小波分析-经典解读
小波分析
基于MATLAB 的变压器故障信号处理一 小波分析的基本理论小波分析（Wavelet Analysis ）或多分辨分析（Multiresolution Analysis ）是傅里叶分析仪发展史上里程碑式的进展，也是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。
其基础理论知识涉及到泛函分析、数值分析、统计分析，涉及到电子工程、电气工程、通信工程和计算机工程等，其同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。
小波（wavelet ），即小区域的波，是一种特殊的长度有限（紧支集）或快速衰减，且均值为0的波形。
1.小波函数小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，即2()()t L R ψ∈，若其傅里叶变换()ψω满足条件：()RC d ωωωψψ=<⎰∞ （1-3）则称()t ψ为一个基本小波或小波母函数。
称式（1-3）为小波函数的可容许条件。
把小波和构成傅里叶分析基础的正弦波做一个对比，傅里叶分析所用的正弦波在实践上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则和不对称。
傅里叶分析是将信号分解成一系列的不同频率的正弦波德叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些函数都是有一个母函数经过平移与尺度伸缩得来的。
信号局部的特性用小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好。
将小波母函数()t ψ进行伸缩和平移，就可以得到函数,()a t τψ：,1t ()aa t ττψ-=（）a R a >0τ∈，； （1-4） 式中，a 为伸缩因子，τ为平移因子，,()a t τψ为依赖于参数a 和τ的小波基函数，由于尺度因子a 和平移因子τ是连续变化的值，因此称,()a t τψ为连续小波基函数。
它们是由同一组母函数()t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数序列。
小波奇函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a 逐渐增大时，基函数,()a t τψ的时间窗口也逐渐变大，而其对应的频域窗口也相应减小，中心频率逐渐变低。
小波分析完美教程经典
(征求意见稿) 清华大学计算机科学与技术系 智能技术与系统国家重点实验室
林福宗，2001-9-25
小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学 工具，是继 110 多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的 自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。
图 3-05 离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是 Mallat 在 1988 年开发的，叫做 Mallat 算法[1]，这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带 编码。 用滤波器执行离散小波变换的概念如图 3-06 所示。图中，S 表示原始的输入信号，通 过两个互补的滤波器产生 A 和 D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示 信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听
3.1.3 小波分析
信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小 波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念：连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。
S=A1 + AAD3 + DAD3 + DD2。
6
《小波分析概述》课件
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析-经典
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析讲稿
8. 离散小波变换
（1）一阶滤波：近似与细节
（2）离散小波旳多尺度分解
按照上述一阶滤波旳过程，信号旳低频部分能 够被继续分解，从而实现了小波旳尺度分解
举例：对一种实际旳信号进行小波分解
3.Wavelet Analysis
小波变换是时间－尺度（时间－频率）分析措施，具有多辨别率分析旳 特点，即窗口大小固定但其形状可变化，时间窗和频率窗可变化旳时频 局部化分析措施。 在低频部分具有较高旳频率辨别率和较低旳时间辨别率； 在高频部分具有较高旳时间辨别率和较低旳频率辨别率。 优点：适合探测正常信号中夹带旳瞬态反常现象并展示其成份，所以被 誉为分析信号旳显微镜，利用小波变换进行动态系统故障检测与诊疗具 有良好旳效果。
－－利用小波包旳多尺度分解能力，把信号分解到多种频率带， 经过检测各频率带信号旳能量变化，能够对点蚀故障进行辨认
实际应用
2.小波消噪 在实际信号测量中，传感器、传播线、电源等所带来旳背
景噪声，往往使测量成果产生误差，严重时甚至可能淹没有用 信号，使测量成果不能正确反应被测对象旳真实状态，降低了 信号分析旳可信度，所以信号消噪是信号处理旳首要问题。
白噪声旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越来 越小，而信号旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越 来越大，故可对若干尺度上旳小波系数设置阈值，将分解尺度 上旳噪声所相应旳小波系数进行阈值化置零，保存有效信号所 相应旳小波系数，然后进行重构，则重构后旳信号就是基于小 波变换旳消噪信号。
4、用于机器运营状态监测和故障诊疗
小波包能量谱监测。实际振动中某些常见旳摩擦、冲击等信号，一般 不能以某些正弦分量来表达。所以，有时采用按频带进行能量监测旳措 施，比频谱分析更为合理。
小波分析完美教程经典
小波分析完美教程经典小波分析是一种数学方法，用于在时间序列或信号中检测和描述局部的频率特征。
它具有在不同尺度上进行分析的能力，并且可以有效地处理非平稳和非线性的数据。
小波分析最早由法国数学家莫尔斯特尔在20世纪80年代提出，并且在信号处理、图像处理、模式识别等领域中得到了广泛的应用。
相对于傅里叶分析而言，小波分析更适用于局部信号特征的提取，因为它可以在时间和频率上同时进行分析。
小波分析主要包含以下几个步骤：1. 选择小波基函数：小波基函数是小波分析的基础，它决定了在不同尺度上对信号进行分析时的特征。
常见的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
选择适合的小波基函数对于小波分析的结果具有重要的影响。
2.进行小波变换：小波变换是将信号在不同尺度上进行分解的过程。
通过将信号与小波基函数进行卷积，可以得到不同频率的小波系数。
小波变换可以分为连续小波变换和离散小波变换两种。
连续小波变换适用于连续信号，而离散小波变换适用于离散信号。
3.进行小波重构：小波重构是将小波系数重新组合成原始信号的过程。
通过将不同尺度上的小波系数进行反变换，可以得到原始信号的近似和细节部分。
小波重构的过程可以用于信号的降噪、压缩等应用。
在实际应用中，小波分析可以用于信号的时频分析、图像的压缩与去噪、模式识别等方面。
其优点在于可以提供更准确的局部信息，对非平稳和非线性信号具有更好的适应性，并且具有多尺度分析的能力。
然而，小波分析也存在一些问题。
首先，小波基函数的选择需要根据具体的应用场景进行判断，不同的小波基函数可能对信号的特征有不同的适应性。
其次，小波分析的计算量较大，对于大规模信号的处理可能会耗费较长的时间。
综上所述，小波分析是一种强大的信号处理工具，它可以在不同尺度上对信号进行分析，并且可以用于时频分析、图像处理、模式识别等领域。
通过选择合适的小波基函数和进行小波变换和重构，可以获得准确的局部信号特征。
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析
6.使用计算机工具
5.电力系统暂态分析
研究静态稳定问题，大多数都在分析相 量领域。而实际上，相量领域仅仅是频 率领域的一个方面而已：仅研究频率是 60HZ的信号成分的幅值和相角。而就暂 态而言，有限信号是不能依据有限相量 来进行研究的。现今我们采用通过小波 变换而使频率微小化，以便能够对信号 进行精密分析。图6显示暂态的多种分析 思路。许多方法是可以采用专门为电力 系统设计的软件包来进行完善和仿真。
例如，由于研究方法和效率都在不断的 向前发展，较为合适的母小波通常是正 交或双正交的多重函数。但由于效率问 题，在小波参数中主要的问题在于确定 特定的时间间隔。小波参数可以确定时 间轴上的位移点以及放缩和幅度的变化。 电力系统信号其实质就是以三角函数为基 的小波包。对于电力系统电磁暂态信号 来说，母小波应该满足以下两个特性：
Hale Waihona Puke 2. 采用小波分析的信号结构
小波理论认为通常的暂态信号可以通过一系列 特定信号的叠加而构成不同的时间不同的周期 形成不同的结构。这些特殊的信号就是小波包， 它是由某一小波为基的通过平移伸缩所生成的 小波函数族。这些小波包需要满足以下两个基 本条件：这些小波必须是振荡的，而且它们振 荡要快速趋进于零点。如果在满足以上条件的 基础上，小波包还满足积分为零，那么这些条 件不再是衡量一个满意的小波的严格标准了。
1.小波分析的优点
对于一般的研究人员来说，相对于傅立叶分析， 小波分析的优势也许没有那么显著。这是因为 傅立叶分析方法在许多信号分析中已经成为了 一种标准工具。然而傅立叶级数和傅立叶变换 还是有其局限性的。例如，一个傅立叶级数要 求其所有时间函数必须是周期性的。傅立叶变 换能够为很短的暂态提供较宽的带宽。有人也 许会提出在某一频率下我们可以采用无限的时 间包括过去和未来的数据来采集频谱信息。
小波分析
Absorbance
0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01
2
滤波
D(5)
C(5)
D(4)
C(4)
D(3)
C(3)
D(2)
C(2)
D(1)
C(1)
4
6
8
10
Retention Time / min
12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12
将信号中的不同频率成分按照频率高低进行分离！ 噪声属于高频部分，背景、基线属于低频部分 17
(translation parameter) ,也称为时间平移因子
t 叫作小波基，或小波母函数。 9
2. 小波变换
❖ 连续小波变换 a,b R, a 0
Wf a,b
f t, a,b t f *~a b
1 a
f
t
a,b tdt
❖ 实际应用中，一般实现时，连续小波必须加以离散化 ，所以常使用离散化小波变换。
小波分析
➢ 小波分析概况 ➢ 小波及小波变换 ➢ 一维小波分析 ➢ 多分辨率分析 ➢ 二维小波分析
❖ 一、小波分析概况
❖ “小波分析”是利用多种 “小波基函数” 对 “ 原始信号” 进行分解，分析原始信号各种变化的 特性，进一步用于趋势分析，数据压缩、噪声去除 、特征选择等。
❖ 地理学的许多现象均可视为数据信号，进行小波分 析，如气候和水文数据的时间序列，人文地理方面 的经济数值波动，遥感方面的光谱分析、遥感数据 的图像压缩，GIS方面的数据多尺度分析。
k 1
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N
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或： C j1 n h jn k *C jk g jn k * D jk
小波分析入门PPT课件
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应用
在音频处理、图像处理、信号处理等领域有广泛应用 。
复数小波变换
定义
复数小波变换是指小波基函数为复数的小波变换，其变换结果也 为复数。
特点
复数小波变换具有更强的灵活性和表达能力，能够更好地描述信 号的复杂性和细节。
应用
在雷达信号处理、通信信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
04
CATALOGUE
小波变换的基本原理
小波变换的定义
小波变换是一种信号的时间-频率分析方法，通过将信号分解 成不同频率和时间的小波分量，实现对信号的时频分析和去 噪。
小波变换的原理
小波变换通过将信号与一组小波基函数进行内积运算，得到 信号在不同频率和时间上的投影，从而实现对信号的时频分 析和去噪。
小波变换的应用领域
小波变换的基本理论
一维小波变换
定义
实例
一维小波变换是一种将一维函数分解 为不同频率和时间尺度的过程，通过 小波基函数的平移和伸缩实现。
一维小波变换在图像压缩中广泛应用 ，如JPEG2000标准就采用了小波变 换技术。
作用
一维小波变换用于信号处理、图像处 理等领域，能够有效地提取信号中的 特征信息，实现信号的时频分析和去 噪等。
数值计算中的应用
数值求解偏微分方程
小波分析可以用于求解偏微分方程的数值解，通过小波变 换可以将方程转化为离散形式，便于计算。
数值积分与微分
小波分析可以用于数值积分与微分的计算，通过小波基函 数展开被积函数或被微分函数，可以快速计算积分或微分 值。
数值优化
小波分析讲义
小波分析基础 对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不 满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能 得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有： (1) K-L变换 (2) Walsh变换 (3) 傅立叶变换 (4) 小波变换 如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶 变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。 在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波 变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特 殊信号： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的。
小波分析基础
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
小波分析基础
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性， 同时也能在频域反映信号的局部性，这种数学工具就是“小波”。从函 数分解的角度，希望能找到另外一个基函数(t) 来代替sint。(t) 应满足 以下三个特性：
多分辨度分析（MRA）
• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理 论，统一了几个不相关的领域：包括 语音识别中的镜向滤波，图象处理中 的金字塔方法，地震分析中短时波形 处理等。
•
当在某一个分辨度检测不到的现象， 在另一个分辨度却很容易观察处理。 例如：
小波分析基础
7
小波分析基础
参考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11
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时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。
在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。
目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。
2. 小波变换若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为：dt )abt (f(t)a)b ,a (W R2/1-f ⎰-=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；)abx (-ψ为)ab x (-ψ的复共轭函数。
地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ∆，（k=1,2,…,N; t ∆为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：)ab-t k (t)f(k t a)b ,a (W N1k 2/1-f ∆∆∆=∑=ψ （4） 由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a 来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。
实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。
3. 小波方差将小波系数的平方值在b 域上积分，就可得到小波方差，即db)b a,(W )a (Var 2f ⎰∞∞-=(5)小波方差随尺度a 的变化过程，称为小波方差图。
由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度a 的分布。
因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)例题河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。
所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。
也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。
表1给出了某流域某水文观测站1966-2004年的实测径流数据。
试运用小波分析理论，借助Matlab6.5、suffer8.0和相关软件（Excel等），完成下述任务：⑴计算小波系数；⑵绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
表1 某流域某水文观测站1966-2004年实测径流数据（×108m3）年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量1966 1.438 1974 2.235 1982 0.774 1990 1.806 1998 1.709 1967 1.151 1975 4.374 1983 0.367 1991 0.449 1999 0.000 1968 0.536 1976 4.219 1984 0.562 1992 0.120 2000 0.000 1969 1.470 1977 2.590 1985 3.040 1993 0.627 2001 2.104 1970 3.476 1978 3.350 1986 0.304 1994 1.658 2002 0.009 1971 4.068 1979 2.540 1987 0.728 1995 1.025 2003 3.177 1972 2.147 1980 0.807 1988 0.492 1996 0.955 2004 0.921 1973 3.931 1981 0.573 1989 0.007 1997 1.3411. 选择合适的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。
只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的结果。
目前，可选用的小波函数很多，如Mexican hat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等。
在本例中，我们选用Morlet连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。
原因如下：1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进行此项分析。
1.2实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。
1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。
2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。
具体步骤1. 数据格式的转化2. 边界效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波系数的实部5. 绘制小波系数实部等值线图6. 绘制小波系数模和模方等值线图7. 绘制小波方差图8. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件Matlab 6.5、Suffer 8.0和Excel，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。
1. 数据格式的转化和保存将存放在Excel表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转化为Matlab 6.5识别的数据格式（.mat）并存盘。
具体操作为：在Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import”后，找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls），单击“打开”。
等数据转化完成后，单击“Finish”，出现图1显示界面；然后双击图1中的Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择File文件夹下的“Save Workspace As”单击，出现图2所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择存放路径并填写文件名（runoff.mat），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File”窗口。
图1 数据格式的转化图2数据的保存2. 边界效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。
为消除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。
在进行完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。
本例中，我们利用Matlab 6.5小波工具箱中的信号延伸（Signal Extension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。
具体方法为：在Matlab 6.5界面的“Command Window”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”，按Enter键弹“Wavelet Toolbox Main Menu”（小波工具箱主菜单）界面（图３）；然后单击“Signal Extension”，打开Signal Extension / Truncation窗口，单击“File”菜单下的“Load Signal”，选择runoff.mat文件单击“打开”，出现图4信号延伸界面。
Matlab 6.5的Extension Mode菜单下包含了6种基本的延伸方式（Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）和Direction to extend菜单下的3种延伸模式（Both、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。
数据延伸的具体操作过程是：在Extension Mode下选择“Symmetric”，Dircetion to extend下选择“Both”，单击“Extend”按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“Save Tranformed Signal”，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat 文件。
从erunoff文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12个单位，向后延伸13个单位。
图3 小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的延伸3. 计算小波系数选择Matlab 6.5小波工具箱中的Morlet复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小波变换，计算小波系数并存盘。