三角函数与解三角形中的范围问题含答案
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又由正弦定理，得b= 2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2源自文库inC…………（2分）
∵B－C= ，∴B= +C，将 其代入上式，得sin（ +C）=2sinC……………（3分）
∴sin（ ）cosC + cos sinC =2sinC，整理得， …………（4分）
∴tanC= ……………（5分）
（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0，
∴a2+b2=2c2，∴cosC= = ，
又2c2=a2+b2≥2ab，∴ab≤c2，∴cosC≥ ，
又∵C∈（0， ），∴0＜C≤ .
2．（1）C=
（2）0<C≤
【解析】解；（1）由f（1）=0，得a2－a2+b2－4c2=0， ∴b= 2c…………（1分）.
（II） ，……10分
, , ∴ ∴ ……12分
10．解：（1）将sinB+sinC=sin(A-C)变形得sinC(2cosA+1)=0, （2分）
而sinC≠0，则cosA= ，又A∈（0，π），于是A= ； （6分）
（2）记B=θ，则C= -θ（0＜θ＜ ），由正弦定理得 ， （8分）
则△ABC的周长l=2 [sinθ+sin( -θ)]+3=2 sin(θ+ )+3≤2 +3， （11分）
（2）求 的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c且 .
（1）求 的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
20．已知在 中,角 所对的边分别为 ,且
(1)求角 的大小;
(2)设向量 ,求当 取最大值时, 的值.
参考答案
1．（1）C= （2）0＜C≤
， .
（1）求 的最大值及 的取值范围；
（2）求函数 的最值.
8．在 中， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
9．在 中，角 所对应的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 的度数；
（2）求 的取值范围．
10．在△ABC中，sinB+sinC=sin(A-C).
（1）求A的大小；
13．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）若 ，且 ,求 的面积；
（2）已知向量 ， ，求｜ ｜的取值范围．
14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 ，
（1）求角B的大小；
（2）若 最大边的边长为 ，且 ，求最小边长.
15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.它的外接圆半径为6. ∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件： 且
当 即 时， ……………12分
【解析】略
8．（Ⅰ）
（Ⅱ）最小边 ．
【解析】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
又 ， ∴ ．
（Ⅱ） ， ∴ 边最大，即 ．
又 ∵ ∴ 角 最小， 边为最小边．
由 且 ， 得 ．
由 , 得 ．
所以，最小边 ．
9．（I）
（II）
【解析】解：（I） ，……4分
∴ 解得 ，……6分 ∵ ． ……8分
（2）若BC=3，求△ABC的周长L的最大值.
11．设 的内角 所对的边分别为 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的周长 的取值范围.
12．已知向量 ，（ ），函数 且f(x) 图像上一个最高点的坐标为 ，与之相邻的一个最低点的坐标为 .
（1）求f(x)的解析式。
（2）在△ABC中， 是角 所对的边，且满足 ，求角B的大小以及f(A)取值范围。
3．（1）
又 是锐角
（2）
当且仅当 时， 的面积有最大值
【解析】略
4．
【解析】
5．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】 ，…….2分
（1）由
4分
又 5分
（2） ＝3sinA+cos2A＝-2（sinA- 8分
的最大值为 10分
6．．解：（Ⅰ）∵ ，∴ .
∵ 依次成等差数列，∴ , .
由余弦定理 ，
，∴ .
∴ 为正三角形.
（Ⅱ）
=
=
=
=
=
∵ ,∴ ，
∴ ， .
∴代数式 的取值范围是 .
【解析】略
7．Ⅰ）
即 ……………………2分
又 ，所以 ，即 的最大值为16………………4分
即 所以 ， 又0＜ ＜ 所以0＜ ……6分
（Ⅱ）
…………………………………………9分
因0＜ ，所以 ＜ ， ………10分
当 即 时， ……………11分
（1）求
（2）求△ABC面积S的最大值.
16．已知
（Ⅰ）求角A的大小 ；
（Ⅱ）若BC=3，求△ABC周长的取值范围.
17．在锐角 中 ，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
（1）求 的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值.
18．在△ABC中，角A、B、C对边分别是 ，且满足 ．
（1）求角A的大小；
∵角C是三角形的内角，∴C= …………………（6分）
（2）∵f（2）=0，∴4a2－2a2+2b2－4c2=0，即a2+b2－2c2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC= ……………………（8分）
=
∴cosC= （当且仅当a=b时取等号）…………（10分）
∴cosC≥ ，
∠C是锐角，又∵余弦函数在（0， ）上递减，∴.0<C≤ ………………（12分）
【解析】（1）∵f（1）=0，∴a2-(a2-b2)-4c2=0，
∴b2=4c2，∴b=2c，∴sinB=2sinC，
又B-C= .∴sin(C+ )=2sinC，
∴sinC·cos +cosC·sin =2sinC，
∴ sinC- cosC=0，∴sin(C- )=0，
又∵- ＜C- ＜ ，∴C= .
1．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且B=2A，求的 取值范围
2．在△ABC中， 分别为角A，B，C的对边，设 ，（1）若 ，且B－C= ，求角C.
（2）若 ，求角C的取值范围.
3．在锐角 中， 分别是角 所对的边，且
（1）确定角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab．
(1)求cosC；
(2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
（Ⅰ）若 ，求角 ；
（Ⅱ）设 ， ，试求 的最大值.
6． 的三个内角 依次成等差数列．
（1）若 ，试判断 的形状；
（2）若 为钝角三角形，且 ，试求代数式 的取值范围．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为 ， ，
∵B－C= ，∴B= +C，将 其代入上式，得sin（ +C）=2sinC……………（3分）
∴sin（ ）cosC + cos sinC =2sinC，整理得， …………（4分）
∴tanC= ……………（5分）
（2）若f（2）=0，则4a2-2(a2-b2)-4c2=0，
∴a2+b2=2c2，∴cosC= = ，
又2c2=a2+b2≥2ab，∴ab≤c2，∴cosC≥ ，
又∵C∈（0， ），∴0＜C≤ .
2．（1）C=
（2）0<C≤
【解析】解；（1）由f（1）=0，得a2－a2+b2－4c2=0， ∴b= 2c…………（1分）.
（II） ，……10分
, , ∴ ∴ ……12分
10．解：（1）将sinB+sinC=sin(A-C)变形得sinC(2cosA+1)=0, （2分）
而sinC≠0，则cosA= ，又A∈（0，π），于是A= ； （6分）
（2）记B=θ，则C= -θ（0＜θ＜ ），由正弦定理得 ， （8分）
则△ABC的周长l=2 [sinθ+sin( -θ)]+3=2 sin(θ+ )+3≤2 +3， （11分）
（2）求 的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c且 .
（1）求 的值；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
20．已知在 中,角 所对的边分别为 ,且
(1)求角 的大小;
(2)设向量 ,求当 取最大值时, 的值.
参考答案
1．（1）C= （2）0＜C≤
， .
（1）求 的最大值及 的取值范围；
（2）求函数 的最值.
8．在 中， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
9．在 中，角 所对应的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 的度数；
（2）求 的取值范围．
10．在△ABC中，sinB+sinC=sin(A-C).
（1）求A的大小；
13．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）若 ，且 ,求 的面积；
（2）已知向量 ， ，求｜ ｜的取值范围．
14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 ，
（1）求角B的大小；
（2）若 最大边的边长为 ，且 ，求最小边长.
15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.它的外接圆半径为6. ∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件： 且
当 即 时， ……………12分
【解析】略
8．（Ⅰ）
（Ⅱ）最小边 ．
【解析】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
又 ， ∴ ．
（Ⅱ） ， ∴ 边最大，即 ．
又 ∵ ∴ 角 最小， 边为最小边．
由 且 ， 得 ．
由 , 得 ．
所以，最小边 ．
9．（I）
（II）
【解析】解：（I） ，……4分
∴ 解得 ，……6分 ∵ ． ……8分
（2）若BC=3，求△ABC的周长L的最大值.
11．设 的内角 所对的边分别为 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的周长 的取值范围.
12．已知向量 ，（ ），函数 且f(x) 图像上一个最高点的坐标为 ，与之相邻的一个最低点的坐标为 .
（1）求f(x)的解析式。
（2）在△ABC中， 是角 所对的边，且满足 ，求角B的大小以及f(A)取值范围。
3．（1）
又 是锐角
（2）
当且仅当 时， 的面积有最大值
【解析】略
4．
【解析】
5．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】 ，…….2分
（1）由
4分
又 5分
（2） ＝3sinA+cos2A＝-2（sinA- 8分
的最大值为 10分
6．．解：（Ⅰ）∵ ，∴ .
∵ 依次成等差数列，∴ , .
由余弦定理 ，
，∴ .
∴ 为正三角形.
（Ⅱ）
=
=
=
=
=
∵ ,∴ ，
∴ ， .
∴代数式 的取值范围是 .
【解析】略
7．Ⅰ）
即 ……………………2分
又 ，所以 ，即 的最大值为16………………4分
即 所以 ， 又0＜ ＜ 所以0＜ ……6分
（Ⅱ）
…………………………………………9分
因0＜ ，所以 ＜ ， ………10分
当 即 时， ……………11分
（1）求
（2）求△ABC面积S的最大值.
16．已知
（Ⅰ）求角A的大小 ；
（Ⅱ）若BC=3，求△ABC周长的取值范围.
17．在锐角 中 ，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
（1）求 的值；
（2）若b=3，求a+c的最大值.
18．在△ABC中，角A、B、C对边分别是 ，且满足 ．
（1）求角A的大小；
∵角C是三角形的内角，∴C= …………………（6分）
（2）∵f（2）=0，∴4a2－2a2+2b2－4c2=0，即a2+b2－2c2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC= ……………………（8分）
=
∴cosC= （当且仅当a=b时取等号）…………（10分）
∴cosC≥ ，
∠C是锐角，又∵余弦函数在（0， ）上递减，∴.0<C≤ ………………（12分）
【解析】（1）∵f（1）=0，∴a2-(a2-b2)-4c2=0，
∴b2=4c2，∴b=2c，∴sinB=2sinC，
又B-C= .∴sin(C+ )=2sinC，
∴sinC·cos +cosC·sin =2sinC，
∴ sinC- cosC=0，∴sin(C- )=0，
又∵- ＜C- ＜ ，∴C= .
1．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且B=2A，求的 取值范围
2．在△ABC中， 分别为角A，B，C的对边，设 ，（1）若 ，且B－C= ，求角C.
（2）若 ，求角C的取值范围.
3．在锐角 中， 分别是角 所对的边，且
（1）确定角 的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab．
(1)求cosC；
(2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .
（Ⅰ）若 ，求角 ；
（Ⅱ）设 ， ，试求 的最大值.
6． 的三个内角 依次成等差数列．
（1）若 ，试判断 的形状；
（2）若 为钝角三角形，且 ，试求代数式 的取值范围．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为 ， ，