实验1 梯子长度问题

实验1梯子长度问题

一、问题

一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？

二、实验目的

掌握一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；掌握MATLAB 求极小值的命令fminbnd( )。

三、预备知识

1．一元函数的极值及最值的求法。

2．MATLAB求极小值命令提示

格式x = fminbnd(fun,x1,x2)%返回自变量x在区间x

1x x

2上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB 自定义函数的函数柄。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options)% options为指定优化参数选项

[x,fval] = fminb nd(…)% fval为目标函数的最小值

[x,fval,exitflag] = fminbnd(…)%xitflag为终止迭代的条件

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…)% output为优化信息

说明若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数

output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，

output=algorithm表示所使用的算法。

四、实验内容与要求

1．设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x（下图），当梯子与温室顶端A处给好接触时，梯子的长度L只与x有关。试写出函数L(x)及定义域。

2．在MATLAB环境，先用命令clearx清除x的值，再定义函数L(x)，并求导。

3．将a、b赋值，画出L(x)的图形。注意自变量x的范围选取。

4．求驻点，即求方程L(x)的根，用语句fzero( )（为什么？），并计算函数在驻点的值。

驻点唯一吗？

5．观测图形，选取初始点，用fminbnd直接求L(x)的极小值。

6．取a=2,b=2.8，重新运行程序，结果如何？

五、思考问题

1．取a=1.8，在只用6.5m长梯子的情况下，温室最多能修建多高？

2．查阅参考书籍，了解求极值的数值方法（如Newton切线法，0.618法），以大致了解fminbnd命令的工作原理。

3．一条1m宽的通道与另一条2m宽的通道相交成直角，一个梯子需要水平绕过拐角，试问梯子的最大长度是多少？

a

bA

x