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中考数学新定义问题

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专题2.4新定义的四种题型与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(解析版)

专题2.4新定义的四种题型与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(解析版)

专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。

中考数学复习《新定义新概念问题》

中考数学复习《新定义新概念问题》

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

中考数学压轴题之新定义经典题型

中考数学压轴题之新定义经典题型

中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。

的示意图。

(1)(1)当当O 的半径为1时。

时。

①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

的横坐标的取值范围。

yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图． （1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；； （3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为 ； （2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是　P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是　P 2、P 3　；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是　D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是　P1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是　P1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是　Q 2，Q 4　．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为　(2,0)　；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标　(2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)=　23-2　，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围　1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2　；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

中考数学专题复习新定义问题(一)

中考数学专题复习新定义问题(一)

中考数学专题复习新定义问题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中2222,0,0,,,0,0,2222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点21,02E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．2．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQRSPQ =，则称PQR 为线段PQ 的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________； ①若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ． ①若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______； ①若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '． ①求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；①若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．4．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH l⊥于点H任取直线l上点Q，点H 关于直线PQ的对称点为点H'，标点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点(0,2)P，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B中是点P关于x轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m，且0m>，直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点(,2)N n，若直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 的线段比()()PS PS PT ST k PT PS PT ST⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（1）已知点(0,1),(1,0)A B ．①点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k =__________； ①点(0,)C c 关于线段AB 的线段比2k =，求c 的值．（2）已知点(,0)M m ，点(2,0)N m +，直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点，若线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比14k <，直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30-相关线段”．（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标； ①若点A 的“α-相关线段”经过点(3,1)，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t =，直接写出t 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 是平面内一点，过点A 的直线交O 于点 B 和点C （ABAC ），01BC ，我们把点 B 称为点A 关于O 的“斜射点”．（1）如图，在点12331(1,1),(0,),(,0)22A A A -中，存在关于 O 的“斜射点”的是_____________．（2）已知若(0,2)A ，点关于O 的“斜射点”为点B ，则点 B 的坐标可以是__________．（写出两个即可）（3）若点A 直线y kx k =+上，点A 关于O 的“斜射点”为(1,0)B -，画出示意图，直接写出 k 的取值范围．8．对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆，若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”． （1）如图1.点(4,3)A ，(0,3)B ．①在点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为_________； ①若B 半径为1.5，在点A 视角下，B 的“宽度Bd”为_________；（2）如图2，O 半径为2，点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度Od”的取值范围；（3）已知点(,0),1C m CK =，直线333y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，直接写出m 的取值范围．9．在平面直角坐标系O x y 中，任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为2121PQ d x x y y =-+-． （1）已知点(3,2)A ． ① OA d =________；① 已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点(3,3)M ．① 点(0,)(0)D d d ≠．如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；① 在平面直角坐标系xOy 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK △为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的O 和图形N ，给出如下定义：如果O 平移m 个单位后，图形N 上的所有点在O 内或O 上，则称m 的最小值为O 对图形N 的“覆盖近距”．（1）当O 的半径为1时，①若点()3,0A ，则O 对点A 的“覆盖近距”为_________；①若O 对点B 的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B 的坐标_________； ①若直线2y x b =+上存在点C ，使O 对点C 的“覆盖近距”为1，求b 的取值范围； （2）当O 的半径为2时，(3,),(4,1)D t E t +，且12t -≤≤．记O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”为d ，直接写出d 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，若1212x x y y k -+-=（k 为常数且0k ≠），则称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点(1,1)A①若点(2,3)B -是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；①在点(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --中是点A 的2倍直角点的是_______； ①若直线2y x b =-+上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；（2）T 的圆心T 的坐标为(1,0)，半径为r ，若T 上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围．12．已知点P 、Q 分别为图形M 和图形N 上的任意点，若存在点P 、Q 使得PQ =1,我们就称图形M 、N 为友好图形，P 、Q 为关于图形M 、N 的一对友好点． （1）已知点 (1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)中, 与点O 为一对友好点，（2）已知O 半径r =1，若直线y x b =+与O 有且只有一对友好点，求b 的值；（3）已知点,D(m,2), D 半径r =1，若直线y=x+m 与D 是友好图形，求m 的取值范围．13．规定如下：图形M 与图形N 恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形M 与图形N 是和谐图形．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，若直线x k =与O 是和谐图形，请你写出一个满足条件的k 值，即k =______； （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A t ，直线3:33l y x =+与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点（其中点A 不与点B 重合），则线段AB 与直线l 组成的图形我们称为图形V ；①3t =时，以A 为圆心，r 为半径的A 与图形V 是和谐图形，求r 的取值范围；①以点A 为圆心，23为半径的A 与图形V 均组成和谐图形，求t 的取值范围．参考答案：1．（1）平行，P 1；（2）1d 的最小值为24；（3）21332222d -≤≤．【解析】 【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得①P 1BE =45︒，过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：由图可得MN ①M 1N 1，MN ①M 2N 2， ①M 1N 1①M 2N 2， 而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1； 故答案为：平行，P 1； （2）①B (0，22)，C (22，0)，四边形ABCD 为正方形， ①BC =2222122⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①BCA =45︒， ①E (212+，0)， ①CE =221122+-==BC ， ①①1=①2，则①1+①2=①BCA =45︒， ①①1=①2=22.5︒，在Rt △BMN 中，BP 1为斜边上的中线， 则BP 1=12MN =12=NP 1，①①P 1BN =①P 1NB ， 又MN ①BE ， ①①2=①P 1NB ，①①2=①P 1NB =45︒，①P 1BE =①2+①P 1BN =45︒， 过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B sin45︒=122224⨯=，①1d的最小值为24；（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，此时，P1 (24-，24)，P2 (24，24)，①PP1=22223322442⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PP2=22222112222224422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2d的取值范围是21332222d-≤≤．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（1）①24,P P：①362⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，-；（2）3212Dx-<<或5232Dx+<<【解析】【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段OA 的“等幂点”；①如图，由OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，可得2OAB S OA =．由点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，可得392OAB S h ==， 求出6h =．由OAB 是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（32，6）或（32，-6）； （2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2，又因为△ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，可求h =2CD =22(x-2)，5232D x +<<； 第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，求出GU =GH ×cos45°=22，可得2222h ≤≤+，可求()2222222x ≤-≤+，解不等式即可得3212D x -<<． 【详解】（1）①1OP A S=1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S=2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S=3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP AS =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”． 是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：①如图，①OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，①2OAB S OA =．①点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，则有13922OAB S OA h h =⨯⨯==． 解得6h =．①点B 在直线6y =或6y =-上．①OAB 是等腰三角形，①点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6）， 综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，当x =0时，y =-3,N (0，-3),当y =0时，x -3=0，x =3，H (3，0)，①ON =3=OH ，①ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况， 第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，①TC ①NH ，①OHN =45°，①①TCH 为等腰直角三角形，在Rt ①TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2， 又因为①ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，CD=CF÷cos45°=2CF=2(x-2)，①线段CD 的“等幂三角形”， S △CDE =12h CD ⋅=CD 2， ①h =2CD =22(x -2)，①()222222x <-<+，解得55222x+<<，点D在H右侧，x>3，①5232Dx+<<；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在QG上运动，又因为①ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=22，①2222h≤≤+，①线段CD的“等幂三角形”，S△CDE=12h CD⋅=CD2，①h=2CD=22(2-x)，则()2222222x≤-≤+，解得3212Dx-<<，D 的横坐标D x 的取值范围为3212D x -<<或5232D x +<<． 【点睛】 本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．3．（1）①()2,0；①()1,2-；（2）①(3,3)+'+E a a ；①22【解析】【分析】（1）①点A 在y 轴上，则点B 在x 轴上，且OB =OA =2，从而易得点B 的坐标；①由OA =OB ，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ，则可得①ANO ①①OMB ，故有AN =OM =2，ON =BM =1，再由点在第二象限，从而可得点A 的坐标；（2）①分别过点E 、E E '作x 轴的垂线，垂足分别为H 、Q ，则由OE OE '=，可得EHG GQE '△≌△,由此可得E '点的坐标；①由①知，点E '的两个坐标相等，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，当E '点位于第一象限的圆上时，EE '最大,此时2OE '=，从而可得E '点坐标为(2,2)，这样可求得EE '的最大值．【详解】解：（1）①因点A 在y 轴上，故点B 必在x 轴正半轴上，又OB =OA =2，所以点A 坐标为()2,0；故答案为：()2,0．①如图，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ．则①ANO =①OMB =90，①①AON +①A =90°①①AOB =90°，①①AON +①BOM =90°，①①A =①BOM ，①OA =OB ，①①ANO ①①OMB ，①AN =OM =2，ON =BM =1，根据题意，点A 必在第二象限，①A ()1,2-．故答案为：()1,2-．（2）①如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，过点E '作'⊥E Q x 轴于点Q ．由题意可知，,'90EG E G EGE '=∠=︒．①EHG GQE '△≌△．①,'==EH GQ HG QE ．①(3,3),(,0)-E G a ，①()3,0-H ．①．|3|3,3HG QE a a EH GQ ==+=+=='①|3|3OQ a a =+=+．①(3,3)+'+E a a ．①①EF ①x 轴①E F x ''⊥轴连接OE '，延长E F ''交x 轴于点H ，则E H x '⊥轴；过点E '作x 轴的平行线，过点E 作y 轴的平行线，两线交于点D ，则ED E D '⊥，如图所示；由①知，点E '的两个坐标相等，①|3|OH E H a '==+，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点E '位于第一象限上的圆上时，即2OE '=时，EE '最大，①①E HO '是等腰直角三角形，①22OH OE '==，①2OH E H '==，①(2,2)E '，①32DE '=+，32DE =-，在Rt EDE '中，由勾股定理得：2222(32)(32)22EE DE DE =+=-++=''， 即EE '的最大值为：22．【点睛】本题考查了新定义，对于新定义这类问题，关键是弄清楚新定义的含义，抓住问题的实质，本题新定义的实质是旋转，通过作x 轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，问题便容易解决．4．（1）O 和A ；（2）3m 2≥；（3）-2n 1+21＜＜且n≠2 【解析】【分析】（1）根据垂对点的定义即可得出答案；（2）先得出点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，再根据当直线443y x =-+与①M 相切时，m 的值最小，利用相似三角形的判定和性质得出m 的值即可；（3）先得出点N 关于x 轴的垂对点在以N 为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，再分n =0、n ＜0 、n ＞0三种情况进行分类讨论即可．【详解】解：（1）①点(0,2)P ，①根据垂对点的定义可得点P 关于x 轴的垂对点为(0,0),(2,2)O A ； （2）①点(0,)M m ，且0m >，①由垂对点的定义可知，点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，则OM =m ；设直线443y x =-+与x 轴和y 轴的交点分别为G 、H ，①G（3，0），H（0，4），①22345GH=+=，①直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，①当直线443y x=-+与①M相切时，m的值最小，此时切点为N,连接MN，则①HOG=①MNH=90°，①①OHG=①NHM①①OHG①①NHM①=MN MHOG GH①m4-m35=①3m=2①m的取值范围是：3m2≥；（3）①(,2)N n，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，当n=0时，①N与y=x有两个交点，则直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，当n＞0时，相当于①N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与①N相切于①N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，①DEN=90°，过点E作EF①x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W（-n，0），K （0，n），①OK=OW，①①OWK为等腰直角三角形，设过点(,2)N n且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，则①DEN为等腰直角三角形，22DE=，设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，①END=45°，①NI=EI=2，①E（n-2，2+2），①点E在y=x+n上，①2+2=n-2+n①n=1+2当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．当n＜0时，相当于①N向左平移，y=x向下平移，同理得出n=1-2，①-2n1+21＜＜且n≠2 ．【点睛】本题属于新定义题型，涉及到了三角形的判定和性质、切线的性质，解题的关键在于读懂题目信息，并注意数形结合思想的应用．5．（1）①22；①C点为(0,3)或(0,3)-；（2）92422m-<<-+或52222m-<<-+．【解析】【分析】（1）①利用两点之间的距离公式和线段比k的定义即可得；①分若AC BC<时和AC BC≥时，两种情况讨论，根据线段比k的定义计算即可；（2）分①当点N 在E 点或在其左侧时，①当点N 在E 点右侧,M 点在E 点左侧时，①当M 点在E 点或在E 点右侧时三种情况讨论，结合图形和线段比k 的定义分析即可． 【详解】解：（1）①22112AB =+=，22215AQ =+=，1BQ =， ①BQ AQ <， ①1222BQ k AB ===， 故答案为：22； ①①(0,)C c ，①|1|AC c =-，21BC c =+， 若AC BC <时， |1|22c k -==，解得3c =或1c =-（不满足2|1|1c c -<+舍去）； 若AC BC ≥时，2122c k +==，解得3c =（不满足2|1|1c c -≥+舍去）或3c =-；综上所述，C 点为(0,3)或(0,3)-；（2）①直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点， ①(2,0)E -,(0,2)F ，①点(,0)M m ，点(2,0)N m +， ①MN =2，①如下图，当点N 在E 点或在其左侧时，22m +≤-，即4m ≤-， M 、N 到线段EF 的最短距离为ME 、NE ， 此时ME >NE ，即2(2)124m --+<，解得92m >-，即942m -<≤-；①如下图，当点N在E点右侧,M点在E点左侧时，42m-<<-，M、N到线段EF的最短距离为ME、NG（N到EF的垂线段），()222,422ME m NG EN m=--==+，若2(4)22m m+<--，即22m<-，2(414)22m+<，解得242m<-+，此时2442m-<<-+，若2(4)22m m+>--，即22m>-，4212m--<，解得52m>-，此时522m-<<-；①如下图，当M点在E点，或在E点右侧时，2m≥-M 到线段EF 的距离近，为MG （M 到EF 的垂线段），2(2)1224m +<，解得222m <-+，即2222m -≤<-+ 综上所述，92422m -<<-+或52222m -<<-+． 【点睛】本题是新定义的题目．注意考查一次函数与坐标轴交点问题，两点之间的距离公式．理解题中线段比的定义，能分类讨论结合图形分析是解题关键．6．（1）① 作图见解析；点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+；①α的值为60︒或120︒ ；（2） 224t <≤． 【解析】 【分析】（1）①根据“ α− 相关线段”的定义求解；①由题意点M 必在直线x =3上，记MH ①x 轴于H ，则可得MH =1，①MOH =30°，然后分点M 在x 轴上方和点M 在x 轴下方两种情况分别求出α的值即可； （2）根据题意分0<t ≤22、22<t ≤4、t >4三种情况讨论． 【详解】（1）①如图，MN 即为所求．过点M 作BM ①x 轴于点B ， ①四边形AOMN 为菱形， ①AO ①MN ，AO =MO =MN ， ①点A 在y 轴上， ①AO ①x 轴，①MN ①x 轴，即N 、M 、B 三点共线， ①①AOM =30°， ①①MOB =90°-30°=60°，在RT ①MOB 中，BO =12MO =1，MB =332MO =， ①点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+． ①解：①点A 的“α-相关线段”MN 经过点(3,1)， ①点M 必在直线3x =上．记直线3x =与x 轴交于点(3,0)H ， ①2,3OM OA OH ===，①221MH OM OH =-=，30MOH ∠=︒． 分两种情况：a ）如图，当点M 在x 轴上方时，点M 恰为(3,1)，符合题意，此时60,60AOMα︒∠==︒；b）如图，当点M在x轴下方时，点M为(3,1)-，由2MN=知点N为(3,1)，也符合题意，此时120,120AOMα︒∠==︒．综上，α的值为60︒或120︒．（2）当0<t≤22时，任意菱形的边MN都不经过点(0，4)；当22<t≤4且N为（0，4）时，点P的“α-相关线段”过(0，4)，当22<t≤4且M为（0，4）时，点P的“β-相关线段”过(0，4)；当t>4时,只有一种情况使P的“α-相关线段”或“β-相关线段”过(0，4)，此时(0，4)在线段OM上，①不符合题意综上所述，224t<≤【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、菱形的性质是解题关键．7．（1）1A，2A；（2）（32-，12），（35，45）；（3）3k>或3k<-．【解析】【分析】（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点1B ，1C ，过点2()30,2A 作22B C y 轴交O 于点2B ，2C ，过点3()1,02A 作33B C x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，分别求出22B C ，33B C ，根据“斜射点”的判别条件ABAC ，01BC，分别进行判别即可；（2）过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，根据Rt ADO 中，1OD =， 2AO =，可求得点 D 的坐标是（32-，12），可知，满足 AB AC ，01BC，点D 是 O 的“斜射点”；在 OD 上取13=2OD ，并过 1D 作 144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，可求得 4C 的坐标是（-1，0），设过A ，4C 两点的直线是 y kx b =+，并交 O 于点5B ，可求出点5B 的坐标是（35， 45），根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ，可得 5B 是O 的“斜射点”； （3）当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点5C ，并51BC ，可得5OBC 是等边三角形，根据（1）中 2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-， 32），可求出得： 3k =，则有当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当 0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），可得满足过点 B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-． 【详解】解：（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点 1B ，1C , 过点2()30,2A 作 22BC y 轴交O 于点2B ，2C ， 过点3()1,02A 作33BC x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，O 的半径为1，即231OB OC ，①22B C y 轴，2A 的坐标是 3(0,)2①y 轴垂直平分22B C ， ①由勾股定理可得：2222222231=11222B C OB OA ， ①22=1B C ，满足AB AC ，01BC ， ①点2A 是O 的“斜射点”； ①33B C x 轴，3A 的坐标是 1(,0)2①x 轴垂直平分33B C ，①由勾股定理可得：22223323132212=1B C OC OA ，①3331B C ，根据O 中，过点3A 的所有弦中，垂直半径的弦最短可知，过点3A 的所有弦都大于 3，因此点3A 不满足题意， ①点3A 不是是O 的“斜射点”； 由图中图像可知1122B C B C ，即有：1122=1B C B C故满足AB AC ，01BC ， ①点1A 是O 的“斜射点”；综上所述，点1A ，2A 是O 的“斜射点”； （2）如图示，过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，在Rt ADO 中，1OD =，2AO =， ①2222=213AD AO D O ,设点D 的坐标是（D x ，D y ）， 则有：11··22ADOD S OD AD AO x ==， ①11··22ADOD S OD AD AO x == ①32D x （点D 在第二象限，取负值）， ①221D D x y ，①12Dy （点D 在第二象限，取正值），①点D 的坐标是（32-，12）， 满足AB AC ，01BC ，①点D 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（32-，12）；在OD 上取13=2OD ，并过 1D 作144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，根据（1）中2A 的求法可知，44=1B C ， 4C 的坐标是（-1，0）， 设过A ，4C 两点的直线是y kx b =+，并交O 于点5B①20b k b =⎧⎨-+=⎩，解之得 22b k ，①过A ，4C 两点的直线是22y x =+， 设点5B 的坐标是（5B x ，5B y ），则有555522122B B B B x y y x ，解之得5510B Bx y或553545B B x y ，即点5B 的坐标是（35，45）， 根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ， 即满足AB AC ，01BC ，①点5B 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（35， 45）；综上所述，即点B 的坐标可以是（32-，12），（ 35，45）； （3）如图示，当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点 5C ，并51BC ，①51OB OC ，①5OBC 是等边三角形，根据（1）中2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-，32），①1322k k，解之得：3k =，当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），①满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-， 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，弦长的性质，点与坐标的关系，方程组的解法，“斜射点”的定义的理解等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 8．（1）①2；①3；（2）24Od ≤≤；（3）332m <--或331m >-+．【解析】 【分析】（1）①根据题意易得当线段AB 与以点O 为圆心的圆相切时半径最小，经过点B 时半径最大，由此问题可得解；①由题意可得当以点A 为圆心的圆与B 外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，由题意易得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1，则可分当点P 在点M 上方、点N 下方时和当点P 在线段MN 上时，然后进行分类求解即可； （3）由直线333y x =+可得33,3OD OE ==，则6DE =，30EDO ∠=︒，由(),0,1C m CK =可知点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，进而可分当C 经过点D 时和当C 与直线DE 相切于点K 时，然后求解即可． 【详解】解：（1）①由题意得：当以点O 为圆心的圆与线段AB 相切于点B 时，半径为最小，经过点A 时半径最大，连接OA ，如图所示：①()4,3A，()0,3B，①3OB=，()()2240305OA=-+-=，①在点O视角下，则线段AB的“宽度ABd”为532-=，故答案为2；①由题意得：以点A为圆心的圆与B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：①B半径为1.5，①半径最大为1.54 5.5+=，半径最小为4 1.5 2.5-=，①在点A视角下，B的“宽度Bd”为5.5-2.5=3，故答案为3；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，如图所示：当点P 在点M 上方时，则以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设P 的半径最小为r ，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为4r +， ①在点P 视角下O “宽度Od”为44r r +-=，同理可得当点P 在点N 下方时，与点P 在点M 外时相同；当点P 在线段MN 上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P 在AB 的中点时，此时在点P 视角下O “宽度Od ”取最小，即：以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示：①由直线1y x =-+可得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1， ①①AOB 是等腰直角三角形， ①2AB =， ①点P 是AB 的中点， ①22OP =， ①P 的半径最小为222-，半径最大为222+， ①在点P 视角下O “宽度O d”为2222222⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述：在点P 视角下O “宽度Od ”的取值范围为24Od ≤≤；（3）由题意可得如图所示：由直线333y x =+可得当y =0时，则3033x =+，解得33x =-，当x =0时，则有y =3， ①()()33,0,0,3D E -， ①33,3OD OE ==， ①6DE =， ①30EDO ∠=︒， ①(),0,1C m CK =，①点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，①由在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则有： 当C 经过点D 时，如图所示：①DC =1， ①331OC =-， ①331m =-+，①当点K 与点D 重合时，以点K 为圆心的圆与线段DE 有交点时，半径最小为0，最大为6，所以在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，而点K 在C 的其他地方时，根据三角形三边关系可知始终满足题意， ①331m >-+；当C 与直线DE 相切于点K 时，如图所示：①CK =1，30EDO ∠=︒，①30CDK ∠=︒， ①22CD CK ==，①332OC =+，即332m =--，此时在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，故不符合题意， ①332m <--，综上所述：当随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则m 的取值范围为332m <--或331m >-+．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的综合，熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的性质是解题的关键．9．（1）① 5；①1m =-或7；（2）①3d 且0d ≠；①3C x -＜222--或2212C x -+<【解析】 【分析】（1）①根据题意把(0,0)O ，(3,2)A 代入2121PQ d x x y y =-+-计算即可；①把(3,2)A ，(,0)B m 代入公式，求得34m -=，去绝对值求得m 的值即可；（2）①据题意，锐角三角形不可能为 “和距三角形”，结合图像求出d 的取值范围；①结合图形画出所有可能情况即可求出C x 的取值范围． 【详解】解：（1）① ①(3,2)A①212130205OA d x x y y =-+-=-+-=； 故答案为：5① 知点(,0)B m ，(3,2)A 若6AB d =， ①21213206AB d x x y y m =-+-=-+-= ①34m -=，34m ∴-=或34,m -=-①1m =-或7；（2）① ()()()0,,0,0,3,3,D d O M,6,33,OD MO MDd d d d d∴===+-∴当d＞3时，不存在“和距三角形”，①当3d=时，构成直角三角形如图，符合要求，当3d<时，构成钝角三角形如图，符合要求，①3d且0d≠① 据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：①综上所述：3C x -＜222--或2212C x -+<【点睛】本题考查了新定义，类比法，点与圆的位置关系，圆的切线等，解题的关键是有较强的理解能力及自学能力等．10．(1) ①2, ①(2,0)（答案不唯一）, ①2525b -≤≤ (2) 15432d -≤≤ 【解析】 【分析】(1) ① 根据OA =3，可确定“覆盖近距”为3-1=2；①确定OB =2，写出坐标即可；①确定当OC ①GH 时的“覆盖近距”，以此确定b 的取值范围；(2)确定O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”的最大值和最小值即可． 【详解】解:(1) ①因为OA =3，圆的半径是1，故O 对点A 的“覆盖近距”为3-1=2； 故答案为：2，①O 对点B 的“覆盖近距”为1，圆的半径是1，则OB =2，B 点坐标可以为（2，0）（答案不唯一）；故答案为：（2，0）（答案不唯一）；①设直线2y x b =+与x 轴、y 轴交于点G 、H ，当x =0时，y =b ，OH =b ；当y =0时，x =2b -，OG =2b ，tan①OHG =12，O 对点C 的“覆盖近距”为1，即OC =2,当OC ①GH 时，刚好存在“覆盖近距”为1，此时，OC =2，CH =4，222425OH =+=，同理，OI =25, 故b 的取值范围为：2525b -≤≤（2）根据题意可知以DE为对角线的正方形边长为1，如图所示，当t=-0.5时，“覆盖近距”最小，此时平移后的F经过E、G两点，EG交x轴于点H,连接FG,221520.52FH=-=，d=4-152；当t=2时，“覆盖近距”最大，如图所示，此时，EH=3,22345OE=+=,d=5-2=3；故d的取值范围为：15432d-≤≤【点睛】本题考查了新定义问题和与圆的位置关系，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的相关知识和解直角三角形，利用数形结合思想，正确推理计算．11．（1）①5；①D 、O ；①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）r 的取值范围为232r ≤≤． 【解析】 【分析】（1）①根据k 倍直角点的定义计算即可求解； ①根据“2倍直角点”的定义分别计算，即可判断；①根据“2倍直角点”的定义得到如图所示有正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，列式计算，即可求解；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，根据切线的性质以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）①根据k 倍直角点的定义得：121221315k x x y y =-+-=--+-=，故答案为：5；①点C (2，3)，121221313k x x y y =-+-=-+-=， 点D (−1，1)，121211112k x x y y =-+-=--+-=， 点E (0，−2)，121201214k x x y y =-+-=-+--=， 点O (0，0)，121201012k x x y y =-+-=-+-=，①是点A 的2倍直角点的是D (−1，1)，O (0，0)， 故答案为：D 、O ；①如图，正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，若直线2y x b =-+与其有交点，则过点(-1，1)时，b 值最小， 即()121b =-⨯-+，解得：1b =-， 当过点(3，1)时，b 值最大， 即123b =-⨯+，解得：7b =， ①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，由图可知，当①T 与正方形有交点为H (0，0)时，①T 的半径最大，即3r =； 当①T 与直线MN 相切时，①T 的半径最小， 过T 作TQ ①MN 于Q ，即r TQ =， 根据正方形的性质知①MNO =45︒， ①2sin sin 452TQ QNT TN ∠=︒==, ①1TN =，①22TQ =， ①r 的取值范围为232r ≤≤． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，考查了正方形的性质，特殊角的三角函数值，切线的性质等知识，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“k 倍直角点”的定义是解答此题的关键．12．（1）A ；（2）22b =或b=-22；（3）22m -≤≤322． 【解析】 【分析】（1）根据友好点的定义去计算判断，只要满足到原点的距离为1即可；（2）根据直线与圆O 相切时，只有一个公共点，再根据友好点的定义，将直线向外平移1各单位，后确定b 的值即可；（3）确定直线y =x +m 与直线y =2的交点，分交点在点D 左边和右边两种情形求解即可． 【详解】解：（1）①(1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)，①OA =22(10)(00)-+-=1，OB =221(0)(00)2-+-=12，OC =22(10)(10)--+-=2，①符合新定义的点是（1,0）， 故答案为：A ；（2）如图，直线y x b =+与圆O 相切是时，直线与圆有一个公共点，此时OG =OD =1， 根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着OD 或OG 向外平移一个单位长即可，分别到达E 或H 点，此时OE =2或OH =2，根据平移的性质，OE =EF =2，或OH =HM =2，根据勾股定理，得OM =OF =22， ①b =22或b =-22；。

九年级数学中考复习新定义专题练习

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九年级数学中考复习新定义专题练习1.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为 .2.（2019•德州）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x }＝x ﹣[x ]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝ ．3. 用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么，2△6 = ，2()3-△(3)-= ． 4. 如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．5. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°6.（2019•枣庄）对于实数a 、b ，定义关于“⊗”的一种运算：a ⊗b ＝2a +b ，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x ⊗（﹣y ）＝2，（2y ）⊗x ＝﹣1，求x +y 的值．7. 阅读材料：规定一种新的运算：a c =b ad bc d -．例如：1214-23=-2.34××= （1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值．8. 对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 2,1），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．9. 对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．10. 对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝-3×（-3-5）-1=23．（1）求（-2）⊙312的值； （2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝（用含m ，n 的式子表示）．11. （2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．12. 已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点.（1）当圆O 的半径为1时，①点11(,0)2P ,2P,3(0,3)P 中，圆O 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是圆O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图参考答案：1. -202. 1.13. 24 -64. 45. 60°6. (1) 5 (2) 137. （1）8 （2）x=18. （1）P2，P3；（2）4≤r≤6(3) -5+√2≤x A≤3 或√2-1≤x A≤19. （1）﹣5 （2）1 （3）k=1，﹣1，﹣2，﹣410. （1）-4（2）答案不唯一，例如：m⊕n＝m(n+1)11. （1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①y＝2x﹣1；②点E（，6）或（6，15）．12. （1）P1 P2（2）-√3≤x≤√3（3）2√2-1≤r≤3。

专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题八 新定义问题__2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题八新定义问题——2023届中考数学热点题型突破1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( )A. B.3 C.6 D.2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论:① 7 不是广义勾股数;②13 是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数;⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数.正确的是( )A.①②⑤⑥B.①③④⑤C.②④⑥D.②④⑤⑥3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似:例如计算:;;;.根据以上信息,完成下面的计算:__________.5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”.（1）当时,点的“拓展带”坐标为__________.（2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为__________.6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是____________.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是____________.7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化.对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：(，，，)，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得又，.请解决以下问题：(1)将指数式转化为对数式__________；(2)求证：(，，，)；(3)拓展运用：计算__________.8.定义如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”.发现数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是探究已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论.9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义为 “雪花数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪花数”, ，634，，634不是 “雪花数”.(1)请填空: 817 _______“雪花数”, 527______ “雪花数” (填“是”或“不是”);(2)求出常数m,n的值;(3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s的个位数字移到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与的差能被17整除, 求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P 的值.答案以及解析1.答案：A解析：，故选A.2.答案：A解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论①正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但，4 不是广义勾股数, 故结论④错误. , 即. 又x,y,z均为正整数, 故结论⑤正确. 设正奇数为 (k为正整数), 2 个连续正整数为p,, 由题意得,,,. 又,p,都是正整数, 结论⑥正确. 综上, 正确结论有①②⑤⑥.故选 A.3.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C4.答案：解析：.5.答案：①.②.2解析:（1）根据“拓展带”的定义,互为“拓展带”的两点关于点成中心对称,互为“拓展带”的两点的横坐标互为相反数,纵坐标的平均数等于t,点的“拓展带”坐标为.（2）根据“拓展带”的定义,点M和点N关于点成中心对称,设N点坐标为,则,,解得,,在函数的图象上,,解得.6.答案：①.②.解析:,,,点的限变点是,点在二次函数的图象上,当时,,,当时,,当时,,综上,当时,其限变点的纵坐标n'的取值范围是,故答案为:,.7.答案：(1)(2)证明见解析(3)2解析：(1)解：根据指数与对数关系得：.故答案为：；(2)解：设，，则，，，..(3)解：.故答案为：2.8.答案：见解析解析：发现 28,36，，32不是两个连续偶数的平方差,28,36 是“奇巧数”.探究正奇数的 4 倍为.总能表示为两个连续偶数的平方差,正奇数的 4 倍一定是“奇巧数”.9.答案： (1) 是，不是(2)(3)见解析解析：817，, 817 是“雪花数”;527，,527不是 “雪花数”.(2)，，，①，，，，②联立①②得解得(3) 由 “雪花数” 的定义可知, 由题意可知, s与的差能被 17 整除，能被 17 整除,为 17 的倍数.s为“雪花数”, 且个位数字不为 1 ,，且,，34,51,68 或 85 .若, 则不符合题意;若, 则符合题意;若, 则符合题意;若, 则此时, 不符合题意;若, 则此时, 不符合题意.综上可得或 615 .。

完整版)北京中考数学新定义题目汇总

完整版)北京中考数学新定义题目汇总

完整版)北京中考数学新定义题目汇总28.对于平面内的圆C和圆C外一点Q，定义如下：若过点Q的直线与圆C存在公共点，记为点A、B，设$k=\frac{AQ+BQ}{CQ}$，则称点A（或点B）是圆C的“k相关依附点”。

特别地，当点A和点B重合时，规定$AQ=BQ$，$k=\frac{2AQ^2}{CQ^2}$。

已知在平面直角坐标系$xOy$中，$Q(-1,0)$，$C(1,0)$，圆C的半径为$r$。

1) 当$r=2$时。

①若$A_1(0,1)$是圆C的“k相关依附点”，则$k$的值为$\frac{3}{2}$。

② $A_2(3,0)$是否为圆C的“2相关依附点”：否。

2) 若圆C上存在“k相关依附点”点M。

①当$r=1$，直线QM与圆C相切时，$k$的值为$2$。

②当$k=3$时，$r$的取值范围为$[\sqrt{\frac{3}{2}},2]$。

3) 若存在$r$的值使得直线$y=-3x+b$与圆C有公共点，且公共点是圆C的“3相关依附点”，则$b$的取值范围为$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。

28.在平面直角坐标系$xOy$中，点M的坐标为$(x_1,y_1)$，点N的坐标为$(x_2,y_2)$，且$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于$x$轴，$y$轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”。

1) 已知点$A(2,0)$，$B(0,23)$，则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为$60^\circ$。

2) 若点$C(1,2)$，点$D$在直线$y=5$上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，则直线$CD$的表达式为$y=5$。

3) 圆O的半径为2，点$P(m,1)$。

若在圆O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，则$m$的取值范围为$[-1,3]$。

28.对于平面上两点A、B，定义如下：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A、B的“确定圆”。

中考数学：新定义创新型综合压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学：新定义创新型综合压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

中考数学复习《新定义问题》

中考数学复习《新定义问题》

【解析】根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出
选择．A.∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；B.∵2有3个，∴不可以
作为S1，故选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故选项错误；D.符合 定义的一种变换，故选项正确．故选D.
13．对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
11．任意一个正整数 n 都可以分解：n＝p×q(p，q 是正整数，且 p≤q)， 在 n 的所有这种分解中，如果|p－q|最小，则称 p×q 是 n 的最佳分解． p 并规定：F(n)＝q.
(1)求F(12)；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换 其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为
15．定义：点 P 是△ABC 内部或边上的点(顶点除外)，在△PAB，△PBC， △PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点 P 是△ABC 的自相似 3 3 点．在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y＝ x (x＞0)上的任意一点，点 N 在 x 轴正半轴上． (1)如图 1，MN⊥x 轴，点 N( 3，0)， 若 OM 上点 P 是△MON 的自相似点，求点 P 的坐标； (2)如图 2，当点 M(3， 3)，点 N(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐标．
3．定义[a，b，c]为函数 y＝ax2＋bx＋c 的特征数， 下面给出特征数为[2m，1－m ，－1－m]的函数的一些结论： 1 8 ①当 m＝－3 时，函数图象的顶点坐标是(3，3)； 3 ②当 m>0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于2； 1 ③当 m<0 时，函数在 x>4时，y 随 x 的增大而减小； ④当 m≠0 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有( B ) A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④

中考数学难题突破专题--新定义问题

中考数学难题突破专题--新定义问题

中考数学难题突破专题--新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近 年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题1、 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34. (1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值． 例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F (m )＝________＝________；(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x 与y 的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t )的最大值即可．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键． 类型2 新定义几何概念型例题2、如图Z3－1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．图Z3－1(1)将▱ABCD纸片按图Z3－2①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________．(2)▱ABCD纸片还可以按图Z3－2②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．(3)如图Z3－2③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．图Z3－2例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG∶S▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD＝________，FC＝______，∠AHE＝12______，∠CFG＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH≌△CGF，可得________，进而求得AD的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD，BC的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．专 题 训 练1． 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )图Z 3－3A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22． 对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533． 在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4． 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z 3－4，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．图Z 3－45． 对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3<5，求x 的取值范围．6． 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图Z 3－5①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图Z 3－5②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．图Z 3－57． 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图Z 3－6①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图Z 3－6②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图Z 3－6③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．图Z 3－6参考答案类型1 新法则、新运算型 例1 【例题分层分析】 (1)m ＝n ×n nn 1(2)10y ＋x y ＝x ＋4解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ， 设m ＝n 2(n 为正整数)，∵|n －n |＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝nn＝1.(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝10y ＋x ， ∵t 是“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝36， ∴y ＝x ＋4，∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.(3)F (15)＝35，F (26)＝213，F (37)＝137，F (48)＝68＝34，F (59)＝159.∵34>35>213>137>159，∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值是34.类型2 新定义几何概念型 例2 【例题分层分析】 (1)1∶2(2)13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC ＝AH 解：(1)AE ，GF ；1∶2.提示：由折叠的性质，得AD ＝2AG . ∵S 矩形AEFG ＝AE ·AG ，S ▱ABCD ＝AE ·AD ， ∴S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝AE·AGAE·AD＝1∶2.(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH ＝90°， ∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.由折叠的性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝12∠AHF ，∠CFG ＝12∠CFH .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，∴∠AHF ＝∠CFH ，∴∠AHE ＝∠CFG . ∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ，∴FC ＝AH ， ∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13. (3)本题有以下两种基本折法，如图①，图②.①按图①的折法的解法：由折叠的性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG . ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4， ∴CG ＝3，∴FG ＝CG ＝3，∴BF ＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7， ∴AD ＝1，BC ＝7. ②按图②的折法的解法： 设AD ＝x .由折叠的性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH . 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝12CD ＝5.∵四边形EFGN 是叠合正方形， ∴EF ＝FG ＝GN ＝5，∴MF ＝BF ＝3， ∴FC ＝FH ＝x ＋3.∵∠B ＝∠EFG ＝∠CGF ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△GFC ∽△BEF ， ∴FG BE ＝FC EF ，即54＝x ＋35，解得x ＝134， ∴AD ＝134，BC ＝BF ＋FC ＝3＋134＋3＝374.专题训练1．A [解析] 由函数图象可知，当－2≤x ＜－1时，y ＝－2，即有[x ]＝－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y ＝－1，即有[x ]＝－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y ＝0，即有[x ]＝0，此时方程为0＝12x 2，解得x ＝0；当1≤x＜2时，y ＝1，即有[x ]＝1，此时方程为1＝12x 2，解得x ＝2或x ＝－2(不在x 的取值范围内，舍去)．综上可知，方程[x ]＝12x 2的解为0或 2.2．D [解析] 当2x －1≥－x ＋3时，x ≥43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，x <43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝2x －1，y 的值都小于53.综上，该函数的最大值为53.3．－43 [解析] A ，B 两点在直线y ＝－x ＋1上，设A (a ，－a ＋1)，B (b ，－b ＋1)，∴AB 2＝(a －b )2＋(－a ＋1＋b －1)2＝2(a －b )2＝(2 2)2，∴(a －b )2＝4，∴a －b ＝±2.A ，B 两点的“倒影点”分别为A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)． ∵点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴1a ·11－a ＝k ＝1b ·11－b ，∴a (1－a )＝b (1－b )，变形得(a －b )(1－a －b )＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴k ＝1a ·11－a ＝23×(－2)＝－43；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，∴k ＝1a ·11－a ＝(－2)×23＝－43.综上，k ＝－43.4．113°或92° [解析] ∵△CBD 和△ABC 相似， ∴∠BCD ＝∠A ＝46°.设∠ACB ＝x ，则∠ACD ＝x －46°.∵△ACD 是等腰三角形，又∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD . ①若AC ＝AD ，则∠ACD ＝∠ADC ＝x －46°， ∵46°＋x －46°＋x －46°＝180°， ∴x ＝113°.②若AD ＝CD ，则∠ACD ＝∠A ， 即46°＝x －46°， ∴x ＝92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°. 5．解：(1)根据题意，得2×3－x ＝－2011， 解这个方程，得x ＝2017. (2)根据题意，得2x －3＜5， 解得x ＜4，即x 的取值范围是x ＜4.6．解：(1)①∵AB ＝CD ＝1且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴BD ＝AC ＝12＋12＝ 2. ②证明：如图①中，连结AC ，BD . ∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD ＝CD .(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件． 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE ＝AB ＝5.②当BF ＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF ＝AB ＝5，∵DE ∥BF ，BP ＝2PD ，∴BF ∶DE ＝2∶1，∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.7．解：(1)在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，∴3∠B ＋3∠C ＝360°，∴∠B ＋∠C ＝120°， 即∠B 与∠C 的度数之和为120°. (2)证明：在△BED 和△BEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BO ，∠EBD ＝∠EBO，BE ＝BE ，∴△BED ≌△BEO (SAS )， ∴∠BDE ＝∠BOE .又∵∠BCF ＝12∠BOE ，∴∠BCF ＝12∠BDE .如图，连结OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°－∠AFE ＝180°－2α. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α， ∴∠AOC ＝180°－2α， ∴∠ABC ＝12∠AOC ＝12∠EFC ，∴四边形DBCF 是半对角四边形． (3)如图，作OM ⊥BC 交BC 于点M . ∵四边形DBCF 是半对角四边形，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°， ∴BC ＝2BM ＝3BO ＝3BD . ∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°.∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴△DBG的面积△ABC的面积＝(BD BC )2＝13.∵DH ＝BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝3HG ， ∴△BHG的面积△BDG的面积＝13，∴△BHG的面积△ABC的面积＝19.。

中考数学专题复习新定义问题【含解析】

中考数学专题复习新定义问题【含解析】

新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．类型三： 探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。

2023年中考数学专题《 函数中的新定义问题》试卷含答案解析

2023年中考数学专题《 函数中的新定义问题》试卷含答案解析

考点1 一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与正比例函数y ＝x 的交点称为一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的“不动点”．例如求y ＝2x ﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y ＝2x ﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y ＝3x +2的“不动点”为 （﹣1，﹣1）　；（2）若一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），求m 、n 的值；（3）若直线y ＝kx ﹣3（k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S △ABP ＝3S △ABO ，求满足条件的P 点坐标．解：（1）联立，解得，∴一次函数y ＝3x +2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），∴n ﹣1＝2，∴n ＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m +3，解得m ＝﹣；（3）∵直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，∴直线y ＝kx ﹣3与直线y ＝x 平行，∴k ＝1，例题精讲∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，∴S△ABP＝×|t﹣3|×3，S△ABO＝×3×3，∵S△ABP＝3S△ABO，∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　0＜a＜9　．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2 反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为　x＜0或x＞4．　．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB 的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是　2　，点O与双曲线C1之间的距离是 ；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S 为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF 和△SWG 是等腰直角三角形，∴SW ＝SG ，WF ＝OW ，∴SF ＝SW +WF ＝SG +OW ＝a +（b ﹣a ）＝（a +b ），∵EF＝＝＝＝，∵OF ＝OW ＝（b ﹣a ），∴OE ＝（b ﹣a ）+，设b ﹣a ＝m （m ＞0），则OE ＝m +≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE ＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3 二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y ＝﹣（|x |﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称　；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　x＝﹣2或x＝0或x＝2　；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是　﹣1＜m＜0　．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（ ）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是　y＝x　；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是　　．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，又∵S△GFE＝GI•（x E﹣x F），设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（ ）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为　（，）或（﹣，﹣）　．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是　y＝﹣2x﹣1　．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是　C　．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；。

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新定义问题
1.对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点
N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点.（1）如图，，，，
①点P关于点B的定向对称点的坐标是；
②在点，，中，是点P关于线段AB
的
定向对称点.
（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆.
①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH
上，求的取值范围；
②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称
点在⊙M上，直接写出b的取值范围.
2.在平面内，对于给定的△ABC，如果存在一个半圆或优弧与△ABC的两边相切，且该弧上的所有
点都在△ABC的内部或边上，则称这样的弧为△ABC的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该
内切弧为△ABC的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）
在平面直角坐标系xOy中，A(8,0)，B(0,6).
（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是；
（2）如图2，若弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；
（3）如图3，动点M(m,3)，连接OM，AM.
①直接写出△OAM的完美内切弧半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点
P作x轴
的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围．
3.对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连
接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．
(1)点A(2,0)，B(4,4)，C(－2,2)的垂点距离分别为_______,________,________；
(2)点P在以Q(3,1)为圆心，半径为3的⊙M上运动，直接写出点P的垂点距离h的取值范围；
(3)点T为直线l：y=3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有
且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．
4.过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小
．．的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.
在平面直角坐标系xOy中，点P（0，2）.
（1）已知点A（0，1），B（1，1），C（2，2），分别以A，B为圆心，1为半径作⊙A，⊙B，以C为圆心，2为半径作⊙C，其中是点P与x轴的点线圆的是；
（2）记点P和x轴的点线圆为⊙D，如果⊙D与直线y=无公共点，求⊙D的半径的r取值范围；
（3）直接写出点P和直线y=kx(k≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围.
5.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，
如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d(P,M)．
已知直线(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙O的半径为1．（1）若b=2，
①求d(B,⊙O)的值；
②若点C在直线AB上，求d(C,⊙O)的最小值；
（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d(E,⊙O)＜6，直接写出b的取值范围．
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），且x1x2，y1=y2.给出如下定义：若平面上存在一点P，使△APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”.
（1）已知点A的坐标为（1，0）.
①若点B的坐标为（5，0），在点P1（4，3）、P2（3，-2）和P3（2，）中，是点
A、点B的“直角点”的是；
②点B在x轴的正半轴上，且AB=22，当直线y=-x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D（1，4）为点E（0，2）、点F（m，n）的“直角点”，若使得△DEF与⊙O有交点，直接写出半径r的取值范围.
7.如图1，点P 是平面内任意一点，点A ,B 是⊙C 上不重合的两个点，连结PA ，PB ．当∠APB =60°时，我们称点P 为⊙C 的“关于AB
的关联点”．
图2
（1）如图
2，当点P 在⊙C 上时，点P 是⊙C 的“关于AB 的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB ，并直接写出∠ACB 的度数；
（2）在平面直角坐标系中，点，点M 关于y 轴的对称点为点N．
①以点O 为圆心，OM 为半径画⊙O ，在y 轴上存在一点P ，使点P 为⊙O “关于MN 的关联点”，直接写出点P 的坐标；
②点D (m,0)是x 轴上一动点，当⊙D 的半径为1时，线段MN 上至少存在一个点是⊙D 的“关于某两个点的关联点”，求m 的取值范围．
图1
8.对于平面直角坐标系中的点P和图形，给出如下定义：若图形上存在两个点A，
B
，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是图形的一个“和谐点”．
已知直线l：与x轴交于点M，与y轴交于点N，⊙O的半径为r．
(1)若n＝0，在点(2，0)，(0，2)，(4，1)中，直线l的和谐点是；
(2)若r＝ ，⊙O上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围；
(3)若n＝3，线段MN上存在⊙O的和谐点，直接写出r的取值范围．
9.已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果射线OM上的
点P'，满足OP·OP'=r2，则称点P'为点P关于⊙O的反演点．
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2．
(1)已知点A(4，0)，求点A关于⊙O的反演点A'的坐
标；
(2)若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线与
直线x=4的交点，求点B的坐标；
(3)若点C为直线上一动点，且点C关于⊙O
的反演点C'在⊙O的内部，求点C的横坐标m的范围；
(4)若点D为直线x=4上一动点，直接写出点D关于
⊙O的反演点D'的横坐标t的范围．
28.10.过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.
（1）如图，在等腰中，，.
1在下图中画出一条的形内弧；
2在中，其形内弧的长度最长为____________.
（2）在平面直角坐标系中，点，，，点为形内弧
所在圆的圆心.求点纵坐标的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中，点，点为轴上一点.点为最长
形内弧所在圆的圆心，求点纵坐标的取值范围.。

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