大学物理第9-10-11章作业

第9章

9－8 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为

2

2

04π1

L

r Q

εE -=

(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为

2

204π21

L r r Q

εE +=

若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较

.

题 9-8 图

分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为

r r q

εe E 2

0d π41

d '

=

整个带电体在点P 的电场强度

⎰=

E E d

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，

⎰

=

L

E i E d

(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(a )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是

⎰⎰

=

=

L

y

E E

j j E d sin d α

证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰

'

=L

r q E 2

0π2d ε，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分

变量，则

()

22002

2

2

04π12/12/1π4d π41L

r Q εL r L r L εQ

x r L x

Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+--=

-=

⎰

电场强度的方向沿x 轴.

9－14 设在半径为R 的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为ρ,求带电球内外的电场强度分布.

分析 电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有

⎰=

=⋅s

Q E r S E 0

i

2

π4d ε

上式中i Q 是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布.

解 依照上述分析，由高斯定理可得 R r <时， 3

02

π3

4π4r E r ερ=

假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为

r E 0

3ερ

=

R r >时， 3

02

π3

4π4R E r ερ=

考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为 r e r

R

E 2

033ερ=

9－15 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 (R 2＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .

题 9-15 图

分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=⋅rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.

解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理

∑=

⋅0

/π2ε

q rL E

r ＜R 1 ， 0=∑q

01=E

R 1 ＜r ＜R 2 ， L λq =∑

r ελE 02π2=

r ＞R 2，

0=∑q

03=E

在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b ）所示，电场强度有一跃变

00π2π2ΔεζrL

εL λr

ελE ==

=

9－19 电荷面密度分别为＋ζ和－ζ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a )放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.

题 9-19 图

分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解 由“无限大” 均匀带电平板的电场强度i 0

2εζ±

，叠加求得电场强度的分布，

()()()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--<=a x a x a a x 0 00i E εσ

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

()a x a x εζV x

<<--

=⋅=

⎰

d 0

l E

()a x a εζV -<=

⋅+

⋅=

⎰

⎰

- d d 0

a

-a

x

l E l E

()a x a V >-

=⋅+

⋅=

⎰

⎰

d d 0

a

a

x

εσl E l E

电势变化曲线如图(b )所示.

9－21 一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线

.

题 9-21 图

分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

⎰

⎰

=

⋅V

V d 1

d 0

ρεS E

可求得电场分布E (r )，再根据电势差的定义

()l E d ⋅=

-⎰b

a

b a r V V