2018届高三文科数学一轮复习 函数的奇偶性及周期性

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所以 f(x)为奇函数．
4－x2 (4)f(x)＝ ； |x＋3|－3
2 4－x ≥0， 解：∵由 |x＋3|－3≠0，
得－2≤x≤2 且 x≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 4－x2 4－x2 4－x2 ∴f(x)＝ ＝ ＝ x ， |x＋3|－3 x＋3－3 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
2 x ＋x，x>0， (5)(易错题)f(x)＝ 2 x －x，x<0.
解：易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对 称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x， 则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
图象特点
f(－x)＝－f(x)， 关于原点 奇函数 意一个x，都有_____________ ____对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数f(x) 为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
2．下列函数中，为奇函数的是 1 A．y＝3 ＋ x 3
x
( B．y＝x，x∈{0,1}
)
1，x<0， C．y＝x· sin x D．y＝0，x＝0， －1，x>0 1 x 解析：由函数奇偶性定义易知函数 y＝3 ＋ x和 y＝x· sin x 都是 3 偶函数，排除 A 和 C；函数 y＝x，x∈{0,1}的定义域不关于坐 标原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，排除 B；由奇函数
Hale Waihona Puke Baidu
1，x<0， 的定义知 y＝0，x＝0， －1，x>0
是奇函数，故选 D．
答案：D
考点一
函数奇偶性的判断
[题组练透]
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
2 x －1≥0， 解：∵由 2 1 － x ≥0，
得 x＝± 1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即 f(x)＝± f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为 4 的周期函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1． 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝„＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝ f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．
[小题纠偏]
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的 值是 1 A．－ 3 1 C． 2 1 B． 3 1 D．－ 2 ( )
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－ 1 1 1＋2a＝0，∴a＝ ．又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝ ． 3 3 答案：B
第二章 函数、导数及其应用
第三节 函数的奇偶性及周期性
淮北一中数学组
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意 f(－x)＝f(x)，那么 关于____ y 轴 对称 一个x，都有___________ 函数f(x)就叫做偶函数
奇偶性
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)， 而不能说存在 x0 使 f(－x0) ＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[谨记通法]
判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法
(2)图象法
(3)性质法 ①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公
共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶 ＝偶，奇×偶＝奇． ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义
[小题体验] 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(
A．y＝ x C．y＝ex B．y＝cos x D．y＝ln |x|
)
答案：D
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) 1 ＝x ＋x，则f(－1)＝________． 答案：－2
2
3．若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2， 则 f(8)－f(14)＝________． 答案：－1
－x x (3) f ( x ) ＝ 3 － 3 ； (2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3；
解：(2)∵函数 f(x)＝ 3－2x＋ 不关于坐标原点对称，
3 2x－3的定义域为2 ，
∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为 R， ∴f(－x)＝3 x－3x＝－(3x－3 x)＝－f(x)，
域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关 系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶 性．如“题组练透”第(5)题．
考点二
函数的周期性
[典例引领]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝ －f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．