三角函数的取值范围问题
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
高一必修一数学三角函数中含参取值范围专项练习(含解析)
高一必修一数学三角函数中含参取值范围专项练习(含解析)一、填空题1. 若0 ≤ x ≤ 2π，求满足 sin(2x) = sin(x) 的 x 的取值范围。
解析：由于 sin(2x) = sin(x)，可以得到以下等式。
sin(2x) = sin(x)2sin(x)cos(x) = sin(x)sin(x)(2cos(x) - 1) = 0因此，满足 sin(2x) = sin(x) 的 x 的取值范围为：x = 0, π, 2π。
2. 若 -π ≤ x ≤ 3π，求满足 sin(3x) = cos(2x) 的 x 的取值范围。
解析：由于 sin(3x) = cos(2x)，可以得到以下等式。
sin(3x) = cos(2x)sin(3x) = cos(π/2 - 2x)因此，满足 sin(3x) = cos(2x) 的 x 的取值范围为：x = -3π/2, -π/2, π/2。
二、选择题1. 若0 ≤ x ≤ 2π，下列等式中含参的取值范围正确的是：A. sin(x) = 0，x = 0, π, 2πB. cos(2x) = 1，x = 0, π, 2πC. tan(x) = 1，x = π/4，5π/4D. sin(x)cos(x) = 0，x = 0, π/2, π解析：只有选项 C 正确，因为 tan(x) = 1 的解为x = π/4，5π/4。
2. 若 -π/2 ≤ x ≤ π/2，下列等式中含参的取值范围正确的是：A. sin(2x) = 1，x = π/4，5π/4B. cos(x) = 0，x = π/2, 3π/2C. tan(x) = 0，x = 0D. cos(2x) = 1，x = π/4，5π/4解析：只有选项 B 正确，因为 cos(x) = 0 的解为x = π/2, 3π/2。
三、解答题1. 若0 ≤ x ≤ π/2，求满足 tan(2x) = 1 的 x 的取值范围。
第28讲 三角函数中 ω 的取值范围与最值问题
第28讲三角函数中ω的取值范围与最值问题【题型目录】题型一：根据最值求范围问题题型二：根据零点求范围问题题型二：根据单调性求范围问题题型四：根据对称轴求范围问题题型五：三角函数性质综合性问题【典例例题】题型一：根据最值求范围问题【例1】已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，63ff ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x 有最小值无最大值，则ω=（）A ．43B ．2C ．143D ．8【例2】若函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,3b π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值分别为-4，则实数b 的取值范围是（）A ．,12π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．,2π⎛⎤-∞ ⎝⎦C ．,312ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例3】函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>在区间[]0,π上恰有两个最小值点，则ω的取值范围为（）A ．1321,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,6C ．917,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1119,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【例4】已知函数()cos 223f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为[,]απ，值域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则α的取值范围是（）A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,36ππ⎡⎤⎢⎣⎦D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例5】已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(0,2)内有唯一的最值，则ω的取值范围是___________.【题型专练】1．函数()π2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域是⎡⎤⎣⎦，则ω的取值范围是（）A ．14,23⎡⎤⎢⎣⎦B ．14π,π23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知函数()()3cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在4,39ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最小值，没有最大值，则ω的最大值为（）A ．19B ．13C ．10D ．73．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,3π⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为[]1,2，则ω的取值范围为（）A ．[]1,2B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（）A ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>，若至少存在两个不相等的实数[]12,,2x x ππ∈，使得()()122f x f x A +=，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数()6f x sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则ω的取值范围是___________.题型二：根据零点求范围问题【例1】若函数()()104f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上有且仅有3个零点，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为（）A ．(12⎤⎦B ．(0,1+C ．)1⎡⎣D ．0,1⎡⎣【例2】函数()sin ))6((0f x x πωω=->在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．10,9⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．1170,,939⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．170,,199⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【例3】已知函数()()sin 04f x x ω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且只有4个零点，则ω取值范围是（）A ．1519,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1721,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭【例4】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【例5】已知函数()sin (0)3⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭f x x πωωω在区间70,3πω⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A ．(0,1)B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．[1,2]【题型专练】1．设函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，现有下列四个结论：①ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 的图像与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个；③()f x 的图像与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个；④()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④2.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间()0,π上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：①()f x 在区间[]0,π上有且仅有2条对称轴；②()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③ω的取值范围是59,44⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A ．2329,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1111,3024⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1111,3024⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x ＝2在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5．设函数()sin (4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点.下述四个结论正确的是（）A ．()f x 在()0,2π上有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,2π上有且仅有2个极小值点C ．()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______.7.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．8.已知22cos 1(0)2x x ωωω+=>在(0,2)x π∈有且仅有6个实数根，则实数ω的取值范围为（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,23⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数()sin 1f x x x ωω=+()0ω>在()0,2π上有且只有5个零点，则实数ω的范围是（）A ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2511,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．25,12211⎛⎤ ⎥⎝⎦10.已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程|()|1f x =在区间(0,2)π上恰有5个实根，则ω的取值范围是（）A ．75,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．513,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为___________.12.若关于x的方程22sin 210x x m +-=在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有实数根，则实数m 的取值范围是________．题型三：根据单调性求范围问题【例1】已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,8π⎡⎤⎢⎣⎦上是单调函数，则ω的值不可能是（）A ．43B ．4C ．203D ．283【例2】已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f （x ）在（-m ，m ）上是增函数，则m 的取值范围是（）A ．（0，4π]B ．（0，2π]C ．（0，34π]D ．（0，32π]【例3】已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则ω的取值范围为________.【例4】已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,1【例5】已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-【例6】已知函数π()tan(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．106⎛⎫⎪⎝⎭，B ．17(,)36C ．117(0,[]636 D ．117(0,)(,636【题型专练】1．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线1110x π=对称，且()f x 在,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则m 的最大值为_____.2.若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．3.已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______.4.函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 的零点到y 轴的最近距离小于6π，且()g x 在5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．122,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,35⎛⎤ ⎥⎝⎦5.函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在5,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围是（）A ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．539,420⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．79,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.将函数sin 0f x x ωω=>（）（）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移8πω个单位长度，得到函数g x （）的图象，若g x （）在2ππ（，）上单调递减，则实数ω的取值范围为（）A ．10]4（，B ．50]8（，C ．1544⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．1548⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7.已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，则ω的取值范围是（）A ．106⎛⎫⎪⎝⎭，B ．17(,)36C ．117(0,[,636 D ．117(0,)(,636题型四：根据对称性求范围【例1】已知函数()cos (0)4f x x πω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．（134，174]B ．（94，134]C ．[94，134）D ．[134，174）【例2】已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．其中所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【题型专练】1.已知函数()21cos cos (0,)2f x x x x a x R ωωω=+->∈在[]0,π内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．27,36⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．75[,)63C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．138,63⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知函数()()()5sin 0f x x ωϕω=+>，若54f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，354f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．点02π⎛⎫⎪⎝⎭，不可能是()f x 的一个对称中心B ．()f x 在344ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减C ．ω的最大值为2D ．ω的最小值为2题型五：三角函数性质的综合问题【例1】（多选题）已知函数()sin cos 0f x x xωωω=>，，则下列结论中正确的是（）A ．若ω=2，则将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称B ．若()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，则ω=2C ．若()f x 在[0，3π]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]D ．若()f x 在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【例2】（多选题）设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤≤ ⎪⎝⎭，且函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调的，则下列说法正确是（）A ．若()f x 是奇函数，则ω的最大值为3B ．若()102f =，则ω的最大值为23C ．若()()0f x f ≤恒成立，则ω的最大值为2D ．若()f x 的图象关于点,03πω⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ω的最大值为53【例3】（多选题）若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎭在区间(),2ππ内没有最值，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期可能为3πB ．ω的取值范围是10,6⎛⎤⎥⎝⎦C ．当ω取最大值时，2x π=是函数()f x 的一条对称轴D ．当ω取最大值时，(),0π-是函数()f x 的一个对称中心【例4】（多选题）已知()()212cos 03f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则下列判断中，错误的是（）A ．若()11f x =，()21f x =-，且12minx x π-=，则2ω=B ．存在()0,2ω∈，使得()f x 的图像右移6π个单位长度后得到的图像关于y 轴对称C ．若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦【例3】若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．【例4】已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω>0)，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________.【题型专练】1.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，若函数()f x 的一个零点为6π．其图像的一条对称轴为直线512x π=，且()f x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A ．2B ．6C ．10D ．142．已知函数2()12cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，下面结论正确的是（）A ．若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的极值点，且12x x -的最小值为π，则1ω=B ．存在()0,1ω∈，使得()f x 往右平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称C ．若()f x 在[]0,2π上恰有6个零点，则ω的取值范围是3541,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若20,3ω⎛⎤∈ ⎝⎦，则()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增3．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．4．已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______．5．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕω=>≤=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π(3636，单调，则ω的最大值是______.6．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是___________；7．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.。
三角函数w的取值问题
三角函数w 的取值问题1.ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，那么ω的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤12，54答案：C4．函数f 〔x 〕=sin 〔ωx +φ〕〔ω＞0，0≤φ≤π〕是R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，那么ω的值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．解：由f 〔x 〕是偶函数，得f 〔﹣x 〕=f 〔x 〕，即sin 〔﹣ωx +∅〕=sin 〔ωx +∅〕， 所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx ，对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0． 依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，由f 〔x 〕的图象关于点M 对称，得f 〔﹣x 〕=﹣f〔+x 〕，取x=0，得f 〔〕=sin 〔+〕=cos ，∴f〔〕=sin 〔+〕=cos，∴cos=0，又ω＞0，得=+kπ，k=1，2，3，∴ω=〔2k +1〕，k=0，1，2，当k=0时，ω=，f 〔x 〕=sin 〔x +〕在[0，]上是减函数，满足题意； 当k=1时，ω=2，f 〔x 〕=sin 〔2x +〕在[0，]上是减函数；当k=2时，ω=，f 〔x 〕=〔x +〕在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．应选D ．5．〔2021年全国I 高考〕函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，那么ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5 解：∵x=﹣为f 〔x 〕的零点，x=为y=f 〔x 〕图象的对称轴， ∴，即，〔n ∈N 〕即ω=2n +1，〔n ∈N 〕 即ω为正奇数，∵f 〔x 〕在〔，〕那么﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f 〔x 〕在〔，〕不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时f 〔x 〕在〔，〕单调，满足题意；故ω的最大值为9，应选：B6. 函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，那么ω的最小值等于________． 答案：328. 〔第十三周周考题〕函数()2sin()3f x x πω=-〔13ω>，x R ∈〕，假设()f x 的任意一个对称中心的横坐标都不属于区间(),2ππ，那么ω的取值范围是 ．答案：12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦9.〔2021年天津高考改编〕函数2())(0)4f x x πωω=->，R x ∈.假设)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，那么ω的取值范围是〔 〕〔A 〕]81,0( 〔B 〕)1,85[]41,0( 〔C 〕]85,0( 〔D 〕]85,41[]81,0(答案:D。
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题(解析版)
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题【方法技巧与总结】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 432(1)(3)(24)T b a k Tk a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点 ⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n Tn T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【题型归纳目录】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值 题型二：三角函数与零点 题型三：三角函数性质综合应用 【典型例题】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值例1．若函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．10(0,]3B ．2(0,]3C ．210[,]33D ．10[,)3+∞【解析】解：当44xππ-，时，44x ππωωω-，34343x πππππωωω-++，要使()f x 在[4π-，]4π上单调递增， 则342432πππωπππω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得，得10323ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又0ω>， 203ω∴<． 故选：B ．例2．已知()sin 3(0)f x x x ωωω=>在区间[,]64ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，2]3B ．(0，2][73，26]3C ．[7，2650][,19]33D ．(0，250][,19]33【解析】解：()sin 3cos 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，由22232k x k ππππωπ-++，k Z ∈，得52266k x k πππωπ-+，k Z ∈，即52266k k xππππωω-+，即函数的单调递增区间为526[k ππω-，26]k ππω+，k Z ∈，()f x 在区间[,]64ππ上单调递增，∴5266264k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩，即125283k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩，即212583k k ω-+，0ω>，∴当0k =时253ω-，此时203ω<， 当1k =时，2673ω， 当2k =时，219163ω+，此时不成立， 综上ω的范围是203ω<或2673ω， 即(0，2][73，26]3，故选：B ．例3．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．(0，8]3B ．(0，1]2C ．1[2，8]3D ．3[8，2]【解析】解：函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，∴246222362k k πωπππωππππ⎧-+-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩，k Z ∈解得：883132k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 0ω>，当0k =时，可得：102ω<． 故选：B ．变式1．若函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，3]2B ．[1，3]2C ．[1，2]D ．(0，2]【解析】解：由22242k x k ππππωπ-+-+，得232,44k k x k Z ππππωωωω-++∈， 取0k =，得344xππωω-， 函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，∴342ππω，即32ω． 又0ω>，ω∴的取值范围是(0，3]2．故选：A ．变式2．为了使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98πB ．1972πC ．1992πD ．100π【解析】解：使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值 14914T ∴⨯，即197214πω⨯，1972πω∴． 故选：B ．变式3．（多选题）已知R ω∈，函数2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：根据题意，2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，则2()(3)sin[()]f x a x a x a ω+=+-+， 若()f x a +为偶函数，则30a -=且sin[()]sin[()]x a x a ωω+=-+， 则3a =，sin cos cos sin cos sin sin cos x a x a x a x a ωωωωωωωω+=-， 必有cos 0a ω=，则32k πωπ=+，必有36k ππω=+，()k Z ∈ 当0k =时，6πω=，当1k =时，2πω=，故选：AD ．变式4．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω= 4 ．【解析】解：由函数的图象可知，0(x ，0)y 与0(4x π+，0)y -，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期002()42T x x ππ=+-=，所以22T ππω==，所以4ω=．故答案为：4．变式5．为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω的最小值是132π． 【解析】解：为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω取得最小值时，需有2233144T T ππωω+=⨯+=⨯， 解得132πω=， 故答案为132π． 变式6．已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+≠，0)ω>在(4π，)3π上单调，其图象经过点(4π，0)，且有一条对称轴为直线4x π=-，则ω的最大值是 5 ．【解析】解：因为函数图象经过点(,0)4π，所以14k πωϕπ+=，1k Z ∈，①因为直线4x π=-为函数的一条对称轴，所以242k ππωϕπ-+=+，2k Z ∈，②①-②可得12()22k k ππωπ=-+-，即1212()k k ω=-+-，由12k k Z -∈，0ω>，可得1ω=，3，5，⋯， 因为函数sin()y A x ωϕ=+在(,)43ππ上单调，所以434T ππ-，即212ππω，解得6ω，所以ω的最大值是5． 故答案为：5．题型二：三角函数与零点 例4．已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A ．1(4，55)(84⋃，)+∞B ．(0，15][48，1)C ．1(8，15)(48⋃，5)4D ．1(8，15)(48⋃，)+∞【解析】解：1cos sin 12()222x x f x ωω-=+-= ()4x πω-，由()0f x =，可得(41)()4k x k Z πω+=∈， 令2ω=得函数()f x 有一零点9(,2)8x πππ=∈，排除（B ）、（C ）， 令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：123x π=，2103x π，⋯显然1(,2)x ππ∉，2(,2)x ππ∉，可排除（A ）， 故选：D ．例5．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x ωωω+-，(0,)x R ω>∈，若函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，则ω的取值范围( )A ．(0，5]12B ．(0，5511][,]12612C ．(0，5]8D ．511(0,][,1)612【解析】解：函数21()3sin cos cos 2f x x x ωωω+-， 31cos21222x x ωω+=+-， sin(2)6x πω=+，函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，所以：()()02f f ππ⋅>，即：sin()sin(2)066πππωωπ+⋅+>，所以：①sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5(0,]12ω∈， ②sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得：511[,]612ω∈，综上所述：(0ω∈，5511][,]12612， 故选：B ．例6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，则ω的取值范围是( ) A ．(6,10)B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【解析】解：依题意得()4f π为()f x 的最大值1，∴242k ππωϕπ+=+，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，(82,82)k k k Z ω∴∈-+∈①又()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，5044T π∴-，且3044T π<-，即53T ππ<，即253πππω<，解得610ω<，②∴由①②(6,10)ω∈．故选：A ．变式7．已知函数231()cos (0,)22xf x x x R ωωω=+->∈，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．5(0,]12B ．5(0,)6C ．5511(0,][,]12612D ．5511(0,](,]12612⋃ 【解析】解：13()cos sin()26f x x x x πωωω==+．令6x k πωπ+=可得6k x ππωω=-+，k Z ∈． 令26k ππππωω<-+<解得11266k ωω+<<+， 函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，∴区间1(6ω+，12)6ω+内不存在整数． 又2122ππππω-=，1ω∴， 又0ω>， 1(6ω∴+，12)(06ω+⊂，1)或1(6ω+，12)(16ω+⊂，2)．1216ω∴+或1112266ωω+<+， 解得5012ω<或511612ω． 故选：C ．变式8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，则ω的取值范围是 (6,10) ．【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，()14f π∴=，∴242k ωππϕπ+=+，k Z ∈，224k πωπϕπ∴=+-，k Z ∈．结合ϕ的范围，可得0k =或1k =． ①当0k =时，24πωπϕ=-，由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(0ω∈，2 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωπωϕϕϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即334824πωππωππ<+-，即57282πωππ<，即2028ω<． 综合可得，ω∈∅． ②当1k =时，522424πωππωπϕπ=+-=-， 由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(6ω∈，10 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωϕϕωπϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即3534824πωππωππ<+-，即412ω<．综合可得，此时，(6,10)ω∈． 综上，结合①②可得，(6,10)ω∈， 故答案为：(6,10)． 变式9．已知函数1()2cos sin()(0)2262xx f x ωωπω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 (0，5511][,]12612． 【解析】解：由1()2cos (sincoscossin )226262xxxf x ωωπωπ=+- 21313sincoscos sin()222226xxxcos x x x ωωωπωωω=+-=+=+． ()f x 在区间(,2)ππ内没有零点， 2ππππω∴-=，可得01ω<． 当(,2)x ππ∈时，(66x ππωπω+∈+，2)6ππω+，∴26()226k k Z k ππωπππωππ⎧+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，或26()2226k k Z k ππωππππωππ⎧++⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 解得152()612k k k Z ω-+∈，或5112()612k k k Z ω++∈， 又01ω<<，5012ω∴<或511612ω． ω∴的取值范围是(0，5511][,]12612． 故答案为：(0，5511][,]12612． 变式10．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足，()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点，求b a -的取值范围． 【解析】解：（1）对于函数()2sin f x x ω=，其中常数0ω>，若()y f x =在[4π-，2]3π上单调递增， 则()42ππω--，且232ππω，求得34ω，即ω的取值范围为(0，3]4． （2）令2ω=，将函数()2sin 2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，可得函数2sin 2()2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()2sin(2)13y g x x π==++的图象，令()0g x =，求得1sin(2)32x π+=-，72236x k πππ∴+=+，或112236x k πππ+=+，k z ∈， 求得512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈，故函数()g x 的零点为512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈． ()g x ∴的零点相离间隔依次为3π和23π， ()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点， b a ∴-的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=，2471615333b a πππ-<⨯+⨯=， ∴434733b a ππ-<． 题型三：三角函数性质综合应用例7．已知函数()sin()(06,)22f x x ππωϕωϕ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则(ωϕ= )A ．34π-B ．23π-C ．23π D ．34π 【解析】解：把函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度， 得到函数()sin()3g x x ωπωϕ=-+的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则432k πωππωϕπ-+=+，⋯①42k ππωϕπ+=+，⋯②由①②得3n ωππ=，n Z ∈；3n ω∴=，又(0,6)ω∈，3ω∴=； ()sin(3)f x x ϕ∴=+；由342k ππϕπ+=+，解得4k πϕπ=-，又(2πϕ∈-，)2π，4πϕ∴=-，34πωϕ∴=-． 故选：A ．例8．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(4π，)3π单调，则ω的最大值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①．()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为11． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4x π=-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在(4π，)3π单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ．例9．已知函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，且()f x 在区间(,)126ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．13B ．12C ．9D ．5【解析】解：函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，()f x 在区间(,)126ππ上单调，∴周期2()6126T πππ⨯-=，即26ππω，12ω∴．4x π=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．当11ω=时，由题意可得114k πϕπ⨯+=，4πϕ=，函数为()sin(11)4y f x x π==+，在区间(,)126ππ上，711(46x ππ+∈，25)12π，()f x 在区间(,)126ππ上不单调，11ω∴≠．当9ω=时，由题意可得94k πϕπ⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(9)4y f x x π==-，在区间(,)126ππ上，9(42x ππ-∈，5)4π，()f x 在区间(,)126ππ上单调，满足条件，则ω的最大值为9， 故选：C ．变式11．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且11(36x π∀∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴．4m πωϕπ∴-+=，42n ππωϕπ+=+．(,)m n Z ∈2()1n m ω∴=-+，即ω为奇数．下面验证5ω=不符合题意， 当5ω=时，可得4πϕ=，函数()sin(5)4f x x π=+，且11(36x π∈，17)36π时，64945(,)43636x πππ+∈， 而56494(,)23636πππ∈，不符合11(36x π∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为3，故选：C ．变式12．将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为1)-，则ω的取值范围是( )A ．713(,]1212B ．713[,)1212C ．1117[,)1212D ．1117(,]1212【解析】解：将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍， 得函数()sin()g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3以及点在图象上的位置， 知3sin ϕ=，23πϕ=，02x π，∴2222333x πππωπω++， 由()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω+<，∴11171212ω<， 故选：C ．变式13．已知22()sin ()cos ()(0)33f x x x ππωωω=+-+>．给出下列判断：①若1()1f x =，2()1f x =-，且12||2min x x π-=，则2ω=；②若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359[,)2424； ③存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ④若()f x 在[,]63ππ-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]3．其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：222()sin ()cos ()cos(2)sin(2)3336f x x x x x ππππωωωω=+-+=-+=+．①由题可知，最小正周期22T ππω==，1ω∴=，即①错误； ②设函数()sin(2)6f x x πω=+在y 轴右侧与x 轴的第9个交点的横坐标为α，第10个交点的横坐标为β，则296πωαπ+=，2106πωβπ+=，解得5312παω=，5912πβω=， 若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则535921212πππωω<，解得53592424ω<，即②正确；③()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()sin[2()]sin(2)6636g x x x ππωππωω=-+=-+， 函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴,362k k Z ωππππ-+=+∈，13k ω∴=--，k Z ∈，若存在(0,2)ω∈，则13(0,2)k --∈，解得1(1,)3k ∈--，与k Z ∈相矛盾，即③错误；④令2[2,2]622x k k πππωππ+∈-++，得[,]36k k x ππππωωωω∈-++，k Z ∈， ()f x 在[,]63ππ-上单调递增，∴当0k =时，有3636ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得12ω，0ω>，102ω∴<， 故ω的取值范围为1(0,]2，即④错误．∴正确的只有②，故选：A ．变式14．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(18π，5)36π单调，求ω的最大值．【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4n πωϕπ∴-+=，n Z ∈，且42n ππωϕπ⋅+='+，n Z '∈，∴相减可得()222n n k πππωππ⋅='-+=+，k Z ∈，即21k ω=+，即ω为奇数．()f x 在(18π，5)36π单调，（1）若()f x 在(18π，5)36π单调递增，则2182k ππωϕπ⋅+-，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈， 即2182k ππωϕπ-⋅--+①，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈②， 把①②可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若()f x 在(18π，5)36π单调递减，则2182k ππωϕπ⋅++，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈，即2182k ππωϕπ-⋅---③，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈④， 把③④可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9． 故答案为：9．【过关测试】 一．选择题2．若函数()3sin (0)f x x ωω=>能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在[,]1110ππ-上是单调函数，则整数ω的值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：函数sin y x ω=能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3， 如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3， 由三角函数的图象与性质可知：即：223πω；解得：43πω； 又[11x π∈-，]10π上为单调函数，1110xωπωπω∴-，且102112ωππωππ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩， 解得5ω；综上可得，正整数5ω=． 故选：B ．3．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()06f π-=且对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，若()f x 在52(,)369ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【解析】解：函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()0sin()66f A πωπϕ-==-+，6k ωπϕπ∴-+=，k Z ∈①． 对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，故()f x 的图象关于直线3x π=对称，∴32n ωππϕπ+=+，n Z ∈②．∴②-①可得()362n k ωπωπππ+=-+，即2()1n k ω=-+，即ω等于π的奇数倍． 若()f x 在52(,)369ππ上单调，则12252936πππω⋅-，求得12ω． 当11ω=时，由①可得116k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得6πϕ=-，此时，()sin(11)6f x A x π=-，当52(,)369x ππ∈，4911(636x ππ-∈，41)18π， 故不满足()f x 在52(,)369ππ上单调，故11ω=不满足条件． 当9ω=时，()sin(9)f x A x ϕ=+，由①可得32k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得2πϕ=或2πϕ=-，满足()f x 在52(,)369ππ上单调，也满足③． 故ω的最大值为9， 故选：C ． 4．已知0ω>，||2πϕ，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是() A ．(6π，)3πB ．[6π，]3πC ．(,)32ππD ．[,]32ππ【解析】解：由()()f x g x =，得sin()cos()x x ωϕωϕ+=+， 即tan()1x ωϕ+=， 即4x k πωϕπ+=+，则4x k πωπϕ=+-，4k x ππϕω+-=，当0k =时，14x πϕω-=，当1k =时，24x ππϕω+-=，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π， 21442x x πππϕϕππωωω+--∴-=-==， 即2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，即此时()0f x >，恒成立， 由()0f x >，得222k x k πϕππ<+<+，k Z ∈， 得222k x k ϕϕπππ-<<-+，则26224k k ϕππϕπππ⎧--⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，得2624k k ϕππϕππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得2322k k πϕππϕπ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，当0k =时，得32πϕπϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得32ππϕ， 则ϕ的取值范围是[3π，]2π，故选：D ．5．已知函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>在区间[2π-，2]3π上是增函数，则ω的取值范围是( ) A ．(0，3]4B ．(0，1]C ．3[4，1]D ．3[2，1]【解析】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>， ()f x 区间[2π-，2]3π上是增函数， 则有2222232k k πωπππωππ⎧--+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，k Z ∈，解得：14k ω-且334k ω+， 0ω>，(0∴，3]4．故选：A ．6．已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是()A ．()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是4π C ．ω的取值范围是1317[,)44D ．()f x 在区间(0,)16π上单调递增【解析】解：函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，令42x k ππωπ+=+，k Z ∈，得(41)4k x πω+=，k Z ∈， 函数()f x 在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，即有4个整数k 满足(41)04k ππω+，由(41)04k ππω+，得0144k ω+，可得0k =，1，2，3，则1434144ω+⨯<+⨯，∴131744ω<，即ω的取值范围是1317[,)44，故C 正确； (0,)x π∈，(44x ππω∴+∈，)4πωπ+，得7(42ππωπ+∈，9)2π，当[44x ππω+∈，9)2π时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点，故A 错误； 周期2T πω=，由1317[,)44ω∈，得14(17ω∈，4]13， 8(17T π∴∈，8]13π，()f x ∴的最小正周期不可能是4π，故B 错误； (0,)16x π∈，(44x ππω∴+∈，)164ωππ+，又13[4ω∈，17)4，∴29[16464ωπππ+∈，33)64π，又33642ππ>，()f x ∴在区间(0,)16π上不一定单调递增，故D 错误．故选：C ．7．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[0，]3π上恰有三个零点，则ω的取值范围是( )A ．111722ω< B ．111722ωC ．172322ω< D ．172322ω【解析】解：函数sin()(0)6y x πωω=+>在区间[0，]3π恰有3个零点，[66x ππω+∈，]36ππω+，可得3436πππωπ+<，可得172322ω<． 故选：C ．8．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )A ．2937[,]66ππB ．2937[,)66ππC ．2537[,)66ππD ．[4π，6)π【解析】解：因为[0x ∈，1]，所以[33x ππω+∈，]3πω+，因为()f x 的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点， 所以46232ππππωπ++<+，解得253766ππω<． 故选：C ．9．若存在唯一的实数(0,)2t π∈，使得曲线sin()(0)4y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是()A ．3(4，7]4B ．3[4，7]4C ．3(2，7]2D ．3[2，7]2【解析】解：函数sin()4y x πω=-，其对称方程为42x k ππωπ-=+，k Z ∈，解得34k x ππω+=，k Z ∈；对称轴(0,)2x t π=∈，∴当0k =时，可得对称性：342ππω<，，解得：32ω>； 当1k =时，可得对称性：342πππω+，解得：72ω； ω∴的取值范围是3(2，7]2．故选：C ． 二．多选题10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-则( )A ．2()03f π=B ．04ω<C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0，2)π上最多有4个不相等的实数解D ．若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为8(,3]3【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+满足73()()124f f ππ=-． 对于A ，因为1732()21243πππ⨯+=，所以()f x 的一个对称中心是(3π，0)，即2()03f π=，选项A 正确；对于B ，因为576122Tππ-，解得2T π，即22ππω，解得4ω，所以04ω<，选项B 正确；对于C ，关于x 的方程()1f x =只有一个实数解，函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间7(12π，5)6π上单调，且满足2()03f π=， 所以5224()633T πππ⨯-=， 当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[0，2)π上的实数解为6π，56π，32π共有三个，选项C 错误； 对于D ，函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点，所以13252632TT ππ<-， 所以2132522632ππππωω⨯<-⨯，解得81033ω<， 且满足5224()63T πππω>⨯-=，即223ππω，解得3ω，所以8(3ω∈，3]，选项D 正确．故选：ABD ．11．已知函数()4sin cos()1(0)6f x x x πωωω=++>在(0,)x π∈上恰有3个零点，则( )A ．()f x 在(0,)π上恰有2个极大值点和2个极小值点B ．()f x 在(0,)8π上的最大值是2C ．()f x 在(0,)12π上是增函数D ．ω的取值范围是1723(,]1212【解析】解：函数()4sin cos()16f x x x πωω=++314sin (sin )12x x x ωωω=-+ 223sin cos 2sin 1x x x ωωω=-+ 3sin 2cos2x x ωω=+2sin(2)6x πω=+，0ω>； 当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，对于D ，因为()f x 在(0,)π内恰好3个零点，所以3246ππωππ<+，解得17231212ω<，选项D 正确； 对于A ，当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，因为3246ππωππ<+，所以()2sin(2)6f x x πω=+在区间(0,)π上可能有2个或1个极小值点，选项A 错误；对于B ，当(0,)8x π∈时，2(66x ππω+∈，)46ωππ+，因为17231212ω<，所以1725464126482ωππππππ+>⨯+=>，所以()f x 在区间(0,)8π上有最大值为2，选项B 正确；对于C ，当(0,)12x π∈时，2(66x ππω+∈，)66ωππ+，因为17231212ω<，所以2335666126722ωππππππ+⨯+=<，所以()f x 在区间(0,)12π上单调递增，选项C 正确．故选：BCD ．12．已知函数2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>，下面结论正确的是( )A ．若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的极值点，且12||x x -的最小值为π，则1ω=B ．存在(0,1)ω∈，使得()f x 往右平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称C ．若()f x 在[0，2]π上恰有6个零点，则ω的取值范围是3541[,)2424D ．若2(0,]3ω∈，则()f x 在[,]64ππ-上单调递增【解析】解：22()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x πππωωω=-+=-+=+，对于A ，12||2min T x x π-==，∴2ππω=，12ω=，错误； 对于B ，平移后12()sin(2)6g x x ωωπ-=+关于原点对称，则1216()62kk k Z ωππω--=∈⇒=，k Z ∈，当0k =时，1(0,1)2ω=∈，正确；对于C ，[0x ∈，2]π，2[,4]666x πππωωπ+∈+，3541647[,)62424ππωππω+<⇒∈，正确； 对于D ，当[,]64x ππ∈-，则2(636x πωππω+∈-+，)26ωππ+，若()f x 在[,]64ππ-上单调递增，则23623262ωπππωωπππ⎧-+-⎪⎪⇒⎨⎪+⎪⎩，0ω>，∴2(0,]3ω∈，正确．故选：BCD ． 三．填空题13．若函数sin y x ω=能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间[,]1615ππ-上为增函数，则正整数ω的值为 ．【解析】解：由题意函数sin y x ω=图象过(0,0)，其周期2T πω=，要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有1T ， 即21πω，解得2ωπ，在区间[,]1615ππ-上为增函数， ∴2216k ππωπ--且2215k πωππ+，k Z ∈，解得832k ω-且307.5k ω+，∴当0k =时，正整数ω值为7，符合条件．故答案为：7．14．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=⋅-->在区间52[,]63ππ-上是增函数，且在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是 ．【解析】解：22()2sin cos ()sin 24x f x x x ωπωω=⋅-- 2sin [1cos()]2x x sin x πωωω=⋅+--2sin (1sin )sin x x x ωωω=⋅+- sin x ω=，令2,2x k k Z πωπ=+∈，解得2,2k x k Z ππωω=+∈， 因为()f x 在区间(0,)π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω<<，解得12ω>， 令22,22k xk k Z πππωπ-++∈，解得22,22k k x k Z ππππωωωω-++∈， 因为()f x 在区间52[,]63ππ-上是增函数， 所以562232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω， 综上所述，1325ω<， 所以ω的取值范围为13(,]25．故答案为：13(,]25．15．设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：由题意知，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+， 因为[0x ∈，2]π，所以[55x ππω+∈，2]5πωπ+，又()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点， 所以5265ππωππ+<，解得1229510ω<， 所以ω的取值范围是12[5，29)10．故答案为：12[5，29)10．16．若函数()2sin(2)4f x x π=+在[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增，则实数m 的取值范围为 ．【解析】解：由()2sin(2)4f x x π=+知，当[0x ∈，]π时，()f x 在[0,]8π和5[,]8ππ上单调递增，[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增， ∴28538m m ππ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴5244mππ， m ∴的取值范围为：5[,]244ππ． 故答案为：5[,]244ππ． 17．已知函数5()cos()(0)6f x x πωω=->在(0,)4π上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为 ．【解析】解：令()0f x =，则562x k πωππ-=+，k Z ∈，43k x ππωω∴=+， 由于()f x 在(0,)4π上有且仅有2个零点，则有434ππω<，且有734ππω，则有162833ω<为所求范围． 故答案为：16(3，28]3．18．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-．（1）若5()()6f x f x π-=，则函数()f x 的最小正周期为 π ；（2）若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为 ． 【解析】解：因为7(12π，37)(412ππ⊆，5)6π， 所以()f x 在7(12π，3)4π上单调， 又73()()124f f ππ=-，所以73212423πππ+=，可得2()03f π=， 又由于5()()6f x f x π-=， 所以函数()f x 的对称轴方程为556212x ππ==，则2531244Tπππ-==，所以函数的最小正周期为π； 因为函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点， 所以13252632T T ππ<-， 所以2132522632ππππωω⋅<-⋅，解得81033ω<， 且满足5224()633T πππ>⨯-=，即223ππω，即3ω， 故8(3ω∈，3]，故④正确；故答案为：π，8(,3]3．19．设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数， [12312x πωππω-∈--，]63ωππ-， 故有3122ωπππ---，6122ωπππ-，求得54ω， 可得ω的取值范围是5(0,]4，故答案为：(0，5]4．20．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，[0x ∈，]π的值域为3[，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为[0x ∈，]π，所以[,]333x πππωωπ-∈--，因为函数()sin()3f x x πω=-的值域为3[，所以[32ππωπ-∈，4]3π，解得55[,]63ω∈． 故答案为：55[,]63．21．已知函数2sin()(0)3y x πωω=->图象与函数2sin()(0)6y x πωω=+>图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC ∆是钝角三角形，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为2sin()2sin()326y x x πππωω=-+=+，所以函数2sin()3y x πω=-的图象向左平移2πω个单位得到函数2sin()6y x πω=+的图象，画出两函数2sin()(0)3y x πωω=->和函数2sin()(0)6y x πωω=+>的部分图象，如图所示：根据图象知，2AC πω=，取AC 的中点D ，连接BD ，由对称性知，ABC ∆是以ABC ∠为顶角的等腰三角形，因为ABC ∆是钝角三角形，所以4ABD π∠>，所以tan 1ADABD BD∠=>，所以AD BD >，由2sin()2sin()36x x ππωω-=+，整理可得()()236x x k ππωωππ-++=+，k Z ∈，可得712x k πωπ=+，k Z ∈；则72sin()2sin()23123y x k πππωπ=-=+-=±2||22B BD y ==ABC ∆为钝角三角形，只需AD BD >，即22πω>24ω<，所以ω的取值范围是2)4． 故答案为：2)．。
三角函数中的范围与最值问题
三角函数中的范围与最值问题在三角函数中，角度的范围通常用弧度来表示。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
1. 正弦函数（sin）的取值范围是[-1, 1]，其中最大值为1，最小值为-1。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最大值1，在90度、270度等整数倍的角度上取到最小值-1.
2. 余弦函数（cos）的取值范围也是[-1, 1]，最大值为1，最小值为-1。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但是相位不同，它在90度、270度等整数倍的角度上取到最大值1，在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最小值-1.
3. 正切函数（tan）的取值范围是整个实数集合（无穷），在某些特定角度上可能不存在。
例如，当角度为90度、270度等整数倍时，正切函数不存在。
在其他情况下，正切函数的值在相邻的两个最大值和最小值之间取值。
需要注意的是，在计算机中使用三角函数时，一般使用弧度制而非角度制。
弧度制是以圆的半径为单位来衡量角度的制度，1个弧度等于在半径为1的圆上所对应的弧长。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 角度×π / 180
以上是三角函数范围和最值的一般规律，但在具体问题中可
能存在特殊情况，需要根据具体的数学模型或方程来求解。
解三角形中的取值范围问题
解三角形中的取值范围问题题型1:求三角函数范围问题例题1：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csinA ＝acosC ， 则sinA ＋sinB 的最大值是巩固练习1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA bsinA a =，且πB 2>，则sinA+sinC 的最大值是 ______ ．2．在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且4442222a b c c a b++=+,若C 为锐角,则sin B A 的最大值为题型2:求边长和差的范围问题例题1：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.巩固练习1. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.2.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C A C B +=.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求A ；（2）若a =b a ≥，求12b c -的取值范围.题型3:求边长之比的范围问题例题1：若ABC ∆)222a c b +-，C ∠为钝角，则B ∠=___；c a的取值范围是____．巩固练习1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，且(60,90)A ∈︒︒，则a b 取值范围是______．2. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是a ，b ，c ，满足sin sin sin sin a c A B b A C +-=-， 则（1）角C =______________；（2）a b c+的取值范围为______________．题型4: 面积最值 例1.在中，分别为角的对边，且满足． （1）求角的值；（2）若bc 最大值．ABC ∆a b c 、、A B C 、、222b c a bc +-=A a =例2、在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知3,3c C π=∠=.（Ⅰ）若sin 2sin B A =，求,a b 的值；（Ⅱ）求22a b +的最大值.巩固练习1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为2.在C ∆AB 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，c a =（ ） C.2 3、在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+ （1）证明：2a b c += ；（2）求cos C 的最小值.4、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c A a b +=.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2a b +=，当边c 取最小值时，求ABC ∆的面积.5、在ΔABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，若a +c =4，2sinB =sinA +sinC ，则ΔABC 的面积的最大值为（ ）A ．√3B ．2C ．2√3D ．4题型5: 已知角和非对应边，求解范围问题当已知条件为三角形的一角及一非对应边时，求解三角形面积或周长时，把其中一边用正弦定理结合三角形内角和定理将其用角度表示出来，最终把问题转化为含有同一角度的三角函数问题，使用换元思想，化成函数值域问题。
三角函数中ω取值范围的求解策略
三角函数中ω取值范围的求解策略1.查看函数定义首先，我们可以通过查看函数的定义来确定角频率ω 的取值范围。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们知道它的定义域是实数集合，而它的值域是[-1,1]。
由于正弦函数是周期性变化的，所以我们可以通过观察函数的图像来确定角频率ω 的取值范围。
2.观察函数的周期性变化角频率ω 决定了函数的周期性。
对于三角函数，周期是2π，即函数在一个周期内的变化情况是相似的。
通过观察函数的周期性变化，我们可以确定角频率ω 的取值范围。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的周期是2π，所以角频率ω 的取值范围是[-∞,∞]。
而对于余弦函数cos(x)，它的周期也是2π，所以角频率ω 的取值范围也是[-∞,∞]。
3.分析函数的导数角频率ω 还可以通过分析函数的导数来确定。
三角函数的导数是它的变化速度，导数的大小和正负决定了函数的增减趋势。
通过分析函数的导数，我们可以获得有关角频率ω 的信息。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的导数是cos(x)。
由于cos(x) 的值在[-1,1] 之间，所以角频率ω的取值范围也是[-1,1]。
而对于余弦函数cos(x)，它的导数是-sin(x)。
由于-sin(x) 的值也在[-1,1] 之间，所以角频率ω 的取值范围也是[-1,1]。
4.总结和拓展通过以上的分析，我们可以得出角频率ω的取值范围的一般规律：- 对于正弦函数sin(x) 和余弦函数cos(x)，角频率ω 的取值范围是[-∞,∞]。
- 对于其他类型的三角函数，如正切函数tan(x) 和余切函数cot(x)，角频率的取值范围也是[-∞,∞]。
需要注意的是，以上是一般的情况，并不是所有情况都适用。
在具体的问题中，角频率ω的取值范围可能会有限制。
因此，在求解角频率ω的取值范围时，需要具体问题具体分析，结合函数的定义、周期性变化、导数等方面的信息来确定。
除了以上的方法，还可以通过数值方法来求解角频率ω 的取值范围。
解三角形取值范围常见题型
解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。
本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。
一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。
例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。
2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。
-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。
-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。
-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。
例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。
三角函数w的取值范围答案
三角函数k x A y ++=)sin(ϕϖ中ϖ的取值范围一 内容回顾： 二 典型例题： 题组一1.已知函数2sin()(0)y x ωθω=+>为偶函数，0θπ<<，其图象与直线2y =的某两个交点的横坐标为1221,,||x x x x -若的最小值为π，则（ ）A ．2,2πωθ==B ．1,24πωθ== C ．1,22πωθ== D ．2,4πωθ== 解：2sin()y x ωθ=+为偶函数2k πθπ∴=+k z ∈ 又02πθπθ<<∴=由诱导公式得函数2cos y x ω=，又其图象与直线2y =某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若21||x x -的最小值为π∴函数的周期为π 即22cos2y x ω=∴=∴函数在[,]2x k k k z πππ∈-+∈上为增函数故选：A ．2.已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有)2014()()(11+≤≤x f x f x f成立，则ω的最小正值为 B A ．20141 B ． 2014π C ．40281 D ．4028π解：题意可得区间1[x ，12014]x +能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得())4f x x πω+，由1220142πω，求得ω的最小值．()sin cos )4f x x x x πωωω++，由题意可得1220142πω，求得2014πω，故ω的最小正值为2014π，故选：B ．3.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） DA ．512πB ．3πC ．4πD ．6π解：()sin 2f x x =，()sin(22)g x x ϕ∴=-，由12|()()|2f x g x -=，可知1()f x 、2()g x 分别为两个函数的最大值和最小值（或最小值和最大值）． 不妨设1222x k ππ=+，k Z ∈，22222x m πϕπ-=-+，m Z ∈，则12()2x x k m πϕπ-=-+-，由12||3min x x π-=，可得23ππϕ-=，解得6πϕ=，故选：D ．4.函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴( )A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 解：因为3()0f x dx π=⎰，即且30sin()0x dx πϕ-=⎰，所以30cos()|cos()cos 03x ππϕϕϕ--=--+=，所以sin()06πϕ-=，解得6k πϕπ=+，k Z ∈；所以()sin()6f x x k ππ=--，所以函数()f x 的图象的对称轴是62x k k ππππ--='±，所以其中一条对称轴为23x π=； 故选：A ．题组二1．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．2D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．2.（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4A 【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.3．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0( D ．]2,0(A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ，所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数，需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥，解得1524ω≤≤．方法二 特值验证，21=ϖ，1=ϖ，()sin()4f x x π=+在),2(ππ单调递减，选A解法三：【利用三角函数的单调性求解】 函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ单调递减，在0ω>的前提下，需同时满足：12222()24232()42k k Z k k Z πππωπππωππππωπ⎧-≤⋅⎪⎪⎪+≥+∈⎨⎪⎪+≤+∈⎪⎩，解得0214()252()4k k Z k k Z ωωω⎧⎪<≤⎪⎪≥+∈⎨⎪⎪≤+∈⎪⎩综上，12≤ω≤54，故选A ． 4．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．3B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 5．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C 【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈， 因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-， 由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈），得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）6．（2016年全国III）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π=-=-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 7．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为A ．11B ．9C ．7D ．5 B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，218365T≤-ππ, 所以11,62T k π，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．解析：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法.若11=ϖ时，,4111πϕπk =+-4111+=πϕk ,由2||πϕ≤,当31-=k ,得4πϕ-=，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，)365,18(ππ∈x ,由411π-=x t ,可得ππ36463613≤≤t ,不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调若9=ϖ时，,491πϕπk =+ππϕ491-=k ,由2||πϕ≤,当21=k ,得4πϕ=π9,4ωϕ==，此时，)365,18(ππ∈x ,由49π+=x t ,可得ππ2343≤≤t ，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减, 故选B ．方法三 4221ππϕ++=k k .1)(212+-=k k ω，Z k k ∈21,2||πϕ≤4πϕ=∴或4πϕ-= ()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，0>ϖ.120≤<∴ϖ若4πϕ=，则021=+k k ，142+=k ϖ，951，，=ϖ验证： 若4-πϕ=，则1-21=+k k ，342+=k ϖ，1173，，=ϖ验证：2020尖子生TOP300联考8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4，43π=x 为y ＝f (x )图象的两条对称轴，且f (x )在)12,0(π上单调函数，则ω的最大值为( )A ．12B ．11C ．10D ．9解：两条对称轴之间的距离是周期T 的)(2Z k k ∈倍，或者2T 的k 倍，ϖπππ22443⋅=+k ，k =ϖf (x )在)12,0(π上单调函数，故存在Z k ∈0,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++-≤+-12)1(40400πϖππϖππk k)1(3k 400+≤≤k ϖ，由)1(3k 400+≤k 可得30≤k ，这时的ω最大值为12同理，用43π=x 也可以算 方法二。
三角函数专题三角函数中ω的取值范围问题(6大题型)(原卷版)
三角函数专题：三角函数中ω的取值范围问题一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性因为f(x)=Asin(ωx +φ)的最小正周期是T =2π|ω|，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定ω的取值. 2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x 轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.3、结合三角函数的单调性函数f (x )=Asin(ωx +φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T 2，据此可用来求ω的值或范围。
反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数f (x )=Asin(ωx +φ)在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。
二、已知函数y =Asin(ωx +φ)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围 第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2−x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx2−x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[−π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围； 第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围. 三、结合图象平移求ω的取值范围 1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
三角函数中w的范围问题的求解策略
三角函数中w的范围问题的求解策略
三角函数中w的范围问题涉及到三角函数的定义域和值域，需要根据不同的三角函数来分别讨论。
1. 正弦函数sin(w)的范围问题：
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
所以w的取值范围是实数集。
2. 余弦函数cos(w)的范围问题：
余弦函数的定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
所以w的取值范围是实数集。
3. 正切函数tan(w)的范围问题：
正切函数的定义域是所有不等于$\frac{(2n+1)\pi}{2}$的实数，其中n为整数。
其值域为实数集。
所以w的取值范围是除了$\frac{(2n+1)\pi}{2}$的实数集。
4. 余切函数cot(w)的范围问题：
余切函数的定义域是所有不等于nπ的实数，其中n为整数。
其值域也是实数集。
所以w的取值范围是除了nπ的实数集。
5. 正割函数sec(w)和余割函数csc(w)的范围问题：
正割函数和余割函数的定义域都是所有不等于$\frac{n\pi}{2}$的实数，其中n 为整数。
正割函数的值域是[1, +∞)，余割函数的值域是(-∞, -1]∪[1, +∞)。
所以w的取值范围是除了$\frac{n\pi}{2}$的实数集。
以上是关于三角函数中w的范围问题的求解策略。
需要注意的是，在具体计算中，根据不同的题目和要求，可能会有一些限制条件和特殊情况需要考虑。
因此，需要在具体问题中灵活运用所学知识来解决。
三角函数w的取值范围解题方法
三角函数w的取值范围解题方法
三角函数是数学中的基本概念，而w作为三角函数的一个重要参数，其取值范围对于理解函数性质和解决问题至关重要。
以下介绍几种求解三角函数w的取值范围的方法。
一、观察函数形式
首先，需要仔细观察函数的形式，明确其是否具有周期性、振幅变化和相位偏移等特点。
对于三角函数，这些特点往往会影响w的取值范围。
二、确定基本周期
周期性是三角函数的一个重要特性。
通过确定基本周期，可以更好地理解函数的规律性变化，从而推断出w的可能取值范围。
三、分析振幅和相位偏移
振幅和相位偏移会影响三角函数的形状和位置。
分析这些因素，可以帮助确定w 的取值范围。
例如，当振幅增大时，w的取值范围可能会相应扩大。
四、确定边界条件
边界条件是指函数在某些特定点上的取值或变化趋势。
通过确定边界条件，可以进一步限制w的取值范围。
五、利用三角恒等式
三角恒等式是处理三角函数的重要工具。
通过使用三角恒等式，可以化简函数形式，从而更容易地推断出w的取值范围。
六、求解不等式
当需要确定w的精确取值范围时，可以使用不等式进行求解。
例如，通过解不等式可以找到满足特定条件的w的范围。
综上所述，求解三角函数w的取值范围需要综合考虑多种因素。
通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等式以及求解不等式等方法，可以逐步缩小w的取值范围，最终得到准确的结果。
这些方法不仅适用于处理三角函数的w取值问题，也适用于其他类型的数学问题。
在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法进行处理。
三角形sinasinbsinc取值范围
三角形sinasinbsinc取值范围在解决这个问题之前，我们需要先了解一下三角函数以及角度的概念。
三角函数是数学中一个重要的分支，它描述了三角形中的边和角之间的关系。
其中，sin函数是三角函数中的一种，是指在直角三角形中，对于一个给定的角度，正弦值是指该角度的对边与斜边之比。
在三角函数中，我们一般用字母x来表示角度，并用sin(x)或者sinx来表示该角度的正弦值。
而在三角形sinasinbsinc的问题中，我们需要确定角度x的取值范围。
先假设三角形sinasinbsinc是一个锐角三角形，也就是说a、b 和c分别为三角形的三条边，那么根据三角函数的定义，有如下的关系：sin(x) = a/csin(x) = b/csin(x) = c/c = 1综上所述，我们可以得出：sin(x) = a/c = b/c = c/c = 1由于sin函数的取值范围是[-1, 1]，所以，a/c、b/c和c/c的取值范围均在[-1, 1]。
即-1 ≤ a/c ≤ 1-1 ≤ b/c ≤ 1-1 ≤ c/c ≤ 1进一步简化得到：-1 ≤ a ≤ c-1 ≤ b ≤ c0 ≤ c ≤ 1由于角度的定义是正数，并且由于三角比值的对称性，我们只需要考虑角度x在[0, π/2]的取值范围即可。
在解决三角形sinasinbsinc问题之前，我们还需要弄清楚三角形的实际意义和性质。
三角形是一个平面几何学中的基本图形，由三个边和三个角组成。
根据三角形的性质，角的取值范围一般是[0, π]。
而我们所讨论的三角形sinasinbsinc问题中，要求sin(x) = 1，即角的正弦值等于1。
根据三角函数的定义，我们知道sin(x)的最大值是1，当且仅当x = π/2时取到最大值。
所以，根据上述讨论和三角形的性质，我们可以得出结论：三角形sinasinbsinc的角度x的取值范围是[0, π/2]。
当然，以上只是针对锐角三角形的情况进行的推导和分析。
sinα＜0,α的取值范围 -回复
sinα＜0，α的取值范围-回复问题。
这将包括解释sinα小于零的含义，以及求解α的取值范围所需的推理和计算过程。
首先，我们来解释一下sinα小于零的含义。
在三角函数中，sinα表示一个角度α的正弦值。
正弦函数是周期性的，其值在-1和1之间变化。
当sin α小于零时，我们可以得知角度α所在的三角函数值位于原点下方。
为了求解α的取值范围，我们将利用三角函数sin的特性。
根据单位圆的定义，sinα等于其对应的纵坐标除以半径，且在单位圆上，纵坐标为正值时对应的角度位于原点上方，而纵坐标为负值时对应的角度位于原点下方。
由于sinα小于零，我们可以得出结论，α的角度位于单位圆的原点下方。
为了求出α的取值范围，我们可以利用三角函数sin的周期性。
sin函数的周期是2π（360），即在一个周期内，sinα的值会重复。
所以，如果我们找到一个满足条件sinα小于零的α值，那么α+2nπ（n是任意整数）都能满足这个条件。
现在，我们需要找到一个满足sinα小于零的α值。
根据sin函数值的变化特性，我们可以得知，当α位于π和2π之间时，sinα为负值。
因此，我们可以得出结论，α的取值范围是[π, 2π]。
另外，我们可以从另一个角度来验证我们的结论。
在单位圆上，α的取值范围为[0,2π]，并且sinα小于零的区间是[π,2π] 。
因此，我们的结论和单位圆上的观察是一致的。
综上所述，当sinα小于零时，α的取值范围是[π, 2π]。
当然，我们也可以用更一般的符号来表示α的取值范围，即α∈[2kπ+π, 2kπ+2π]，其中k 是任意整数。
我们可以进一步进行验证。
选择一个在[π,2π]内的具体角度，例如3π/2。
将这个值代入sin函数中，我们可以得到sin(3π/2)=-1，确实满足sinα小于零的条件。
最后，让我们总结一下：- 当sinα小于零时，α的取值范围是[π, 2π]。
- 这意味着α的角度位于单位圆的原点下方。
- α的取值范围可以用一般的表示方式表示，即α∈[2kπ+π, 2kπ+2π]，其中k是任意整数。
sin2x取值范围
sin2x取值范围sin2x是一个三角函数，用于求解一个角度的正弦值。
其中，2x表示一个角度，它可以是角度或弧度值。
在数学中，我们通常使用弧度制，因此sin2x的取值范围是在π的范围内。
这里，我们将探讨sin2x的取值范围，并介绍如何计算它的值。
取值范围sin2x的取值范围是-1到1之间，即：-1 ≤ sin2x ≤ 1。
为了理解为什么sin2x取值范围在-1到1之间，请考虑以下：- 当x等于0时，sin2x = sin(2×0) = sin0 = 0。
- 当x等于π/2时，sin2x = sin(2×π/2) = sinπ = 0。
- 当x等于π时，sin2x = sin(2×π) = sin0 = 0。
- 当x等于3π/2时，sin2x = sin(2×3π/2) = sin(-π) = 0。
这表明当x为0、π/2、π、3π/2等值时，sin2x的值为0。
现在考虑sin2x在变化时的取值范围。
sin2x的值在0到π/2之间变化时，其值为正数。
且sin2x在π/2到π之间变化时，其值变为负数。
随着x增大，sin2x的值逐渐减小，直到达到-1。
然后，随着x进一步增加，sin2x的值又会逐渐变大，直到再次达到1。
换句话说，通过将x的值从0到π增加，我们可以看到sin2x最小是在0，最大是在π/2；最小值再次出现是在π，最大值再次出现是在3π/2。
此后，sin2x的值将重新在0到π/2之间循环。
计算sin2x的值我们可以使用计算器或数表来查找sin2x的值。
但是，为了更好地理解sin2x如何工作，我们将了解如何计算它的值。
1. 将角度或弧度x换算为弧度值。
2. 计算2x的值。
3. 计算sin函数在2x上的值。
4. 返回sin2x的值。
例如，假设我们要计算sin(60)的值。
将60度转换为弧度，我们可以得到：60度= 60 × π/180 = π/3现在使用2x计算值2π/3，然后计算2π/3上的sin函数的值：sin(2π/3) ≈ -0.866这意味着sin(60) ≈ -0.866。