不定积分与定积分的运算

不定积分与定积分的计算

1.不定积分

1.1不定积分的概念

原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.

原函数的个数: 若

是

在区间 上的一个原函数, 则对

，

都是

在区间 上的原函数；若

也是

在区间 上的原函

数，则必有

.

可见，若

，则

的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.

原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：

的带有任意常数项的原函数称为

的不定积分。记作

⎰dx x f )(

一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰x

a dt t f )(是的一个

原函数。 1.2不定积分的计算

(1)裂项积分法

例1：C x x x dx x x dx x x dx x x ++-=++-=++-=++⎰⎰⎰arctan 23)1

21(12111322

2

424。 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 2

2222222 例3：2222

22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰

(2)第一换元积分法

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为

()11

cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =

•=⎰⎰⎰C x +=2sin 2

1 例4：

()

3221C

===+

例5

：11x x

⎛⎫

=-=-= ⎪⎝⎭

2

112

x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢

⎥⎣⎦12

22

111112d x x -

⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰

12

2

11212C C

x ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

例6： ⎰

⎰⎰+=====+=+=dt t t

x d x x dx x x x

x t 2

1arctan 21arctan 2)

1(arctan ⎰+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.

(3)第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,b t a

x t b ax n

n -=

=+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或;

被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =;

被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算()220a x dx a ->⎰

解：令sin ,,arcsin ,2

2x

x a t t t a x a a

π

π

=-

≤≤

=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而

22a x dx -⎰

=

()2

2

2

cos .cos cos 1cos 22

a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰

=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭

由图2.1知

22

sin cos x

a x t t a a -=

=

所以

22a x dx -⎰

=

2222

arcsin 22a x a x

a x C a a

a -+⋅+=

22

2arcsin 22a x x a x C a +-+

例8:⎰

⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dt

dt t t dt t x x dx

x

t 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭

⎫

⎝⎛-++-=6361ln 216.

(4)分部积分法

当积分⎰)()(x dg x f 不好计算,但⎰)()(x df x g 容易计算时,使用分部积分公式:

)()()()()()(⎰⎰-=x df x g x g x f x dg x f .常见能使用分部积分法的类型:

(1)⎰dx e x x n ,⎰xdx x n sin ,⎰xdx x n cos 等,方法是把x x e x cos ,sin ,移到d 后面,分部积分的目的是降低x 的次数

(2)⎰xdx x m n ln ,⎰xdx x m n arcsin ,⎰xdx x m n arctan 等,方法是把n x 移到d 后面,分部几分的目的是化去x x x arctan ,arcsin ,ln .

例9:2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=

⎰⎰⎰

2222()x x x x x e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C

-++

例10:2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫

=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰

211

ln (ln 1)dx x x C

x x x -+=-++⎰

例11: 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=

⎰⎰

()3

3

222arctan 1x x x x x dx x ++-=

+⎰

()3

22arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫

+--=

⎪+⎝

⎭⎰

()()3

2

21

2arctan ln 12x x x x

x C +-+++

例12: ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，

解得 ⎰++=

c x x xdx 2sin 4

1

2cos 2. 例13: ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23

=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,