三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题
三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题
利用对称中心与对称轴间距离
例1：已知0ω>，函数
()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π
=，一个对称中心为点(,0)12π，则ω有（
）B A ． 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236
f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π）
利用特殊点的坐标
例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2
π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C
A ．2,34π
B ．2,3π
C ．2,2π
D ．10,32
π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4(,0)3
π中心对称，那么?的最小值为（ ）A
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C
A ．8π
B ．4π
C ．38π
D ．34
π 例6：若将函数tan()4y x πω=+（0ω>）的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6
y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D
A ．16
B ．14
C ．13
D ．12
利用题设区间长度与周期的关系建立不等式
例7：已知函数()cos()4f x A x πωω=+（0A >）在(0,)8π内是减函数，则ω的最大值是______.（ 8 ）
例8：已知()sin()3f x x πω=+（0ω>），()()63f f ππ
=，且()f x 在区间
(,)63ππ内有最小值，无最大值，则ω=______.（143
） 利用“函数单调区间I ”与该函数“在区间D 上单调”的包含关系建立不等式
例9：函数()2sin f x x ω=（0ω>）在[0,]4
π上单调递增，且在这个
ω=______.（43
） 例10：已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0ω>.
（1） 若()y f x =在2[,]43
ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（304
ω<≤） （2） 令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6
π个单位，再向上平移1个单位，得到()y g x =的图象，区间[,]a b （,a b R ∈且
a b <）
满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.（433
π） 例11.已知函数()sin()f x x ω?=+（0,2πω?
>≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836
ππ单调，则ω的最大值为（ ）B
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
三角函数与解三角形中地范围问题含问题详解
1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值围.
3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ?面积的最大值.
4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos 2)n A =，试求?的最大值.
6．ABC ?的三个角A B C ，，依次成等差数列． （1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状； （2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值围． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，4a =.
（1）求b c ?的最大值及θ的取值围； （2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小； （2）若ABC △
三角函数与解三角形中的范围问题含答案
文档 1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值范围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.
3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ?面积的最大值.
文档 4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r ，试求?的最大值.
文档 6．ABC ?的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状； （2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值范围． 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，
（1）求b c ?的最大值及θ的取值范围； （2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小； （2）若ABC △
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式
三角函数(经典难题)
三角函数 一、 选择题 1.已知34sin 2cos tan 2,5cos 3sin ααααα -=+则的值为（ ） 2A. 5 5B. 11 3C. 5 7D. 11 2. 4cos50tan 40?-?的值为（ ） 1 3．已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2π π上单调递减，则w 的取值范围是（ ） 15A. ,24?????? 13B. ,24?????? 1C. 0,2?? ??? (]D. 0,2 4.若2 1sin ,sin ,,0,332πβααβ??==∈ ??? ，则()()sin 22cos sin αβαβα+-+的值为（ ） A. 2 1B. 2 C. 3 1D. 3 5. 已知33()sin cos 4,(,0)f x a x x a b =++≠且为实常数，若(sin10)5f ?=，则(cos100)f ?的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ６.在平面直角坐标系中，ABC ?的顶点(5,0),C(5,0)A -，顶点B 在椭圆22 13611 x y += 上，sin sin ,sin A C B +则的值为（ ） 5645A. B. C. D. 6554 ７.平面内不共线的向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,2,3a b c ===，则a b c ++与a 的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150???? ８. 2sin 20log cos50? 的值为（ ）
11A. B. - C. 2 D. -222 ９.已知1cos(),cos cos()633 x x x ππ-=-+-则的值为（ ） 10.如图为函数()2sin(),(0,0)f x wx w ??π=+>≤≤的部分图像，其中,A B 的距离为5，则(1)f -为（ ） 二、 填空题 11.点O 和(2,0)F -分别为2 221(0)x y a a -=>的中心和左焦点，点P 为此双曲线右支上任意一点，则OP FP ?的范围为____________。 12. 3sin(x 20)4cos(x 10)y =-?++?的最大值为____________。 的值为____________。 14.函数(x)sinx cosx sin cos f x x =++-对任意的x R ∈都有12(x )(x)(x )f f f ≤≤，则21x x -的最小值为____________。 15.对于集合12{,,,}n a a a ?和常数0a ，定义 22210200sin ()sin ()sin ()n a a a a a a Z n -+-++-=为集合12{,,,}n a a a ?相对的“正弦方差”，则集合5731113{,,,,,}266266 ππππππ对于0a 的正弦方差为____________。 三、简答题 16.1()sin 24x f x x x = -，其中()f x '为()f x 的导函数，且3()4f B '=，(0,)2 B π∈， 求sin(10)[110)]B B +?-?的值.
三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题
三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点( ,0)12π，则ω有（ ） B 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π） 利用特殊点的坐标 例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称，那么?的最小值为（ ）A A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C A ． 8π B ．4π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 B ． 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式
三角函数求取值范围专题
三角函数中求取值范围专题 1.在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状； (2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。 2.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围． 3.已知向量)4cos ,4(cos ),2,4sin 32(2x x n x m ==． （1） 若2=?n m ，求)3cos(π+x 的值； （2）记n m x f ?=)(，在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围．
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB ＝bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）当b ＝3时，求AB CB 的最大值. 5.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3 cos cos 5a B b A c -=． （Ⅰ）求B A tan tan 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 6.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
7.在ABC △中，已知内角A π =3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值． 8.已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 9.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II ）求函数2()2sin 3cos 24f θθθ??=+- ???π 的最大值与最小值．
三角函数w的取值问题
三角函数w 的取值问题 1.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4在????π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案：??? ?12，54 答案：C 4．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 解：由f （x ）是偶函数，得f （﹣x ）=f （x ），即sin （﹣ωx +）=sin （ωx +）， 所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx ，对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0． 依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （﹣x ）=﹣f （+x ）， 取x=0，得f （）=sin （+）=cos ，∴f （）=sin （ +）=cos ，∴cos =0， 又ω＞0，得 =+kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k+1），k=0，1，2， 当k=0时，ω=，f （x ）=sin （x+）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f （x ）=sin （2x+）在[0，]上是减函数； 当k=2时，ω=，f （x ）=（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．故选D ． 5．（2016年全国I 高考）已知函数ππ ()sin()(0),24 f x x+x ， ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x = 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π ()1836 ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：∵x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴， ∴ ，即 ，（n ∈N ）即ω=2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（，）则﹣=≤， 即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f （x ）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤，∴φ=，此时f （x ）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B 6. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间??? ?－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ________． 答案：3 2
2020年三角函数w的取值问题
作者：败转头 作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13 三角函数w 的取值问题 1.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4在????π 2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案：???? 12，54 答案：C 4．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 解：由f （x ）是偶函数，得f （﹣x ）=f （x ），即sin （﹣ωx +?）=sin （ωx +?）， 所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx ，对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （﹣x ）=﹣f （ +x ）， 取x=0，得f （）=sin （+ ）=cos ，∴f （）=sin （+）=cos ， ∴cos =0，又ω＞0，得 = +kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k +1），k=0，1，2， 当k=0时，ω=，f （x ）=sin （x +）在[0，]上是减函数，满足题意； 当k=1时，ω=2，f （x ）=sin （2x +）在[0，]上是减函数； 当k=2时，ω=，f （x ）=（ x + ）在[0， ]上不是单调函数；所以，综合得ω=或 2．故选D ． 5．（2016年全国I 高考）已知函数ππ ()sin()(0),24 f x x+x ， ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x = 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π ()1836 ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：∵x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴， ∴ ，即 ，（n ∈N ）即ω=2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（， ）则 ﹣ = ≤， 即T=≥ ，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤，∴φ=﹣ ，此时f （x ）在（ ， ）不单调，不满足题意；当ω=9时， ﹣ +φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤，∴φ= ，此时f （x ）在（ ， ）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选：B 6. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间????－π3，π 4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
解三角形——求取值范围问题
解三角形求取值范围问题 类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数 1.在ABC ?中，若3 sin 4 B =，10b =，则边长c 的取值范围是（ ） A. 15 (,)2 +∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10) 2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3 π = A ，则c b +的最大值为 （ ） A ．4 B ． 33 C. 32 D ．2 5．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A c B b +=，则b c +的最大值为___6____． 6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32 ， ∴C ＝ π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3 . (2)∵c ＝3，sin C ＝ 32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3 3 2 ＝2，
即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π 3－A ， ∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2???? ??sin A ＋sin ? ????2π3－A ＋ 3 ＝2? ????sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3 ＝23? ????sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ? ?? ??A ＋π6 ＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴ π6＜A ＜π2，∴32＜sin ? ????A ＋π6≤1， 则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]． 7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围． 解：由正弦定理知 ，则a= ，b= ，而C=60°， 所以a+b= =4sin （A+30°） 因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4] ∴a+b 的取值范围为（2 ，4]． 8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值； （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围． 【解析】 （1）∵a 2 ＝b 2 ＋c 2 +bc ，∴2221 cos 22 b c a A bc +-= =-，即cosA ＝－12， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝1 2bcsinA ＝3，所以bc ＝4， 由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π 3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π 3)， ∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π 3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].
(三角函数)常用结论总结
三角函数常用结论总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿ ＿弧度。（答：25-；5 36 π-） （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答： Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则 2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的 任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。（答：7 13 -） ；
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 三角函数中有关“ω”“?”的题型 1. 若函数sin y x ω=能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且在区间,1615ππ??-????上为增函数，则正整数ω的值为_______ 2. 已知函数()sin()(0)4f x x π ωω=->，若在区间(,2)ππ上存在零点，则ω的取值范围 为________ 3. 若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围为_______ 3.(,1]4A 5.(1,]4B 3 4.(,]45C 3 5.(,]44D 4. 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为________ 1 .3A .3B .6C .9D 5. 函数()2sin()(0)3f x x π ωω=+>的图像在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围 为________ .[2,4]A ππ 9.[2,)2B ππ 1325.[,)66C ππ 25.[2,)6D ππ 6. 函数()cos()(0)6f x x πωω=+>在[0,]π内的值域为 [1,2-，则ω的取值范围为________ 35.[,]23A 53.[,]62B 5.[,)6C +∞ 55.[,]63D 7. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2π π单调递减，则ω的取值范围为________ 15.[,]24A 13.[,]24B 1.(0,]2C .(0,2]D 8. 设0ω>，函数 sin()3y x πω=+的图像向右平移43π个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值为_________ 2.3A 4.3B 3.2C .3D 9. 已知函数()2sin()(0,||)2f x x π ω?ω?=+>≤，其图像与直线2y =-相邻两个交点的距离为π，若()0f x >对(,)123x ππ ?∈-恒成立，则?的取值范围是_____ .[,]126A ππ .[,]62B ππ .[,]123C ππ .[,]63D ππ 专题利用三角函数性质求参数范围 例1 ,则实数m取值范围为( ) A. B. C. D. 0,1上恰有3个最高点,则ω的取值范围为例 2 的图象在区间[] ( ) 4π,6π A. D. [) 例3 【2018江西省南昌二轮复习测试】若函数在区间上单调递增，则正数的最大值为（） A．B．C．D． 例4 【广西南宁市第二中学2018届高三2月月考】函数，（，，是常数，，， ）的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是（） A．B．C．D． 例5 【四川省绵阳市江油中学2019届高三9月月考】已知，函数在上单调 递减，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． (0,2) 例6 【重庆市中山外国语学校2019届高三上学期开学考试】将函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象．若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 例7 【山西省运城市康杰中学2018届高考模拟】将函数的图象向左平移个 单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 例8 【广东省深圳外国语学校2019届考试】设函数 ，若存在 的极值点 满足 ，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 例9【江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考】若函数 在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 例10 已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =?，且，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 例11函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现20个最小值,则ω的最小值是( ) A. 38π B. 38.5π C. 39.5π D. 40π 例12 函数)6 cos()(π + =wx x f (0>w )在[0, 2π],则w 的取值范围是( ) A. D. 例13 在[]0,2x π∈与直线2y a =有两个交点,则a 的取值范围为( ) A. ()2,4 B. ()1,3 C. ()1,2 D. ()2,3 例14 已知函数()()()()sin 332sin cos 22f x x x x ???=+-++,若()f x 在区间上单调递减,则?的最大值为__________． 例15已知函且()f x 在,则ω的最大值为_________. 三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点(,0)12π ，则ω有（ ）B A ． 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>） .若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π） 利用特殊点的坐标 例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2 π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中心对称，那么?的最小值为（ ）A A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C A ．8π B ．4 π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D A ． 16 B ．14 C ．13 D ．12 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式 例7：已知函数()cos()4f x A x πωω=+ （0A >）在(0,)8 π内是减函数，则ω的最大值是______.（ 8 ） 例8：已知()sin()3f x x πω=+（0ω>），()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ内有最小值，无最大值，则ω=______.（143 ） 利用“函数单调区间I ”与该函数“在区间D 上单调”的包含关系建立不等式 例9：函数()2sin f x x ω=（0ω>）在[0, ]4π上单调递增，3，那么ω=______.（43 ） 例10：已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0ω>. （1） 若()y f x =在2[,]43ππ -上单调递增，求ω的取值范围；（304 ω<≤） （2） 令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6 π个单位，再向上平移1个单位，得到()y g x =的图象，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少 三角函数的参数题型归纳 题型一 ω的取值范围与单调性相关 例1 已知函数()sin()(0)3 f x x π ωω=->，若函数()f x 在区间3(, )2 π π上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ） A ．211[,]39 B ．511[,]69 C ．23[,]34 D ．25[,]36 变式1、若()cos sin f x x x =-在,22m m ?? - ???? 上是减函数，则m 的最大值是（ ） A ． 8 π B ． 4 π C ． 2 π D ． 38 π 2、若函数ω(ω)=1 2(cos ω+sin ω)(cos ω?sin ω?4ω)+(4ω?3)ω在[0，ω 2]上单调递增，则实 数ω的取值范围为（ ） A.ω≥32 B.3 2<ω<3 C.ω≥1 D.1<ω<3 - 3、若函数 2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω??=?++> ??? 在2,23ππ?? -????上是增函数，则ω的取值范围是____________. 题型二 ω的取值范围与三角函数的最值 例2 函数ω(ω)=ωωωω(ωω+ω ω)(ω>ω)，当ω∈[ω,ω]上恰好取得5个最大值，则ω的取值范围为（ ） A.[ ωωω ,ωωωω) B.[ ωωωω ,ωωω ω) C.[ ωωωω ,ωωω ω) D.[ ωωωω ,ωωω ω) 变式 1、若函数ω(ω)=ωωωωωω?ωωωω ( ωωω+ω ω )+ωωωωωω?ω (ω>ω)在[? ωω,ω ω ]内有且仅有一个最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．[ω ω,ω) B ．[ω,ω) C ．[ω,ωω) D ．(ω,ωω ] 2、已知函数ω(ω)=ωωω(ωω+ωω)(ω>ω)，ω(ωω)=ω(ωω)，且ω(ω)在区间(ωω,ω ω)上有最小值， 无最大值，则ω的值为（ ） , A ．ω ω B ． ωωω C ．ωωω D ．ω ω 3、已知函数ω(ω)=ωωω(ωω+πω )+ωωωωω(ω>ω)在[ω,π]上的值域为[ω ω,√ω]，实数ω的取值范围为 A.[ωω,ω ω] B.[ωω,ω ω] C.[ω ω,+∞] D.[ωω,ω ω] 4、已知函数()2sin f x x ω=(0)>ω在区间2,33ππ?? - ???? 上是增函数，其在区间[0,]π上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24?????? B ．15,22?????? C ．35,42?? ???? D ．5,32 ?????? 题型三 三角函数的零点与ω的取值范围 例3、已知1sin ,sin ,sin ,,222a x x b x ωωω???? == ? ???? ?其中0ω>,若函数()12f x a b =?-在区间(),2ππ内 没有零点,则ω的取值范围是( ) A ．10,8?? ??? B ．50,8?? ??? C ．][150,,188??? ??? D ．][1150,,848??? ??? 、 三角函数 w 的取值问题ππ 1.已知ω＞ 0，函数 f(x)＝ sin ωx＋4在2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 1 5 答案：2，4 答案： C 4．已知函数（f x）=sin（ωx+φ）（ω＞ 0，0≤ φ≤ π）是 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（） A． B．C．D． 解：由 f（ x）是偶函数，得 f（﹣ x）=f（ x），即 sin（﹣ωx+） =sin（ωx+），所 以﹣ cosφsin ωx=cosφsin，ωx对任意 x 都成立，且ω＞0，所以得 cosφ=0． 依题设 0＜φ＜π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M 对称，得 f（﹣ x） =﹣f（ +x）， 取 x=0，得（f）=sin（+）=cos，∴（f）=sin（+）=cos，∴ cos=0， 又ω＞ 0，得=+kπ， k=1，2， 3，∴ω=（ 2k+1）， k=0，1， 2， 当 k=0 时，ω=， f（ x） =sin（ x+）在 [0， ] 上是减函数，满足题意； 当k=1 时，ω=2，f（ x） =sin（ 2x+）在 [0， ] 上是减函数； 当 k=2 时，ω=， f（ x） =（x+）在 [0， ]上不是单调函数；所以，综合得ω= 或2．故选D． 5．（2016 年全国 I 高考）已知函数f ( x)sin(x+ )(0，ππ ), x为 f (x) 的零24 点， x π f ( x) 图像的对称轴，且 f ( x) 在( π 5π 的最大值为为 y 18 ，) 单调，则 436 （ A） 11（B） 9（ C） 7（ D） 5解：∵ x=﹣为 f （ x）的零点， x=为 y=f（ x）图象的对称轴， ∴，即，（ n∈ N）即ω=2n+1，（ n∈ N）即ω为正奇数，∵ f（ x）在（，）则﹣ =≤， 即 T=≥，解得：ω≤ 12，当ω=11时，﹣ +φ=kπ， k∈ Z， ∵| φ| ≤，∴ φ=﹣，此时 f（ x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ， k∈Z， ∵| φ| ≤，∴ φ=，此时 f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为 9，故选： B 6. 已知函数f(x)＝ 2sinωx(ω＞ 0)在区间 π π 上的最小值是－2，则ω的最小值等于－， 4 3 ________． 答案：3 2 培优点7 三角函数中的范围、最值问题 【方法总结】 以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键． 【典例】1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在? ?????0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________． (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________． 【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x 的图象向右平移2π3 个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在??????0，π2上的值域为???? ??－12，1，则ω的取值范围为( ) A.??????43，83 B.??????13，53 C.??????43，＋∞ D.???? ??83，＋∞ (2)若将函数f(x)＝sin ? ????2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 【方法总结】 (1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等． (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象． 【拓展训练】 1．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，且f ? ?? ??π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．若函数f(x)＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) A.45 B.35 C.25 D.215 3．已知函数f(x)＝2sin ? ????ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________． 4．已知函数f(x)＝sin ? ????ωx ＋π3(ω>0)，若f(x)在??????0，2π3上恰有两个零点，且在???? ??－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________．三角函数中有关“w”的题型
第12讲 三角函数性质求参数范围
三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题
高考三角函数的参数取值范围题型归类分析
三角函数w的取值问题--优选.docx
2021届新高考数学二轮 培优点7 三角函数中的范围、最值问题(原卷版)