间的区别与联系；能找出线段、平行四边形的对称中心；会画矩形、菱形、正方形的对称轴。
2、培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：定理1、定理2及逆定理。
教学难点：理解中心对称的概念。
教学程序一、复习创情导入什么叫做轴对称图形？轴对称图形有什么性质？如何判定两个图形关于对称中心对称？二、授新1、提出问题（1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？（3）用硬纸做一个中心对称图形。
（4）线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？（5）举例说明中心对称图形的应用。
2、自学质疑：自学课本P106--108页，完成预习题，并提出疑难问题。
3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳（1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？把一个图形绕它的某一点旋转1800，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
完成预习思考题（1）；（2）用硬纸做一个中心对称图形。
观察说明自制中心对称图形，说明它是中心对称图形；（3）线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？（4）举例说明中心对称图形的应用。
中心对称图形形状匀称美观：建筑、工艺做装饰图案；能够在所在平面内绕对称中心平稳旋转：旋转的零部件，如叶轮等。
5、尝试练习（1）完成跟踪练习（1）---（3）题，并总结，为什么三叶轮、五角星不是中心对称图形，有什么规律？中心对称图形中的对比数为偶数，才有对应点。
（2）完成达标练习和综合练习；（3）其它；6、深化创新（1）什么是中心对称？（两个图形）（2）中心对称的性质定理1：关于中心对称的两个图形是全等的中心对称的性质定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并被对称中心平分。
(完整版)中心对称知识总结
中心对称知识总结1、中心对称的概念如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与另一个图形重合，那么这两个图形就叫做关于这个点中心对称，简称为中心对称。
这个点叫做这两个图形的对称中心，中心对称的两个图形中的对应点、对应线段，分别叫做关于对称中心的对称点、对称线段。
如图所示，点O 是对称中心，点A 、B 、C 、关于对称中心O 的对称点分别是点D 、E 、F ；线段AB 、BC 、CA 关于对称中心O 的对称线段分别是线段DE 、EF 、FD 。
练习：如图所示，下列图形中是中心对称图形的有哪些？解析：利用中心对称的概念以及特征加以判断，D 和E 是中心对称图形。
2、中心对称的特征在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；反过来，如果两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心。
利用它的特征可以容易的确定对称中心的位置，只要将它们中的两对对称点相连，交点就是对称中心。
另外中心对称是旋转的一种特殊情况，所以它具有旋转的所有特征。
例题：如图所示，将△ABC 绕点A 旋转180°后到达△ADE 处，此时B 、A 、D 三点共线，并且有AB=AD ，A 、C 、E 三点也共线，所以AC=AE 、BC=ED 。
练习：如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’成中心对称，请回答下列问题：（1）点A 的对称点是 ，点B 的对称点是 。
（2）点A 、O 、A ’三点在同一条直线上吗？若是，还有其他三点共线吗？（3）AO 与A ’O 相等吗？若相等，是否还有其他相等线段？解：（1）点A 的对称点是A ’， 点B 的对称点是B ’；（2）点A 、O 、A ’三点在同一条直线上，有，比如B 、O 、B ’和C 、O 、C ’；（3）AO 与A ’O 相等。
还有BO=B ’O 、CO=C ’O 。
3、中心对称图形的概念 一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，我们就把这种图形叫做中心对称图形，这个点就叫做对称中心。
初中数学 什么是点对称和中心对称
初中数学什么是点对称和中心对称点对称和中心对称是初中数学中关于对称性的两个重要概念。
它们是几何学中的基本内容，用于描述和分析图形的对称性质。
在本文中，我们将详细讨论点对称和中心对称的概念、性质和应用。
一、点对称点对称是指图形中存在一个中心点，使得图形中的任意一点关于这个中心点对称后重合。
这个中心点称为对称中心，对称中心到图形上任意一点的距离相等。
点对称具有一些重要的性质。
首先，对称中心是图形的唯一的，如果图形存在点对称，那么对称中心是确定的。
其次，对称中心到图形上任意一点的距离相等，即对称中心到图形上的点P的距离等于对称中心到P'的距离，其中P'是P关于对称中心的对称点。
这个性质被称为点对称性质。
点对称在几何学中有广泛的应用。
它可以用来解决关于对称图形的问题，比如判断图形是否具有点对称、寻找图形的对称中心等。
此外，点对称也可以用于构造对称图形，通过给定对称中心和一些关键点，可以构造出完整的对称图形。
二、中心对称中心对称是指图形中存在一条中心线，使得图形中的任意一点在中心线上对称后重合。
这条中心线称为对称轴，对称轴把图形分成两个完全对称的部分。
中心对称具有一些特殊的性质。
首先，对称轴是图形的唯一的，如果图形存在中心对称，那么对称轴是确定的。
其次，对称轴上的任意一点P和对称轴上的点P'关于对称轴对称，即P'是P关于对称轴的对称点。
这个性质被称为中心对称性质。
中心对称在几何学中也有广泛的应用。
它可以用来解决关于对称图形的问题，比如判断图形是否具有中心对称、寻找图形的对称轴等。
此外，中心对称也可以用于构造对称图形，通过给定对称轴和一些关键点，可以构造出完整的对称图形。
三、应用点对称和中心对称在生活和工作中有广泛的应用。
比如，在设计艺术品、标志、装饰等方面，点对称和中心对称被广泛应用。
通过点对称和中心对称的设计，可以使得作品更加美观、整洁。
此外，在科学研究中，对称性质也有着重要的应用，比如在分子结构、晶体结构等方面。
3.2中心对称及中心对称图形
作四边形ABCD关于点O的对称图形． 例题1 已知：四边形ABCD和一点O， 求作：四边形ABCD关于点O的对称图形．
A
C’
B’
D
B
O
D’
C 分别画出A、B、C、D关于O的对称点A’、 B’、C’、D’，顺次连结A’、B’、C’、D’，则 四边形A’B’C’D’是所求作四边形
A’
1、已知A点和O点，
.
.
如图是一个矩形土地ABCD，后来在 其边缘挖了一个小矩形水塘EFGH， 现准备将土地分成两块，并使其满足： 两块地面积相等；分割线恰好建成水 渠，便于灌溉。请在图中画出分割线， 简要说明理由。
A
E
F
.
H P G
D
.
Q C
B
.E
.O
பைடு நூலகம்
否
是 是 是 是
小结:
1.中心对称和中心对称图形这两个概念的区别: (1)中心对称是对两个全等图形说的,它表示两个
图形之间的对称关系
(两个图形饶着某一点,旋转1800后能互相重合)
(2)中心对称图形是对一个图形说的,它表示一个
图形的特性,
(这个图形饶着自身的某一点,旋转1800后能和原
来的位置重合)
练 习
A'
画出点A关于点O的对称点A'
A
O
连结OA 并延长到A‘，使OA‘＝OA， 则A’是所求的点
2、已知线段AB和O点，画出线 段AB关于点O的对称线段A’B’
A
B'
练 习
O A'
B
连结AO并延长到A‘，使OA‘＝OA，则得A的对称点A’
连结BO并延长到B‘，使OB‘＝OB，则得B的对称点B’ 连结A’B’，则线段A’B’是所画线段
对称数学知识点总结
对称数学知识点总结一、几何对称1.轴对称几何中的轴对称是指平面图形相对于一条直线对称，即对称图形在这条直线上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称轴的距离相等。
轴对称的特点是对称图形和原图形通过对称轴重合。
轴对称的应用非常广泛，常见的有：几何图形的性质，如矩形、正方形等都是轴对称的；轴对称图形的图案设计，如对称的图案具有美感，常用在各种装饰、服装等设计中。
2.中心对称几何中的中心对称是指平面图形相对于一个点对称，即对称图形在这个点上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称中心的连线的长度相等。
中心对称的特点是对称图形和原图形通过对称中心重合。
中心对称也是几何中的基本概念，常见的有：各种圆、正多边形等都是中心对称的。
中心对称也有着许多实际应用，如在建筑设计、雕塑制作、工艺品制作等方面都有中心对称的应用。
二、函数对称1.奇偶函数在数学中，函数对称有奇偶性的概念。
奇数函数的图象在原点对称，即f（-x）=-f（x）；偶数函数的图象在y轴对称，即f（-x）=f（x）。
奇偶性是一种对称性，它是函数关于y轴的对称性。
奇偶函数的对称性不仅仅是数学概念，它还能帮助我们更好的理解函数的性质。
奇偶函数的性质在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用，奇偶函数的图像对称性也是数学研究中的一个重要方面。
2.周期函数周期函数是指满足f（x+T）=f（x）的函数。
在周期函数中，周期T是函数的一个重要性质，它决定了函数在不同区间内的值的关系。
周期函数的图像在每个周期内都有着相似的形状，是一种特殊的对称性。
周期函数在信号处理、电路设计、波动现象等领域有着重要的应用，在理论研究中周期函数的对称性也是重要的研究对象。
三、代数对称1.对称多项式在代数学中，对称多项式是指多元函数的一种特殊形式，它在变量的排列中保持不变。
对称多项式是求和和乘积中的一个重要概念，它包含了一元多项式的对称性和多元函数的对称性。
对称知识
中心对称把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,这两个图形成中心对称。
分子的对称因素当物质和它的镜像能重合时，该物质的结构是对称的，没有旋光性。
反之，物质和它的镜像不能重合时，该物质的结构是不对称的，有旋光性。
判断一个分子的对称性，要将分子进行某一项对称操作看结果是否与它原来的立体形象完全一致，如果通过某种操作后和原来的立体形象完全重合时，就说明该分子具有某种对称因素。
（1）对称面（plane of symmetry，符号σ）。
假如一个平面能把一个分子切成两部分，而一部分正好是另一部分的镜像，这个平面就是该分子的对称面，例如：在2-氯丙烷分子中，C－2原子上连有两个相同的基团（－CH），分子中就有一个对称面如图3-5（а），它把分子切成完全对称的两部分，这两部分正好是实物与镜像的关系。
这样的分子就被认为是具有对称面的分子，是一个“对称分子”（symmetric molecules），没有旋光性。
如果分子中所有原子都在同一平面上，例如（E）-1,2-二氯乙烯分子是平面型的，它的sp杂化轨道所处的平面，就是分子的对称面，见图3-5（b），因此也没有旋光性。
（2）对称中心（center of symmetry，符号i）。
分子中如有一点P ，通过P 点画任何直线，如果在离P 点等距离的直线两端有相同的原子，那么P 点就是这个分子的对称中心。
例如1,3-二氯-2，4-二氯环丁烷，分子中就有一个对称中心，见图3-6，从该分子的任一原子向P 点画一直线，再延长出去，在等距离处就会遇到相同的原子。
直线的中心对称与轴对称
∴直线 AA′方程为 2 x y 6 0 。
1
2 x 4 y 9 0, 3 由方程组 解得 AA′中点 M ,3 。由中点坐标公式得 2 2 x y 6 0 x0 2 3 y0 2 , 3 ，解得 x0 1, y0 4. ∴所求的对称点坐标为（1，4）。 2 2 2
1 b 2 1, 2 a 2 则有 解得 a 1, b 4. ∴所求对称点为（1，4）。 2 a 2 4 b 2 9 0, 2 2
评注：①中点在 2 x 4 y 9 0 上；②所求点与已知点的连线与
2 x 4 y 9 0 垂直。
l2 。
3
3x 2 y 2 0 x 2 解： 2 x y 0 y 4
y0 y 1 1 x0 y 1 x0 x x x0 y y0 P2 ，变形得 , , 在直线 l 上.∴ y x 1 2 y y x x 2 0 0 0 1 2 2
代入直线 l1:y=2x+3，得 x+1=2×(y-1)+3,整理得 x-2y=0.所以所求直线方 程为 x-2y=0. 变式训练 1： l1 ： 3x 2 y 2 0 ， l ： 2 x y 0 ，求 l1 关于 l 的对称直线
2、直线关于直线的对称
∴ B（ 3,1 ）
例 3 求直线 l1 : x y 2 0 关于直线 l2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。 分析：设所求直线 l 上任一点为 P（ x, y ），利用“相关点法”求其对称 点坐标，并将其对称点坐标代入直线 l1 方程进行求解。 解：设所求直线 l 上任意一点 P（ x, y ）（ P l2 ）关于 l2 的对称点为 Q （ x1 , y1 ），
中心对称判定口诀
中心对称判定口诀中心对称是数学中的重要概念，也是很多人学习图形的基础知识。
中心对称是指一个图形或物体在平面上或空间中相对于某个点呈现出倒影一样的对称性质。
在几何学中，中心对称是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们找出很多图形的性质和规律。
而在中心对称判定中，有一种十分实用的口诀，可以让我们轻松判定图形是否具有中心对称性，接下来就来谈谈这个口诀。
首先，我们需要知道中心对称的定义：对称轴是一个点，引出对称轴上任意两点的连线一定垂直于对称轴，并与对称轴等长。
当一个图形在平面内或空间中相对于一个点呈现出对称性质时，该点就是这个图形的中心对称中心。
那么，如何快速判断一个图形是否具有中心对称性呢？这就需要用到中心对称判定口诀了，在这里，我先将它欣赏一下：“对称中心，交于对边，一尺内外，心自找，若边平行，心须偏。
”以上就是中心对称判定口诀，简单明了，所包含的信息也非常全面。
下面，我们将详细解析其中的意义。
“对称中心”——这一部分的意思是，考虑图形对称的时候，我们需要找到它的对称中心，也就是图形中存在的这个点。
这个点将是图形内意义非常重要的点，对于后续判定和操作都会起到关键的作用。
“交于对边”——这一部分是指，在找到对称中心之后，我们需要找到两个点，这两个点相互对称，构成对称轴，对称轴通过图形上的两个不同的顶点，并且它们在对称中心的连线上交于对边。
“一尺内外，心自找”——这一部分的意思是，当我们确定了对称中心和对称轴之后，我们需要以对称中心为中心画出一条半径为1尺的圆，然后沿着所画出的圆，找到对称中心的两个相对一面上的点，这些点会帮助我们判定图形是否具有中心对称性。
“若边平行，心须偏”——这一部分的意思是，在对称中心处判断对称性质时，如果图形某条边与对称中心的连线平行，则对称中心必须稍稍偏离这条边。
这是因为如果对称中心在边上，则图形不再具有中心对称性质。
通过以上的解析，我们可以看出，这个中心对称判定口诀非常的实用，它帮助我们方便地找到图形的对称中心，确定对称轴，以及判定图形是否具有中心对称性。
点a关于点b中心对称点的坐标
点a关于点b中心对称点的坐标摘要：1.引言2.点a 和点b 的定义3.中心对称的定义和性质4.点a 关于点b 中心对称点的坐标计算方法5.结论正文：1.引言在几何学中，点a 关于点b 中心对称是一个重要的概念。
对于一个点a，如果存在另一个点b，使得点a 关于点b 中心对称，那么我们可以通过计算得到点a 关于点b 中心对称点的坐标。
本文将从基本概念入手，详细介绍点a 关于点b 中心对称点的坐标计算方法。
2.点a 和点b 的定义点a 和点b 是平面直角坐标系中的两个点，分别具有横坐标和纵坐标。
例如，点a 的坐标为(x1, y1)，点b 的坐标为(x2, y2)。
3.中心对称的定义和性质中心对称是指平面上的一个点关于另一个点进行对称。
具体来说，如果点a 关于点b 中心对称，那么点a 和点b 的连线与点a 关于点b 中心对称点的连线互相垂直且等长。
中心对称具有以下性质：(1) 中心对称是线性变换，即满足平移、旋转和缩放等操作；(2) 中心对称具有对称性，即对于任意一点a，点a 关于点b 中心对称的点唯一存在；(3) 中心对称点的坐标满足特定的计算公式。
4.点a 关于点b 中心对称点的坐标计算方法点a 关于点b 中心对称点的坐标计算公式如下：设点a 的坐标为(x1, y1)，点b 的坐标为(x2, y2)，则点a 关于点b 中心对称点的坐标为((x1-x2)*(-1/(x2-x1), (y1-y2)*(-1/(y2-y1)))。
5.结论通过以上分析，我们了解了点a 关于点b 中心对称点的坐标计算方法。
在实际应用中，我们可以根据给定的点a 和点b 的坐标，利用公式快速计算得到点a 关于点b 中心对称点的坐标。
什么是中心对称图形和轴对称图形
几何部分一直都是数学学习的重点，一些图形是考试的常考问题。
那么，什么是什么是中心对称图形？什么是轴对称图形？
中心对称图形
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
需要注意中心对称和中心对称图形不是一个概念。
中心对称是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称
轴对称图形
数学术语，定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。
比如圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。
中心对称图形和轴对称图形区别
轴对称图形关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；
中心对称图形关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。
实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置,观察有无变化,没变的是中心对称图形。
常见的图形归类
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：长方形,正方形,圆,菱形等。
只是轴对称图形的有：角,五角星,等腰三角形,等边三角形,等腰梯形等。
只是中心对称图形的有：平行四边形。
既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形,非等腰梯形等。
以上就是一些中心对称图形与轴对称图形的相关信息，供大家参考。
点关于点对称
点关于点对称点对称是几何中的一种重要概念，指的是一个点关于某个固定中心对称。
在数学和几何学中，点对称具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍点对称的定义、性质和应用，并探讨相关问题。
一、点对称的定义点对称是指一个点P关于中心O对称，记作P'。
当P和P'两点关于O对称时，它们的距离相等，且中心O是它们连线的垂直平分线。
换句话说，点P在中心O处的对称点P'的位置使得O是P和P'的中垂线的中点。
二、点对称的性质1. 两点关于某个中心对称的性质。
如果一个点P关于中心O对称，那么点P'关于O对称，且P和P'之间的距离为2OP。
2. 点对称的运算性质。
点对称运算是一个保持距离不变的变换，即两点之间的距离在对称前后保持不变。
3. 点对称的传递性。
若点A和点B关于中心O对称，点B和点C 关于中心O对称，则点A和点C关于中心O对称。
三、点对称的应用1. 图形的对称性。
点对称是许多几何图形的基础性质，可以用来分析和描述图形的对称性。
在绘画、设计和建筑中广泛应用。
2. 点对称的平移。
点对称可以通过平移来实现，即通过将图形沿指定方向进行平移，从而得到关于某个中心的对称图形。
3. 点对称的旋转。
点对称可以通过旋转来实现，即通过将图形绕某个中心点旋转一定角度，从而得到关于中心对称的图形。
4. 点对称的镜像。
点对称可以通过镜像来实现，即通过将图形沿某个轴进行翻转，从而得到关于中心的对称图形。
四、点对称的相关问题1. 如何确定一个点关于某个中心的对称点？答案是通过将该点与中心点连线的延长线上取等距离点即可。
2. 点对称与线对称的关系是什么？点对称是线对称的特殊情况，当直线对称轴通过中心点时，点对称和线对称是等效的。
3. 如何利用点对称来构造图形？可以通过将几个点关于同一个中心对称来构造各种形状的图形。
五、总结点对称是几何学中的一种重要概念，具有许多性质和应用。
通过对点对称的研究，我们可以更好地理解和应用几何学中的各种概念和方法。
坐标的中心对称
坐标的中心对称
坐标的中心对称是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有着广泛
的应用。
在平面直角坐标系中，当一个点关于坐标原点对称时，我们称这个点关于原点对称。
这种对称性在几何学中常常用于解题，也在计算机图形学等领域有着重要的应用。
中心对称的定义
在二维平面上，如果一个点(x,y)关于坐标原点对称的点为(−x,−y)，则点
(x,y)对称于坐标原点。
换句话说，点(x,y)和点(−x,−y)对称于坐标原点。
中心对称的性质
1.关于原点对称的性质是对称的。
如果点A关于原点对称于点A′，那么
点A′关于原点对称于点A。
2.直线关于原点对称后仍是直线。
如果直线L的方程为ax+by+c=0，
那么直线L′的方程为−ax−by+c=0。
3.如果一个图形内的每个点关于原点对称，那么这个图形关于原点对称。
中心对称的应用
几何学中的应用
中心对称在几何学中常常用于寻找图形的对称中心。
通过求出图形内某几个点
关于原点的对称点，可以确定图形的对称中心，从而进行分析和计算。
代数学中的应用
在代数学中，中心对称也有着重要的应用。
通过对称性质，我们可以简化一些
复杂问题的求解过程，节省时间和精力。
总结
中心对称是数学中一个重要的概念，应用广泛。
无论是在几何学中寻找图形的
对称性质，还是在代数学中简化问题的求解过程，中心对称都发挥着重要的作用。
熟练掌握中心对称的性质和应用，将有助于我们更好地理解和运用这一概念。
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点对称（中心对称）
教学目的:
1、理解并掌握运用正方形的定义；及它与矩形、菱形的关系判定正方形；并会用这些性质进行有关的论证和计算；
2、2、培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
3、3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：定理1、定理2及逆定理。
教学难点：证明方法及运用
教学程序
一、复习创情导入
什么叫做轴对称？
关于某直线对称的两个图形有什么性质？
两个图形关于某直线对称的判定？
二、授新
1、提出问题
（1）什么叫做点对称（中心对称）？对称中心？对称点？点对称与轴对称有什么区别和联系？
（2）定理1的内容？
（3）定理2的内容？
（4）逆定理的内容？
（5）怎样判定两个图形关于某点对称？
2、自学质疑：自学课本P102--105页，完成预习题，并提出疑难问题
3、分组讨论；讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳
（1）中心对称（关于点对称）：把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称。
（2）对称中心：这个点叫做对称中心。
对称点、对应点。
（3）中心对称与轴对称有何联系和区别？《预习思考题（2）1---4栏》
（4）定理1：关于中心对称的两个图形是全等形。
（为什么是真命题）。
（如图）三角形ABC绕O旋转1800后，它就和三角形A，B，C，重合，因此两个三角形大小相等，形状相同，所以全等。
（5）定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（为什么是真命题？），（如上图）在中心对称的两个图形中，（6）完成《预习思考题（2）5--6栏》
5、尝试练习
（1）跟踪练习1----6题；
（2）达标练习（1）----（2）；
（3）例2，已知四边形ABCD和点O，（如图），画四边形A，B，C，D，，使它与已知四边形关于点O 对称。
学生叙述，教师画图；学生叙述根据；总结画法；（1）确定对称中心；（2）确定对称点；（3）顺次连结各点。
（4）跟踪练习（3）题；
（5）综合练习；
（6）创新练习。
6、深化创新
（1）什么是中心对称？（两个图形）
（2）中心对称的性质定理1：关于中心对称的两个图形是全等的中心对称的性质定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并被对称中心平分。
（3）（判定）逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
7、推荐作业
（1）什么叫做点对称（中心对称）图形？对称中心？中心对称图形与中心对称有何联系和区别？
（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？
（3）用硬纸做一个中心对称图形。
（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形是否都是中心对称图形？是否都是轴对称图形？
（5）举例说明中心对称图形的应用。
预习思考题
（1）什么叫做点对称（中心对称）？对称中心？对称点？
（2）点对称与轴对称有什么区别和联系？
（2）定理1的内容？为什么这个命题是真命题？
（3）定理2的内容？为什么这个命题是真命题？
（4）逆定理的内容？如何解释这个命题是真命题？
（5）怎样判定两个图形关于某点对称？
跟踪练习题
（1）如果一个图形绕着一个顶点旋转能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这一点对称。
（）
（2）关于中心对称的两个图形对应点连线都，并且被。
（3）平行四边形和特殊平行四边形的对称中心是。
（4）平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称。
（）
（5）平行四边形的对边关于对角线交点对称。
（）
（6）如图（1），线段AB、CD相交于点O，如果OA=OB，OC=OD，则AC与BD 关于O点对称。
（）
达标练习题
（1）画已知点A关于点O的对称点；
（2）画已知线段AB关于点O的对称线段；
（3）画已知三角形ABC关于O的对称三角形；画已知三角形ABC关于点A的对称三角形；
综合应用练习题
（1）画已知四边形ABCD 关于点A的对称图形；
（2）画已知四边形ABCD关于直线MN的对称图形。
创新练习题
如图：点O为正方形ABCD的AB的延长线上一点，画一个正方形A，B，C，D，，使它与已知正方形ABCD关于点O对称。
（不写画法）
推荐作业
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