2020年郑州大学高等数学考试题(完整版)

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2020年河南省高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)

2020年河南省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．（5分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx 6．（5分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．（5分）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（5分）（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．（5分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

郑州大学网络教育高等数学期末考试复习题及参考答案

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函数的极值点一定是函数的驻点。收藏
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连续周期函数的原函数为周期函数。
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仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线，又有铅直渐近线
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2020年全国大学高等数学考试及答案解析

2020年全国大学高等数学考试试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰x（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =__________ (2) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________(3) 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________(4)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(5)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dy dx=，22x d y dx=（2）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（3）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值(4)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(5)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(6) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.（7）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q（8）（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为1(0)(2)2P X P X ====，Y 的概率密度为201()0,y y f y <<⎧=⎨⎩，其他()I 求()P Y EY ≤()∏求Z X Y =+的概率密度。

2020年全国大学高等数学考试试题及解析

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ . (2) 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 .(3) 对数螺线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为 .(4)函数ln(u x =在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数为___________.(5) 设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则()r AB =___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,则a 等于 ( )(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设()f x 有二阶连续导数,且(0)0f '=,0()lim 1||x f x x →''==,则 ( ) (A) (0)f 是()f x 的极大值 (B) (0)f 是()f x 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) (0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3) 设0(1,2,)n a n >=,且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑( )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关(4) 设111122232333,,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 ( )(A) 123,,ααα线性相关 (B) 123,,ααα线性无关(C) 秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα (D) 123,,ααα线性相关,12,αα线性无关(5) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是( )(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1) 计算22(),I x y dV Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2) 计算曲线积分()()()Cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰,其中C 是曲线221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z轴正向往z 轴负向看,C 的方向是顺时针的.(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ,在0t =时刻已掌握新技术的人数为0x ,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()x t (将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求()x t .四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分(2)Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2) 设变换2,u x y u x ay=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂化简为20z u v ∂=∂∂,求常数a ,其中(,)z z x y =有二阶连续的偏导数.五、(本题满分6分)设()f x 连续,1()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()limx f x A x→=(A 为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分7分)设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰,求()f x 的一般表达式.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1) 设B 是秩为2的54⨯矩阵,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--是齐次线性方程组0Bx =的解向量,求0Bx =的解空间的一个标准正交基.(2) 已知111ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量.(Ⅰ) 试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； (Ⅱ) 问A 能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分6分)设TA E ξξ=-,其中E 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置,证明：(1) 2A A =的充要条件是1Tξξ=；(2) 当1Tξξ=时,A 是不可逆矩阵.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是__________. (2) 设ξ、η是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量 ξη-的数学期望()E ξη-=__________.2020年全国大学高等数学考试试题及解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos3limlim .ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x→→++==++++ 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim()x x f x g x →''应存在或为∞,而本题中, []200111(3sin cos )3cos 2cos sinlimlim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x xx x x x x→→'+++=+'++-+++ 极限不存在,也不为∞,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1t x =-,则()1212111n n n nnnn n n na ttna tta t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒()1nn n a t ∞='∑的收敛半径为 3.从而()2111n n n n n n t a t na t ∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于n n n a x ∞=∑,若1limn n na a ρ+→+∞=⇒它的收敛半径是1R ρ=.但是若只知它的收敛半径为R ,则⇒11limn n n a a R +→+∞=,因为1lim n n naa +→+∞可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2x y e π+=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''====-'--, 所以切线的方程为2(0)y e x π-=--,即2x y e π+=.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】12【分析】先求方向l 的方向余弦和,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=-单位化，即得 {}{}12,2,1cos,cos ,cos 3||AB l AB αβγ==-=. 将函数ln(u x =+分别对,,x y z 求偏导数得12Au x ∂==∂,0Au y∂==∂,12Au z∂==∂, 所以cos cos cos AA AA u u u ulx y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1221110()233232=⨯+⨯-+⨯=. (5)【答案】2【解析】因为10220100103B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得 22()()()x ay dx ydydu x y x y +=+++, 由可微与可偏导的关系,知2()u x ay x x y ∂+=∂+,2()u yy x y ∂=∂+, 分别对,y x 求偏导数,得2243()()2()(2)()()u a x y x ay x y a x ayx y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++, 232()u yy x x y ∂-=∂∂+. 由于2u y x ∂∂∂与2u x y∂∂∂连续,所以22u uy x x y ∂∂=∂∂∂∂,即 33(2)2()()a x ay y x y x y ---=++2a ⇒=,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()lim10,||x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有()0||f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增. 又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).(3)【答案】(A)【解析】若正项级数1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑也收敛,且当n →+∞时,有tanlim (tan )limn n n n n nλλλλλ→+∞→+∞=⋅=. 用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nn nn a na λλ→+∞=>.因为21n n a ∞=∑收敛,所以2lim tann x n a nλ→+∞也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1) 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3) 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(4)【答案】(D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩ 有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ⨯=,其中112233a b A a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c b c c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔[]()2r A r A b ==(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组12,αα线性相关.所以应选(D). 方法2：用排除法.(A)123,,ααα线性相关,当123ααα==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)123,,ααα线性无关,3α不能由12,αα线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα,当123(,,)r ααα=12(,)1r αα=时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D).评注：应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来. (5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r θ,或先(,)r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(,)r θ后z 方便.【解析】方法1：采用柱面坐标,先(,)r θ后z ,为此,作平面z z =.{}22(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82220()zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dz d dr ππθ==⎰⎰ 方法2：将Ω投影到xOy 平面,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+≤用柱面坐标先z 后(,)r θ,有22248422330021024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰评注：做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可.如本例方法2中20d πθ⎰可以单独先做.(2)【解析】方法1：写出C 的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式. 由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有222022220()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法2：用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分,由L 的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰. S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy π=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题 0(),(0).dxkx N x dtx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 把方程分离变量得,()dx kdt x N x =-111()dx kdt N x N x+=-.积分可得 11ln xkt c N N x=+-,1kNt kNtcNe x ce =+.xyz 1O xyOyOz 1以0(0)x x =代入确定00x c N x =-,故所求函数为000.kNt kNtNx e x N x x e=-+四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为22:1xy D x y +≤；2:11,1yz D y y z -≤≤≤≤,或01,z z y z ≤≤≤≤ 图1求Szdxdy ⎰⎰,自然投影到xOy 平面上.求(2)Sx z dydz +⎰⎰时,若投影到xOy 平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,,)2,(,,)0,(,,)P x y z x z Q x y z R x y z z =+==,则SI Pdydz Rdxdy =+⎰⎰.这里,213P Q R x y z∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则22(2)[(2)()()]xySD zI x z dydz zdxdy x z x y dxdy x∂=++=+-++∂⎰⎰⎰⎰, 其中22z x y =+,22:1xy D x y +≤.把2zx x∂=∂代入,得 2222242()()xyxyxyD D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由对称性得222()0xyD x xy dxdy +=⎰⎰,22242()xyxyD D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,所以 22()xyD I x y dxdy =-+⎰⎰. 利用极坐标变换有121340001242I d r dr r ππθπ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.投影到yOz 平面时S要分为前半部分1:S x =2:S x =(见图1),则12(2)(2)S S SI x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I 化成二重积分得2222)()()4().yzyzxyyzxyD D D D D I z dydz z dydz x y dxdyx y dxdy =-+-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2213111221131242200sin 2()344(1)cos 3343,34224yzz y D z y y t dy z y dyy dy tdt πππ=--====-=-=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或21101.24yzD dz dz ππ===⎰⎰⎰⎰(这里的圆面积的一半.)22()2xyD x y dxdy π+=⎰⎰(同方法一).因此, 4.422I πππ=-⋅+=-方法三：添加辅助面221:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则11(2)1S S Dx z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：221x y +≤.S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上满足高斯公式的条件,所以1(2)3S S x z dydz zdxdy dV Ω++=-⎰⎰⎰⎰⎰11()3332D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰, 其中,()D z 是圆域：22x y z +≤,面积为z π. 因此,133(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=--++=---=-⎰⎰. (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得z z u z v z zx u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂, 2z z u z v z z a y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂, 所以 22222222()()z z z z u z v z v z ux x u x v u x u v x v x v u x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222z z zu u v v∂∂∂=++∂∂∂∂, 2222222()()z z z z u z v z v z u x y y u y v u y u v y v y v u y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222(2)z z za a u u v v∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,222222222222222()()2()()44.z z z a y y u y vz u z v z v z ua u y u v y v y v u yz z z a a u u v v∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂代入2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂,并整理得 2222222226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂. 于是,令260a a +-=得3a =或2a =-.2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为20zu v∂=∂∂. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt ϕ==⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 10()()()(0),xf u du x f xt dtu xtx xϕ==≠⎰⎰于是 02()()()(0),xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰由导数定义,有0200()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-'====⎰. 而 022000()()()()lim ()limlim lim x xx x x x xf x f u duf u du f x x xx xϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续.评注：对1()()x f xt dt ϕ=⎰作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ≠.因此,由01()()xx f u du xϕ=⎰得到的()x ϕ'也附加有条件0x ≠.从而(0)ϕ'应单独去求.六、(本题满分7分)【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-.令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,01()()()xf t dt f x f x x x' =-⎰. 为消去积分,两边乘以x ,得 20()()()xf t dt xf x f x x ' =-⎰, (*)将恒等式两边对x 求导,得2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,即 ()()0xf x f x '''+=.在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=, 因为0x >,所以1C y x'=, 两边积分得 12()ln y f x C x C ==+.方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1C y P x'==. 再积分得12()ln y f x C x C ==+.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,αα线性无关,12,αα是方程组0Bx =的解,由解空间的基的定义,12,αα是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：[][][][]1121221111,1,2,3,(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153TT T T βααββαβββ===-=---=--将其单位化,有]]1212121,1,2,3,2,1,5,3T T ββηηββ====--, 即为所求的一个标准正交基.评注：此题是一个基本计算题,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可. 由于解空间的基不唯一,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一.已知条件中12,,αα3α是线性相关的(注意12323ααα-=),不要误认为解空间是3维的.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0002125312a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=. (II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其特征方程为3212533(1)0,12E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1231λλλ===-.由于 312()5232101r E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 从而1λ=-只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化. 评注：A 相似于对角阵⇔A 的每个i r 重特征值有i r 个线性无关的特征向量.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为TA E ξξ=-,Tξξ为数,Tξξ为n 阶矩阵,所以2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,因此, 2(2)(1)0TTTTTA A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-= 因为ξ是非零列向量,所以0Tξξ≠,故210,TA A ξξ=⇔-=即1Tξξ=. (2)反证法.当1Tξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121A A A A A E --===. 与已知T A E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵.九、(本题满分7分) 【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有{}33(1),0,1,2,3.k kk p X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有()kk xF x p≤=∑,(1)当0x <时,()0kk xF x p≤==∑；(2)当01x ≤<,{}300300322327()0()(1)555125k k xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-==⎪⎝⎭∑； (3)当12x ≤<,{}{}1131013272281()01()(1)12555125k k xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑； (4)当23x ≤<, {}{}{}012()012kk xF x pp p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=； (5)当3x ≥时{}{}{}{}0123()01231k k xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.【相关知识点】1.二项分布分布律的定义：{}(1),0,1,,k kn k n P X k C p p k n -==-=.2.离散型随机变量分布函数的定义：{}()i ix xF x P X x p ≤=≤=∑.3.二项分布~(,)X B n p 的期望为EX np =.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1)【答案】37【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：()(|)0.60.013(|)0.60.010.40.027()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯===⨯+⨯+.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S的一个划分,且()0,()0(1,2,,)i P A P B i n >>=,则1()(|)(|),1,2,,.()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ (*)(*)式称为贝叶斯公式.(2)【解析】由于ξ与η相互独立且均服从正态分布2)N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且()0,EU E E E ξηξη=-=-=()11122DU D D D ξηξη=-=+=+=, 所以有 (0,1)UN .代入正态分布的概率密度公式,有22()u f u du +∞--∞=⎰. 应用随机变量函数的期望公式有22(||)(||)||u E E U u du ξη+∞--∞-= =⎰222u du +∞-=⎰由凑微分法,有222(||)2()2u uE d ξη+∞--=--⎰22u +∞-==.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。

河南省2020年专升本《高等数学》考试试题

河南省2020年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标。

1.当0→x 时，x x 632-是x 的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小2.设()x f 是在R 上奇函数，则()()x x x f -++21ln sin 在R 上是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.无法判断3.求极限xx x 411lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→（）A.4eB.4-eC.eD.14.设()121+=+x x f ，则()51--x f =（）A.92-x B.112-x C.32-xD.22-x 5.设函数()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=1,11,21,122sin 2x x x x x x x f ，则()x f 在1=x 处的极限（）A.0B.1C.2D.不存在6.函数()xx y -++=311ln 的定义域是（）A.[]3,1- B.()3,1- C.[)3,1- D.(]3,1-7.xe x xx ln lim 11-→-=（）A.0B.1C.2D.38.设()x f 在区间内是连续函数，且()()()6lim3=--→a x a f x f ax ，则()x f 在a x =处（）A.()x f ax →lim 存在，()0≠'a f B.不可导C.()x f 有极大值 D.无极值9.844lim 2+--∞→x x x x （）A.1-B.0C.1D.∞10.设()212='f ，则极限()()()h f h f h +-+→1ln 222lim 0=（）A.21 B.1 C.21-D.1-11.下列式子成立的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛+=a x ad adx 2 B.22221dx e dx xe x x =题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：C.36πC.xd dx x = D.⎪⎭⎫⎝⎛=x d xdx 1ln 12.设函数()x f 满足()1=-xde x df ，则()x f ''=（）A.xxe-- B.xe-- C.xxe D.xe-13.设xx y 33⋅=在0x 处取得极小值，则0x =（）A.3ln 1-B.3ln - C.3ln 1 D.3ln 14.设函数x x y ln =在点M 处的切线平行于12+=x y ，则点M 的坐标是（）A.()0,1 B.()0,e C.()1,e D.()e e ,15.函数()x y y =是由方程1332=+-x xy y 所确定的隐函数，则='y （）A.x y y x 32332-- B.xy x y 32332-- C.yx x y 33322-- D.y x y x 33232--16.函数()()xx x x f sin 12-=有（）个间断点A.0B.1C.2D.无数17.若不定积分()c xdx x f +=⎰1，则()x f '=（）A.xln B.x1 C.21x -D.32x 18.()=-⎰dx x 21sin （）A.()c x +-21cosB.()c x +--21cosC.()c x +-21cos 21D.()c x +--21cos 2119.已知()()dt ex f x t⎰+=21为连续函数，则当2≥n 时，()()x f n =（）A.xe2 B.xn e22 C.xn e 212- D.xn e212+20.由曲线x y 2=，直线x y =以及直线1=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成旋转体的体积是（）A.π517 B.πC.π1D.π17521.下列广义积分收敛的是（）A.⎰∞++021dx x xB.⎰∞+1sin xdxC.dx xe⎰∞+1 D.dx x ⎰∞+-424122.平面013=++-z y x 和平面022=++y x 的位置关系是（）A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合23.曲面方程022=++z y x 在空间直角坐标系中表示的是（）A.椭圆面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面24.已知()2sin xy z =，则22xz∂∂=（）A.()24cos xyy B.()24cos xyy - C.()24sin xyy D.()24sin xyy -25.已知xye z -=在点()1,0-处在方向→l 上取得最大方向导数，则→l =（）A.→→--ji B.→→+ji C.→→+-j i D.→→-j i 26.设函数()x y y =参数方程⎩⎨⎧+=-=tet y t t x sin cos 所确定，则0=t dxdy =（）A.0 B.1 C.1- D.2-27.下列级数收敛的是（）A.∑∞=11n neB.nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛123 C.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n D.∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n n 28.设L 为正向圆周622=+y x ，则()()dy x x dx y y xL42332++-⎰=（）A.π6 B.π6- D.π36-29.级数∑∞=0!n nn kx 在0>k 时的收敛区间是（）A.()1,1- B.⎪⎭⎫⎝⎛-k k 1,1 C.()k k ,- D.()+∞∞-,30.二阶常系数非齐次微分x e y y y xsin 862=+'-''用待定系数法时，特解方程设为*y =（）A.xce 2 B.()x c x c excos sin 212+C.()x c x c xexcos sin 212+ D.()x c x c ex xcos sin 2122+二、填空题（每小题2分，共20分）31.已知()x x f arctan 1=+，()[]2-=x x g f ，则()2+x g =___________32.已知()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,cos 50,2sin 2x x e x x x a xx f x ，在0=x 处连续，则a =_____________33.设函数()()dt t x f x ⎰+=203ln 的单调递增区间为________________34.已知()x f x 2lim →的极限存在，且()()x f x x x f x 23lim 3→+=，则()x f '=________________35.dx x x ⎰--2224=________________36.设()()c x F dx x f +=⎰，则()⎰xdx x f cos sin =___________________37.设平面区域(){}10,0,≤≤≤≤=x x y y x D ，则⎰⎰Dxdxdy =____________38.已知()y x z +=2ln ，则dz =_________________39.已知幂级数()()!210n x nn n∑∞=-的和函数是____________40.二阶常系数齐次方程0=+'+''y y y 的通解是____________________三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限()2311431321211lim -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯+⨯n n n n 42.已知函数xxy ln =，求导数y '43.已知()()x e x x x f x +--+=1ln 1111sin，求其水平渐近线和垂直渐近线44.求函数()5683234++-=x x x x f 的凹凸区间及拐点45.求不定积分()dxx x ⎰+12146.求定积分dx x ⎰+4023cos 1π47.已知向量()()()6,0,18,2,30,4,4===→→→c b a ，求→→→⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯cb a 48.已知函数()y x z z ,=，且123232=+++z xyz y x （其中026≠+zxy ），求yzx z ∂∂∂∂,49.计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 为122=+y x，且0,0>>y x 50.将函数()252412-+=x x x f 展开成x 的幂级数四、应用题（每小题7分，共14分）51.已知函数21x y -=与x 轴有两个交点分别为B A ,，在曲线上存在D C ,两点，以AB 为底边的等腰梯形ABCD ，试求C 点的纵坐标为多少时，等腰梯形ABCD 的面积最大？52.某文物于1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时C 14（放射性同位素碳—14）标本存量为初始量0R 的0.7761倍。

2020年全国大学高数考试试题及解析

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ . (3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则_________.(5)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么 .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为, 再从中任取一个数,记为, 则=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数,则在内( )(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(2)设是连续函数的一个原函数,表示的充分必要条件是则必有( )(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-Lydx xdy 2Ω22y x z +=222y x R z --=∑Ω⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 123,,ααα123(,,)=A ααα123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα1=A =B X X ,,2,1 Y }2{=Y P n nn xx f 31lim )(+=∞→()f x ),(+∞-∞()F x ()f x ""N M ⇔"M ",N ()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔(C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数(3)设函数, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有( )(A)(B)(C)(D)(4)设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程( )(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和(5)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为( )(A) (B)(C)(D)()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕϕψ2222y ux u ∂∂-=∂∂2222yu x u ∂∂=∂∂222y uy x u ∂∂=∂∂∂222xuy x u ∂∂=∂∂∂ln e 1xz xy z y -+=(0,1,1)(,)z z x y =(,)x x y z =(,)z z x y =(,)y y x z =(,)z z x y =(,)x x y z =(,)y y x z =A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110(6)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有( )(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(7)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于() (A)(B)(C) (D)(8)设随机变量独立同分布,且其方差为令,则( )(A)(B) (C)(D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1、(本题满分12分)设,证明.,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x 2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()e b a b a ->-某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)3、(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.4、(本题满分12分)已知函数在上连续,在内可导,且. 证明: A 存在使得.B 存在两个不同的点,使得5、(本题满分12分)设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上,曲线积分的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有.(2)求函数的表达式.).100.66⨯=k ,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z ()f x [0,1](0,1)(0)0,(1)1f f ==),1,0(∈ξξξ-=1)(f )1,0(,∈ζη.1)()(=''ζηf f )(y ϕL 24()22Ly dx xydyx yφ++⎰0x >,C 24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰)(y ϕ已知二次型的秩为2. (1)求的值；(2)求正交变换,把化成标准形. (3)求方程=0的解.7、(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.8、(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数9、(本题满分9分)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,记求:(1)的方差. (2)与的协方差21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=a x y =Q ),,(321x x x f ),,(321x x x f 12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A ,AB 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρ)2(,,,21>n X X X n (0,1)N X .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y 1Cov(,).n Y Y2020年全国大学高等数学考试试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y . 【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)

2020年河南省髙考数学试卷(文科)(新课标I )一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合Λ = {%∣X 2-3X -4<0}, B={-4, 1, 3, 5},则AC ∖B=() A.{-4, 1}B.{l, 5}C.{3, 5}D.{l, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合4,再由交集运算得答案• 【解答】集⅛4={%∣%2-3X -4 <0} = (-l, 4), B={-4, 1,3,5}, 则AnB=(1, 3}, 2.若z=l +2i + iS 则IZl=()A.0B.lC.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即町. 【解答】z=l + 2i + i 3= l + 2i - i = l + i, .∙. IZI =√12÷ I 2= ∖[2.3•埃及胡夫金字塔是占代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面枳，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()【答案】A. √5-lD.√5+lB •导C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.【解答】设正四棱锥的高为/1，底面边长为6侧面三角形底边上的高为∕Λ则依题意有：h2 = ^ah h2 = h2-φ2'因此有护-φ2 = lαΛ,=> 4（》2 _ 2（》一1 =O » =字（负值舍去）;4・设O为正方形ABCD的中心，在O, A9 B、C9 D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【考点】占典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出.【解答】O, A f B, C, D中任取3点，共有屈=10种, 其中共线为4，O, C和B, O, D两种，故取到的3点共线的概率为P =5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度％（单位：9）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X it y i Xi = I t 220）得到下面的散点图：由此散点图，在10。

河南专升本高等数学试题（含答案）

高数试题练习一、函数、极限连续1．函数)(x f y 的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y 的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同4．函数42y x x 的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4)5．函数3()23sin f x x x 的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(x xx f 则)(x f 等于( )A ．12x xB ．xx212C ．121x xD ．xx2127．分段函数是()A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是()A ．xey B ．)ln(x yC ．xx y cos 3D ．xy ln 9．以下各对函数是相同函数的有()A ．xx g x x f )()(与B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2与C ．1)()(x g x x x f 与D ．2222)(2)(xxx xx g xx f 与10．下列函数中为奇函数的是()A ．)3cos(x y B ．xx y sin C ．2xxe eyD ．23xxy 11．设函数)(x f y的定义域是[0,1],则)1(x f 的定义域是( )A ．]1,2[B ．]0,1[ C ．[0,1]D ．[1,2]12．函数20200022)(2xxx x xx f 的定义域是( )A ．)2,2(B ．]0,2(C ．]2,2(D ．(0,2]13．若)1(,23321)(f xxx xx f 则( )A ．3B ．3C ．1D ．114．若)(x f 在),(内是偶函数,则)(x f 在),(内是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(x f 15．设)(x f 为定义在),(内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F 必是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．)(x F 16．设42,021,1211,1)(2xx x x x x f 则)2(f 等于( )A ．12B ．182C ．D ．无意义17．函数x x ysin 2的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y 对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有()A ．xx ycos B ．13xx y C ．2xxe eyD ．2xxe ey19.函数)(x f 与其反函数)(1x f的图形对称于直线( )A ．y B ．x C ．xy D ．xy 20. 曲线)1,0(log aax y a y a x与在同一直角坐标系中,它们的图形()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y 轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(lim 0x f x ，下列说法正确的是（）A ．若极限)(lim 0x f x存在，则此极限是唯一的B ．若极限)(lim 0x f x 存在，则此极限并不唯一C ．极限)(lim 0x f x 一定存在D ．以上三种情况都不正确22．若极限A )(lim 0x f x存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x不存在B ．右极限)(lim 0x f x不存在C ．左极限)(lim 0x f x和右极限)(lim 0x f x存在，但不相等D ．A)(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x xx23．极限ln 1limxex xe的值是()A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x x x＋０的值是()．A ．0B ． 1C ．D ．125．已知2sin lim2xx bax x，则（）A ．,2ba B ．1,1ba C ．1,2b a D ．,2b a 26．设b a，则数列极限limn nnnab是A ．aB ．bC ．1D ．ba 27．极限x x1321lim的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．xlim xx 21sin为()A ．2B ．21C ．1 D ．无穷大量29．nm nxmxx ,(sin sin lim 0为正整数）等于（）A ．n mB ．m n C ．nm nm )1(D ．mn mn )1(30．已知1tan lim23xx bax x，则（）A ．0,2b a B ．,1b aC ．,6b a D ．1,1b a 31．极限xxx x xcos cos lim()A ．等于 1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数10001sin )(xexx x x f x则)(lim 0x f x( )A ．1B ．0C ．1D ．不存在33．下列计算结果正确的是()A ．ex xx1)41(lim B ．41)41(lim ex xxC ．41)41(lim ex xxD ．4110)41(lim e x x x34．极限xx xtan 0)1(lim 等于()A ． 1B ．C ．0D ．2135．极限xxxx xsin 11sinlim 0的结果是A ．1B ．1C ．0D ．不存在36．1sinlim k kxx x为()A ．kB ．k1C ．1 D ．无穷大量37．极限xxsin lim 2=()A ．0B ．1C ．1D ．238．当x 时,函数xx)11(的极限是( )A ．eB ．eC ．1D ．139．设函数1cos 0001sin )(xx x x x x f ，则)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1D ．不存在40．已知a xax xx 则,516lim 21的值是()A ．7B ．7C ． 2D ．341．设20tan )(xxx xaxx f ,且)(lim 0x f x 存在,则a 的值是( )A ．1B ．1C ．2D ．242．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是43．当0x 时，)2sin(3x x与x 比较是()A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小44．当0x时，与x 等价的无穷小是（）A ．xxsin B ．)1ln(x C ．)11(2x x D ．)1(2x x45．当0x 时，)3tan(3x x 与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小46．设,1)(,)1(21)(x x g x x x f 则当1x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小47．当x时,11)(ax x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1aB ．aC ．a 为任一实常数D ．1a 48．当0x时，x 2tan 与2x比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小49．“当0x x，A x f )(为无穷小”是“A x f x x)(lim”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件50．下列变量中是无穷小量的有()A ．)1ln(1limx xB ．)1)(2()1)(1(lim1x xx x xC ．x x x1cos 1limD ．xx x1sincos lim51．设时则当0,232)(x x f xx()A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量52．当0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．xx 1sinB ．xe1C ．xln D ．xxsin 153．当0x时,与2sin x等价的无穷小量是( )A ．)1ln(x B ．xtan C ．xcos 12D ．1xe54．函数,1sin)(xx x f y当x时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0x时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx3B ．xx cos C ．x ln D ．xe56．当0x 时,函数xx ysec 1sin 是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量57．若0x x 时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则()A ．)()(limx g x f x xB ．)()(limx g x f x xC ．)1,0()()(limc c x g x f x xD ．)()(limx g x f x x不存在58．当0x时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( ) A ．x 3tan B ．112xC ．xx cot csc D ．xx x 1sin259．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0x f xx 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A0x f ，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x与极限)(lim 0x f x x都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61．下列函数中,在其定义域内连续的为()A ．xx x f sin ln )(B ．00sin )(x ex x x f xC ．10101)(xx x x x x f D ．01)(xx x x f 62．下列函数在其定义域内连续的有()A ．x x f 1)(B ．0cos 0sin )(x x x x x f C ．10001)(xx x x xx f D ．01)(xx x x f 63．设函数21ar c t an)(xx x x f 则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0x处不连续的有( )A ．0)(2xx e x f x B ．1sin )(21xx x x x f C ．0)(2x xx x x f D ．0)1ln()(2xxx x x f 65．设函数12111)(2xx x xx f , 则在点)(1x f x 处函数()A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导,但导数不连续D ．可导,且导数连续66．设分段函数101)(2xx x xx f ,则)(x f 在0x 点()A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在67．设函数)(x f y,当自变量x 由0x 变到y x x 相应函数的改变量时,0=()A ．)(0x x f B ．xx f )('0C ．)()(00x f x x f D ．xx f )(068．已知函数12000)(xxxx ex f x，则函数)(x f ( )A ．当0x 时,极限不存在B ．当0x 时,极限存在C ．在0x处连续D ．在0x 处可导69．函数)1ln(1x y的连续区间是( )A ．),2[]2,1[B ．),2()2,1(C ．),1(D ．),1[70．设nxnx x f x13lim)(,则它的连续区间是()A ．),(B ．处为正整数)(1n nx C ．)()0,(D ．处及n xx1071．设函数31011)(xx xx x f ，则函数在0x 处()A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数0xx x xy，则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2x arc xx f ，则1x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2xy e x zy的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(B ．是曲线yey 上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(D ．曲线2xy上的任意点75．设2)1(42xx y,则曲线( )A ．只有水平渐近线2y B ．只有垂直渐近线x C ．既有水平渐近线2y ,又有垂直渐近线0x D ．无水平,垂直渐近线76．当0x 时, xx y1sin()A ．有且仅有水平渐近线B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．xy x f x 00lim )('B ．xx f x x f x f x)()(lim)('000C ．00)()(lim)('0x xx f x f x f x xD ．hx f h x f x f h )()21(lim )('00078．若e cos xy x ，则'(0)y ( )A ．0B ．1C ．1D ．279．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f ()A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0x f ,则hx f h x f h)()21(lim00等于()A ．1B ．2C ．1D ．2181．设)(x f 在a x处可导,则xx af x a f x)()(lim=()A ．)('a f B ．)('2a f C ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2x 处可导，且2)2('f ，则hh f h f h)2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(xx x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6C ．1D ．384．设)(x f 在0x 处可导，且1)0('f ，则hh f h f h )()(lim 0（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0limhhx f f )()h - x (00( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关86．设)(x f 在1x处可导，且21)1()21(lim 0h f h f h ，则)1('f （）A ．21B ．21C ．41D ．4187．设)0('')(2f ex f x则( ) A ．1B ．1C ．2D ．288．导数)'(log x a 等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1C ．xxa log 1D ．x189．若),1()2(249102x xx xy则)29(y=()A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×1090．设',)(',)()(y x f ee f y x f x 则存在且=( )A ．)()()()('x f xx f xee f e e f B ．)(')(')(x f ee f x f xC ．)(')()(')()(x f ee f ee f x f x x f x xD ．)()('x f xee f 91．设)0('),100()2)(1()(f x xx x x f 则()A ．100B ．100!C ．！100D ．10092．若',y x yx则( )A ．1x xx B ．xx xln C ．不可导D ．)ln 1(x x x93．处的导数是在点22)(xx x f ( ) A ．1 B ．0C ．1D ．不存在94．设',)2(y x yx则()A ．)1()2(x x x B ．2ln )2(xx C ．)2ln 21()2(x x xD ．)2ln 1()2(x x x95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(b f a f 则( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,f 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,f 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的)(',f 使96．设,)()(x g x f y则dx dy ( )A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y B ．])(1)(1[2x g x f yC ．)()('21x g x f yD ．)()('2x g x f y 97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(yx f 在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(y x f 为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（）A ．211k k B ．121k k C ．121k k D ．21k k 100．设0x 为函数)(x f 在区间b a,上的一个极小值点，则对于区间ba,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x fB ．)()(0x f x f C ．)()(0x f x f D ．)()(0x f x f 101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x时, 0)('x f ；而0x x时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时,)('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0x f ,0)(''0x f ，若0)(''0x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点103．b x a时，恒有0)(x f ，则曲线)(x f y在ba,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹104．数()exf x x 的单调区间是() ．A ．在),(上单增B ．在),(上单减C ．在(,0)上单增，在(0,)上单减D ．在(,0)上单减，在(0,)上单增105．数43()2f x xx的极值为（）．A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f 106．xey 在点(0,1)处的切线方程为()A ．x y1B ．xy 1C ．xy 1D ．xy 1107．函数x xxxx f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23轴交点的坐标是()A ．)0,61(B ．)0,1(C ．)0,61(D ．)0,1(108．抛物线x y 在横坐标4x 的切线方程为()A ．44yx B ．44yxC ．184y x D ．184y x 109．线)0,1()1(2在x y 点处的切线方程是()A ．1x yB ．1x y C ．1x y D ．1x y 110．曲线)(x f y在点x 处的切线斜率为,21)('x x f 且过点(1,1),则该曲线的方程是( )A ．12x xy B ．12x x y C ．12x xy D ．12xxy111．线22)121(x ey x上的横坐标的点0x处的切线与法线方程()A ．063023y x y x 与B ．63023y x y x 与C ．063023yxy x与D ．063023yxy x与112．函数处在点则0)(,)(3xx f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0x 处的导数,0)0('f 则0x称为)(x f 的()A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点115．曲线)1ln()(2xx f 的拐点是()A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(B ．)2ln,1(与)2ln ,1(C ．)1,2(ln 与)1,2(ln D ．)2ln ,1(与)2ln ,1(116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的()A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点117．数)(x f y 在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上()A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有()A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程yx exy确定的隐函数)(x y y dxdy ( )A ．)1()1(x y y x B ．)1()1(y x x y C ．)1()1(y x x y D ．)1()1(x y y x 120．xyy xe y',1则()A ．yyxee 1B ．1yyxee C ．yy xee 11D ．yex)1(121．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f （）A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 122．设x x g e x f xcos )(,)(，则)]('[x g f A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 123．设)(),(x t t f y 都可微，则dyA ．dtt f )('B ．)('x dxC ．)('t f )('x dtD ．)('t f dx124．设,2sin xey则dy（）A ．xd e x2sin B ．xd ex2sinsin 2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 125．若函数)(x f y 有dy x xxx f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('是()A ．与x 等价的无穷小量B ．与x 同阶的无穷小量C ．比x 低阶的无穷小量D ．比x 高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx ,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d B ．221)1(xx d C ．2212)1(xx d D ．2212)1(xx d 127．下面等式正确的有( )A ．)(sin sin xxxx e d e dxe e B ．)(1x d dx xC ．)(222x d e dx xex x D ．)(cos sin cos cos x d exdx exx128．设)(sin x f y,则dy()A ．dx x f )(sin 'B ．xx f cos )(sin 'C ．xdxx f cos )(sin 'D ．xdxx f cos )(sin '129．设,2sin xey则dyA ．xd e x2sinB ．x d ex2sinsin2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．)('x f B ．)()(F'x f x C ．)(F'x D ．)(x f 131．若函数)(F x 和函数)(x 都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有()A ．I x x x ),(F )('B ．I x x x ),()(F C ．Ix x x ),()(F'D ．IxC x x ,)()(F 132．有理函数不定积分2d 1x x x等于（）．A ．2ln 12xx x CB ．2ln 12xx x CC ．2ln 12xx x CD ．2ln 122xx x C133．不定积分22d 1x x等于（）．A ．2arcsin x CB ．2arccosx C C ．2arctan x CD ．2cot arc x C134．不定积分2e e (1)d x xx x等于（）．A ．1e xC xB ．1e xC x C ．1exC xD ．1exCx135．函数xe xf 2)(的原函数是( )A ．4212xeB ．xe22C ．3312xeD ．xe231136．xdx 2sin 等于()A ．cx2sin 21B ．cx 2sin C ．cx2cos 2D ．cx 2cos 21137．若xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．xsin B ．xx sin C ．xcos D ．xx cos 138．设xe是)(x f 的一个原函数，则dxx xf )('（）A ．cx e x)1(B ．cx e x)1(C ．cx e x)1(D ．cx e x)1(139．设,)(xe xf 则dxx x f )(ln '()A ．cx1B ．cx1C ．cx ln D ．cx ln 140．设)(x f 是可导函数，则')(dxx f 为（）A ．)(x f B ．cx f )(C ．)('x f D ．cx f )('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．xxdx arctan 12B ．cxdxx 21C ．cx xdx cos sin D ．cx xdx 2sec tan142．在积分曲线族dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12x B ．1)(525x C ．x2D ．1)(255x 143．dx x31=()A ．cx 43B ．cx221C ．cx221D ．cx221144．设)(x f 有原函数x xln ,则dx x xf )(=()A ．cx x )ln 4121(2B ．cx x )ln 2141(2C ．cx x )ln 2141(2D ．cx x )ln 4121(2145．xdxxcos sin ()A ．c x 2cos 41B ．cx 2cos 41C ．cx2sin 21D ．cx2cos 21146．积分dxx]'11[2()A ．211xB ．cx211C ．xtan arg D ．cx arctan 147．下列等式计算正确的是()A ．cx xdx cos sin B ．cx dx x 43)4(C ．cxdxx 32D ．cdxxx22148．极限xx xxdxtdt00sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1149．极限xxxdxx tdt202sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1150．极限403sin limxdtt xx=( )A ．41B ．31C ．21D ．1151．2ln 01x t dte dxd （）A ．)1(2xe B ．exC ．ex2D ．12xe152．若xtdt dx dx f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(B ．x x f cos 1)(C ．cx x f sin )(D ．xx f sin 1)(153．函数xdt t t tx213在区间]10[，上的最小值为（）A ．21B ．31C ．41D ．0154．若xtxc dt te xf e x xg 02122213)(,)(，且23)(')('lim x g x f x则必有（）A ．0cB ．1cC ．1cD ．2c155．x dt t dxd 14)1(()A ．21xB ．41xC ．2121xxD ．xx121156．]sin [2dt t dxd x ( )A ．2cos xB ．2cos 2xx C ．2sin xD ．2cost157．设函数0sin )(2xa x x tdtx f x在0x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b xadt t f x F x a则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f axx x F xa)(lim x F ax=()A ．2a B ．)(2a f a C ．0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是()A ．cx tan B ．cxcot C ．cxcot D ．xsin 1161．函数)(x f 在[a,b]上连续, x adt t f x )()(,则()A ．)(x 是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x 的一个原函数C ．)(x 是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数D ．)(x f 是)(x 在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分dxe x( ) A ．0 B ．2C ．1D ．发散163．dxx 02cos 1( )A ．0B ．2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x( )A ．)(x F B ．)(x F C ．0D ．2)(x F 165．下列广义积分收敛的是（）A ．1xdx B ．1xx dx C ．dxx 1D ．132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．13xdx B ．1cosxdxC ．dxx 1ln D ．1dxe x167．apxp dx e)0(等于()A ．paeB ．paea1C ．paep1D ．)1(1paep168．ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．(发散)169．积分dx e kx收敛的条件为（）A ．kB ．0k C ．0k D ．k 170．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A ．dxe xB ．1x dxC ．dxe xD ．cos xdx171．广义积分edx xxln 为()A ．1B ．发散C ．21D ．2172．下列广义积分为收敛的是( )A ．edxxxln B ．exx dxlnC ．edxx x 2)(ln 1D ．edxx x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是()A ．0)1ln(dxx B ．42211dxx C ．11-21dxxD ．3-11dxx174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件175．定积分121sin 1x dx x等于（）．A ．0B ．1C ．2D ．1176．定积分122d ||xx x 等于（）．A ．0B ． 1C ．174D ．174177．定积分x x xd e )15(45等于（）．A ．0B ．5eC ．5-eD ．52e178．设)(x f 连续函数，则22)(dxx xf （）A ．4)(21dx x f B ．20)(21dxx f C ．40)(2dxx f D ．4)(dxx f 179．积分11sin 2xdxx e exx（）A ．0B ．1C ．2D ．3180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分Tl ldx x f I)(的值()A ．与l有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关181．设)(x f 连续函数，则2)(dxxx f （）A ．21)(21dxx f B ．210)(2dxx f C ．20)(dxx f D ．2)(2dxx f 182．设)(x f 为连续函数,则1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f B ．)0()1(21f f C ．)0()2(21f f D ．)0()1(f f 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分b adx x f )(的值必定()A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有()A ．cx f dx x f ba )()('B ．)()()('a f b f dxx f baC ．)]2()2([21)2('a f b f dxx f baD ．)2()2()2('a f b f dx x f ba185．以下定积分结果正确的是()A ．2111dx xB ．21112dx xC ．211dx D ．211xdx 186．adxx 0)'(arccos ()A ．211xB ．cx211C ．ca2arccos D ．arccos arccosa 187．下列等式成立的有( )A ．0sin 11xdx x B ．11dxe xC ．abxdx abtan tan ]'tan [D ．xdxxdxdxsin sin 0188．比较两个定积分的大小()A ．213212dx x dx x B ．213212dx x dx x C ．213212dxx dxx D ．213212dxx dxx 189．定积分22221sin dx xx x 等于()A ．1B ．-1C ．2D ．0190．11-x dx( )A ．2B ．2C ．1D ．1191．下列定积分中,其值为零的是()A ．22-sin xdx x B ．20cos xdx x C ．22-)(dx x e xD ．22-)sin (dxx x192．积分21dxx ()A ．0B ．21C ．23D ．25193．下列积分中,值最大的是()A ．12dx x B ．13dxx C ．14dxx D ．15dxx 194．曲线x y42与y 轴所围部分的面积为（）A ．2224dyy B ．224dyy C ．44dxx D ．444dxx 195．曲线xey 与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．e xxdxxe e1B ．10ln ln dyy y y C ．1dxex exD ．edyy y y 1ln ln 196．曲线2xyx y 与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31C ．1 D ．-1四、常微分方程197．函数y c x （其中c 为任意常数）是微分方程1x y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解198．函数23xy e是微分方程40y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解199．2()sin y y x y x 是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程200．下列函数中是方程0y y 的通解的是（）．A ．12sin cos y C x C xB ．xy Ce C ．yCD ．12xyC eC 专升本高等数学综合练习题参考答案1．B2．C3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x 且20x ，解得24x ，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x xx f x ，所以3()23sin f x xx 是奇函数．6．解：令t x 1，则tt tt t f 21212211)(，所以xx x f 212)(，故选 D 7．解：选D8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C11．解：110x ，所以01x ，故选 B 12．解：选C13．解：选 B14．解：选 B15．解：选 B16．解：)(x f 的定义域为)4,1[，选D17．解：根据奇函数的定义知选 C18．解：选 C19. 解：选 C20．解：因为函数)1,0(log a ax ya ya x与互为反函数，故它们的图形关于直线x y 轴对称，选 C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlimx exex x exe,故选B ．24．解：这是型未定式。

2020年全国大学高数考试试题解析

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程满足的解为____________. (3)设函数,单位向量,则=.________.(4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C)(D)(8)设函数连续,且则存在,使得 (A)在(0,内单调增加(B)在内单调减少(C)对任意的有 ( D)对任意的有122+=x x y x x y y x ln 2=+'91)1(-=y 181261),,(222z y x z y x u +++=}1,1,1{31=n )3,2,1(n u∂∂)0(024222>=++x y dx dy x dxy d x 210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则(D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于(A)(B) (C)(D) 0(11)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是(A) (B)(C)(D)(12)设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵分别为的伴随矩阵,则(A)交换的第1列与第2列得(B)交换的第1行与第2行得 (C)交换的第1列与第2列得 ((D)交换的第1行与第2行得 (13)设二维随机变量的概率分布为∑∞=1n nan n na ∞→lim ∑∞=1n naλλ=∞→n n na lim ∑∞=1n na∑∞=1n na0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n naλλ=∞→n n na lim ()f x ⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -21,λλA 12,αα1α12()+A αα01≠λ02≠λ01=λ02=λA (2)n n ≥A **.,B A B ,A B *A *B *A *B *A *-B *A *-B (,)X Y已知随机事件与相互独立,则(A) (B) (C)(D)(14)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则(A)(B)(C)(D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设,表示不超过的最大整数. 计算二重积分(16)(本题满分12分) 求幂级数的收敛区间与和函数.(17)(本题满分11分)如图,曲线的方程为,点是它的一个拐点,直线与分别是曲线在点与处的切线,其交点为.设函数具有三阶连续导数,计算定积分(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.}0{=X }1{=+Y X 0.2,0.3a b ==0.4,0.1a b ==0.3,0.2a b ==0.1,0.4a b ==)2(,,,21≥n X X X n (0,1)N X 2S )1,0(~N X n 22~()nS n χ)1(~)1(--n t SXn 2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ]1[22y x ++221y x ++⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n ()f x C ()y f x =(3,2)1l 2l C (0,0)(3,2)(2,4)()f x ⎰'''+32.)()(dx x f x x10nx nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵(为常数),且,求线性方程组的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量的概率密度为求:(1)的边缘概率密度. (2)的概率密度(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a A c b a c b a ,,),,,(12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B k =AB O 0x =A (,)X Y (,)f x y =1001,02x y x<<<<其它(,)X Y )(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z X ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ2020年全国大学高等数学考试试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31xC x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(n u ∂∂ =33. 【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221xc x c y +=. 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2020年河南省普通专升本高等数学真题及答案

2020年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．当0→x 时，x x 632-是x 的（）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶非等价无穷小D ．等价无穷小2．)(x f 是R 上的奇函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x f 21ln )(sin 在R 上是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断3．极限=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 411lim （）A ．4e B ．4-e C ．0D ．14．设12)1(+=+x x f ，则=--)5(1x f （）A ．92-x B ．112-x C ．32-xD ．22-x 5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=1,11,21,1)1(2sin )(2x x x x x x x f ，则=→)(lim 1x f x （）A ．0B ．1C ．2D ．不存在6．函数xx y -++=31)1ln(的定义域为（）A ．[]3,1-B ．)3,1(-C ．)3,1[-D ．]3,1(-7．极限=--→xe x xx ln lim 11（）A ．0B ．1C ．2D ．38．设极限6)()()(lim 3=--→a x a f x f ax ，在a x =处（）A ．)(lim x f ax →存在，0)(≠'a f B ．不可导C ．)(x f 有极大值D ．无极值9．极限=+--∞→844lim2x x x x （）A ．1-B ．0C ．1D ．∞10．设21)2(='f ，则极限=+-+→)1ln()2()22(lim0h f h f h （）A ．21B ．1C ．21-D ．1-11．下列式子成立的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x ad adx 2B ．22221dx e dx xe x x=C ．x d dx x =D ．⎪⎭⎫⎝⎛=x d xdx 1ln 12．设函数)(x f 满足1)(=-xdex df ，则='')(x f （）A ．x xe --B ．x e --C ．xxe D ．x e -13．x x y 33⋅=在0x 处取得极小值，则=0x （）A ．3ln 1-B ．3ln -C ．3ln 1D ．3ln 14．设函数x x y ln =在0M 的切线平行于12+=x y ，则0M 的坐标为（）A ．)0,1(B ．)0,(e C ．)1,(e D ．),(e e15．函数)(x y y =是由方程1332=+-x xy y 所确定的隐函数，则='y （）A ．xy y x 32332--B ．xy x y 32332--C ．yx x y 33322--D ．yx x y 33322--16．函数xx x x f sin )1()(2-=有________个间断点．（）A ．0B ．1C ．2D ．无数17．若不定积分C xdx x f +=⎰1)(，则=')(x f （）A ．x ln B ．x 1C ．21x -D ．32x 18．⎰=-dx x )21sin(（）A ．C x +-)21cos(B ．C x +--)21cos(C ．Cx +-)21cos(21D ．C x +--)21cos(2119．已知dt e x f xt ⎰+=2)1()(连续，则当2≥n 时，=)(x f n （）A ．xe 2B ．x n e 22C ．xn e 212-D ．xn e 212+20．曲线x y 2=，x y =以及1=x 围成的平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积为（）A ．π517B ．πC ．π1D ．π17521．下列广义积分收敛的是（）A ．dx x x ⎰+∞+021B ．dxx ⎰+∞1sin C ．dx xe⎰+∞1D ．dx x ⎰+∞-424122．两平面013=++-z y x 和022=++y x 的位置关系是（）A ．垂直B ．斜交C ．平行不重合D ．重合23．曲面方程022=++z y x 表示的是（）A ．椭圆面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．柱面24．已知)sin(2xy z =，则=∂∂22xz（）A ．)cos(24xy yB ．)cos(24xy y -C ．)sin(24xy y D ．)sin(24xy y -25．已知x ye z -=在点)1,0(-沿方向l 上取得最大方向导数，则l 可取（）A ．j i --B ．j i +C ．ji +-D ．ji -26．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=-=tet y t t x sin cos 所确定，则==0t dx dy（）A ．0B ．1C ．1-D ．2-27．下列级数收敛的是（）A ．∑∞=11n ne B ．nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123C ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n D ．∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n n 28．L 是正向圆周622=+y x ，则=++-⎰dy x x dx y y xL)4()23(32（）A ．π6B ．π6-C ．π36D ．π36-29．级数∑∞=0!n nn kx 在0>k 时的收敛区间为（）A ．)1,1(-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 1,1C ．),(k k -D ．),(+∞-∞30．用待定系数法求x e y y y x sin 862=+'-''时，*y 应设为（）A ．xCe 2B ．)cos sin (212x C x C e x +C ．)cos sin (212x C x C xe x +D ．)cos sin (2122x C x C e x x +二、填空题(每小题2分，共20分)31．已知x x f arctan )1(=+，[]2)(-=x x g f ，则=+)2(x g ________．32．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,cos 50,)(2sin )(2x x e x x x a xx f x 在0=x 处连续，则=a ________．33．dt t x f x ⎰+=2)3ln()(的单调递增区间为________．34．已知)(lim 2x f x →极限存在且)(lim 3)(23x f x x x f x →+=，则=')(x f ________．35．定积分22-=⎰________．36．⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=xdx x f cos )(sin ________．37．设平面区域{}10,0),(≤≤≤≤=x x y y x D ，则⎰⎰=Dxdxdy ________．38．2ln()z x y =+的全微分dz =________．39．已知0>x ，则∑∞=-0)!2()1(n nn n x 的和函数=)(x S ________．40．微分方程0=+'+''y y y 的通解为________．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求极限23)1(1321211lim -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯n n n n ．42．求函数x x y ln =的导数．43．求不定积分⎰+dx x x )12(1．44．求函数5683)(234++-=x x x x f 的凹凸区间和拐点．45．已知)1ln(1111sin)(x e x x x f x +--+=，求)(x f 的渐近线(不考虑斜渐近线)．46．计算定积分dx x ⎰+4023cos 1π．47．已知{}0,4,4=a ，{}8,2,3=b ，{}6,0,1=c ，求c b a ⋅⨯)(．48．已知函数),(y x z z =由123232=+++z xyz y x 确定，求x z ∂∂，yz∂∂（其中026≠+xyz ）．49．计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 为122=+y x 与坐标轴围成的的第一象限部分．50．求函数25241)(2-+=x x x F 关于x 的展开式．四、应用题(每小题7分，共14分)51．某文物于1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时C 14（放射性同位素碳-14）标本存量为初始量0R 的7761.0倍．已知C 14的衰变速度与它的现存量成正比，且它的半衰变期（由初始量0R 衰变至2R 所需要的时间）为5730年．（1）试求C 14的现存量与时间t （年）的函数关系（其中涉及的对数不必写出具体数值）．（2）计算该文物至1972年8月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期（公元前202年~公元前8年）的作品，并说明理由（计算结果取整数：6931.02ln ≈，2535.07761.0ln -≈）．52．21x y -=与x 轴交A 、B 两点，在它们所围成的平面区域内，以AB 为下底作内接等腰梯形ABCD ，问C 坐标为多少时，梯形ABCD 面积最大？五、证明题(6分)53．函数()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=f ，af +=11)1(，证明：在)1,0(内存在两个不同的实数1ξ，2ξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．2020年河南省高等数学试题解析一、单项选择题1．【答案】C 【解析】由于06)63(lim 63lim020≠-=-=-→→x xxx x x ，故x x 632-是x 的同阶非等价无穷小，故应选C ．2．【答案】A【解析】令)(sin )(x f x g =，则[])()(sin )(sin )(sin )(x g x f x f x f x g -=-=-=-=-，故)(sin )(x f x g =是奇函数，又由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 21ln 是奇函数，根据四则运算，奇函数+奇函数=奇函数，故应选A ．3．【答案】B 【解析】由于4)4(411lim 11lim --⋅-∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-e x x x x xx ，故应选B ．4．【答案】D 【解析】由于1)1(212)1(-+=+=+x x x f ，故12)(-=x x f ，又由于21)(1+=-x x f ，故22215)5(1-=+-=--xx x f ，故应选D ．5．【答案】D 【解析】由于0)1(lim )(lim 211=-=++→→x x f x x ，21)1(2sin lim )(lim 11=--=--→→x x x f x x ，则)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠，极限不存在，故应选D ．6．【答案】B 【解析】由题意得⎩⎨⎧>->+0301x x ，即⎩⎨⎧<->31x x ，则函数的定义域为)3,1(-，故应选B ．7．【答案】C 【解析】由于2)1(lim 11lim ln lim111111=+=+=--→-→-→x x x x xx e x xe xe x ，故应选C ．8．【答案】D 【解析】由于66)(lim )(6)(lim )(3)(lim )()()(lim 23='''=-''=-'=--→→→→x f a x x f a x x f a x a f x f a x a x a x ax ，可知)()(a f x f =，0)(='a f ，0)(=''a f ，36)(='''a f ，故应选D ．9．【答案】B 【解析】由于0lim 844lim22==+--∞→∞→x xx x x x x ，故应选B ．【解析】由于=⋅-+=-+=+-+→→→22)2()22(lim )2()22(lim )1ln()2()22(lim000hf h f h f h f h f h f h h h 1)2(2='f ，故应选B ．11．【答案】B 【解析】由于dx xe dx x e dx e x x x 222)(212122='⋅=，故应选B ．12．【答案】D 【解析】由题意得，1)()(=-'=--dxe dxx f de x df xx ，则x e x f --=')(，故x e x f -='')(，故应选D ．13．【答案】A 【解析】由于)3ln 1(333ln 3333x x y x x x ⋅+⋅=⋅+⋅='，令0='y ，则3ln 10-=x ，故应选A ．14．【答案】D 【解析】由题意可知，令21ln 00=+='=x y x x ，则e x =0，0M 的坐标),(e e ，故应选D ．15．【答案】B 【解析】令13),(32-+-=x xy y y x F ，则233x y F x +-=，x y F y 32-=，故xy x y x y x y F F dx dy y y x 3233323322--=-+--=-=='，故应选B ．16．【答案】D 【解析】由题可知，当)(Z k k x ∈=π时，0sin =x ，所以)(Z k k x ∈=π均为)(x f 的间断点，故间断点有无数个，故应选D ．17．【答案】D 【解析】由于C x dx x f +=⎰1)(，两边求导得21)(x x f -=，则32)(xx f ='，故应选D ．18．【答案】C 【解析】由于C x x d x dx x +-=---=-⎰⎰)21cos(21)21()21sin(21)21sin(，故应选C ．【解析】由于1)1()(202+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='⎰x xte dt e xf ，x x e e x f 222)1()(='+=''，x x e e x f 2222)2()(='='''，，xn n e x f 212)(-=，故应选C ．20．【答案】B 【解析】绕x 轴旋转的旋转体体积[]ππππ=⋅==-=⎰⎰131210223)2(xdx x dx x x V x ，故应选B ．21．【答案】D 【解析】对于A ：∞=+=++=+∞++∞+∞⎰⎰0220202)1ln(21)1(11211x x d x dx x x ，发散；对于B ：∞-=-=+∞+∞⎰cos 1cos cos sin 11x dx x ，不存在，发散；对于C ：∞==∞++∞⎰ee xdx x21，发散；对于D ：∞++∞+∞+∞+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=+--=-⎰⎰⎰4444222ln41212141)2)(2(141x x dx x x dx x x dx x31ln 41=，收敛，故应选D ．22．【答案】B 【解析】两平面的法线向量{}3,1,11-=n 和{}0,1,22=n ，由于0121≠=⋅n n ，且两个向量不对应成比例，则两平面斜交，故应选B ．23．【答案】C 【解析】由二次曲面的特点可知其为旋转抛物面，故应选C ．24．【答案】D 【解析】由于)cos(22xy y x z =∂∂，)sin(2422xy y xz -=∂∂，故应选D ．25．【答案】B 【解析】当给定的方向l 与梯度方向一致时，方向导数可以取得最大值．由于梯度{}{}{}j i +==-==-----1,1,,)1,0()1,0()1,0(x x yx e ye z z grad ，故应选B ．26．【答案】D 【解析】由于1sin --=t dt dx ，t e t dt dy +=cos ，故21sin cos 0-=--+===t t t t e t dxdy，故应选D ．27．【答案】C 【解析】由于∑∞=131n n 是公比为31的等比数列，收敛，则∑∞=132n n ，收敛；且∑∞=131n n 为3=p 的-p 级数，收敛，所以级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n 收敛，故应选C ．28．【答案】C 【解析】由于π3666)4()23(32===⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=++-⎰⎰⎰⎰⎰DDDLSdxdy dxdy y P x Q dy x x dx y y x ，故应选C ．29．【答案】D 【解析】由于0!)!1(lim lim1=⋅+==∞→+∞→k n n k a a n nn n ρ，则收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞，故应选D ．30．【答案】B 【解析】对应的齐次方程为086=+'-''y y y ，其对应的特征方程为0862=+-r r ，特征根21=r ，42=r ，由于x e x sin 2对应的复根为i ±2，故)cos sin ()cos sin (2122120x C x C e x C x C e x y x x +=+=*，故应选B ．二、填空题31．【答案】x tan 1+【解析】由于x x f arctan )1(=+，则)1arctan()(-=x x f ，故[]2]1)(arctan[)(-=-=x x g x g f ，解得)2tan(1)(-+=x x g ，故x x g tan 1)2(+=+．32．【答案】31【解析】由于)(x f 在0=x 处连续，所以)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==-+→→．又a x ax x x x a x x f x x x 2)1(2lim )(2sin lim )(lim 020=+=+=+++→→→，)0(6)cos 5(lim )(lim 00f x e x f xx x ==+=--→→，故31=a ．33．【答案】),0(+∞【解析】由于)3ln(2)(2+='x x x f ，令0)(>'x f ，则0>x ，故单调递增区间为),0(+∞．34．【答案】52432-x 【解析】令A x f x =→)(lim 2，则A x x x f ⋅+=3)(3，两边同时取极限)3(lim )(lim 322A x x x f x x ⋅+=→→，即A A 68+=，故58-=A ，x x x f 524)(3-=，所以5243)(2-='x x f ．35．【答案】0【解析】由于24x x -是奇函数，根据偶倍奇零，故220-=⎰．36．【答案】C x F +)(sin 【解析】⎰⎰+==C x F x d x f xdx x f )(sin sin )(sin cos )(sin ．37．【答案】31【解析】3112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x xdy dx xdxdy xD．38．【答案】()212xdx dy x y++【解析】由于y x x x z +=∂∂22，yx y z +=∂∂21，故2221z z x dz dx dy dx dy x y x y x y ∂∂=+=+=∂∂++()212xdx dy x y++．39．【答案】xcos 【解析】∑∞=-=02)!2()1(cos n n n n x x ，由于)0()!2()()1()!2()1()(020>-=-=∑∑∞=∞=x n x n x x S n nn n n n ，故x x S cos )(=．40．【答案】)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）【解析】其对应的特征方程为012=++r r ，其特征根为i r 23212,1±-=，故通解为)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）．三、计算题41．【答案】3-e 【解析】=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯-∞→-∞→232311141313121211lim )1(1321211lim n n n n n n n n 3123lim )23(11)1(23111lim 111lim -+---⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-∞→-∞→==⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→∞e e n n n n n n n n n n n ．42．【答案】1ln ln 2-⋅='x x x y 【解析】两边同时取对数x x x y 2ln ln ln ln =⋅=，两边同时求导可得xx y y 1ln 21⋅='⋅，故导数1ln ln ln 2ln 2-⋅=⋅='x xx x xxxy ．43．【答案】C x x++12ln 【解析】=++-=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎰⎰⎰⎰C x x x d x dx x dx x x dx x x 12ln ln )12(12111221)12(1C x x++12ln．44．【答案】凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)【解析】函数5683)(234++-=x x x x f 的定义域为(,)-∞+∞，由于x x x x f 122412)(23+-='，)1)(13(12124836)(2--=+-=''x x x x x f ，令()0f x ''=得，311=x ，12=x ．把定义域分为三个区间，列表如下：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭311,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1),1(+∞)(x f ''+0-0+)(x f 凹27146凸6凹故函数的凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)．45．【答案】)(x f 仅有水平渐近线1=y 【解析】水平渐近线，+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+∞→+∞→+∞→x x x e x x x f x x x x 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 1001lim )1ln(1lim 11lim=-+⋅=+--+∞→+∞→+∞→x x x e x x x x ，故水平渐近线为1=y ．垂直渐近线，令0=x ，01=-x e ，0)ln(1=+x ，01=+x ，则0=x ，1-=x ，由于+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=→→→→0)1ln(111lim 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 0000x e x x x e x x x f x x x x x x ∞≠-=-+-=-+=+-+=-⋅+--+→→→→12)1(1lim 211lim 1)1ln(lim )1()1ln()1()1ln(lim 200200x x x x x x x x x e x x e x x e x e x e x ，故0=x 不是垂直渐近线．又由于∞≠--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=--→-→++011)1sin()1ln(1111sin lim )(lim 111e x e x x x f x x x ，故1-=x 也不是垂直渐近线．所以)(x f 仅有水平渐近线1=y ．46．【答案】23arctan 63【解析】=+=++=+=+⎰⎰⎰⎰40240224022402tan tan 3411)1(tan 3sec 1sec 3sec 3cos 1ππππx d x dx x x dx x x dx x 23arctan 63tan 23arctan 63tan 23tan 2311324140402=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰ππx x d x．47．【答案】8【解析】由于{}4,32,3243232823044--=--==⨯k j i kj ib a ，故864132)(=⋅-⋅=⋅⨯c b a ．48．【答案】26322++-=∂∂xyz yz x x z ，263322++-=∂∂xyz xz y yz 【解析】令123),,(232-+++=z xyz y x z y x F ，则232yz x F x +=，2233xz y F y +=，26+=xyz F z ，由于026≠+xyz ，故26322++-=-=∂∂xyz yz x F F x z z x ，263322++-=-=∂∂xyz xz y F F y z zy ．49．【答案】31【解析】令⎩⎨⎧==θθcos sin r y r x ，则31cos 31sin 31sin 20201031020=-=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰πππθθθθθd r rdr r d ydxdy D．50．【答案】n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+=-+=25111261)1)(25(125241)(2x x x x x x x F ，由于∑∞=-=--=-01111n n x x x ，)1,1(-∈xn n n n nn n x x x ∑∑∞=+∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅=+010251)1(25)1(2512511251251，)25,25(-∈x 故n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x ．四、应用题51．【答案】（1）t eR R 57302ln 0-=；（2）可认为该文物为西汉时代的作品【解析】（1）设现存量为R ，由于C 14的衰变速度与它的现存量成正比，则衰变速度为kR dtdR-=，0>k 为比例恒量．对kR dtdR-=分离变量并积分可得⎰⎰-=kdt dR R 1，所以1ln C kt R +-=，故kt Ce R -=，由题可知⎪⎩⎪⎨⎧==-k Ce R Ce R 57300002，解得0R C =，57302ln =k ，因此t e R R 57302ln 0-=．（2）由于该文物至1972年8月C 14的现存量为初始量0R 的7761.0倍，则有t eR R 57302ln 007761.0-=，解得209657302ln 7761.0ln ≈-=t ，因此该文物至1972年8月大约经历了2096年，大约出现在公元前124年，故可认为该文物为西汉时代的作品．52．【答案】C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，面积最大【解析】由题意可知，)0,1(A ，)0,1(-B ，设C 坐标为)1,(2x x -，则D 坐标为)1,(2x x --，则等腰梯形的面积)1()1()1()22(21)(22x x x x x S -⋅+=-⋅+=)11(<<-x ．令0)31)(1(2)1()1()(2=-+=-⋅++-='x x x x x x S ，则10-=x （舍去），311=x ．又由于04)31(<-=''S ，故在31=x 处取得极大值，由实际问题可知，在31=x 处可取得最大值，故C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，梯形ABCD 面积最大．五、证明题53．【证明】令111)()(++-=a x a x f x F ，将区间]1,0[分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21．由于)(x F 在⎦⎤⎢⎣⎡21,0上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃21,01ξ，使得⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎭⎫⎝⎛='212021)0(21)(1F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛=-'212)(11F f a ξξ；同理，)(x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,212ξ，使得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='212210221121)1()(2F F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'212)(22F f a ξξ；两式相加，可得0)()(2211=-'+-'aaf f ξξξξ，即aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'，故在)1,0(内存在两个不同的实数21,ξξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）（有详细解析）

2020年全国统⼀⾼考数学试卷（理科）（新课标I）（有详细解析）2020年全国统⼀⾼考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.若z=1+i，则?2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={?40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|?2x1}，则a=()A. ?4B. ?2C. 2D. 43.埃及胡夫⾦字塔是古代世界建筑奇迹之⼀，它的形状可视为⼀个正四棱锥.以该四棱锥的⾼为边长的正⽅形⾯积等于该四棱锥⼀个侧⾯三⾓形的⾯积，则其侧⾯三⾓形底边上的⾼与底⾯正⽅形的边长的⽐值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上⼀点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校⼀个课外学习⼩组为研究某作物种⼦的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进⾏种⼦发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下⾯的散点图：由此散点图，在10℃⾄40℃之间，下⾯四个回归⽅程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归⽅程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=?的图像在点(1,f(1))处的切线⽅程为()A. y=?2x?1B. y=?2x+1C. y=2x?3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[?，]的图像⼤致如下图，则f(x)的最⼩正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α?8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球⾯上的三个点，为ABC的外接圆，若的⾯积为4，AB=BC=AC=，则球O的表⾯积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+?2x?2y?2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最⼩时，直线AB的⽅程为()A. 2x?y?1=0B. 2x+y?1=0C. 2x?y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件则z=x+7y的最⼤值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:?=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离⼼率为__________．16.如图，在三棱锥P?ABC的平⾯展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共80.0分）17.设{}是公⽐不为1的等⽐数列，为，的等差中项．(1)求{}的公⽐;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底⾯的圆⼼，AE为底⾯直径，AE=AD．ABC 是底⾯的内接正三⾓形，P为DO上⼀点，PO=DO．(1)证明：PA平⾯PBC;(2)求⼆⾯⾓B?PC?E的余弦值．19.甲、⼄、丙三位同学进⾏⽻⽑球⽐赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;⽐赛前抽签决定⾸次⽐赛的两个⼈，另⼀⼈轮空;每场⽐赛的胜者与轮空者进⾏下⼀场⽐赛，负者下⼀场轮空，直⾄有⼀⼈淘汰;当⼀⼈被淘汰后，剩余的两⼈继续⽐赛，直⾄其中⼀⼈被淘汰，另⼀⼈最终获胜，⽐赛结束．经抽签，甲、⼄⾸先⽐赛，丙轮空.设每场⽐赛双⽅获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进⾏第五场⽐赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另⼀交点为C，PB与E的另⼀交点为D，(1)求E的⽅程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+?x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4?4:坐标系与参数⽅程]在直⾓坐标系xOy中，曲线的参数⽅程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线的极坐标⽅程为4?16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直⾓坐标．23.[选修4?4:坐标系与参数⽅程]已知函数f(x)=|3x+1|?2|x?1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2?2z |=|2i ?(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|?2?x ?2}，B ={x|x ??a2}，⼜因为A ∩B ={x|?2?x ?1}，所以?a2=1，从⽽a =?2,3. C解：如图，设正四棱锥的⾼为h ，底⾯边长为a,侧⾯三⾓形底边上的⾼为?′，则由题意可得{ 2=12a?′?2=(?′)2(a2)2,故(?′)2?(a2)2=12a?′，化简可得4(?′a )2?2(?′a )?1=0,解得?′a=1±√54．负值舍去可得?′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：⽤光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的⾛向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选⽤的函数模型为y=a+bln?x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3?6x2，则由函数的⼏何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=?2．⼜因为f(1)=?1，则切线⽅程为y?(?1)=?2(x?1)，则y=?2x+1．7.C解：由图可知f(?4π9)=cos(?4π9w+π6)=0，所以?4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=?3+9k4(k∈Z)，⼜因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=?1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最⼩正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5?r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5?r y r，y2xC5r x5?r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α?8cosα=5，∴3(2cos2α?1)?8cosα=5，即3cos2α?4cosα?4=0，(3cosα+2)(cosα?2)=0，α∈(0,π)，即cosα=?23，⼜α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1?cos2α=√53，10.A解：由圆O1的⾯积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三⾓形ABC是正三⾓形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60°由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表⾯积为4πR2=64π，11.D解：圆M⽅程化为：(x?1)2+(y?1)2=4，圆⼼M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|?|AB|=4S△PAM=2|PA|?|AM|，要使其值最⼩，只需|PA|最⼩，即|PM|最⼩，此时，=√5，|PA|=√|PM|2?|AM|2=1，∴|PM|=√5(x?1)，联⽴l的⽅程解得P(?1,0)，过点M且垂直于l的⽅程为y?1=12以P为圆⼼，|PA|为半径的圆的⽅程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的⽅程两式相减可得直线AB的⽅程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可⾏域为：由z=x+7y得y=?17x+17z，平移直线y=?17x，要使z最⼤，则y=?17x+17z在y轴上的截距最⼤，由图可知经过点A(1,0)时截距最⼤，此时z=1，14.√3解：|a?+b? |2=a?2+b? 2+2a??b? =2+2a??b? =1，a??b? =?12，|a??b? |2=a?2+b? 2?2a??b? =2?2a??b? =3，∴|a??b? |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右⽀上，且在x轴上⽅，∵BF垂直于x轴，把x=c代⼊x2a2?y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，⼜A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2ac?a=3，化简得b2=3ac?3a2=c2?a2，即2a2?3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.?14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于⼀点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC2=AC2+AB2，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等⽐数列{a n}的公⽐为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q?2=0，解得q=?2．(2)若a1=1，则a n=(?2)n?1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(?2)+3×(?2)2+?+n(?2)n?1，则?2T n=?2+2×(?2)2+3×(?2)3+?+n(?2)n，两式相减得3T n=1+(?2)+(?2)2+(?2)3+(?2)n?1?n(?2)n=1?(?2)n1?(?2)?n(?2)n=1?(3n+1)(?2)n3，所以T n=1?(3n+1)(?2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2?OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC?平⾯PBC，∴PA ⊥平⾯PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底⾯内垂直于OE 的直线为x 轴，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系O ?xyz ，则有B (√32,12,0),C (?√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC =(?√3,0,0),CE =(√32,12,0),CP =(√32,?12,√22)，设平⾯PBC 的法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ????? ?n ? =0CP ????? ?n ? =0，解得n 1 =(0,√2,1)，同理可得平⾯PCE 的法向量n 2 =(√2,?√6,?2√3)，由图形可知⼆⾯⾓B ?PC ?E 为锐⾓，则cosθ=|n 1????? ?n 2|n 1 |?|n 2 ||=2√55，故⼆⾯⾓B ?PC ?E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉⼀场⽐赛为事件A ，⼄输掉⼀场⽐赛为事件B ，丙输掉⼀场⽐赛为事件C ，四场⽐赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进⾏第五场⽐赛的概率为P =1?P(N)=1?14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA)+P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (?a,0),B (a,0),G (0,1),AG =(a,1),GB =(a,?1), AG ?GB =a 2?1=8?a 2=9?a =3，∴椭圆E 的⽅程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (?3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的⽅程为y =m 9(x +3)，联⽴{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 281=0,由韦达定理?3x C =9m 2?819+m 2?x C = 3m 2+279+m 2，代⼊直线PA 的⽅程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (?3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的⽅程为y=m3(x?3)，联⽴{y=m3(x?3)x29+y2=1(1+m2)x26m2x+9m29=0,由韦达定理3x D=9m2?91+m2?x D=3m2?31+m2，代⼊直线PA的⽅程y=m3(x?3)得，y D=?2m1+m2，即D(3m2?31+m2,?2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m22m1+m23m2+279+m23m2?31+m2=4m3(3?m2)，∴直线CD的⽅程为y??2m1+m2=4m3(3?m2)(x?3m2?31+m2)，整理得y=4m3(3?m2)(x?32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2?x，f′(x)=e x+2x?1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x?1在R上单调递增，⼜f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2?x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2?x在(?∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2?x在(?∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1?e xx2，令?(x)=12x3+x+1?e xx2，?′(x)=(2?x)(e x?12x2?x?1)x3记m(x)=e x?12x2?x?1，m′(x)=e x?x?1令q(x)=e x?x?1，因为x>0，所以q′(x)=e x?1>0，所以m′(x)=q(x)=e x?x?1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x?x?1> m′(0)=0所以m(x)=e x?12x2?x?1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x?12x2?x?1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，?′(x)>0，?(x)=12x3+x+1?e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，?′(x)<0，?(x)=12x3+x+1?e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[?(x)]max=?(2)=7?e24，所以a≥7?e24，综上可知，实数a的取值范围是[7?e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数⽅程为{x=costy=sint，化为直⾓坐标⽅程为x2+y2=1，表⽰以原点为圆⼼，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数⽅程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直⾓坐标⽅程为√x+√y=1，曲线C2化为直⾓坐标⽅程为4x?16y+3=0，联⽴{√x+√y=14x?16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直⾓坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|?2|x?1|=，图像如图所⽰：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移⼀个单位所得，如图，联⽴y=?x?3和y=5x+4解得交点横坐标为x=?，原不等式的解集为．。

【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案

第 1 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 2 页（共10 页）第 3 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 4 页（共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。

2020年大学高等数学考试试题及解析

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,则div(gradr))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则[ ](A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B [ ] (A) 合同且相似.(B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似.(D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于[ ](A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2020年全国大学高等数学考试试题与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xO211 x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[ A ]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由 1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想. (4)【分析】由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++. 四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ , [1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a kx k kxdx W x ===⎰，).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2）由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2）因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tt trdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{m in(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =nx F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n(3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ=θθ≠+n21，所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

2020年全国大学高等数学考试试题及答案

【解析】
．
因为在可导，且为极值,所以，则
．
(3)(本题满分10分)
【解析】显然为方程一个实根．
当时，令
．
令，
，
即．
又因为，
即当时，；当时，．
当时，；当时，．
所以当时，单调递减，当时，单调递增
又由，
，
所以当时，由零点定理可知在，内各有一个零点；
当时，则在，内均无零点．
(5)若二次曲面的方程，经过正交变换化为，则．
(6)设二维随机变量服从正态分布，则 =．
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(1)(本题满分10分)
求极限．
(2)(本题满分9分)
设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求．
综上所述，当时，原方程有三个根．当时，原方程有一个根．
（4）（本题满分10分）
设奇函数上具有2阶导数，且证明：
（III）存在
（IV）存在，使得
【解析】（1）令
则使得
（2）令则
又由于为奇函数，故为偶函数，可知 ,
则使
即，即
（5）（本题满分10分）
设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，
又，从而。
（7）设是随机变量，且 ,
则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（A）
【解析】由知，
，
，故 .
由根据及概率密度的对称性知，，故选（A）
（8）设随机变量给定常数c满足 ,则（）

2020年河南专升本高等数学真题加答案

河南省2020年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项:答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上,答在试卷上无效。

一、选择题（每小題2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1、当20 , 36x x x x →-时是的A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小,但不是无穷小 D.低阶无穷小2、设() (,)f x -∞+∞为内的奇函数，则函数)sin ()ln(,)f x x +--∞+∞在内是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性3、极限41lim 1xx x →∞⎛⎫-=⎪⎝⎭A.4e- B.4eC.eD.14、已知函数(1)21f x x +=+，则1(5)fx --=A.29x - B.211x - C.32x - D.22x -5、设函数2sin 2(1),11()2,11,1x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩，则1lim ()x f x →为A.0B.1C.2D.不存在6、设函数()sin xf x x=，则0 ()x f x =是的A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点7、设函数0() f x x 在点连续，则下列说法正确的是A.0lim ()x x f x →可能不存在B.0lim ()x x f x →必定存在，但不一定等于()0f x C.当0x x →时，()0()f x f x -必为无穷小 D.()00 f x x 在点必定可导8、设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，若3()()lim6()x af x f a x a →-=-，则在x a =处 A.()f x 导数存在且()0f a '≠ B.()f x 导数不存在C.()f x 取得极小值 D.()f x 不取极值9、24lim48x x x x →∞-=-+A.1- B.0 C.12D.210、设()f x '在点0x 的邻域内存在，且()0f x 为极大值，则()()0002limh f x h f x h→+-=A.0B.12-C.12D.211、设cos ( ),cos sin x t t y t t t=⎧⎨=-⎩为参数则224t d ydxπ==A. B.C.2D.2-12、极限3sin limx x xx →-=A.16-B.6- C.16D.613、设函数33xy x =⋅在点0x 处取得极小值，则0x =A.1ln 3-B.ln 3- C.1ln 3D.ln 314、过曲线ln y x x =上0M 点的切线平行于直线21y x =+，则切点0M 的坐标是A.(1,0)B.(,0)e C.(,1)e D.(,)e e 15、设()yf x =由方程2331y xy x -+=确定，则y '=233A.23x y y x --233 B.23y x y x--223C.33y x x y--232D.33x y x y--16、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其二阶导数()f x ''的图形如图1所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个17、设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)f f =，则在(0,1)内曲线()y f x =的所有切线中A.至少有一条平等于x 轴B.到少有一条平行于y 轴C.没有一条平行于x 轴D.可能有一条平行于y 轴18、sin(12)x dx -=⎰A.cos(12)x C -+B.cos(12)x C --+1C.cos(12)2x C -+1D.cos(12)2x C--+19、设20()1x x f t dt e =-⎰，其中()f x 为连续函数，则()()n f x =2A.2x e 12B.2n x e -2C.21n x e 12D.2n xe +20、曲线,2 1y x y x x ===与所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成旋转体的体积V =7A.15π B. π1C.π15D.7π21、下列广义积分收敛的是2A.1x dx x+∞+⎰B.e+∞⎰1C.sin xdx +∞⎰241D.4dx x+∞-⎰22、平面12:2310 :220x y z x y ππ-++=++=与的位置关系为A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合23、方程220x y z +-=表示的二次曲面是A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面24、设函数()2sin z xy =，则22zx ∂=∂()42A.cos y xy()42B.cos y xy-()42C.sin y xy()42D. sin y xy-25、设函数xz ye -=在点(0,1)-处沿方向l 的方向导数最大，则l =A.i j--B.i j+ C.i j -+ D.i j- 26、二次积分110(,)x dx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后是110A.(,)y d y f x y dx-⎰⎰110B.(,)x d y f x y dx -⎰⎰11C.(,)xd y f x y dx-⎰⎰11D.(,)d y f x y dx⎰⎰27、区域D 由曲线221,0,1y x y x x x =+===与所围成，则D)x y dxdy +=⎰⎰（4A.3-4B.33C.4-3D.428、设L 为取正向的圆周226x y +=，则曲线积分()()23324Lxy y dx x x dy -++=⎰ A.6πB. 6π-C.36πD.36π-29、级数0 0!nn kx k n ∞=>∑在时的收敛区间为A.(1,1)-11B. ,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(,)k k - D.(,)-∞∞30、用待定系数法求微分方程268sin xy y y e x '''-+=的特解*y 时，下列*y 设法正确的是2A.cos x Ce x[]212B.cos sin x e C x C x +[]212C.cos sin x xe C x C x +[]2212D.cos sin x x e C x C x +二、填空题(每小题2分,共20分)31、已知(1)arctan ,[()]2, (2)f x x f x x x ϕϕ+==-+=则32、设当0x ≠时，sin 2()xf x x=，F(x)在点0x =处连续，当0x ≠时，()()F x f x =，则(0)F =33、函数2()ln(3)d x f x t t =+⎰的单调递增区间是34、设32()3lim ()x f x x x f x →=+，且2lim ()x f x →存在，则()f x '=35、定积分22-=⎰36、设()()f x dx F x C =+⎰，则(sin )cos f x xdx =⎰37、过点0M (1,-1,2)且垂直于平面9 9 0x y z ++=的直线方程为38、设()2ln z x y =+，则全微分 d z =39、当0x >时，幂级数0(1)(2)!n nn n ∞=-∑的和函数()S x =40、微分方程0y y y '''++=的通解为三、计算题（每小题5分，共50分）41、求极限32111lim 1223(1)n n n n -→∞⎡⎤+++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦42、求函数ln xy x=的导数43、求曲线111sin1ln(1)x y x x e x =+--+的渐进线.(不考虑斜渐进线的情况)44、求函数4323865y x x x =-++的凸凹区间与拐点。

郑州大学高数期末考试试卷及答案解析 (2)

z y dy
=
ydx − xdy x2 + y2
13. 解：齐次方程 y′′ − 3y′ + 2 y = 0 对应的特征方程为： λ 2 − 3λ + 2 = 0 , 则
λ1,2 = 1, 2 .
因此齐次方程对应的通解为： y(x) = C1ex + C2e2x , 其中C1, C2为任意常数。
令非齐次方程的特解为： y*(x) = A⋅ e−2x
代入原式得： A = 1 ,故 y*(x) = 1 ⋅ e−2x
12
12
因此非齐次方程的通解为： Y
(x)
=
C1ex
+
C2 e2 x
+
1 12
e−2 x
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷）参考答案第 1 页，共 5 页
14. 解：
− y2
n=1
于是对于任意的 n 有 1 < 1 < 1， 1+ an 1+ a
∑ ∑ ∞
而等比级数 (
1
∞
)n 收敛。由比较判别法知级数 (
1
)n 收敛。
n=0 1+ a
n=0 1+ an
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷）参考答案第 4 页，共 5 页
d = 12 − 2x − 3y 13
令 L = (12 − 2x − 3y)2 + λ(x2 + 4 y2 − 4) ，
于是由：
⎧ ⎪
Lx
=
−4(12 −
2x
− 3y)
+
2λ x
=
0

2020年高考真题——数学(文)(全国卷Ⅰ)+Word版含解析【KS5U+高考】

绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x | x2- 3x - 4 < 0}, B = {-4,1, 3, 5}，则A B =（）A. {-4,1}B. {1, 5}C. {3, 5}D. {1, 3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由x2- 3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1, 3, 5}，所以A B ={1, 3}，故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z =1 + 2i + i3，则|z | = （）A. 0B. 1212 +12 2 b 2- a2 4b 2 b CD. 2【答案】C【解析】【分析】先根据i 2 = -1将 z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．【详解】因为 z = 1+2i + i 3 = 1+2i - i = 1+ i ，所以 z = = ．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．1. 胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 -1 4B.5 -1 2C.5 +1 4D.5 +1 2【答案】D【解析】【分析】设CD = a , PE = b ，利用 PO 2 = 1CD ⋅ PE 得到关于a , b 的方程，解方程即可得到答案.2CD = a , PE = b【详解】如图，设，则 PO=由题意 PO 2= 1 ab ，即b 2- a 2 =1 4( ) -2 ⋅ -1 = 0 ，化简得，ab 24 2aaPE 2 - OE 2解得b=1 + 5 （负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.为正方形ABCD 的中心，在O，A，B，C，D 中任取3 点，则取到的3 点共线的概率为（）1 2A. B.5 514C. D.25【答案】A【解析】【分析】列出从5 个点选3 个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O,A,B,C,D 5 个点中任取3 个有{O, A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C}{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}{A,C, D},{B,C, D} 共10 种不同取法，3 点共线只有{A,O, C} 与{B,O, D} 共2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为2= 1 .故选：A10 5【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.3. 一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位：°C ）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i , y i )(i = 1, 2,, 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + b e xD. y = a + b ln x【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是y =a +b ln x .故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.4.圆x2+y2- 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据直线和圆心与点(1, 2) 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2- 6x = 0 化为(x - 3)2+y2= 9 ，所以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ，设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为= 2 = 2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.5.数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）610π7πA. B.96 4π3πC. D.32【答案】C9- | CP |29 -8+= -【解析】【分析】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫ ，即可得到cos ⎛ - 4π ⋅ω + π ⎫ = 0 ，结合⎛ - 4π ,0⎫是 9 ⎪ 9 6 ⎪ 9 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到- 4π⋅ω + π = - π ，即可求得ω = 3， 9 6 2 2再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点⎛ - 4π ,0⎫，9 ⎪ ⎝ ⎭将它代入函数 f (x ) 可得： cos ⎛ - 4π⋅ω + π ⎫ = 0 9 6 ⎪ ⎝ ⎭又⎛ - 4π ,0⎫是函数 f (x ) 图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 9 ⎪ ⎝ ⎭所以-4π ⋅ω ππ，解得：ω = 39622T =2π = 2π = 4π所以函数 f (x ) 的最小正周期为故选：Cω 3 32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6. l og 3 4 = 2 ，则4- a= （）1 1 1 1 A.B.C.D.16986【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log 3 4a= 2 ，即 4a = 9 ，进而求得4-a = 1，得到结果.9【详解】由a log 3 4 = 2 可得log 3 4a= 2 ，所以4a = 9 ，所以有4-a = 1，9故选：B.【点睛】该题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 7. 下面的程序框图，则输出的n =（）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+ 3 + 5 + + n > 100 的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足1+ 3 + 5 ++ n > 100 的最小正奇数，因为1+ 3 + 5 += 1 (n +1)2 4> 100 ，解得n > 19 ，所以输出的n =21．故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．8.n } 是等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 = 1 ，a 2 + a 3 +a 4 = 2 ，则a 6 + a 7 + a 8 = （）A. 12B. 24C. 30D. 32(1+ n )⨯⎛ n -1 +1⎫⎪ + n =⎝ 2 2 ⎭1 2 1 2 1 2 n 1 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 6 7 8 1 1 1 1 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a + a + a = q 5(a + a + a ) 可求得结果.678123【详解】设等比数列{a } 的公比为q ，则a + a + a = a (1+ q + q 2)= 1 ， a + a + a = a q + a q 2 + a q 3 = a q (1+ q + q 2) = q = 2 ，因此， a + a + a = a q 5 + a q 6 + a q 7 = a q 5 (1+ q + q 2 )= q 5 = 32 .故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．F , F2y 2 | OP |= 29. 2 是双曲线C : x-= 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且，3则△PF 1F 2 的面积为（）A.725 B. 3C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以 P 为直角直角三角形得到| PF |2 + | PF|2= 16 ，再利用双曲线的定义得到| PF | - | PF | = 2 ，联立即可得到| PF || PF| ，代入 S △= 1 | PF || PF |中计算即可.1212F 1F 2 P 21 2【详解】由已知，不妨设 F 1(-2, 0), F 2 (2, 0) ，则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 1| F F | ，21 2所以点 P 在以 F 1F 2 为直径的圆上，即 F 1F 2 P 是以 P 为直角顶点的直角三角形，故| PF |2 + | PF |2 =| F F |2 ，121 2即| PF |2+ | PF |2 = 16 ，又 | PF | - | PF | = 2a = 2 ，F 1F 2 P3 3 1 2 1 2 所以4 = | PF 1 | - | PF 2 | 2= | PF |2 + | PF |2-2 | PF|| PF |= 16 - 2 | PF 1 || PF 2 | ，解得| PF || PF |= 6 ，所以 S △= 1 | PF || PF|= 3 12故选：BF 1F 2 P 21 2【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. , B , C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为4π ，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为（） A. 64π B. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 1 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O 1 半径为 r ，球的半径为 R ，依题意，得π r 2 = 4π ,∴r = 2 ，由正弦定理可得 AB = 2r sin 60︒ = 2 ，∴OO 1 = AB = 2 ，根据圆截面性质OO 1 ⊥ 平面 ABC ，∴OO ⊥ O A , R = OA === 4 ，1 1∴球O 的表面积 S = 4π R 2 = 64π .故选：AOO 2 + O A 2 1 1 OO 2 + r 2 1⎨⎩⎩ 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧2x + y - 2 ≤ 0,11. y 满足约束条件⎪x - y -1 ≥ 0, 则z =x +7y 的最大值为 .⎪ y +1 ≥ 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z = x + 7 y 即： y = - 1 x + 1z ，77其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：⎧2x + y - 2 = 0 ，可得点 A 的坐标为： A (1, 0)，⎨x - y -1 = 0据此可知目标函数的最大值为： z max = 1+ 7 ⨯ 0 = 1 . 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.x 12. a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4) ，若a ⊥ b ，则m =.【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a ⊥ b 可得a ⋅ b = 0 ，又因为a = (1, -1), b = (m +1, 2m - 4)，所以a ⋅ b = 1⋅(m +1) + (-1) ⋅ (2m - 4) = 0 ，即 m = 5 ，故答案为：5.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.13. = ln x + x +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 .【答案】 y = 2x【解析】【分析】设切线的切点坐标为(x 0 , y 0 ) ，对函数求导，利用 y ' |x = 2 ，求出 x 0 ，代入曲线方程求出 y 0 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为( x , y ), y = ln x + x + 1, y ' = 1+ 1 ，y ' |=1 + 1 = 2, x = 1, y 0 0x= 2，所以切点坐标为(1, 2) ，x = x 00 0所求的切线方程为 y - 2 = 2(x -1) ，即 y = 2x . 故答案为： y = 2x .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. a } 满足a+ (-1)n a = 3n -1，前 16 项和为 540，则a =.nn +2n1【答案】7n +2 n 【解析】【分析】对 n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a 1 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a 1 方程，求解即可得出结论.【详解】a + (-1)n a = 3n -1，当 n 为奇数时， a n +2 = a n + 3n - 1 ；当n 为偶数时， a n +2 + a n = 3n - 1 . 设数列{a n } 的前n 项和为 S n ，S 16 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 += a 1 + a 3 + a 5= a 1 + (a 1 + 2) + (a 1 + 10) + (a 1 + 24) + (a 1 + 44) + (a 1 + 70)+(a 1 + 102) + (a 1 + 140) + (5 + 17 + 29 + 41)= 8a 1 + 392 + 92 = 8a 1 + 484 = 540 ，∴a 1 = 7 .故答案为： 7 .【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.15. 受了一项加工业务，加工出来产品(单位：件)按标准分为 A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 + a 16+ a 15 + (a 2 + a 4 ) +(a 14 + a 16 )等级ABCD乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4 ，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28 ；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．40【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为= 0.4 ，乙厂加工出10028= 0.28 ；来的一件产品为A 级品的概率为100（2）甲分厂加工100 件产品的总利润为40⨯(90 - 25)+ 20⨯(50 - 25)+ 20⨯(20 - 25)- 20⨯(50 + 25)= 1500 元，所以甲分厂加工100 件产品的平均利润为15 元每件；乙分厂加工100 件产品的总利润为28⨯(90 - 20)+17 ⨯(50 - 20)+ 34⨯(20 - 20)- 21⨯(50 + 20)= 1000 元，所以乙分厂加工100 件产品的平均利润为10 元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出3 A + C = 决策，属于基础题．16. 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 B =150°.（1）若 a = c ，b =2 ，求 ABC 的面积；（2）若 sin A +【答案】（1） sin C =2 ，求 C .2；（2）15︒ .【解析】【分析】（1）已知角 B 和b 边，结合 a , c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出 a , c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 A = 30︒ - C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得b 2 = 28 = a 2 + c 2 - 2ac ⋅ cos150︒ = 7c 2 ，∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积S = 1ac sin B = ； 2（2） 30︒ ，∴sin A + 3 sin C = sin(30︒ - C ) + 3 sin C= 1 cos C + 3 sin C = sin(C + 30︒) =2， 2 2 20︒ < C < 30︒,∴30︒ < C + 30︒ < 60︒ ， ∴C + 30︒ = 45︒,∴C = 15︒ .【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.17. D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO上一点，∠APC =90°．3 7 3 33 3= 3（1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAC ；（2）设 DO =，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P −ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）6 .8【解析】【分析】（1）根据已知可得 PA = PB = PC ，进而有△PAC ≅ △PBC ，可得∠APC = ∠BPC = 90，即PB ⊥ PC ，从而证得 PC ⊥ 平面 PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 ABC 边长，在等腰直角三角形 APC 中求出 AP ，在 Rt APO 中，求出 PO ，即可求出结论.【详解】（1） Q D 为圆锥顶点， O 为底面圆心，∴OD ⊥ 平面 ABC ，P 在 DO 上， OA = OB = OC ,∴ PA = PB = PC ，ABC 是圆内接正三角形，∴ AC = BC ， △PAC ≅ △PBC ，∴∠APC = ∠BPC = 90︒ ，即PB ⊥ PC , PA ⊥ PC ， PA PB = P ,∴ PC ⊥ 平面 PAB , PC ⊂ 平面 PAC ，∴平面 PAB ⊥ 平面 PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为π rl =3π , rl = ，OD 2 = l 2 - r 2 = 2 ，解得r = 1, l = ， AC = 2r sin 60 ，在等腰直角三角形 APC 中， AP =2 AC =6 ，22在 Rt PAO 中， PO ==2 ，22 AP 2 - OA 26 - 1 4∴三棱锥 P - ABC 的体积为V= 1PO ⋅ S= 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ 3 = 6 . P - ABC 3 △ABC3 24 8【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.18. 数 f (x ) = e x - a (x + 2) .（1）当a = 1 时，讨论 f (x ) 的单调性；（2）若 f (x ) 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）(1, +∞) . e 【解析】【分析】（1）将a = 1 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x- a (x + 2) = 0 有两个解，将其转化为a = ex x + 2有两个解，令h (x ) = e xx + 2(x ≠ -2) ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当a = 1 时， f (x ) = e x - (x + 2) ， f ' (x ) = ex -1，令f ' (x ) < 0 ，解得 x < 0 ，令 f ' (x ) > 0 ，解得 x > 0 ，所以 f (x ) 的减区间为(-∞, 0) ，增区间为(0, +∞) ；（2）若 f (x ) 有两个零点，即e x - a (x + 2) = 0 有两个解，1+2从方程可知， x = 2 不成立，即a = e x x + 2有两个解，ex'e x (x + 2) - e x e x (x +1) 令 h (x ) =(x ≠ -2) ，则有h (x ) =x + 2(x + 2)2=(x + 2)2，令 h ' (x ) > 0，解得 x > -1 ，令h ' (x ) < 0 ，解得 x < -2 或-2 < x < -1 ，所以函数h (x ) 在(-∞, -2) 和(-2, -1) 上单调递减，在(-1, +∞) 上单调递增，且当 x < -2 时， h (x ) < 0 ，而 x → -2+ 时， h (x ) → +∞ ，当 x → +∞时， h (x ) → +∞ ，所以当a =e x x + 2有两个解时，有a > h (-1) = 1 ，e所以满足条件的a 的取值范围是： ( , +∞) .e【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 y = e x 和直线 y = a ( x + 2) 有两个交点，利用过点(-2, 0) 的曲线 y = e x 的切线斜率，结合图形求得结果.19. 、B 分别为椭圆 E ：x 2a 2y= 1（a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.x 2 2【答案】（1）+ y 9= 1；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1) ，即可求得 AG ⋅ G B = a 2 -1 ，结合已知即可求得： a 2 = 9 ，问题得解.AG ⋅ G B = a 2 x 0 ⎝ ⎭y （2）设 P (6, y 0 ) ，可得直线 AP 的方程为： y = y(x + 3) ，联立直线 AP 的方程与椭圆方 9⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ 程即可求得点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ ，同理可得点D 的坐标为 y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2 - 3 -2 y ⎫ 0 , 0 ⎪ ，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得： y 2 +1 y 2 +1⎝ 0 0 y =4 y 0⎭⎛ x - 3 ⎫，命题得证. 3(3 - y 2 )2 ⎪【详解】（1）依据题意作出如下图象：2由椭圆方程 E : + a2 y 2 = 1(a > 1) 可得： A (-a ,0) ， B (a ,0) ， G (0,1)∴ AG = (a ,1) ， GB = (a , -1)∴ -1 = 8 ，∴ a 2 = 9∴ x 2 2椭圆方程为： + y = 19（2）证明：设 P (6, y 0 ) ，则直线 AP 的方程为： y =y 0 - 0 6 - (-3) ( x + 3) ，即： y = y 0 ( x + 3) 9 ⎧ x 2+ 2 = ⎪ 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： ⎨ y ，整理得： ⎪ y = 0 ( x + 3)⎪⎩9 1-3y 2 + 27 0 0 0 0⎝ 0 0 0 0 6 (3 - y )0 ⎩ 0 ⎭ ⎝ 2 0 ⎭ ( y 2 + 9) x 2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3 或 x = 0-3y 2 + 27 y6 y 0y 2 + 9将x =代入直线y = 0 ( x + 3) 可得： y = 2y 2+ 99⎛ -3y 2 + 27 6 y ⎫ y 0 + 9所以点C 的坐标为 0 , 0 ⎪ .y 2 + 9 y 2 + 9 ⎝ 0 0 ⎭⎛ 3y 2- 3 -2 y ⎫ 同理可得：点 D 的坐标为 0 , 0 ⎪ y 2 +1 y 2 +1 ⎝ 0 0 ⎭6 y 0 - ⎛ -2 y 0 ⎫ ⎛ -2 y ⎫y 2 + 9 y 2 +1 ⎪ ⎛ 3y 2 - 3 ⎫ ∴直线CD 的方程为： y - 0 ⎪ = 0 ⎝ 0 ⎭ x - 0 ⎪ ， ⎝ y 2 +1 ⎭ -3y 2 + 27 3y 2- 3 - y 2 +1 ⎭ y 2 + 9 y 2 +12 y 8 y (y 2+ 3)⎛ 03y 2 - 3 ⎫ 8 y⎛ 3y 2 - 3 ⎫ 整理可得： y + 0= y 2 +1 0 0 6 (9 - y 4)x - ⎝ y 2 +1 ⎪ = 0 x - 0 y 2 +1 ⎪ 整理得： y =4 y 0 x + 2 y 0= 4 y 0 ⎛ x - 3 ⎫ 3(3 - y 2) y 2 - 3 3(3 - y 2 )2 ⎪ 00 故直线CD 过定点⎛ 3 ,0 ⎫ 0 ⎝ ⎭ 2 ⎪ ⎝ ⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10 分。

真题考试：2020 高等数学(一)真题及答案(5)

真题考试：2020 高等数学（一）真题及答案(5)共45道题1、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)= （单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D2、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B3、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz= （单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A4、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是: （单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D5、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A6、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B7、不定积分∫(x2cosx)＇dx= （单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C8、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C9、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B10、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B11、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上: （单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C14、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A15、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是: （单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D16、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D17、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C18、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为: （单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C19、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C20、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)= （单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上: （单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A23、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a= （单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B24、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C25、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D26、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C27、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C28、不定积分∫(x2cosx)＇dx= （单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C29、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A30、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D31、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B32、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A33、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是: （单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D34、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B35、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C36、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B37、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是: （单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D38、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D39、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a= （单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B40、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C42、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)= （单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2试题答案：A45、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B。

郑州西亚斯学院《高等数学》2020-2021学年期末试卷(1)

郑州西亚斯学院2020-20212高等数学2020级（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一.填空题（每小题4分，共20分）1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点是第类间断点.2.已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f .3.()()=-+⎰--x x x x x d e e 1112005.4.设()t u u x f xt d d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f .5.设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,取得最大值.二.单项选择题(每小题4分,共16分)1.设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是[](A)()()x x βα2(B)()()xx x 1sin 22βα+(C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+2.曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x 的渐近线共有[](A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3.微分方程xx y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [](A)()xx b ax 22e +(B)xax 2e(C)()x b ax 2e +(D)()xx b ax 2e +4.下列结论正确的是[](A)若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d.课程期末考试卷学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:(B)若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积.(C)若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a ax x f x x f 0d d .(D)若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数.三.计算题1.(7分)计算()()32d cos ln limx t t t xx ⎰+→2.(7分)设函数()x y y =是由方程2e22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.3.(7分)计算x x x x d cos cos 042⎰-π4.(7分)计算⎰∞+13d arctan x xx5.(7分)求初值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.6.(8分)在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.7.(7分)设b a <<0,求证()ba ab a b +->2ln.8.(7分)设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证:当0≥x 时,有()1e ≤≤-xf x 成立.9.(7分)设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .1ξe1XOYxy ln =。

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高等数学模拟题
第一部分客观题
一、判断题
1、函数x x x f sin )(=在),(+∞-∞上有界。

( 错 B)
2、错B
3、函数的极值点一定是函数的驻点。

( 错 B )
4、对A
5、设)(x f 是一个连续的奇函数，则0)(11=⎰
-dx x f 。

（对A ）二、单项选择题
6、、定积分 dx x ⎰--2
/2/2sin 1ππ的值是：（ D ）
（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；
7、在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量． (A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1
∞→x x 8、设(ln )1f x x '=+，则()f x =（ C ）.
(A) 22x x c ++ (B)22x x e e c ++ (C)x x e c ++ (D)ln (2ln )2
x x + 9、.曲线2211x x
e e y ---+=（ D ）
(A) 无渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线
10 、 C
第二部分主观题
一、求解下列各题
1
2、设()y y x =由方程组cos sin sin cos x t t t y t t t
=+⎧⎨=-⎩确定，求dy dx 。

解：
3、求曲线 2(1)y x x =- 的凹凸区间。

解：Y=(x-1)²x 求二阶导数，再找零点 x= - (1/2) ，以所找零点将定义域区间划分为2个区间，(-∞，-(1/2))和((-1/2)，+∞)，在前一个区间，f ' ' <0 ,为凹区间，后一个区间为凸区间。

在 x= - (1/2) 的左右，其二阶导数变号，故拐点为(-(1/2), 7/8)
4、求
4
0e ⎰。

5、设222()()4x x f t dt F x x =
-⎰，其中)(x f 为连续函数，求2
lim ()x F x →。

二、应用题 1、求由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积。

解：y=x²与y=x+2的交点为：(-1,1), (2,4)
则由曲线y=x²与y=x+2围成图形的面积等于y=x+2-x²在[-1,2]上的定积分. 所以：S=∫[-1,2]（x+2-x²）dx
=x²/2+2x-x³/3,l[-1,2]
=(2+4-8/3)-(1/2-2+1/3)
=(6-8/3+2-5/6)
=8-21/6 =27/6 =4.5
三、证明题。