《空间中的垂直关系》课件5(60张PPT)(人教B版必修2)
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高中数学 第一章 1.2.3空间中的垂直关系(一)课件 新人教B版必修2
第十八页，共32页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
问题 6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？
m⊂α
n⊂α
答
m∩n＝P⇒l⊥α
l⊥m
l⊥n
即：线线垂直⇒线面垂直．
第十九页，共32页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
例 1 已知：a∥b，a⊥α.求证：b⊥α. 证明 在平面 α 内作两条相交直线 m，n.因为 直线 a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a，所以 b⊥m，b⊥n. 又因为 m⊂α，n⊂α，m，n 是两条相交直线，所以 b⊥α.
∴EF＝AD＝6.
问题 3 由折痕 AD⊥BC，翻折 之后垂直关系不变，即 AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？ 答 若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交， 则该直线垂直这个平面．
第十六页，共32页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
问题 4 如图，把 AD、BD、CD 抽象为直线 l、m、n ，把桌面抽象为平面 α，l 与 α 垂 直的条件是什么？ 答 条件是 l 与平面 α 内的两条相交直线 m，n 垂直且相交．
1.2.3 空间中的垂直关系(一)
【学习要求】 1．理解直线与平面垂直的定义． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理． 3．会应用两定理解决问题． 【学法指导】
借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义； 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定 理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化 为线线垂直的思想方法.
第十页，共32页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
问题 6 如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平 面垂直？ 答 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直．直线 l 和平面 α 互相垂直，记作 l⊥α.
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
问题 6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？
m⊂α
n⊂α
答
m∩n＝P⇒l⊥α
l⊥m
l⊥n
即：线线垂直⇒线面垂直．
第十九页，共32页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
例 1 已知：a∥b，a⊥α.求证：b⊥α. 证明 在平面 α 内作两条相交直线 m，n.因为 直线 a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a，所以 b⊥m，b⊥n. 又因为 m⊂α，n⊂α，m，n 是两条相交直线，所以 b⊥α.
∴EF＝AD＝6.
问题 3 由折痕 AD⊥BC，翻折 之后垂直关系不变，即 AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？ 答 若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交， 则该直线垂直这个平面．
第十六页，共32页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
问题 4 如图，把 AD、BD、CD 抽象为直线 l、m、n ，把桌面抽象为平面 α，l 与 α 垂 直的条件是什么？ 答 条件是 l 与平面 α 内的两条相交直线 m，n 垂直且相交．
1.2.3 空间中的垂直关系(一)
【学习要求】 1．理解直线与平面垂直的定义． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理． 3．会应用两定理解决问题． 【学法指导】
借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义； 通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定 理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化 为线线垂直的思想方法.
第十页，共32页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
问题 6 如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平 面垂直？ 答 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直．直线 l 和平面 α 互相垂直，记作 l⊥α.
空间中的垂直关系 课件
(2)若 AB =B C ,则 B D ⊥AC ,
由(1)可知,SD ⊥平面 AB C ,而 B D ⊂ 平面 AB C ,
因此 SD ⊥B D .
∵SD ⊥B D ,B D ⊥AC ,SD ∩AC =D ,∴B D ⊥平面 SAC .
T 题型二面
面垂直问题
例 2如图所示,已知△AB C 是等边三角形,E C ⊥平面 AB C ,B D ⊥
(1)求证:SD ⊥平面 AB C ;
(2)若 AB =B C ,求证:B D ⊥平面 SAC .
【证明】(1)如图所示,取 AB 中点 E ,连接 SE ,D E ,在 R t△AB C 中,D ,E 分别
为 AC ,AB 的中点,故 D E∥B C ,且 D E ⊥AB ,
∵SA=SB ,
∴△SAB 为等腰三角形.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线
在平面内的射影.
(2)斜线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角.
若直线在平面内或直线和平面平行,则说直线和平面成 0°
角;若直线和
平面垂直,则说直线和平面成 90°
角.
任一直线和平面所成角 θ
由于平面 P D C⊥平面 AB CD ,而直线 CD 是平面 P D C 与平面 AB CD 的交
线,
故 P E ⊥平面 AB CD ,由此得∠P B E 为直线 P B 与平面 AB CD 所成的角.
在△P D C 中,由于 P D =C D =2,P C =2 3,
可得∠P CD =30°
.
在 R t△P EC 中,P E =P C sin30°
空间中的垂直关系ppt课件
10m
8m
10m
6m
6m
课堂小结
1．线面垂直的定义： 如果一条直线垂直于一个平面内的任 何一条直线，则此这条直线垂直于这个平面. 2、性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于 这个平面内的所有直线。 3.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 那么此直线垂直于这个平面。 4 判定定理的推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
线线垂直
线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 平面问题 空间问题
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以 及最高级智能活力美学体现。——普林 舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学 使人精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。—— 华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐 明自然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。
C F B
典型例题
例2. 有一根旗杆AB A 高8m,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子,并把它的下 端放在地面上的两点 B （和旗杆脚不在同一 C 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直，为什 么？
D
例题2
有一根旗杆AB高8米（如图），它的顶端A挂着两条长10米的 绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗 杆脚不在同一条直线上）。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 米，那么旗杆就和底面垂直，为什么？
两条直线互相垂直
你认为直线与平面垂 思考：两条直线互相垂直 直该怎样定义才恰当？ 一定会有交点吗？
B
α
B1 C1
C
空间中的垂直关系PPT教学课件
的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
高中数学 1.2.3.1 空间中的垂直关系课件 新人教B版必修2
名师点睛
1．关于直线与平面垂直的判定定理的理解必须注意以下几点 (1)判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是关键性词语， 一定要抓牢．
命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线 垂直于这个平面．
命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直 线垂直于这个平面．
以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现 出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一组平行线，并不 一定具备有“两条相交直线与已知直线垂直”这一条件，因此， 也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论．
题型二 线面垂直性质定理的应用 【例2】 如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、 A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1.
[思路探索] 可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为 此需作出辅助平面．
证明 如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD， ∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，
提示 平行．如图所示，已知平面 α、β，直线 a⊥α，a⊥β， 求证：α∥β.
证明：设 a∩α＝A，m、n 是过点 A 的两条相交直线．设过 a、 m 的平面与平面 β 相交于直线 b，过 a，n 的平面与平面 β 相交于 直线 c. 因为 a⊥α，所以 a⊥m，又 a⊥β，所以 a⊥b.又 a、b、m 在同一平 面内，所以 b∥m.故 m∥β.同理 n∥β.又 m∩n＝A，所以 α∥β.
自学导引
1．直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点，并且 交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过 交点 O 的 任何 直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互 相 垂直 ，这条直线叫做 平面的垂线 ，这个平面叫做直线的垂面， 交点叫做 垂足 ．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点 到这个平面的 垂线段 ．垂线段的长度叫做这个点到平面的 距离 ．
空间中的垂直关系PPT教学课件
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于同一个平面。
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
练习题：
1 、如果平面外的一条直线上有两点 到这个平面的距离相等，则这条直线和平 面的位置关系是（ ）C
A.平行 B.相交 C.平行或相交
2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
求证： b ． 证明：设m是α内的任意一条直线．
a
m
a
m
b
m
a //b
b
m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
证明：假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交
l
点B作直线m’//l，
解：
t
3 2
kT
t1 t2
T1 T2
P nkT n1 n2 , T1 T2
P1 P2
例题3：试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。 设（1）在温度t = 1000℃时；（2）t = 0℃时；（3） t = -150 ℃时。
解：
t1
3 2
kT1
3 1.381023 1273 2
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
3． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O
是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂
足，求证：B1H⊥平面AD1C.
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
练习题：
1 、如果平面外的一条直线上有两点 到这个平面的距离相等，则这条直线和平 面的位置关系是（ ）C
A.平行 B.相交 C.平行或相交
2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
求证： b ． 证明：设m是α内的任意一条直线．
a
m
a
m
b
m
a //b
b
m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
证明：假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交
l
点B作直线m’//l，
解：
t
3 2
kT
t1 t2
T1 T2
P nkT n1 n2 , T1 T2
P1 P2
例题3：试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。 设（1）在温度t = 1000℃时；（2）t = 0℃时；（3） t = -150 ℃时。
解：
t1
3 2
kT1
3 1.381023 1273 2
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
3． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O
是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂
足，求证：B1H⊥平面AD1C.
空间中的垂直关系 人教课标版精品公开PPT课件
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
I l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
Pl
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
a
图 形 语 言
α
2、判定定理：
文 如果一条直线 a 与一个平面 内两条相交直
字 线都垂直，我们就说直线 a 与平面 互相
语 垂直，记作： a
言
a
线
图
不
形
语 言
b
Oc
在 多 ，
ab
符 号 语 言
a b
c c
O
a
b
相 交 就 灵
c
3、性质定理：
文 字
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
C
P
根据平面几何知识得到：BDC90o，
DCBD
D Q平面PBD平面BDC且平面PBDI 平面BDCBD
B
CD平面PBD，
C
PB平 面 PBD CDPB 又 QPBPD ， CDI PDD ， CD平 面 PCD ， PD平 面 PCD PB平 面 PCD,
QPB平面PBC 平面PBC平面PCD
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
AC B1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
_空间中的垂直关系课件
4、判定定理应用：
问题2、在长方体 ABCD A1 B1C1D1 中，指出与底面ABCD 垂直的 直线，指出与 AA1 垂直的平面，你能发现什么结论？ 推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么 另一条也垂直于这个平面。 推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 简述为：垂直于同一个平面的两条直线平行
B
A
B B1 C1 C
探究2：直线与平面垂直定义
形成概念： 如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O， 并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直。 记作AB ． 点到平面的距离
A
平面 的垂线 直线 AB 的垂面
垂足
画法：直线与平 面的一条边垂直
O
B
观察下面四个图，有什么结论？
D′
C′ B′
A′
D
A B
C
练习题
5. 已知 : = CD, EA , EB . 求证 : CD AB .
E A
D
B
C
例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P D A B
C
例2 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作 AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
这个平面垂直。
l
图形语言：
符号语言：
线不在多，相交就灵 m
P
n
α
m, n m n P l lm ln
线线垂直 线面垂直
4、判定定理应用：
空间中的垂直关系 PPT课件 人教课标版
A 平行
B 垂直 C 相交 D 不确定
A
C B
2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
练习
E A
D
B
C
作业.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆
O 的直径，C 是圆上一点,且PA AC, PA AB,求证：（1）PA BC
A
C
BD
解 :如 图,旗 杆 AB 8m,两 绳 长 AC AD 10m
BC BD 6m 由勾股定理得：
AB2 BC 2 AC 2,AB2 BD 2 AD 2
AB BC,AB BD
B,C ,D三 点 不 共 线
A
B,C ,D三 点 确 定 平 面 BCD
尝试探究
1、直线l 与平面 内的一条直线垂直，能否
保证 l ？
2、直线 l 与平面 内的两条平行直线垂直，能
否保证 l ？
3、直线 l 与平面 内两条相交直线垂直，能
否保证 l ？
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。