专题二 三角函数中一类求w的范围问题

专题二 三角函数中一类求w 的最值问题

三角函数的性质是高考必考内容，也是高考中的热点内容。本文筛选了一部分高考题和模考题，就三角函数中一类求w 的取值范围问题做了整理，希望对大家有所帮助。

类型一 已知周期求w 的范围

【例1】（2010.辽宁）设>0,函数y=sin(x+

)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是

（A ） (B) (C) (D)3 【答案】C 【解析】将2)3

sin(++=πωx y 的图像向右平移个单位后为 ， 所以有=2k ,即， 又因为，所以k ≥1,故≥，所以选C 【题后反思】

该题的突破点在于平移后与原图像重合，因此和函数的周期性有关。借助平移和诱导公式的相关知识点可以解决问题。

类型二 已知值域求w 的范围

【例2】已知函数],0[),0)(6sin()(πωπω∈>-=x x x f ，)(x f 的值域为]1,2

1[-，则ω的最小值为（ ）

A. 32

B.43

C.34

D.2

3 【答案】A

【解析】由于],0[π∈x ，所以666π

ωππ

ωπ

-≤-≤-x

ωω3π34πω234332

34π4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233

x πωπω=+-+43

ωππ32k ω=0ω>32k ω=

32

又因为)(x f 的值域为]1,21[-，且21)6sin(-=-π，2

167sin -=π 结合图象可得6762ππωππ≤-≤，解之得3

432≤≤ω，故选A 【题后反思】

该题在处理时运用整体的思想，将值域问题转化在基本函数y=sinx 上结合图象处理更为简单明了。

类型三 已知零点情况求w 的范围

【例3】（2016.天津）已知函数R x x x x f ∈>-+=),0(2

1sin 212sin )(2ωωω，若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是

A. ]81,0(

B.)1,85[]41,0(?

C.]85,0(

D.)8

5,41[]81,0(? 【答案】D 【解析】化简得)0)(4sin(22)(>-=

ωπωx x f ，由于0),2,(>∈ωππx ， 所以4244πωππωπωπ-<-<-

x ，)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点包含以 下情况： ①ππ

ωπk 24≥-且πππ

ωπ+≤-k 242，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]85,412[ω，取0=k ，则]8

5,41[∈ω ②πππ

ωπ+≥-k 24且πππ

ωπ2242+≤-k ，其中Z k ∈ 解得Z k k k ∈++∈]89,452[ω，取1-=k ，则]8

1,43[-∈ω 综上，结合0>ω得]8

5,41[]81,0(?∈ω，故选D 【相关例题1】已知函数]3

,4[),0)(sin()(ππ?ω?ω∈>+=x x f ，已知)(x f 在]2,0[π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ）

A. 613=ω

B.611=ω

C.47=ω

D.4

3=ω 【答案】A

【相关例题2】已知函数),0)(6

sin(cos )(>++=ωπ

ωωx x x f 在],0[π上恰有一个最大值和两个零点，则ω的取值范围是________.

【答案】)6

13,35[ 【题后反思】

几个题目类型相同，处理时同样体现整体换元的思想，结合基本函数y=sinx 的图象，更易求解。

类型四 已知单调性求w 的范围

【例4】（2016.全国Ⅰ卷）已知函数()sin()f x x ω?=+π0,||2ω???>≤ ??

?,π4x =-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图象的对称轴,且()y f x =在π5π,1836?? ???

上单调,则ω的最大值为（ ）

A.11

B.9

C.7

D.5 【答案】B 【解析】因为π4x =-为函数()f x 的零点,π4x =为()y f x =图象的对称轴 所以π2

24kT T =+(Z,k T ∈为周期),得2π(Z)21

T k k =∈+. 又()f x 在π5π,1836?? ???

单调,所以π6T ≥,112k ≤, 验证当5k =时,11ω=,π4?=-,()f x 在π5π,1836?? ???不单调; 当4k =时,9ω=,π

4?=,()f x 在π5π,1836?? ???

单调,满足题意, 故9ω=,即ω的最大值为9.

【相关例题】已知函数)2,0)(sin()(π

?ω?ω≤>+=x x f ，满足

)()2(),4()4(x f x f x f x f =--+-=-πππ，且)(x f 在区间)6

,12(π

π上单调，则ω的最大值为（ ）

A.13

B.12

C.9

D.5

【答案】C

2016年全国一卷的12题难度较大，我们在处理时需要根据限制条件得到周期表达式中k 的大致范围，再进行检验得到最后的答案。